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1、 第二二章 三、三、 收敛数列的性质收敛数列的性质1. 唯一性唯一性2. 有界性有界性 3. 保号性、保序性保号性、保序性4. 收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系三、三、 收敛数列的性质收敛数列的性质. 1. 唯一性唯一性 定理定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性)即若即若bxaxnnnn limlim且且则必有则必有.ba 若极限若极限则极限唯一则极限唯一.存在，存在，nnx lim( 用反证法用反证法)及及且且. ba 取取,2abaxn 因因 N1 N+, 使当使当 n N1 时时, 假设假设axnn limbxnn limaxnn lim,2ab 即当即当
2、 n N1 时时, 22abaxabn 23ba,2baxn 从而从而 使当使当 n N1 时时, ,2baxn 证法证法1同理同理, 因因故故 N2 N+, 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N1 时时, ,2baxn bxnn lim,2abbxn 22abbxabn nxba 223ab 2baxn 则当则当 n N 时时, 取取12max,NNN 22baxbaxnn ，又有，又有既有既有矛盾！矛盾！故假设不真故假设不真 !2. 有界性有界性定义定义 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数 M, 使得一切正整使得一切正整
3、数数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列 nx有界；有界； 否则否则, 称为称为nx无界无界. 例如例如:11 nnx）（数列数列nnx2 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上. 有界有界无界无界即若即若,limaxnn , 0 M常数常数则则Mxn 使使(n =1,2,).定理定理2.2 (收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证 设设,limaxnn 取取,1 ,N 则则当当Nn 时时, 从而有从而有nxaaxn a 1取取 ,max21NxxxM a 1则有则有. ),2,1(
4、 nMxn即收敛数列必有界即收敛数列必有界.aaxn )(,1 axn有有注注有界性是数列收敛的必要条件，有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件但不是充分条件. 收敛收敛 有界有界nxnx关系：关系：例如例如,)1(1 n虽有界，但不收敛虽有界，但不收敛 .数列数列推论推论 无界数列必发散无界数列必发散.，若N)2(N使当使当n N 时，恒有时，恒有 nnyx .babylim,axlimnnnn ，则且(1) 若若,limaxnn , ba 且且Nn 当当时时, 有有.nnyx ,limbynn ,N N则则 3. 保号性、保序性保号性、保序性证（证（1 1）：）：. ba 取取,2b
5、a 因因,limaxnn 故存在故存在 N1 , ,2abaxn22baabaxn使当使当 n N1 时时, 从而从而,22abaxabn即当当 n N1 时时,2baxn从而从而同理同理, 因因,limbynn 故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有,2abbyn22baabbyn则当则当 n N 时时, ,max21NNN 取取便有便有,2nnybax与已知矛盾与已知矛盾, 于是定理得证于是定理得证.当当 n N1 时时,2baxn推论：推论：(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1) 若若, 0,lim aaxnn且且则则， NN使当使当n N 时，时，. 0 nx()
6、()(2) 若若),(00Nnxn ,limaxnn 则则 a 0.( 0 , 取取, a ,时时当当Nn axn nx0 aa,N N则则证证 (1)a (2) 用反证法证明用反证法证明.注注axNnxnnn lim)(00，且，且由由. 0 a如：如：, 01 nxn. 01limlim nxnnn但但4. 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系(1) 子数列的概念子数列的概念.,.,21knnnxxx称为数列称为数列 xn 的一个子数列的一个子数列(或子列或子列)。：则则knx.121 knnn其中其中nnxx按原来在按原来在中任意选取无穷多项，中任意选取无穷多项，在数列在数列
7、中的次序排列中的次序排列例如例如, 从数列从数列1n中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶数项 是其子数列是其子数列. 它的第它的第k 项是项是)3, 2, 1( 212， kkxxknk k21组成的数列：组成的数列：(2) 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系结论结论：（：（1)：,limaxnn若数列knx也收敛，且也收敛，且.limaxknk 的任意子数列则nx2kx12 kx若数列都收敛于都收敛于a,limaxnn数列（2)：注注axnn lim.limlim122axxkkkk 定理定理1 某某knx收敛收敛例如，例如，1lim121 kknnxx，虽然，虽然）（数列数列但但发散发散.nx收敛收敛nx2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散 .例如，例如， ),2, 1()1(1 nxnn发散发散 !1lim2 kkx1lim12 kkx