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1、第二节 极限的基本性质 第二二章 一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质1.唯一性唯一性2.有界性有界性 3.保号性、保序性保号性、保序性4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.唯一性唯一性2.局部有界性局部有界性 3.局部保号性局部保号性4.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 第二二章 一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质 1.唯一性唯一性 定理定理1.1(收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性)即若即若则必有则必有若极限若极限则极限唯一则极限唯一.(用反证法用反证法)及及且且取取因因 N1 N+,使当使当 n N1 时时,假设假
2、设即当即当 n N1 时时,从而从而 使当使当 n N1 时时,证法证法1同理同理,因因故故 N2 N+,使当使当 n N2 时时,有有从而从而 使当使当 n N2 时时,有有从而从而 使当使当 n N1 时时,则当则当 n N 时时,矛盾！矛盾！故假设不真故假设不真!例例1 证明数列证明数列是发散的是发散的.证证 用反证法用反证法.假设数列假设数列收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.对于对于则存在则存在 N,使当使当 n N 时时,有有因此该数列发散因此该数列发散.于是推得于是推得矛盾！矛盾！区间长度为区间长度为1这与这与2.有界性有界性例如例如:有界有界无界无界即若即若使使(
3、n=1,2,).定理定理2.2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证 设设取取则则当当时时,从而有从而有取取 则有则有即收敛数列必有界即收敛数列必有界.有有注注有界性是数列收敛的必要条件，有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件但不是充分条件.收敛收敛 有界有界关系：关系：例如例如,虽有界，但不收敛虽有界，但不收敛.数列数列推论推论 无界数列必发散无界数列必发散.3.保号性、保序性保号性、保序性定理定理2.3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1)若若则则使当使当n N 时，时，()()(2)若若则则 a 0.(0,取取证证(1)(2)用反证法证明用
4、反证法证明.注注如：如：推论推论2.3(保序性保序性)使当使当n N 时，恒有时，恒有(2)若若时时,有有证证 (用反证法用反证法)取取因因故存在故存在 N1,使当使当 n N1 时时,假设假设从而从而当当 n N1 时时,从而从而同理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有则当则当 n N 时时,便有便有与已知矛盾与已知矛盾,于是定理得证于是定理得证.当当 n N1 时时,4.收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念子数列的概念称为数列称为数列 xn 的一个子数列的一个子数列(或子列或子列)。例如例如,从数列从数列中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶
5、数项 是其子数列是其子数列.它的第它的第k 项是项是组成的数列：组成的数列：(2)收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系定理定理2.4也收敛，且也收敛，且证证 设设的任一子数列的任一子数列.若若则则当当 时时,有有取正整数取正整数 K,使使于是当于是当时时,有有从而有从而有注注定理定理1 某某收敛收敛例如，例如，但但发散发散.2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散.例如，例如，发散发散!二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.唯一性唯一性定理定理2.1(函数极限的唯一性函数极限的唯一性)2.局部有界性局部有界性如：
6、如：(2)若若则则 X 0,函数函数 f(x)有界有界.使得当使得当时，时，3.局部保号性局部保号性定理定理2.3(函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)(1)如果如果且且 A 0,则存在则存在(A 0(或或 0),时时,恒有恒有f(x)g(x)(或或推论推论2.3(函数极限的局部保序性函数极限的局部保序性)时时,恒有恒有问题问题:若若 f(x)0 时时,有有 f(x)g(x),但是但是不能！不能！内容小结内容小结1.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性,有界性有界性,保号性保号性,保序性保序性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限2.函数极限的性质函数极限的性质:唯一性唯一性,局部有界性局部有界性,局部保号性局部保号性,局部保序局部保序性性;思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知已知,求求时时,下述作法是否正确下述作法是否正确?说明理由说明理由.设设由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得不对不对!此处此处