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1、无穷级数 正项级数敛散性判别法 1 0. nn n aa 正正足足项项：满满级级数数 1,nnn SSS 显显然然即即单单增增. .lim, nn n SS 若若有有上上界界，则则存存在在 1 . n n a 收收敛敛 1 n n a 反反之之，若若收收敛敛，lim, n n S 则则存存在在,由由极极限限的的有有界界性性 . n S有有上上界界 1 . n n a 正正项项级级数数收收敛敛部部分分和和定定：有有上上界界理理 无穷级数 正项级数敛散性判别法 1 1 . n n 例例1.1.判判断断调调和和级级数数的的敛敛散散性性 1 1 n e n 解解由由： 1 11ln n n 11 1l
2、n nn 11 1 2 n S n 11 1 111 2 lnlnln n 2321lnlnlnlnlnnn 1ln n 1limlimln n nn Sn 故故 .因因此此级级数数发发散散 无穷级数 正项级数敛散性判别法 1 1 0 p n p n .讨讨论论例例2 2p-p-级级数数的的敛敛散散性性. . 01p当当解解：时时， 11 p nn 1 1 p n n 发发散散 1p 当当时时发发散散； .有有界界，故故级级数数收收敛敛 1p 当当时时, , 11 1 2 npp S n 1111 1 2244 pppp 11 22 pp nn 4个个2n个个 11 11 1 2 2 pp n
3、 1 1 1 1 2 1 1 2 n p p 1 1 1 1 2 , p 无穷级数 正项级数敛散性判别法 1 1 p n n p-p-级级结结论论. .数数 011.pp当当时时发发散散；收收敛敛 无穷级数 正项级数比较判别法 11 nn nn nn ab ab 设设, ,为为两两个个正正项项级级数数，若若从从某某项项以以后后 有有 定定理理： ，则则 11 nn nn ba 1 1）当当收收敛敛时时，收收敛敛； 11 nn nn ab 2 2）当当发发散散时时，发发散散. . 1 1 1 1 . + n n a a 判判断断级级数数的的敛敛散散性性例例1.1. 11 1+ n n aa 由由
4、解解：， 1 1 n n a 收收敛敛， 1a 当当时时， 1 1 1 . + n n a 由由比比较较，收收敛敛法法 结论结论. . 1 n n r 对对等等比比级级数数， 1r 当当时时收收敛敛； 1r当当时时发发散散. . 无穷级数 正项级数比较判别法 2 1 21 1 2. n n nn 判判断断级级数数的的例例敛敛散散性性. . 2 21 0 1 n n nn a 解解令令： 3 2 1 1 / n n 因因收收敛敛， 5 2 3 /n n a n 2 1 21 1 . n n nn 由由比比较较法法收收敛敛， 1 1 p n n ,结结论论.p-.p-级级数数011pp.当当时时发
5、发散散；收收敛敛 3 2 3 / n 无穷级数 正项级数比较判别法 11 11+ nn nn nn nn ab ab ab 设设, ,为为两两个个正正项项级级数数，若若从从某某项项以以后后 有有 推推论论： ，则则 11 nn nn ba 1 1）当当收收敛敛时时，收收敛敛； 11 nn nn ab 2 2）当当发发散散时时，发发散散. . 11+nn nn ab ab 由由分分析析：， 1 1 + + n nn n b aa b 1 1 1 + - - nn n nn bb a bb 12 1 11 + - nn nn bbb a bbb 1 1 1 + = n a b b 无穷级数 正项级
6、数比阶法 0 n a 1 n n a 收收敛敛 1 1 p n n 由由敛敛散散性性可可知知，.阶阶数数的的高高低低影影响响其其敛敛散散性性 11 0lim n nn n nn n a abk b 设设, ,为为两两个个正正项项级级数数，且且定定理理： 11 nn nn ab 则则，敛敛散散性性一一致致. . lim n n n a k b 分分析析： x O 2 k1k k 1 2 + n n ak k b 某某项项以以后后 1 2 + nnn k bakb 无穷级数 正项级数比阶法 1 1 s.in n n 判判断断级级数数例例 . .的的敛敛散散性性1 1 11 sin nn 解解由由：
7、， 1 1 n n 且且发发散散， 1 1 sin. n n 发发散散故故 1 11 si.n n nn 判判断断级级数数的的例例 . .敛敛散散性性2 2 3 11 1 lim sin n nn n 解解由由： 0 3 i lim s n x xx x = = 3 0 lim sin x xx x = = 0 2 1 3 l c i s m o x x x = = 1 0 6 = = 3 1 1 n n 由由收收敛敛， 1 11 .sin n nn 故故收收敛敛 无穷级数 正项级数比值法 达达朗朗贝贝定定理理：尔尔判判别别法法 1 1 0 + lim n n n n n a ar a 设设为
8、为一一个个正正项项级级数数，且且 1 01)r时时收收敛敛；21)r 时时发发散散. . 1 1 + lim, n n n a r a 1 1分分) )析析： 1 1 1 2 + + , n n ar a 从从某某项项以以后后 x O r 1 1 2 r 1 1 1 2 1 2 + + , + n n n n r a a r 1 1 2 + , n n r 因因收收敛敛 1 . n n a 由由推推论论，收收敛敛 .2)2)同同理理可可证证 无穷级数 正项级数比值法 1 ! . n n n n 判判断断级级数数的的例例 . .敛敛散散性性1 1 ! nn n a n 解解记记：， 1 lim
9、n n n a a 则则 1 . ! n n n n 收收敛敛故故 1 1 1 ()! lim ()! n n n nn nn 1 lim () n n n n n 1 1 1 lim () n n n 1 1 e 无穷级数 正项级数根值法 定定理理：柯柯西西判判别别法法 1 0lim n nn n n aar 设设为为一一个个正正项项级级数数，且且 1 01)r时时收收敛敛；21)r 时时发发散散. . 1lim, n n n ar 分分1)1)析析： 1 1 2 + , n n r a 从从某某项项以以后后 1 2 + , n n r a 1 1 2 + , n n r 因因收收敛敛 1
10、. n n a 故故收收敛敛 .2)2)同同理理可可证证 无穷级数 正项级数根值法 2 1 21 . n n n n 判判断断级级数数的的例例 . .敛敛散散性性2 2 2 21 n n n a n 解解：记记， lim n n n a 则则 2 1 21 . n n n n 故故收收敛敛 2 21 lim n n n n n 2 21 lim n n n 2 1 1 2 无穷级数 正项级数柯西积分判别法 定定理理：积积分分判判别别法法 1 0 ,) , n n n bfxa af nb 设设为为一一个个正正项项级级数数，函函数数在在 上上非非负负、连连续续、单单调调下下降降，且且 1 . n
11、 a n bfx dx 则则与与反反常常积积分分敛敛散散性性一一致致 x O y k+1k ( )yf x 1 1( )()( ) k k f x dxf kf k 分分析析：， 1 1 1 1 ( ) n nn f x dSbSx， k b 1k b 无穷级数 正项级数柯西积分判别法 1 1 0 l . n p n p nn 判判断断级级数数的的例例敛敛散散性性. . 1 2( ) ln p f xx xx 解解，设设： 20( ) ,)( ),f xf x上上满满足足则则在在函函数数 1 ( ) (ln ) p f n nn 连连续续且且单单调调下下降降， 2 1 + ln dx p xx 当当时时， 2 lnln x 2 1 + (ln) p dx p xx 时时，当当 1 2 1 1 ln p x p 1 1 1 21 1 , ln, p p p p 1 01. p p 由由积积分分判判别别法法，当当时时，级级数数收收敛敛， 当当时时，级级数数发发散散