《2022年八年级数学下《平行四边形几何模型——十字架模型》专项练习题-带解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年八年级数学下《平行四边形几何模型——十字架模型》专项练习题-带解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、八年级数学下-专题：18.47平行四边形几何模型一十字架模型（专项练习）一、单选题1 .如图,将一边长为1 2 的正方形纸片A B C D的顶点A折叠至DC 边上的点E,使 DE=5,折痕为P Q,则 P Q 的长为（）A.1 2B.1 3 C.1 4D.1 52 .如 图，正方形力腼的边长为3,E 为理边上一点,9=1.将正方形沿“折叠，使点A恰好与点后重合,连接A E EF,GE,则四边形力必尸的面积为（）A.2M B.2 6 C.6 D.53 .如图,将边长为3的正方形46（力 纸 片 沿 折 叠，点 C 落 在 边 上 的 点 G 处，点与点重合,4 与 交 于 点P,取 阳 的 中
2、点Q,连接PQ,则口 00的周长最小值是（）3 +3 石2-+2 3C.29D.24.如图,将一边长为1 2 的正方形纸片A B C D的顶点A折叠至D C边上的点使O E =5,若折痕为尸 0,则尸。的长为（）1第 1页 共 2 0 页D ECA.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 65 .如凰将边长为6金的正方形纸片加四折叠，使点落在居边中点 处，点。落在点Q处,折痕为FH,则线段/尸的长为（）3 9 1 5A.2 B.3 C.4 D.4二、填空题6.如凰在正方形A BCD中，点E 是和上一点，BF_ L A E交加 于点F,若46=5,BE=2,则7 .如图,将一边长为1 2的正方形
3、纸片A B C D的顶点A折叠至D C边上的点,使O E=5,折痕为PO,则P Q的长.8 .如图,将边长为8的正方形纸片A B C D折叠，使点D落在B C边的点E处，点A落在点F处,折痕为M N,若M N=46，则线段C N的长是.2第2页 共2 0页D9.如图,现有一张边长为8的正方形纸片 MD,点E为正方形8 边上的一点(不与点A,点D重合)将正方形纸片折叠，使点A 落 在 边 上 的 G 处，点B落在H 处，石 交 B C 于P,三、解答题10.正方形46(力中，点 F 在 BC、CD上，且 BE=CF,A E与 BF交三点、G.(1)如 图 1,求证45LL斯；(2)如图2,在 S
4、 上截取GM=GB,/也切的平分线交切于点H,交 跖 于 点N,连 接CN,求证:4VF0V三叵 BN;图1图2 备用图11.如 图1,在正方形4 B C D 中,E 为8 c 上一点，连接N E,过点8 作 8G _L/E于点耳，交 于点G.求 证：A E =B G；(2)如图2,连接“G、GE,点、M、N、尸、Q 分别是4 8、4 G、G E、8的中点，试判断四边形”杵。的形状，并说明理由；(3)如图3,点尸、R分别在正方形4 8 8 的边/8、CQ上，把正方形沿直线FR翻折，使得B C的对应边5 C 恰好经过点A,过点A作 NO _ L FR于点。，若/*=1,正方形的边长为3,求线段Q
5、F的长.3第 3 页 共 2 0 页1 2.如图，正方形4?5 边长为4,点 G在边4。上(不与点4、重合)，阳的垂直平分线分别交.A B、CD于 E、尸两点，连接(1)当 46M 时，求 用 的 长；当 4G的值等于时，除 82%过 G点 作G心 EG交必 于M求证：平 分/A GM16 4 4 t设4伍%试说明kx y 的值为定值.参考答案1.B【解析】【详解】过点P 作 PMBC于点M,第 4 页 共 2 0 页4及数学下 平行1四边形几何模型一一十字架模型专项练习题由折叠得到P Q A E,A ZDA E+ZA P Q=9 0 ,又 N DA E+N A ED=9 0 ,ZA ED=Z
6、A P Q,V A D/B C,二 ZA P Q=ZP Q M,则/P Q M=/A P Q=N A ED,/D=N P M Q,P M=A D.,.P Q M A A DE.,.P Q=A E=r+1 2r=1 3.【点睛】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.2.D【解析】【分析】作F H L A B 于 H,交然丁 P,设A G=GE=x,在Rt仇龙中求出在 低 /%中求出A E,再证明 力 聆 ，物 得 到FG=A E,然后根据S阳 龙 形4而产以4的 必 反/求 解 即 可【详
7、解】解:作F H 1 A B 千 H,交恁 于 P,则四边形4 WZ是矩形，由折叠的性质可知，A G=GE,A EL GF,A O-EO.设A 则 好3-x,在Rt加X1中，：B F+B G=G R12+(3-x)2-x2,5.二.在Rt A U应中，：A f f+BP=A I?,.3 2+1 2=/比第5页 共2 0页5:.缶M:/H A P r/A P+90，/例4产90 ZA P 4/O P F,:4 HAF/OFP、,四边形/力是矩形,力庐力长必:在儿必和核中,NHAP=NOFPNABE=Z.GHFAB=HF:.XAB=:.FG=AE=M,/.S四 边 形AGEP S 八 仃 怖S/E
8、GF-G F O A +-G F O E22G F(OA+OE)-G F A E2-xV ioxV io=2=5.故选【点拨】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识,熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键.3.B【解析】【分析】连 接BP,取 切 的 中 点M,连 接PM,根据折叠的性质,PM=PQ、G/=DC,PC=PG,要求研2的周长的最小值，只需求以向加的最小值，当M、P、占三点共线时，O法以三加/最小，在R 3 C M6第6页 共2 0页中，勾股定理求出BM,即可求解.【详解】解:连 接 能 取 切 的 中 点M,连接PM,由折叠可知，用/=
9、。0,GH=DC,PC=PG,在RtA BCG中，P 是3的中点，:.BP=PG=5 GC,是0/的中点，QG=2 GH,伊0的周长=劭/升用=q升与(m P B=P P/5 CD,：CD=?),3 阳 的周长=制介质 5,当 欣P、，三点共线时,用淤质=/最小，3 一在 RtA BCM中，BM=2,3+3-.。却的周长的最小值为 2.故选B.【点评】本题考查图形的翻折变换,熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键.4.A【解析】【分析】过点一作耳/及7于点以由折叠得到PQL A E,从而得到/吩 N/图可得。忸从而 得 到 小46；再由勾股定理,即可求解.【详解】7
10、第7页 共2 0页解:过点户作成L 此于点由折叠得到PQ工A E,:,/DA EQA PQ=90：在正方形 A BCD 中，A DBC,N/9 0 ,CD1BC,，/加 a/薇=9 0 ,Z.A E2/A PQ,：.4 A P 8 4 P Q机：.4 PQk/A P84 A ED,:PM工 BC,:P的A D,Y N 介N 4的 9 0 ,，ZW 侬 1 发 在用 Z Q E 中，D E =5A 12,由勾股定理得：A E=yj52+22=1 3，阁=1 3.故选:A.【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质,勾股定理,得到P Q g 应 是解题的关键.5.C【解析】【分析】
11、设 EF=F D=x,在 RT A A EF 中利用勾股定理即可解决问题.【详解】解：,将边长为6 c m 的正方形纸片A B C D 折叠，使点D落在A B 边中点E 处，；.EF=D E,A B=A D=6 c m,/A=9 0 第 8页 共 2 0 页8.点E 是 A B 的中点，；.A E=B E=3 c m,在 Rt A A EF 中，EF2=A F2+A E2,/.(6-A F)2=A F2+99A A F=4故选C.【点拨】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题,属于中考常考题型.6.扃.【解析】【分析】根据正方形的性质得
12、到A B=BC,NA BE=NBCF=90 ,推出NBA E=NEBH,根据全等三角形的性质得到CF=BE=2,求得DF=5-2=3,根据勾股定理即可得到结论.【详解】:四边形4 用力是正方形，A B=BC,/A BE=Z BCF=9 0 ,:./BA E+NA EB=9Q,：BHL A E,:./BHE=SQ,:.NA E分,NBA E=4 EBH,N B A E=Z C B F A B=B C在跖和中，4QN BC/.4 应力以尸O 4),：.CF=BE=2,:.DF=3-2=3,.四边形力题是正方形，,4 5=4 9=5,NA DF=9Q：由勾股定理得:A F=A D2+D F2=抬+3
13、 2 =后.故答案为 国.【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明A B E A B C F 是解本题的关键.第 9页 共 2 0 页97.1 3【解 析】【分 析】先 过 点P作P M B C于 点M,利用三角形全等的判定得到P Q M丝4 A ED,从 而 求 出P Q=A E.【详 解】过 点P作P M L B C于 点M,由 折 叠 得 到P Q 1 A E,.*.Z D A E+Z A P Q=9 0o,又ND A E+/A ED=9 0 ,.Z A ED=Z A P Q,V A D/7 B C,NA P Q=NP Q M,则NP Q M=NA P
14、Q=/A ED,Z D=Z P M Q,P M=A D.P Q M A A ED.*.P Q=A E=/5 2 +1 2 2=1 3.故答案是：1 3.【点拨】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.8.3【解 析】【分 析】过 点M作M 1 IL C D于 点1 1.连 接D E,结合 题 意 可 知M N垂 直 平 分D E,先通过证明M IINm a D C E得 出D E=M N=4,然后利用勾股定理求出C E的 长,最 后 在Rl A ENC中利用勾股定理求出D N,最 后 进
15、一 步 求 出C N即可.【详 解】10第1 0页 共2 0页如图所示，过点M作 M H L C D 于点H.连接D E.根据题意可知M N垂直平分D E,易证得：NED C=Z NM H,M H=A D,四边形A B C D 是正方形，；.M H=A D=C D,V Z M I1 N=Z C=9 O ,.,.M H N A D C E(A S A),.D E=M N=4,在 Rt A D EC 中，C E=y/DE2-D C2=4,设 D N=E N=x，贝 l J C N=8-x,在 Rt A ENC 中，N E1=N C2+E C.x2=(8-X)2+42,，解得：35,；.C N=8
16、_X=3,故答案为:3.【点拨】本题主要考查了正方形性质和全等三角形性质与判定及勾股定理的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.9.1 6.【解析】【分析】解过点A作 A M 1 G H 于 M,由正方形纸片折叠的性质得出/EG H=/EA B=/A D C=9 0 ,A E=EG,则EG G H,Z EA G=Z EG A,由垂直于同一条直线的两直线平行得出A M E G,得出N E G A=N G A M,则ZE A G=ZG A M,得出 A G 平分N D A M,则 D G=G M,由 A A S 证得A A D G 丝ZX A M G 得出 A D=A M=A B,由 H L证得R
17、t A A B P Rt A A M P得出B P=M P,贝 U PG C 的周长=C G+PG+PC=C G+M G+PM+PC=C G+D G+B P+PC=C D+C B=1 6.【详解】解:过点A作 A M G H 于 M,如图所示：II第 1 1 页 共 2 0 页ED.将正方形纸片折叠，使点A落在C D 边上的G处，/.ZE G H-ZE A B=ZA D C=9 0,A E=E G,.E G 1 G H,ZE A G=ZE G A,；.A M E G,ZE G A=ZG A M,/.ZE A G=ZG A M,A A G 平分 N D A M,.D G=G M,N D A G
18、=N G A M-N A D G =NA M G=9 0在 4A D G 和 A A M G 中=G M,.,.A D G A A M G(A A S),；.A D=A M=A B,A B=A M在 Rt A A B P 和 Rt A A M P AP =AP,.,.Rt A A B P Rt A A M P(H L),；.B P=M P,A PG C 的周长=C G+PG+PC=C G+M G+PM+PC=C G+D G+B P+PC=C D+C B=8+8=1 6,故答案为1 6.【点拨】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,熟练掌握折叠的
19、性质,通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.1 0.(1)见解析；(2)见解析；【解析】【分析】根 据 正 方 形 的 性 质 得 游/4 8c=48 =9 0。，用以s 证明和E U BCF,得=根据三角形内角和定理和等量代换即可得；(2)过点8 作B H L B N,交4V于点根据正方形的性质和平行线的性质，用弘S 证明D A G B U A G M,得/B A G =/M AG，根据角平分线性质得=/G A N =45。，贝 i j U/8 N 是等腰直角三角形，用/s 证明口4 8 四 口 C 8 N,得AH=CN,在R B H B N中，根据勾股定理即可得;【详解】12第 1 2
20、页 共 2 0 页解：(1),四边形力腼是正方形，:.AB=BC,/4B C =/BCD=90。,在 一/XABE和ABC厂中，AB=BC Z.ABE=/BC FBE=CF.&El BCF(SA0,ZBAE=Z.CBF，.NAEB+/BAE=180-NABC=180-90=90*.NAEB+/C BF=9。，.NEGB=180-(ZJ5+ZCSF)=180-90=90.AELBF；如图所示,过点B作B H tB N,交4V，于点比 四边形ABCD是正方形，C,A B C =/H BN =90。,.NHBN=Z.HBA+乙ABN=90/ABC=/C BN +/ABN =90.4HBA=NCBN由
21、得，A E lB Ft,AGB=zlAGM=90，,-,NHBG=/AG M =90，。.HB/AE,-,4BHA=4EAN，在口 4 6 8和口NGM中，AG=AG NAGB=/AGMGB=GMUAGBUAGM(以第 1 3 页 共 2 0 页13,-,/BAG=/MAG，,.力 力 平 分 N O N”,/D AN =4MAN，./BAG+NM4G+/M AN+4DAN=902ZMAG+2ZMAN=90NMAG+/M AN=450NGAN=45./BHA=/G AN =45。.4BNH=180-/H B N-ZBHA=180-90-45=45，.BN是等腰直角三角形，在口 48和口CBN中
22、，BH=BN JAB2+BS2=ViodC 1.AO=-AS=-2 2.AF=X t 则在 Rt/ABF 中，l2+(3-x)2=x25X=3AF=-：.3,在 RtJAOF 中,OF=yjAF2-A O2=16第 1 6 页 共 2 0 页图3【点 拨】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质,勾股定理,根据勾股定理建构方程,解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键.1 71 6 4 京；8-4 6 见 解 析;中xy，理由见解析【解 析】【分 析】(1)根 据)是 线 段6 G的垂直平分线,BFE G,设g叱x,则A E-A B-B-X,
23、再由勾股定理求解 即 可；(2)过 点 广 作F H L A B T H,连 接FB,FG,由B4 8-2DF,C dC E h D UD F,得至IB谈2CF、先证明四边形 6 07/是矩形，得至IJ Cm HB,则 BH-EH-FC,设 A G=x,B&y,则 A E=A-y,6 Z M r,小5，)/7 =4-V2 由 N E?+N G?=E G?,G Z)2 +。尸2 =,B C?+尸。2 =8尸2 ,可以得至J/.2 2 _ 2 (4-x)2+f 4-=42+f(4-刃+x=y，I 2 )1 2 J，联立求解即可得到答案；先 证 明 N掰 伐/戊 汉 然 后 根 据/瞅N 46户9
24、0 ,/明/优 加9 0 ,即可得到NA GB=NBGM;连 接BM,过 点 方 作BHV G M,由角平分线的性质得到B+A Q 4,由8正 方取8 C。Sz u s#$MBC+$8CA/+S X 4-1 6,可以得到2x+2 G M +2y+-（4-x）（4-y）=6,-2V，由勾股定理可以得到DM+G D =GAT即17第1 7页 共2 0页（4-x）3+（4-_ y）2=f 4-I 4 J ,最后解方程即可得到答案.【详解】解：（1）川是线段此的垂直平分线，:.B拄 EG,；四边形力敛?是正方形,且边长为4,.心4,ZJ=9 0 ,设 EkEFx,则 A片A3-B斤4-x,7A E A
25、 G E G.（4-x）+12=x2,1 7x=解得 8 ,(2)如图所示,过点乍FHLAB于连接被R 7 ,尸是线段砌的垂直平分线，:BaFG、丁 止8-2俄 CICD-D-DF.:BB=2CF、V四边形4?0是正方形,FHLAB,：.4 0 4BH六900,四边形故 是矩形，C六 H B,:B4E/FC,1 2 4 1_ y DF=4 y设 AGx,B加y,贝lj AE=4-y,阶4-x,诋 2,2.“炉+A G E G GD?+DF?=GF BC2+FC?=BF218第1 8页 共2 0页J/），?.朋联立解得 =8-4 6 或x=8 +4右（舍去），.,.当G=8-4月 时，除 8-2
26、例故答案为：8-4 0；(3).正是线段外的垂直平分线，J.EG-BE,:.NEBG=/EGB,四 边 形 力 是 正 方 形,EGVGM,./=/6沪90,:.NABM NAG加 90,NEGNBGM-9Q,NAGB=/BGM,:.BG平分4 AGM;如图,连接BM,过点6 作 BHLGM,由 得 6G平分乙4做.阴 修 4,AG=x,6佐 匕：.OG=4-xf 沪 4一 匕,/%方形S M B G +S B C M +S CDM=4 x 4=16第 1 9 页 共 2 0 页19；+；GMH+|cMgSC+|DM 3=1 62x+2GM+2y 4-（4-x）（4-y）=16 GM=4-.4,-DM2+GD2=GM2（4-x）?+（4-城=（4 谭 J2 26-x+x2+l6-Sy+y2=16-2xy+-2 2（x+y）2-8（x+y）+16=-（x+人立,V 7 16x+y-4 =&4当工+匕4=a时,则4x+”-l 6 f,16-4x/y=-=44 T （不符合题意）,4x+4j-16=-xy竺一 1=0.孙 x y【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定,三角形的面积等等,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解第2 0页 共2 0页20