2022届东莞市高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，平面四边形ACB。中，A B 1 B C,A B A,D A,A B =A D l,BC=及，现将ABZ）沿AB翻折，使点。移动至点P,且Q 4_LA C,则

2、三棱锥P 4B C的外接球的表面积为（）A.8万 B.6万 C.44 D.-7132.若x e0,l时，-|2 x-|0,则a的取值范围为（）A.-1,1 B.2-e,e-2 C.2-e,l D.21n2-2,ln3.已知水平放置的AABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BO=CO=,A O =-,那么原A ABC2的面积是（）A.6 B.272C.3 D.B2 42 24.设耳，入是双曲线C：二-二=l（a 0/0）的左，右焦点，。是坐标原点，过点尸2作。的一条渐近线的垂cT b,线，垂足为P.若 归 用=迷|。耳，则。的离心率为（）A.0 B.73 C.2 D.35.E.5.在

3、天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2一g=不怆”，其中星等为2 E2四 的星的亮度为&（A=l,2）.已知太阳的星等是-2 6.7,天狼星的星等是-1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1O10 1 1-1B.10.1C.IglO.lI).1O-10-16.二 项 式（展开式中，项的系数为（）k2 X)x945189212835A.-B.-C.-D.-163264810.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁 4名干部派遣到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）A.6

4、种 B.12 种 C.24 种 D.36 种11.2019年10月1 7日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院8,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）A.18 种 B.20 种 C.22 种 D.24 种1 2.已知向量万，万满足|万|=1,区|=2,且日与石的夹角为120。，则 归-3可=（）A.而 B.而 C.2V10 D.743二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。7

5、.设双曲线 ：一 斗=0/o）的左右焦点分别为,工，点E（0,r）（z 0）.已知动点P在双曲线C的右支a b上，且点R E,外不共线.若APE心的周长的最小值为4 8，则双曲线C的离心率。的取值范围是（）8.已知向量2=。”,1）,5 =（3,根一2）,则加=3是/4的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件9.已知非零向量、b 若W=2问且|2 -0=百 忖，则向量坂在向量方向上的投影为（）A-日 丹 kD诽13.已知一个四面体A8C D 的每个顶点都在表面积为9/r的球。的表面上，且 AB=CD=a,AC=AD=BC=BD=小,贝！1。=.14.已

6、知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以 A,B 为焦点，且 过 C,D 两 点 的 双 曲 线 的 离 心 率 为.15.已知随机变量 X N(4,b?),且 P(2 X W 6)=0.8,则 P(X 016.若实数x,N满足不等式组2x+y 3 2 0,则 2x+3)，的 最 小 值 为.x+y 30)上的一点，以点A 和点5(2,0)为直径两端点的圆C 交直线x=l于 M,N 两点.(1)若|M N|=2,求抛物线E 的方程；(2)若 O V p V l,抛物线E 与圆(*-5)2+必=9 在*轴上方的交点为P,Q,点 G 为 的 中 点，0 为坐标原点，求直线 0G 斜率的取值范围.19

7、.(12分)一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNP。的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形A3QD(如图所示)，其中AO 2 AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米,深 2 米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元 和 150元，发酵池造价总费用不超过65400元(1)求 发 酵 池 边 长 的 范 围；(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 米和b 米的走道(6 为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.20.(12分)在 N A 8C 中，内角4,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足JGa=W c

8、 o s C-c s in 8.(1)求 5；(2)若b=2粗,A Z)为B C边上的中线，当 A B C 1的面积取得最大值时，求4。的长.2 1.(1 2分)如 图，在四棱锥尸-4 8 C D中，底面A B C。为菱形，R 4 J L底面A B C。，N A 4 O=6 0。，AB=PA=4,E是 的 中 点，AC,8 0交于点O.(1)求证：0 E 平面5 C；(2)求三棱锥E -P B D的体积.2 2.(1 0分)已知抛物线C：/=4%的焦点为产，准线/与x轴交于点M，点尸在抛物线上，直线PE与抛物线C交于另一点A.(1)设直线M P,的斜率分别为尤，k2,求证：匕+%常 数；(2)

9、设M M A的内切圆圆心为G(a,b)的半径为，试用，表示点G的横坐标。；当AP MA的内切圆的面积为1 7 T时，求 直 线 的 方 程.2参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】由题意可得2 4上面A B C,可知因为则3CJ_面2钻，于是3 C,P8.由此推出三棱锥。一ABC外接球球心是PC的中点，进而算出CP=2,外接球半径为1,得出结果.【详解】解：由翻折后得到Q 4L A B,又Q4_LAC,则 R4上面 A B C,可知 B4_13c.又因为A8_LBC,则8。_1_面上钻，于是BC_LPB,

10、因此三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点.计算可知CP=2,则外接球半径为1,从而外接球表面积为4万.故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,属于中档题.2.D【解析】由题得 2x-exa 2x+e 对 Vx G 0,1恒成立，令/(x)=2x-e*,g(x)=2x+ex,然后分别求出/(力2g(%,即可得4的取值范围【详解】由题得2x-e a 2(a +c),从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，CPEA=P E+P F2+EF2=P E+P F2+EFi=PE+PF+EF-2a2

11、PFt-2a=4b2PFt=2 a+4 8 2(a+c)所以2 8 c则 4 c 2 一 4/c2所以3 c 2 4 Y所以=彳 a2 3所以e?1，即ee，+8故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.8.A【解析】向量1 =(/,1),1=(3,加 一 2)，al 1b 贝！I 3 =M 机-2),即 一2 m一3 =0,2 =3 或者-1,判断出即可.【详解】解：向量 a =(/找,1),b=(3,m2)al 4,贝 1 1 3 =m(m 2)，即加之一？,”一 3 =0,机=3或者-1,所以机=3是?=3或者加=-1的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本小题主要考查充分

12、、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.9.D【解析】设非零向量与坂的夹角为。，在 等 式 忻-4=百 忖 两边平方，求出cos。的值，进而可求得向量B在向量方向上的投影为W cos 6,即可得解.【详解】.忖=2同，由|2 -q=6恸 得|2-42=3忸（，整理得2/_ 2 d/_ 7=0，la-2p/|x2|a|cos-4|a|=0,解得cos0=-；,因此，向量坂在向量a方向上的投影为Wcos6=gW.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.10.B【解析】分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分

13、类讨论，由此求得甲被派遣到A县的分法数.【详解】如果甲单独到A县，则方法数有C；x 8=6种.如果甲与另一人一同到A县，则方法数有C；xA；=6种.故总的方法数有6+6=12种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.11.B【解析】分两类：一类是医院4只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院氏 当医院8只有1人，则共有C；卷 种不同分配方案，当医院8有2人，则共有C；8种不同分配方案，所以当医院4只分配1人时，共有C；&+=10种不同分配方案；第二类：

14、若医院4分配2人，当乙在医院A时，共有禺种不同分配方案，当乙不在4医院，在B医院时，共有C；A；种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，共有A；+&$=10种不同分配方案；共有20种不同分配方案.故选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.12.D【解析】先计算4石，然后将归-3日进行平方,，可得结果.【详解】由题意可得：无B=B|W cosl2(l=lx 2 x 一;-1.0-3叶=7 -6 7 B+9片=1+6+36=43二则卜故选：D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。二、填空题：本题共4

15、小题，每小题5分，共20分。13.272【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为x，y，z,由题意可得：J?+J?=/20解得：a=2-/2-点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14.2【解析】根据A 3为焦点，得c=2；又|4一忸=2。求得。，从而得到离心率.【详解】A,B 为焦点=2 c=4=c-2C在

16、双曲线上，则|AC|忸C|=2a又|AC|=J 6 +BC2=5=2 a =2=a=lC-:.e=2a本题正确结果：2【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.15.0.1【解析】根据2。原则，可得2（X 2）P（2；X-6）,简单计算，可得结果.【详解】由题可知：随 机 变 量xN(4,C T2),则 期 望 为45,/1-P(2 X 6)1-0.8所以 P(X 0画出不等式组0,表示的平面区域如图阴影区域所示，x+y-3 2,由三角不等式|x+1 J V-!以x+a 11 =|iz+1|,得,2求解【详 解】x-1 尤 4或，x+l +l-x4解：（1）当 a=l

17、 时，不等式/（x）N 4 即为|x+l|+|r l|N4,1x+l +x-l 4 解得x W 2或x e 0或xN2,则原不等式的解集为（-8,2 3 2,小）（2）若对任意x w R、都有/（x）N 2,即 为 以 2,由|x+a|+1|x+a x+1 1=|+1|,当（x+a）（x-l）0 取得等号，则/（%）加=|。+1|,由k +1|2 2,可得 a 21 或a 0,(x-5)-+y 2=9设 尸(Xl,Jl),Q(.X2,J2)则 Xl+X2=2(5-p),X1X2=16,所以中点 G 的横坐标 XG=5-p,yG=+=,9_.2,所以&OG=，9 p P(0 Pl),5-P令 f

18、=5-p (G(4,5),则 AOGAM冷小历解得OVkoGV组,2所以直线O G斜率的取值范围(0,上).2【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.1 9.(1)G1 5,2 5 当0/”或 时，A O =25,AB=9米时，发酵馆的占地面积最小；当匕时,4。=迎 近 =史 也 时，发酵馆的占地面积最小；当。之4时，A6=A O =1 5米时，发酵馆的占地面积最小.b 2【解析】(1)设A O =x米，总费用为/*)=225x20 0 +1 50 x21 2x+,解 x)0,得xN1 5,X X设总费用为了(X),则/(x)=225x20 0 +1 50

19、 x2-2x+450 x=6 0 0 L +450 0 0 6540 0,解得：9 W x W 2 5,又x N 1 5,故xe1 5,25,所以发酵池。边长的范围是不小于1 5米，且不超过25米;(2)设发酵馆的占地面积为S(x)由 知:S笠+2“=2bx+1 6Z?+225,xe1 5,25,XS(x)2(苏-90 0)x2,xe 1 5,25人2 4时，S(x)?0,S(x)在 1 5,25上递增，则x=1 5,即A B =A)=1 5米时，发酵馆的占地面积最小；0 左!|时，S(x)=0,S(x)在 1 5,25上递减，则x=2 5,即A。=25,A 3 =9米时，发酵馆的占地面积最小

20、；、)时，xe 1 5,30为时，y(x)0,S(x)递增,7因此=孚=迎 近，即A)=迎但,=时，发酵馆的占地面积最小;yfb b b 2综上所述：当=时，A O =25,A 3 =9米时，发酵馆的占地面积最小；当be时,4。=也 因 =生 也 时，发酵馆的占地面积最小；当。之4时，A 6 =A O =1 5米时，发酵馆的占地面积最小.b 2【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.20.(1)；(2)手.【解析】(1)利用正弦定理及A+B+C=TT可 得 有co s Bs i n C=-s i n Cs i n 3,从而得到t an 3

21、=-G；1出(2)在 ABC 中，利用余弦定可得 1 2=/+2+cN3ac,a c 因为s i n C w O,所以t an B=6，由6 0,兀)，得3=把.(2)在 ABC中，由余弦定得1 2=,+c?+ac,因为6+。2+acN3ac，所以acV4,7 E当且仅当a=c=2时，AA B C 的面积取得最大值，此时C =.6在AC。中，由余弦定理得A D2=C A2+C D2-2-CA-Cn-co s =1 2+l-2-2V3-l-j =7.即 A D =y/l.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.21.(1)证明见解析(2)巫3

22、【解析】(1)连 接O E,利用三角形中位线定理得到OE PC,即可证出O E平面PRC；(2)由E是 丛 的 中 点，VE.PBD=|Vt.PBD=|Vp_A B D,求出SAAB。，即可求解.【详解】(1)证明：如图所示：,:点O,E分别是A C,小的中点，:.OE 是4 PAC 的中位线，:.OE/PC,又V OE Z平面PBC,P C U平面PBC,.OE平面 PBC；(2)解：PA=AB4,：.AE=2,底面 A5CD 为菱形，ZBAD=M),，.SA D=L 4 x 4 x sin60=473,2 三 棱 锥 的 体 积v_ l.z _ lx/_ 1 DA。_ 86%-PBD /K

23、t-PBD /P-ABD 9 S A B D【点 睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.22.（1）证明见解析；（2）。：;；典 一1 =0.4 8 .【解 析】（1）设 过 户 的 直 线 工=冲+1交 抛 物 线 于P（M，X）,A（无2，%），联 立 2=4%，利用直线的斜率公式和韦达定理表示 出 勺+&,化简即可;（2）由（1）知 点G在x轴 上，故G（a,O）,设 出 直 线 小,AW方 程，求出交点尸坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.【详 解】（1）设

24、过尸的直线工=加+1交 抛 物 线 于P（M，X）,A（x2,y2）,A/（-l,O）联 立 方 程 组 x=my+1 .2，得：K-4/?z y-4 =0.y =4 x于是，有：，M +必=4 z,y-y2=4：.8+：=+%=/+%+%+%-玉 +1 工2 +1%+%2 +XX2+1 又 乂+%+X +%=凶（+%）+（%+%）=了（-/加 +勤 八。，勺+A 2 =0 ；（2）由（1）知 点G在x轴 上，故G（a,O）,联立PA,PM的直线方程：x=my+1x=ny m +n 2n m n-m,又点尸在抛物线V=4x 上，得2=i,=r2(2 _/叫=4 a,2r.c i=；4jr 1

25、1由题得，5 =乃,=。=上2 2 8(解法一)=；(1+=)=加*回=m=-8所以直线如的方程为 典 旷-1=08 -（解法二）设内切圆半径为广，则 r=也.设 直 线 PM的斜率为3贝!I：2直 线 的 方 程 为：丁 =伙 +1）代入直线24的直线方程,可得P（詈 吟，产_）1 -m k 1 -mk于是有:2k.1 +m k-)-=4-1 -mk 1-mk得%-(1 +/772)=1 ,又 由（1）可设内切圆的圆心为,0）.则尸I,J 1 +4即 +1)|J 1 +A也2回2即：1 +加=2(1 1)2/解得：1t=-8工 用m -8所以，直 线 外 的方程为：X -y-=0.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.