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1、截交线截交线第三章第三章 立体表面交线立体表面交线相贯线相贯线1截断体：截断体：形体被平面截断后分成两部分，每形体被平面截断后分成两部分，每部分均称为截断体。部分均称为截断体。截平面截平面 用来截断形体的平面。用来截断形体的平面。截交线截交线 截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。讨论的问题：截讨论的问题：截交线的分析和作交线的分析和作图图。截交线截交线截断体截断体第一节截交线第一节截交线一、平面立体的截交一、平面立体的截交二、曲面立体的截交线二、曲面立体的截交线2 是一个是一个封闭的平面多边形封闭的平面多边形，多边形的，多边形的顶点是截平顶点是截平面与棱线的交点面与棱线的交点。(截
2、交线的每条截交线的每条边是截平面与棱面边是截平面与棱面的交线的交线）截交线是截交线是截平面与立体表面的截平面与立体表面的共有线共有线。求截平面与立体棱线的求截平面与立体棱线的交点交点或截平面与立体或截平面与立体表面的表面的交线交线。求平面立体求平面立体截交线的实质：截交线的实质：平面立体截交线的性质：平面立体截交线的性质：一、平面立体的截交一、平面立体的截交3 分析截平面与立体的相对位置分析截平面与立体的相对位置 分析截平面与投影面的相对位置分析截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性1.空间及投影分析空间及投影分析2.画出截交线的投影画出截交线的投影求出截平面与棱线的
3、求出截平面与棱线的交点交点 (或截平面与棱面的或截平面与棱面的交线交线），），判断可见性。判断可见性。依次连接成多边形。依次连接成多边形。确定截交确定截交线的形状线的形状 求截交线的步骤：求截交线的步骤：3.3.完善轮廓完善轮廓41.棱柱的截断棱柱的截断例例1 1：求正五棱柱被截切后的左视图。：求正五棱柱被截切后的左视图。C 求截交线求截交线C 完善轮廓完善轮廓C 检查检查 注意截交线投影的类似性注意截交线投影的类似性注意可见性注意可见性C 空间分析和投影分析空间分析和投影分析3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 3 3 5.4 4 P3241 15(5(5)22.551234正五棱柱被截切
4、后的视图和立体图正五棱柱被截切后的视图和立体图3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 3 3 5.4 4 P3241 15(5(5)2 2 6 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后再取局部。再取局部。例例2 2：1(3)1(3)2(4)2(4)1 1(2(2)2 2 1 1 3 3(4(4)补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。3 34 4712(3)4(5)6(7)6”7”1”3”2”5”4”67例例3:补全
5、俯视图和左视图的投影补全俯视图和左视图的投影8例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。2.棱锥的截断棱锥的截断3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 1 13 3 2 4 4 3249123(4)1”3”4”1243 例例2 求求做做立体被截切后的投影立体被截切后的投影10例例 3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 2 2(3 3、6 6、7 7)1 1(8 8)4 4（5 5）1 15 54 47 72 28 83 36 61 12 23 34
6、 45 56 67 78 811例例4 4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1(2(2)、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上。上。三面共点：三面共点：2 2 1 1 注意：注意：要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交为整体被截切，求出截交线后再取局部。线后再取局部。1213 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。截交线的形状取截交线的形状取决于回转体形状决于回转体形状与与截平面位置。截平面位
7、置。截交线是截交线是封闭的平面曲线封闭的平面曲线(或直线和曲线围成）。或直线和曲线围成）。(1)曲面体截交线的性质：曲面体截交线的性质：(2)求曲面体截交线的实质：求曲面体截交线的实质：求求截平面与曲面上素线的交点截平面与曲面上素线的交点(表面取点表面取点)，然后，然后依次光滑连接。依次光滑连接。二、曲面立体的截交线二、曲面立体的截交线14 分析分析分析回转体的形状、截平面的相对位置分析回转体的形状、截平面的相对位置。分析截平面、回转体投影特性。分析截平面、回转体投影特性。如积聚性、类似如积聚性、类似性等。性等。找出找出 截交线的截交线的已知投影，预见未知投影已知投影，预见未知投影。画出截交线
8、的投影画出截交线的投影截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：光滑连接各点，并判断截交线的光滑连接各点，并判断截交线的可见性可见性。先找特殊点先找特殊点（素线投影上的点素线投影上的点和和极限位置点极限位置点）。）。求截交线的步骤：求截交线的步骤：确定截交确定截交线的形状线的形状确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性补充一般点。补充一般点。3.3.完善轮廓。完善轮廓。15 由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种不同的形状线有三种不同的形状。1.1.圆柱的截断圆柱的截断圆圆椭圆椭圆直线直线垂直垂直倾斜倾斜平行平
9、行16,求出截交线的投影。求出截交线的投影。平面与圆柱相交分析分析:截交线为一椭圆。截交线的正面投影为一直线，水平投影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。求截交线求截交线步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1155373(7)1”5”3”7”222”46844”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”例例1.1.圆柱被正垂面截切圆柱被正垂面截切17比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。平面与圆柱相交4545=4518空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线完善圆柱轮廓完善圆柱轮廓相对位置、投影特性
10、相对位置、投影特性截交线的截交线的形状与已知投影形状与已知投影解题步骤：解题步骤：同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个进行截交线的分个进行截交线的分析和作图。析和作图。1(2)1(2)11224(2)4(2)3(1)3(1)3344 4 42 21 13 3例例2:圆柱切口开槽圆柱切口开槽3(4)3(4)19例例2:结果和立体图结果和立体图 20 在形状较为复杂的机件上，有时会有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。21虚实分界点虚实分界点例例3 3：求左视图：求左视图2223分
11、析：圆柱筒的上部开一个方槽。方槽为水平P和两个侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面和Q彼此相交于直线段。平面与圆柱相交例4.求圆筒开槽左视图24作图步骤如下：（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。(3)作出穿孔的三面投影图。QP25空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影解题步骤：解题步骤：同一立体被多个平面同一立体被多个平面截切，逐个进行截交线的截切，逐个进行截交线的分析和作图。分析和作图。例例5 5：求左视图：求左视图2627例例5
12、 5：求左视图：求左视图(截平面位置移动）截平面位置移动）2829根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。倾斜于轴线倾斜于轴线椭圆椭圆圆圆垂直于轴线垂直于轴线=90=90双曲线双曲线平行于轴线平行于轴线=0=0抛物线抛物线平行于一条素线平行于一条素线 =直线直线过锥顶过锥顶直线（三角形）直线（三角形）2.圆锥的截断圆锥的截断30截交线的空截交线的空间形状？间形状？截交线的投截交线的投影特性？影特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另一根如何找椭圆另一根轴的端点（即最前、轴的端点（即最前、最后点）最后点）补充中间点补充中间点光滑连接各
13、点光滑连接各点三、完善轮廓三、完善轮廓一、分析一、分析二、求截交线二、求截交线123(4)5(6)1234127(8)9(10)7856910789104356例例1:1:圆锥被正垂面截断圆锥被正垂面截断31123(4)5(6)7(8)9(10)78569107891043562121例例1:1:圆锥被正垂面截切的三视图和立体图。圆锥被正垂面截切的三视图和立体图。3233平面与圆锥相交3421532(4)1(5)4”3”2”1”（1）先求特殊点。（2）再求一般点。（3）依次光滑连接各点。5”31524具体步骤如下：例2:圆锥被水平面截切34例例3:求圆锥被截切后的正面投影求圆锥被截切后的正面投
14、影.分析分析:截交线的正面投影为双曲线截交线的正面投影为双曲线.作图作图:1 求特殊点。求特殊点。最高、低点最高、低点最左、右点最左、右点2 求一般点。求一般点。3 连线。连线。35例例3：求：求作作切口圆锥台的左、俯视图。切口圆锥台的左、俯视图。123(4)132132分析：圆锥台的切口分析：圆锥台的切口由三个平面切割而成，由三个平面切割而成，分析各截交线的空间分析各截交线的空间形状和投影特性。形状和投影特性。例例2 2：求：求作作切口圆锥台的左、俯视图。切口圆锥台的左、俯视图。36123(4)132132切口圆锥台的视图和立体图。切口圆锥台的视图和立体图。37 任何位置的截平面截割圆球，任
15、何位置的截平面截割圆球，截交截交线的形状都是圆。线的形状都是圆。当截平面当截平面平行于平行于某一投影面时，截某一投影面时，截交线在交线在该投影面该投影面上的投影为上的投影为圆圆的实形，的实形，其它两面其它两面投影积聚为投影积聚为直线直线。3.球体的截断球体的截断38具体步骤如下：（1）先求特殊点。（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。（3）依次连接各点的水平投影。平面与球相交1123443211234432566565561234例1:球被正垂面截切39水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在左视图上部分圆弧，在左视图上积聚为直线。积聚为直线。
16、两个侧平面截圆球的截两个侧平面截圆球的截交线的投影，在左视图交线的投影，在左视图上为部分圆弧，在俯视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。图上积聚为直线。例例2：求半球开槽的投影：求半球开槽的投影40半球体被截后的视图和立体图。半球体被截后的视图和立体图。414.圆环圆环1 1）截平面垂直回转轴线得）截平面垂直回转轴线得两个圆两个圆（内、外环面）；（内、外环面）；截平面过轴线得截平面过轴线得两个圆素线两个圆素线。2 2）截平面平行于轴线，截交线是规则的）截平面平行于轴线，截交线是规则的封闭平面曲线封闭平面曲线。42例题43三、综合举例例例1 1：铣床顶针：铣床顶针4445例例2 2：连杆头：连杆
17、头4647第二节第二节 相贯线相贯线两基本体相交叫作两基本体相交叫作相贯体相贯体48相相 贯贯 线线 平面体与回转平面体与回转体相贯体相贯回转体与回转回转体与回转体相贯体相贯多体相贯多体相贯1.1.1.1.相贯的形式相贯的形式相贯的形式相贯的形式 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做线叫做相贯线相贯线。本节主要讨论常用不同立体相交时其本节主要讨论常用不同立体相交时其表面表面相贯线的投影特性及画法。相贯线的投影特性及画法。概概 述述49 立体表面相交的三种形式立体表面相交的三种形式,一是立体的一是立体的外外表面表面相交相交;二是二是外表面与内表面外表面与内表
18、面相交相交;三是三是内表内表面与内表面面与内表面相交相交.实实相贯实虚相贯虚虚相贯50位于两位于两基本体的表面基本体的表面上上。1 1、相贯线的性质、相贯线的性质 封闭性封闭性 一般是一般是封闭的空间封闭的空间曲线曲线（或空间或空间折线折线）共有性共有性相贯线是相贯线是两两立体表面的共有线。立体表面的共有线。作相贯作相贯线实质是找出两基本体表线实质是找出两基本体表面的若干面的若干共有点共有点的投影。的投影。表面性表面性512 2、求相贯线的三种方法、求相贯线的三种方法 辅助平面法辅助平面法(辅助球面法辅助球面法）表面取点法表面取点法（利用利用投影投影积聚性求相贯线积聚性求相贯线）柱锥相交柱锥相
19、交52平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯 分析相对位置，确定交线的形状。分析相对位置，确定交线的形状。求出各棱面与回转体表面的截交线。求出各棱面与回转体表面的截交线。连接各段交线，并判断可见性。连接各段交线，并判断可见性。实质是实质是:求各棱面与回转面的截交线求各棱面与回转面的截交线53 补全主视图补全主视图 空间分析：空间分析：四棱柱的四个棱面分别与四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。直，截交线为两段圆弧。投影分析：投影分析：由
20、于相贯线是两立体表由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。水平投影积聚在矩形上。例例15455 求作主视图求作主视图例例25657回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯求相贯线步骤：求相贯线步骤：分析（积聚性、对称性）分析（积聚性、对称性）先找特殊点先找特殊点（极限位置点、轮廓素线上点）极限位置点、轮廓素线上点）补充一般点补充一般点 判断可见性判断可见性，光滑连线光滑连线确定投影范围确定投影范围准确准确 光滑光滑58一、表面取点法一、表面取点法 利用相贯体表面投影积聚特点，已知相贯线利用相贯体表
21、面投影积聚特点，已知相贯线的两面投影求第三投影。的两面投影求第三投影。求正交两圆柱的相贯线59求正交两圆柱的相贯线（1）求特殊点：作图步骤：1342131”3”2”4”24 直接定出相贯线的最左点 和最右点的三面投影。再求出出相贯线的最前点和最后点的三面投影。60求正交两圆柱的相贯线1234121”3”2”4”24（2）求一般点：在已知相贯线的侧面投影图上任取一重影点5、6，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5、6。5”6”5656 (3)光滑连相贯线：相贯线的正面投影左右、前后对称，后面的相贯线与前面的相贯线重影，只需按顺序光滑连接前面可见部分的各点的投影，即完成作图。61当圆直径变化时，
22、相贯线的变化趋势当圆直径变化时，相贯线的变化趋势。(a)(b)(c)(d)正交圆柱正交圆柱62(a)实心圆柱相交(b)圆柱与圆孔相交(c)两个圆孔相交两圆柱正交的形式两圆柱正交的形式63两轴线垂直相交 两轴线垂直交叉 两轴线平行 全 贯互 贯两圆柱轴线相对位置变化对相贯线的影响两圆柱轴线相对位置变化对相贯线的影响6465661“(2“)123“1234445“(6“)565687yy8“(7“)873例例2 2 轴线交叉垂直全贯轴线交叉垂直全贯 67例例3 圆柱互贯圆柱互贯6869二、辅助平面法二、辅助平面法辅助平面法原理：辅助平面法原理：假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体假想用辅助
23、平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。截交线的交点既在辅助平面内，表面的截交线。截交线的交点既在辅助平面内，又在两又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点回转体表面上，因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则辅助平面的选择原则：使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆单易画，例如直线或圆。一般选择一般选择投影面平行面投影面平行面。辅助平面辅助平面 根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。70 相贯线为
24、一光滑的封闭的空间曲线。相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性，正面投影、水它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出平投影没有积聚性，应分别求出。例例1:圆圆锥与圆柱正交相贯锥与圆柱正交相贯空间及投影分析空间及投影分析：辅助平面法辅助平面法-假想用水平面假想用水平面P截切立体，截切立体，与圆柱与圆柱面的交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆面的交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为相贯线上的点。与两直线的交点即为相贯线上的点。解题方法解题方法：71解：解：解题步骤解题步骤：求特殊点求特殊点用辅助平面法求中间点用辅助平面法求中间点光滑连接各点
25、光滑连接各点72yyPW2PV24 4yy4 4 PV1PW13 3PV3PW35 51 11 11 12 2 2 22 24 45 53 3 3 35 5 例例2:2:圆柱与圆锥正交相贯圆柱与圆锥正交相贯73 相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。前后前后公共对称面公共对称面平行于平行于V V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。求圆柱与半球的相贯线例例3:3:圆柱与半球相贯圆柱与半球相贯74求圆柱与半球的相贯线作图步骤：1）求特殊点：4141”4”12）求一般点：PvPvPwPw2”6”26QvQvQwQw3”5”352
26、(6)3）判断可见性，依次光滑连接各点：4）补画水平转向轮廓线。3(5)75例例4 4 铅垂圆台与半球相贯铅垂圆台与半球相贯PV2yy5 55 53 34 43 35 54 43 31 11 12 21 12 22 2yy4 4 PH1PV3PV476例例5 圆柱斜交圆柱斜交77三、相贯线的特殊情况三、相贯线的特殊情况交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）78两回转体公切于一圆球两回转体公切于一圆球7980两回转体有公共轴线两回转体有公共轴线81两圆柱轴线平行两圆柱轴线平行(圆锥共顶点圆锥共顶点)82 三三个个或或三三个个以以上上的的立立体体相相交交在在一一起起，称称为为组组合合
27、相相贯贯线线。这这时时相相贯贯线线由由若若干干条条相相贯贯线线组组合合而而成成，结结合合处处的点称为结合点。的点称为结合点。处处理理组组合合相相贯贯线线，关关键键在在于于分分析析，找找出出有有几几个个两两两两曲曲面面立立体体相相交交在在一一起起，从从而而确确定定其其有有几几段段相相贯贯线线结结合在一起。合在一起。四、组合相贯线四、组合相贯线83848586 求作物体相贯线的投影求作物体相贯线的投影例例1 187123 这是一个多体这是一个多体相贯的例子，首先相贯的例子，首先分析它是由哪些基分析它是由哪些基本体组成的，这些本体组成的，这些基本体是如何相贯基本体是如何相贯的，的，然后然后分别进行分别进行相贯线的分析与作相贯线的分析与作图。图。例例2:补全主视图补全主视图88三面共点三面共点 作图时要抓住作图时要抓住一个关键点，相贯一个关键点，相贯线汇交于这一点。线汇交于这一点。89例例4:求俯视图求俯视图90