《2022年八年级数学下《平行四边形几何模型——正方形中的三垂直》专项练习题-带解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年八年级数学下《平行四边形几何模型——正方形中的三垂直》专项练习题-带解析.pdf（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、八年级数学下-专题：18.48平行四边形几何模型一正方形中的三垂直（专项练习）一、单选题1 .如图，在平面直角坐标系中，点尸的坐标为d，4）,点E、尸分别在刈N 轴的正半轴上，P E 1 P F,则四边形。松尸的面积为（）A.2 0B.16C.1 22 .如图，将个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A,A 2,人分别是正方形的中心,则这个正方形重叠部分的面积之和是（）A.刀 B.-1C.(4)-1D.(4)3 .如图，四边形A F D C 是正方形，N C和 48尸都是直角，且E,A,B三点共线，力 8 =4,则图中阴影部分的面积是（）4 .如图,在正方形A B C D中，点。为8 边上一点
2、，以C G为边向右作正方形C E 尸 G,连接力JB D交于点P,连接BG ,过点作F H HB G交8c 于点连接/，交 8。于点片下列结论中错误的是（）1第1页 共4 3页B./是等腰直角三角形D.PK=BK+DP5 .如图，在正方形/8 C C 中，点 在 边 上，4 F L D E 于 点（7,交8c 于点五若Z E =1 5 ,3 =5,则AN EG 的面积与四边形8 尸 G E的面积之比是（）3C.49D.1 66 .如图，点G N）,点 尸 在 射 线 上 匀 速 运 动，运动的过程中以P为对称中心，为一个顶点作正方形O 4 B C,当正方形O A B C的面积为4 0时，点A的
3、坐标是（）二、填空题7 .如图,正方形A B C D的边长为3,点E在A B上,点尸在B C的延长线上,且 E =W,则四边形E 8 a 的面积为:DB C F8 .如图，四边形/B C D 中=N D 4 8 =N 8 C D =9 0。.则N 4 C 8 =2第 2页 共 4 3 页4D9.如图，将正方形的回放在平面直角坐标系中，0 是原点，4的坐标为（1,打），则点。的坐标 为 一 .1 0.如图所示，直线a 经过正方形/腼的顶点/,分别过正方形的顶点氏作猊L a于点R庞_1&于点若DE=8,BF=5,则用的长为_.1 1 .如图，正方形A B C D 中，E为 B C 上一点,过B作
4、B G1 A E 于 G,延长B G至点F使/C F B=4 5 ,延长F C、A E 交于点M,连接D F、B M,若 C为 F M 中点，B M=5,则 F D 的长为1 2 .如图，点A,B,6 在同一条直线上,正方形ABCI）,6 次七的边长分别为2,3,为线段小的中点,则BH=3第 3页 共 4 3 页1 3.如图，平面直角坐标系中有一正方形 B e,点C 的坐标为(-2,-1)点8 坐标为14.如图，在 根 8 c 中，乙1C2=90,AC=8,BC=7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则 CE的长为.15.如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面
5、积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,S2,S3,S4,则 S+2s2+2S3+S4=.16.正方形4颔在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知/点的坐标(0,4),6 点的坐标(-3,0),则 点 的 坐 标 是.第 4 页 共 4 3 页41 7.如凰直线力/3,正方形4 6 5 的三个顶点/、B、C 分别在4、12、1 3 上，/八心之间的距离是3,力、乙之间的距离是4,则正方形4 8 切 的 面 积 为.C1 8 .如 图,正 方 形 的 四 个 顶 点 刈 C。分别在四条平行线卜4、4 乙上.若每两条相邻平行线间的距离都是1 cm,则正方形“8 C D 的面积为 c
6、m21 9 .如图，正方形Z B C O 的边长为4,点E在 8 边上，C E =3,若点F在正方形的某一边上,满足C F =8 E,且C 尸与B E 的 交 点 为 则 CW=三、解答题2 0.如图所示，（T ）,（，3）,以Z8为边作正方形”8,求 C,。的坐标.5第 5页 共 4 3 页2 1 .(1)如 图 1,正方形A B C D 中，E为边C D 上一点,连接A E,过点A作 A E 1 A E 交 C B 的延长线于 F,猜想A E 与 A F 的数量关系,并说明理由；(2)如图2,在(1)的条件下,连接A C,过点A作 A MA C 交 C B 的延长线于M,观察并猜想C E
7、与MF 的数量关系，并说明理由；解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中/A=/C=9 0,A B=A D.王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图.2 2 .平面直角坐标系中，四边形OA B C 是正方形，点 A,C 在坐标轴上，点 B(6,6),p 是射线O B上一点,将口 O P 绕点A顺时针旋转9 0 ,得8。,Q是点P旋转后的对应点.(1)如 图 当 0P =2 血 时，求点Q的坐标；(2)如图(2),设点(丁，夕)(0工 6),二 尸。的 面 积 为$.求 S与x的函数关系式，并写出当 S 取最小值时，点 P 的坐标；(3)当 B P+B Q =8
8、&时,求点Q的坐标(直接写出结果即可)23.在正方形4 B C D中，点G是边OC 上的一点,点F是直线B C上一动点，EE 于 H ,交直线4。于点E.6第 6页 共 4 3 页(1)当点F运动到与点B重合时(如图1)，线段E F 与A G的 数 量 关 系 是.(2)若点尸运动到如图2 所示的位置时，(1)探究的结论还成立吗?如果成立，请给出证明：如果不成立,请说明理由.(3)如图3,将边长为6 的正方形A B C D折叠,使得点A落在边8 的中点M 处,折痕为尸 Q,点2、。分别在边8c上，请直接写出折痕尸。的长.24 .综合与实践:如图1,在正方形488中，连接对角线Z C,点。是/C
9、 的中点，点 是线段 上 任 意 一 点(不 与 点 4。重合)，连接。E,B E.过点1 作交直线8c于点长(1)试猜想线段。E与E 尸的数量关系，并说明理由；试猜想线段CE，之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2,当 在线段C O上时(不与点c,。重合)，E 尸交8c延长线于点/；保持其余条件不变,直接写出线段。瓦CD,C尸之间的数量关系.25 .如 图 1,点 C 在线段A B 上,分别以A C、B C为边在线段A B 的同侧作正方形A CDE 和正方形 B CM N,连结 A M、B D.(l)A M 与 B D的关系是:.(2)如果将正方形B CM N 绕点C 顺时针旋转锐角a (
10、如图2).(1)中所得的结论是否仍然成立?请说明理由.(3)在的条件下,连接A B、DM,若 A C=4,B C=2,求 A B2+DM2的值.7第 7页 共 4 3 页图I 图22 6.如 图 1,点为正方形ABCD内一点、,/略=9 0 ,将应/应绕点6 按顺时针方向旋转9 0 (即/侬 =9 0),得 到 嘤 (点A的对应点为点0延长AE交位 于 点F,连接DE.(1)试判断四边形座 电的形状,并说明理由.(2)如图2,若DA=DE,请猜想线段CF千 F E的数量关系并加以证明.(3)如 图 1,若 四=而 =3,请直接写出诊的长.图1 图227 .(1)如 图 1,正方形ABCD中，点
11、、。为线段外上一个动点,若线段，处垂直4。于点E,交线段 于 点M,交线段切于点N,证明：4/三网，；(2)如图2,正方形ABCD中,点 P 为线段应1 上一动点,若线段肠V 垂直平分线段AP,分别交AB,AP,BD,勿于点 M,E,F,N.求证:EF=M E+FN;(3)若正方形4 6 5 的边长为2,求线段跖的最大值与最小值.图1 图228 .如图，已知A A B C 是等腰直角三角形，N B A C=9 0,点 D 是 B C的中点.作正方形DE F G,使点A、C 分别在DG 和 DE 上,连接A E,B G.(1)试猜想线段B G 和 A E 的关系(直接写出答案,不用证明)；(2)
12、将正方形DE F G 绕点D 逆时针方向旋转a (0 V a W 6 0),判断(1)中的结论是否仍然成立?请利用图证明你的结论；若 B C=DE=4,当 a等于多少度时,A E 最大?并求出此时A F 的值.8第 8页 共 4 3 页图 图参考答案1.B【解析】【分析】过点P 作尸V，b,证明&三 小尸，再根据面积计算即可;【详解】如图所示,过点P 作尸”，OE,次 J 平；点尸的坐标为（4,4）,A PM=PN,.PE 1.PF,./雇+乙曰=N=乙FFN+Z H 7 V.ZMPE=ZNPF,又 /!=乙PbF、题 边 形 e r a 旗 反 i E 2 WE+S科=S =4 x 4 =1
13、 6 故答案选B.【点拨】本题主要考查J 四边形与坐标系结合，全等三角形的应用,准确判断计算是解题的关犍.2.B【解析】【详解】9第 9页 共 4 3 页2 0 2 2 年八年级数学下 平行四边形几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题_ 1 _ _解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的1，即是I X 4=l,3个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1 X 2,4个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1 X 3,5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1 X 4,n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：I X （n-l）=n-1.故选:B.3.C【解析】【
14、分析】易证AE C ZZX F B A,得 AB=E C,即可求得.【详解】四边形AF D C 是正方形.AC=AF,N F AC=9 0.ZC AE+ZF AB=9 0 又；N C AE+N AC E=9 0 ZAC E=ZF AB又.N C E A=N F B A=9 0.AE C AF B A；.AB=E C=4J-x 4 x4=8.图中阴影部分的面积，2故选C【点拨】本题考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.4.D【解析】【分析】A.证明四边形必防为平行四边形,得BIAG 打CE,得BOH E、再由正方形的性质得晔 CD,进而便可判断选项正误;B.证明 4%丝 磔
15、 进 而 得 出 是 等 腰 直 角 三 角 形,便 可 判 断选项正误;C.过作H M V BC,H M与外交于点弘连接M F,证明四边形以初/为矩形,再证明PA的 A P E M 得 A F R便可判断选项正误;D.将绕点A顺时针旋转9 0,得 4%连接QK,证明丝掰得AK=PK,进而得B a D%K R便可判断正误.【详解】解:A.四 边 形 两；是正方形，G F/CE,G 产 CE,10第 1 0 页 共 4 3 页2022年八年级数学下 平行四边形几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题BG HF、四边形9也为平行四边形，G六BH、:.B1UCE、:,BOHE、四边形仍勿为正方形，:.
16、BC=O).,小)故1正确；B.4时 是正方形，加是正方形，:,AFBC,C及EF,4A B+4H E290。、：BOHE,B4CE,:A%HE,B+EF,:A B gXH EFlSAS、:,AH=HR 4BAH=4EHF,:/B A小/AHF900,:E H M A H B=g V ,；NA晔900,力为等腰直角三角形,故5正确；C.过作HMLBC、HM与物交于点M连接MF,则物/硒:四边形力成是正方形，2 /叱90。,/H B D$/ABC,NA佐450,砥 必:B4EF,:MH=EF,四边形成为矩形，:MF BE AD,MaHE、：NDAP-/MFP,/A D六4 FMP,:A2B小 H
17、E,:AAMF、必侬 外以G4S0,加 故 正确；第1 1页 共4 3页1 12 0 2 2 年八年级数学下 平行四边形几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题1）.将绕点4顺时针旋转9 0,得 /留 连 接QK、则AQ=AP,Z 9 0 ,/吠是等腰直角三角形，/朋 目45 ,./於/例 后 4 5 ,:A EK,二/加彩/（必S,QaPK,.四边形/阅9 是正方形，:.NAB庐Z AD&A5。,由旋转性质知，N 4 做=/睚 4 5，小 伏./酒9 0 ,.腑+6。=。修.,.游+以年腕，故错误；故选:D.【点拨】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形
18、的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形.5.D【解析】【分析】首先证AE D g/B F A,得SZABF=SADAE,两者都减去A A E G 的面积后可得S*GD=S四 边 形EGFB,那么只需求4 A E C 和a A G D 的面积关系即可;R t Z AE D 中,AG J _ E D,易证得a AE G s a D AG,根据它们的相似比（可由AE、B E 的比例关系求得），即可求得面积比，由此得解.【详解】12第 1 2 页 共 4 3 页 ,四边形4 0 是正方形，/胡庐/1 3=9 0。，力庐力；.A F L
19、 D E.Z A G E =Z D G A =90o.N E A G +/A E G =NEDA+/AEG:E A,/E D A,力 山(AS A);.S ABF=S DAE S；ABF-SR AEG =S,DAE-S G ,即 S AG D=S 四 边 形 G F S .EA,/EDA,N/除 N 劭 二 9 0。，力龙s 的G;。=(生)(AE=J=2:.SQDAG AD AE+EB 1 5 +5 1 69/AEG的面积与四边形B F G E的面积之比是1 6,故选D.【点拨】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质，能够发现S ”3=5 四娜是解答此题的关键.6.D
20、【解析】【分析】作ZDx轴于Q,CE，x 轴于E,根据时的坐标求得直线O M的斜率5,进一步得出直线C的斜率为-2,通过证得&2 E 。4。，得出C E =。，O E =4。，可设4)，则a+b 1c a、-=-2 b=-aC3，),然后根据待定系数法求得直线“C的斜率为方，整理得 3，然后根据勾股定理得 出 初+口 =，代值求解即可.【详解】解:作4)_ Lx 轴于。，虑，轴于邑13第 1 3 页 共 4 3 页设直线。加 的解析式为y=履，.点 M(4,2)2.四边形力8 c o是正方形，AC LO M.直线4 c的斜率为-2又；OZ=OC,ZAOC=90.ZAOD+Z.COE=90 ZA
21、OD+NOAD=90./CO E=Z.OAD又丁 Z.CEO=ZADO=90.02E OAD(AAS),*,CE=OD，OE AD设Z(a,-6),则C(b,a)设直线/C的解析式为卜=5x+，j Q7 +=-6 bm+n=aa+btn=-解得：b-aa+b 3-=-2A b-a心1b 二 -a整理得：3.正方形面积为40OA2=40“q 0 a2+(-)2=40在放ZX/OD 中，4 +(2?=O f,即：3解得：”6,1 cb=a=23.4(6,2)故答案选B【点拨】本题是一次函数综合题,考查了待定系数法求一次函数的解析式,正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等,根据直线N
22、 C的斜率列出方程是解题的关键.7.914第1 4页 共4 3页【解析】【分析】根据S AS 判断 9 E =D C F,从而得到四边形E B F D 的面积=正方形AB C D 的面积,计算即可；【详解】.四边形AB C D 是正方形，,A D =D C Z A=Z D C F =9 0 ,v AE=C Ft.D C F (SAS),.四边形E B F D 的面积=正方形AB C D 的面积=3?=9.DEB故答案是9.【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键.8.4 5【解析】【分析】作 A E 1 B C 于 E,AF X C D 延长线于点F,易
23、证四边形AE C F 为矩形,可得/F AE=9 0 ,再根据Z D AB=9 0 ,可得/D AF=/B AE,即可证明4 B AE 丝Z iD AF,可得AE=AF,即可判定矩形AE C F为正方形，即可解题.【详解】解:作AE 1 B C 于 E,A F 1 C D 延长线于点F,15第 1 5 页 共 4 3 页，四边形AE C F 为矩形，；.N F AE=9 0 ，即 N D AF+N D AE=9 0 ,V Z D AE+Z B AE=9 0 ,；.N D AF=/B AE,在A B A E 和4 D A F 中，Z AE B=Z F,Z B AE=Z D AF,AB=AD,.二
24、 B AE 丝D AF(AAS),.AE=AF,矩形AE C F 为正方形，A Z AC B=4 5 ;故答案为：4 5 .【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识;熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.9.(一 )【解析】【分析】如图作加Ux轴于 A轴于笈先证明推出CE=OF,OE=AF,由此即可解决问题.【详解】解：如图作 I L x 轴于F、轴于E.,四边形458是正方形，A OA=OC,Z AOC=90,：NC0E+/A0F=9G：/A0/(M F=9Q0,:C O E=/OAF,在口的和的尸中，/C E O =A AFOS
25、-X O A F、1 6第 1 6 页 共 4 3 页CE=OF,OE=AF,：A（1,5,CE=OF=,OE=AF=G,.点，坐标 M，i）故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.1 0.1 3【解析】【分析】本题是典型的一线三角模型,根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以 证 得 谡 友?;然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE,所以/=/a/万=1 3.【详解】解：是正方形（已知）；.AB=AD,Z AB C=Z B AD=9 0 又/FAB+/FBA-Z FAB+Z EAD=9 0 /F B A=N E
26、AD （等量代换）,/BFX.a 于点 K DEL a 于点 E.在 R tZ AF B 和 R tZ X AE D 中Z AFB=Z DEA=9 0 OE=2 CE=,四 边形0 4 8 c 是正方形，/.OA=O C =B C.易求 4 0。=Z C O E =Z B C F .乂/Z O D A =Z O E C=ZF=90：4 O D a O E 2 C F,A D =CE=BF=O D =OE=CF=2 点 A 的坐标为（一 I?）,EF=2-=,点5 至”轴的距离为1 +2=3,，点8 的坐标为（T 1）.20第 2 0 页 共 4 3 页2 0 2 2 年八年级数学下 平行四边形
27、几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题故答案为：（一 3 1）【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标,全等三角形的判定与性质，根据题意,添加辅助线构造全等三角形是解题关键.14.17【解析】【分析】过 E 作 E F1A C,垂足为F,由A BDE 为正方形,利用正方形的性质得到一对角为直角,A E=A B,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,利用A A S 得到 A E Fg BA C,利用全等三角形的对应边相等得到E F=A C=8,A F=BC=7,由 FA+A C求出FC 的长,在直角三角形 CE F中，利用勾股定理即可求出E C的长.【详解】过 E作 E F1A C
28、,交 CA 的延长线于F,.四边形A BDE 为正方形，A Z BA E=9 0 ,A E=A B,V Z E A F+Z A E F=9 0 ,Z E A F+Z BA C=9 0 ,/A E F=Z BA C,在A A E F 和a B A C 中，2F =N/CB=9 0 NAEF=ZB ACAE=AB/.A E F A BA C(A A S),:.E F=A C=8,A F=BC=7,21第 2 1 页 共 4 3 页在 R t A E CF 中，E F=8,F C=F A+A C=8+7=15,根据勾股定理得:C E=底+=17.故答案为：17.【点拨】此题考查了勾股定理，正方形的性
29、质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.15.6【解析】【分析】先根据正方形的性质得到NA BD=9 0 ,A B=DB,再根据等角的余角相等得到/CA B=/DBE,则可根 据“A A S”判断A BC岭!,于是有A C=BE,然后利用勾股定理得到DE 2+BE 2=BD2,代换后有 I)E2+A C2=BD2,根据正方形的面积公式得到St=A C2,S2=DE2,BD2=1,所以S”2=l,利用同样方法可得到 S2+S3=2,S3+S4=3,通过计算可得到 S1+2 S2+2 S3+S，r l+2+3=6.【详解】解:如图，图中的四边形为正方形，.Z A BD=9
30、0 ,A B=DB,.Z A BC+Z DBE=9 0 ,V Z A BC+Z CA B=9 0 ,.,.Z CA B=Z DBE,.在A BC 和a BDE 中，.NACB=NBED-ZCAB=ZEBDAB=BD.A BC 岭BDE(A A S),；.A C=BE,V DE2+BE2=BD2,.DE2+A C2=BD2,V S A C2,S2=DE2,BD2=1,S 1+S 2=1,同理可得 S 2+S 3=2,S 3+S 4=3,第 2 2 页 共 4 3 页2 2 年级数学下 平行四边形几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题S +2 S 2+2 S 3+S/4=l+2+3=6.故答案为：
31、6.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“S S S”、“S A S”、“A S A”、“A A S”；全等三角形的对应边相等.也考查了勾股定理和正方形的性质.16.(4,1).【解析】【分析】过点作DEIy轴于E,由“/M S”可证月及运的可得AE=OB,DE=OA,即可求解.【详解】解:如图,过点作曲y 轴于Z BAO=AADE,在4?。和物中，N B A O =N A D E N AOB=NDEA=90AB=A D:Z B昭 DAEAAS、：.AE=OB,DE=OA,.F(0,4),8(-3,0),二曲=4,如=3,：.OE=-3=1,.点的坐标为(4,1).
32、【点拨】本题考查了正方形的性质,坐标与图形性质,全等三角形的判定和性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.17.2 5【解析】23第 2 3 页 共 4 3 页【分析】画 出 至2,72到4的距离,分别交12,4于E,F,通过证明ABEBCF,得出BF=AE,再由勾股定理即可得出结论.【详解】解:过点作熊过点。作CF112,:C B R/B C六9。；四边形力四是正方形，：.AB=BC=CD=ADt:/D A方/A B O/B C庐/CD加90。，:ABE+4CBP的,/A B拄/BCF,在力比 和凡不中，ZAEB=ZBFC ZABE=ZBCFAB=BC：.lA B E（BCF
33、AAS）:.B户 AE,：i/i2/i3,B.乙、心之间的距离是3、乙之间的距离是4,.,.BF=AE=3,CF=4,:B科+CF2;BG,.即N A E D=N D F C=9 0 .:四 边 形 A B C D 为正方形，；./A D C=9 0.A Z A D E+Z C D F=9 0 .又N A D E+N D A E=9 0 ,.*.Z C D F=Z D A E.在4 A D E 和A D C F 中ZDEA=ZCFD NEAD=4 CDFAD=DC.,A D E A D C F(A A S),；.C F=D E=1.V D F=2,.2=12+22=5,即正方形A B C D
34、的面积为5.故答案为：5.【点拨】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键.12 519.5 或5【解析】【分析】分两种情况进行讨论，点 F 在 A D 上或点F在 A B 上,依据全等三角形的性质以及矩形的性质,即可得到C M 的长.25第2 5页 共4 3页年级数学下 平行四边形几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题【详解】解:分两种情况：如图1 所示，当点F 在 A D 上时，由 C F=B E,C D=B C,/B C E=N C D F=9 0 可得,R t A B C E R t A C D F(H L),N D C F=N C B E,
35、又,./B C F+N D C F=9 0,.,.Z B C F+Z C B E=9 0,.,.N B M C=9 0 ,即 C F _ L B E,V B C=4,C E=3,Z B C E=9 0,；.B E=5,BCxCE 2；.C M=BE 5；如图2 所示，当点F 在 A B 上时，同理可得，R t A B C F R t A C B E (H L),；.B F=C E,X V B F/7 C E,四边形B C E F 是平行四边形，又./B C E=9 0,四边形B C E F 是矩形，故答案为：5 或 2.【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，
36、全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,26第2 6页 共4 3页关键是选择恰当的判定条件.20.C(-3,4)；(4,l)【解析】【分析】本题有A、3 两个点都在坐标轴上,且正方形在坐标轴的同侧(基本上在第二象限)，故只须过C,。两点分别向坐标轴作垂线即可.作 gy轴于E,U x 轴于F,证明腔必47。得出对应边相等BE=OA=,6陟 3,同理得出腔物=1,A氏B g 再求出OE、OF,即可得出结果.【详解】解:作CELy 轴 于 E、凡 Lx轴于F、如图所示：贝 1 /。5 /力勿90,AZ1+Z3=9O,四边形被力是正方形，N/1叱 90,B
37、OAB,AZ2+Z3=90,.N1=N2,在的和力取中，21=N2：./BCE/XABO(AAS),小 阱 1,6633,同理得：腔 於 1,44 盼 3,除 4,附 4,以-3,4),(-4,1).【点拨】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质;通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键.当正方形的部分点在坐标轴匕且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.27第 2 7 页 共 4 3 页21.(1)AE=AF,理由见解析；(2)CE=MF,理由见解析；(3)如图所示，见解析.【解析】【分析】(1)根据两角互余的关
38、系先求出NBAF=/DAE,再由ASA定理可求出AABF咨aA D E,由全等三角形的性质即可解答；(2)根据ABFg ZXADE及三角形外角的性质可求出NAFM=NAEC,根据两角互余的关系ZMAF=ZEAC,再由 ASA 定理求出AMF丝ZACE,可得 CE=MF;(3)画出示意图，只要求出C、D、F共线，即可求出四边形AECF是正方形；【详解】(1)AE=AF.理由：.四边形ABCD是正方形，.,.ZABF=ZADE=90,AB=AD.VZBAF+ZBAE=90,ZDAE+ZBAE=90,.ZBAF=ZDAE.在a A B F和AAD E中NBAF=N D 4 E AB A DZ ABF
39、=Z A D E9.,.ABFAADE(ASA)AAE=AF;(2)CE=MF.理由：ABFg/XADE,ZBAF=ZDAE,/.NABF+NFAB=NADE+NDAE,BPZAFM-ZAEC.VZMAF+ZFAC=90,ZEAC+ZFAC=90,ZMAF=ZEAC,在AAMF DAACE 中Z A F M =Z.AEC+9*/0 x 6由二次函数的性质可知，当 x 4 3时,s随x的增大而减小；当3 X/2BP+OP=8 近；四边形O A B C 是正方形,且边长A=AB=6二对角线 0 8 =OA2+AB2=6 0 8 五.点P在 O B 的延长线上BP+O P =O P-O B +O P
40、 =2OP-6y/2=8 y/2解得O P =70:.BPOP-OB=y/2如图3,过 P点作P G x 轴于点G,过 Q点作QH l x轴于点I I五同可得：0G PG =-2 0P=7 n A.J.(L APG =OQAHQ H =A G =O G OA=7 6 =1 4 H =P G=7O H =OA+4 H =6+7 =13则点Q的坐标为2(1 3,T).【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形全等的判定定理与性质、二次函数的性质等知识点,较难的是题(3),正确得出点P的位置是解题关键.2 3.E F=A G;成立，理由见解析；(3)3石【解析】【分析】(1)利
41、用A S A 证明a A B E 彩ZX D A G 全等即可得到结论；过 点 F作 F M A E,垂足为M,利用A S A 证明A A D G 丝F M E,即可得到结论；过 点 Q作 Q H 1 A D 于 H,根据翻折变换的性质可得P Q 1 A M,然后求出N A P Q=/A M D,再利用“角角边”证明A D M 名Q H P,根据全等三角形对应边相等可得Q P=A M,再利用勾股定理列式求出A M,从而得解.【详解】解：.四边形A B C D 是正方形,A ZB A E=ZA D G=9 0 ,A B=A D,第 3 1 页 共 4 3 页31A ZA B E+ZA E B=9
42、 0 ,V E F A G,?.ZA E B+ZD A G=9 0 ,N A B E 二 N D A G,.A B E A D A G(A S A),Z.E F=B E=A G;成立，理由是：过点F作 F M A E,垂足为M,四边形A B C D 是正方形，A ZB A E=ZA D G=9 0 ,A D=C D,A M F=C D=A D,ZE M F=9 0 ,N E+N E F M=9 0 ,V E F A H,.-.ZH A E+ZE=9 0 ,ZI I A E=ZE F M,/.A D G A F M E(A S A),E F=A G;如图,过点Q作 Q H A D 于 H,则四边
43、形A B Q H 中，H Q=A B,由翻折变换的性质得P Q-L A M,V ZA P Q+ZD A M=9 0 ,ZA M D+ZD A M=9 0 ,/.ZA P Q=ZA M D,丁四边形A B C D 是正方形，A A D=A B,A H Q=A D,在a A D M 和）上 中，第3 2页 共4 3页32Z Q H P =Z D Z A P Q =Z A M DQ H =A D.A D M A Q H P(A A S),.Q P=A M,点M是 C D 的中点,/.D M-2C I)=3,在 R t A A D M 中，由勾股定理得,A M。心+DE?=3后,；.P Q 的长为3石
44、.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.24.=后尸，理由见解析；五 CE=8 +b,理由见解析；&C E =-C/，理由见解析【解析】【分析】(1)先根据正方形的性质可证得口BCE4DCE,由此可得N C B E =Z C D E,BE=D E ,再根据同角的补角相等证得 D E =NEFB,等量代换可得 B E =N E F B，由此可得BE=EF,再等量代换即可得证；(2)过 点 作 E G J.EC交。的延长线于点G,先证明E G =E C,利用勾股定理可得C G
45、 =0CE,再证明故密 E C B,由此可得G F =C 8 =C O,最后再等量代换即可得证；仿照和的证明即可证得6CE=C D-C F .【详解】解：(1)D E =E F,理由如下：.四边形/8 C O 是正方形，B C =C D =A D B C D =Z A D C=9 0 ,33第 3 3 页 共 4 3 页也=45。,Z.BCE=7.BCD-ZDCA=45，,ZBCE=ZDCE，在口8 c E 与口。CE中，BC=DC,NCDE+NEFC=T8。，/EFC+/EFB=18。,/CDE=Z.EFB,ACBE=ZEFB，.BE=EF/.DE=EF；&CE=CZ+C r,理由如下：如图
46、，过 点 作 EG工EC交点的延长线于点G,ZCEG=90，由 知：4C E =45。,ZEGC=ZBCE=45，EG=EC，在 RtAGEC 中 CG=VCE+EG1-41CE在口 EGFDECB t-ju,第 3 4 页 共 4 3 页34NEGF=NECB /EFG=NEBCEF=EB.A S2E ECB(AAS).GF=CB=CD又 CG=GF+CF=CD+CF,y2CE=CD+CF，.g C E =C D-C F,理由如下：如图,过点 作E G LE C交比于点G,设 CD与。的交点为点/；,NCEG=90，由 可 知：4CE=45。,Z.EGC=Z.BCE=45J EG=EC在&G
47、EC 中,CG=VCE+EG2=41CE:EF 1.DE,/.FED=90，,NCDE+NEPD=9。，NDCF=180。一 /BCD=90,，NCFE+/C PF=90。乂 .NEPD=ZCPF,J ZCDE=/CFE由(1)可知：NC8E=NCQE,，NCBE=NCFE在 0 EGF E C B 中，ZE GF=NECB Z.EFG=NEBCEG=EC,且您 ECB(AAS)，35第 3 5 页 共 4 3 页 年级数学下 平行四边形几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题：.GF=CB=CD,又 CG=G F-C F=CD-CF:.正CE=CD-CF.【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三
48、角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键.2 5.(1)相等且垂直；(2)成立，理由详见解析；(3)40【解析】【分析】(1)根据正方形的性质可得A C=DC,C M=C B,NA C M=/DC B=90 ,利用SA S可证出A C MZ XDC B,根据全等三角形的性质即可得出A M=B D,Z MA C+Z DB C=90 ,进而得出A MB D;(2)根据正方形的性质可得A C=DC,C M=C B,Z A C D=Z MC B=90 ,通过等量相加即可得到Z A C M=Z DC B,利用SA S可证出A
49、C M四DC B,根据全等三角形的性质即可得出A M=B D,Z MA C=Z B DC,设 A M 与 C D 交于点 P,即可证出 Z DPM+Z B DC=90 ,进而得出 A M_LB D;连 接 A D、B M,设 A M与 B D交于点Q,根据A M1 B D,即可利用勾股定理即可求出答案.【详解】(1)相等且垂直.(1)在正方形A C DE和正方形B C MN中，VA C=DC,Z A C M=Z DC B=90 ,C M=C B,.,.A C M A DC B(SA S),；.A M=B D,Z MA C=Z B DC,V Z MA C+Z A MC=90 ,Z MA C+Z
50、DB C=90 ,/.A MB D;故答案为相等且垂直；(2)第(1)问中的结论仍然成立,即A M与 B D的关系是:相等且垂直;理由如下：如图所示,设A M 与 C D交于点P,在正方形A C DE和正方形B C MN中，VA C=DC,Z A C D=Z MC B=90 ,C M=C B,36第 3 6 页 共 4 3 页2022年八年级数学下 平行四边形几何模型一一正方形中的三垂直专项练习题 Z ACD+ZDCM=ZMCB+ZDCM,即 NACM=NDCB,.-.A CM AD CB(SAS),JA M=BD,ZM AC=ZBDC,V ZM AC+ZAPC=90,A ZB D C+ZA