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1、 第二二章 三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质1.唯一性唯一性2.有界性有界性 3.保号性、保序性保号性、保序性4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质 1.唯一性唯一性 定理定理1.1(收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性)即若即若则必有则必有若极限若极限则极限唯一则极限唯一.(用反证法用反证法)及及且且取取因因 N1 N+,使当使当 n N1 时时,假设假设即当即当 n N1 时时,从而从而 使当使当 n N1 时时,证法证法1同理同理,因因故故 N2 N+,使当使当 n N2 时时,有有从而从而 使当使当 n N2 时时,有有从而从而 使
2、当使当 n N1 时时,则当则当 n N 时时,矛盾！矛盾！故假设不真故假设不真!2.有界性有界性例如例如:有界有界无界无界即若即若使使(n=1,2,).定理定理2.2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证 设设取取则则当当时时,从而有从而有取取 则有则有即收敛数列必有界即收敛数列必有界.有有注注有界性是数列收敛的必要条件，有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件但不是充分条件.收敛收敛 有界有界关系：关系：例如例如,虽有界，但不收敛虽有界，但不收敛.数列数列推论推论 无界数列必发散无界数列必发散.使当使当n N 时，恒有时，恒有(1)若若时时,有有3
3、.保号性、保序性保号性、保序性证（证（1 1）：）：取取因因故存在故存在 N1,使当使当 n N1 时时,从而从而当当 n N1 时时,从而从而同理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有则当则当 n N 时时,便有便有与已知矛盾与已知矛盾,于是定理得证于是定理得证.当当 n N1 时时,推论：推论：(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1)若若则则使当使当n N 时，时，()()(2)若若则则 a 0.(0,取取证证(1)(2)用反证法证明用反证法证明.注注如：如：4.收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念子数列的概念称为数列称为数列 xn 的一个子数列的一个子数列(或子列或子列)。例如例如,从数列从数列中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶数项 是其子数列是其子数列.它的第它的第k 项是项是组成的数列：组成的数列：(2)收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系结论结论：（：（1)：也收敛，且也收敛，且都收敛于都收敛于a（2)：注注定理定理1 某某收敛收敛例如，例如，但但发散发散.2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散.例如，例如，发散发散!