《2023年福建省新高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年福建省新高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A类产品共两件4,A?,8类产品共三件4，四,8,混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件
2、产品，检测后不放回，直到检测出2 件 A 类产品或者检测出3 件 B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率为()13 2 3A.-B.-C.-D.一2 5 5 1C2.(x+y)(2x y)5的 展 开 式 中 的 系 数 为()A.-3 0 B.-4 0 C.40 D.503.定义在R 上的偶函数/(x)满 足/(+1)=-7告(/5)工0),且在区间(2017,2018)上单调递减，已知。*是锐角三角形的两个内角，则/(sin/7),/(co sa)的大小关系是()A./(sin/7)/(cosa)C./(sin/7)=(cosa)D.以上情况均有可能T
3、T4.已知函数/(x)=sin2xsin2(x+y ),则/(x)的最小值为()5,已知点A是抛物线f =4)，的对称轴与准线的交点，点口为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|1%|=机|尸耳，若加取得最大值时，点P恰好在以A F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为()A.V3-1B.V2-1石 一 D 血2,26.若将函数/(x)=2 s i n 1 x+的图象上各点横坐标缩短到原来的;(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数g（x）在（0，高上单调递增 B.函数g（x）的周期是1C.函数g（x）的 图 象 关 于 点 性，o j 对称 D.函数g（x）在 。史 上
4、最 大 值 是 17.各项都是正数的等比数列 4 的公比4 W1,且外,彳。30成等差数列，则二1的值为（）2。4+05A.上 B.在 里2 2小1 n 下+前非一1C.-D.-或-2 2 28,宁波古圣王阳明的 传习录专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦）,每一卦由三根线组成（“一”表示一根阳线，“”表示一根阴线）.从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）9.数 列 满 足 对 任 意 的 GN+,均有。+。+1+。+2 为定值.若47=2,49=3,。98=4,则数列 0 力 0）的左右焦点若双曲线上存在点P,使 :珠=6 0。，且
5、归 周=2|尸用,则双曲线的离心率为（）A.百 B.2 C.7 5 D.7 612 .已知集合”=%|=/,N =x e N 4-x2 0 ,则 M c N 为（）A.1,2 B.0,1,2 C.1,2 D.(1,2)二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。13 .若点N 为点M 在平面1 上的正投影，则记N=4(M).如图，在棱长为1的正方体中，记平面 A8Q为 夕，平面A B C。为 九 点尸是线段C G 上一动点，Q i =力%(2)，。2=%力(P)L 给出下列四个结论:&为AA B Q的重心;Q Q J B D；4当C P =M时，P Q J I平面夕；当三棱锥R-
6、APB1的体积最大时，三棱锥D,-APB1外接球的表面积为2兀.其中，所有正确结论的序号是.TT14.曲线y =x c o s x 在 x 处 的 切 线 的 斜 率 为.15.在 B C 中，角 A 8，。所对的边分别为a,b,c,Z A BC =12 0,NABC 的平分线交AC 于点。，且 8。=1,则4a +c 的最小值为.16 .已 知 非 零 向 量-B满 足 网=2回，且 0-)，,则 3与坂的夹角为.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12 分)已 知 函 数=xe-ax(1)讨论/(x)的单调性；(2)当X/时，/G)+.a +；0
7、求“的取值范围.18 .(12 分)已知数列 q 的前项和为S“，且满足4 =-1,4 0(2 2),S,二矿7一*T,GN*,各项均为正6数的等比数列 4 满足=%也=4(1)求数列 4,4 的通项公式；（2）若c,=；a,Jbn，求数列 c,的前”项和7“19.（12分）如图，在三棱锥A IC D 中，AB AD9 B C L B D,平面A3。J_平面C D,点 E,F（E与A,。不重合）分别在棱AO,8。上，且 EF_L4D(2)A D AC.20.（12分）如图，在AABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足asin3+0cosA=c,线段8 C 的中点为。.(D)已知
8、sinC=,求 NAOB的大小.1021.（12分）在直角坐标系x 0 y 中，曲线C 的参数方程为1-t2尤=21 +r。为参数）.点（%,%）在曲线C 上，点。（九）满足m =2x0n=y/3 y0（I）以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹G 的极坐标方程;7rli（2）点 儿 8 分别是曲线G 上第一象限 第二象限上两点,且满足N 4 0 B=E 求.+研 的 值.22.（10 分）已知函数/（x）=ln x-/n x-/2x2（/R）.（1）讨论函数/（x）的极值；记关于X 的 方 程/（力+“/=0 的两根分别为p，4（p 2.参考答案一、选择题：本题
9、共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出8类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A类产品的概率，即可得解.【详解】4类产品共两件4,4，8类产品共三件片,男,自，3则第一次检测出B类产品的概率为二；2 1不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A类产品的概率为一=7；4 23 1 3故第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率为一 x 7=不；5 2 10故选：D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.2.C【解析】先写出(2 x-
10、y 7的通项公式，再根据V y的产生过程，即可求得.【详解】对二项式(2x-y),其 通 项 公 式 为 加=C；(2x广(灯=G 2*(-1/了(x+y)(2x-y)5的展开式中x33的系数是(2x y)s展开式中x2y3的 系 数 与 的 系 数 之 和.令r=3,可 得 的 系 数 为c；22(l)3=-40；令r=2,可得。2的系数为2 3(1)2 =8 0；故(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为8 0-40 =40.故选：C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.3.B【解析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性
11、可求f(x)在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较.【详解】由/(x+l)=-可得/(x+2)=/(x+l)+l =-J=/(x),即函数的周期 丁 =2，f M/(x+1)因为在区间(2 0 1 7,2 0 1 8)上单调递减，故函数在区间(-1,0)上单调递减，根据偶函数的对称性可知，x)在(0,1)上单调递增，因为a,夕是锐角三角形的两个内角，所以 a,尸 e (0,g )且a +/?；即a -,所以 c o s a c o s(g -/7)即 0 c o s a s in /3,/(c o s z)/(s in/7).故选：B.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数
12、奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.4.A【解析】先通过降幕公式和辅助角法将函数转化为/(x)=l-q c o s 2 x+q),再求最值.【详解】71已知函数/(X)=S加2%+加2 (+),1 -c o s 2x-十2若2,1 1 c o s 2 x V 3 s in2x.1 f ,九、2 1 2 2 J 2 I 3 j因 为c o s 2 x+y j e -1,1 ,所 以/(x)的最小值为g.故选：A【点 睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.B【解 析】设尸(x,y),利用两点间的距离公式求出机的表达式，结合基本不等式的性
13、质求出，的最大值时的P点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详 解】设P(x,y),因 为A是 抛 物 线f=4y的对称轴与准线的交点，点 b为抛物线的焦点,所以 4(0,-1),尸(0,1),则行除叵三=叵叵1 1 y(y-i)+X2 帕-1)+4 y二 I 4 yV y2+2 y +l，当 y =()时，m=i9r 4y r 4 4当 y。时,N/+2 y +l J 卜？j 2+2后当 且 仅 当y =l时取等号，此 时P(2,l),|4|=2 V 2,|PF|=2,点P在 以4尸为焦点的椭圆上，2 c =|A F|=2,由椭圆的定义得2a=|Q4|+|PF|=2 0 +2
14、,所以椭圆的离心率e=c房c=J2 l,故选B.a 2a 2J2+2【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a，C,从而求出e；构 造C的齐次式，求出e；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.6.A【解析】根据三角函数伸缩变换特点可得到g(x)解析式；利用整体对应的方式可判断出g(x)在(0,看 上单调递增，A正确；关于点(一专,-1)对称，。错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知8错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，O错误.【详解】将“X)横坐标缩短到原来的g得：g
15、(x)=2sin(2x+-l(c 万、,71 1 71 7 l当 司，J时,2 x+6 2).sinx在 标 马 上 单 调 递 增 ”(力在(0，?上单调递增，A正确；g(x)的最小正周期为：T若=式.不是g(x)的周期，8错误；当.后时，2x+0,g-意=-112 o V.g(x)关于点 啖,-1 称，C错误；当O时，2%+会停.,.g(x)e(O,l)此时g(x)没有最大值，。错误.本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所
16、求函数的性质.7.C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比4 所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有为+卬=2；%，即/=(4a)2+(2a)2-2x4ax2acos60。，化简得e=J 5.a故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出。到两焦点的距离，再由余弦定理得出a，c的齐次式.12.C【解析】分别求解出M,N集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【详解】因为集合“=|血1,N=xeN|-24xW 2=0,I,2,所以 n N =l,2故选：C【点睛】本题考查对数函数
17、的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.(D【解析】点P在平面ABC。内的正投影为点C,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线CR垂直于平面而为正三角形，可得。2为正三角形凶4。的重心，所以是正确的；取耳。的中点石，连接则点P在平面A瓦A的正投影在AE上，记为。，而 比），平面A C G 4，QI，Q 2 G平面A C C 4，所以。2,8。，所以正确；若设AEDCG=M ,则由Pg|AE可得RtAMACsRt&upQ,然后对应边成比例，可 解 所 以 正 确;由于%而凶4 2的面积是定值，所
18、以当点尸到平面A gA的距离最大时，三 棱 锥 口-APg的体积最大，而当点尸与点C重合时，点尸到平面AAA的距离最大，此时P-A g?为棱长为0的正四面体，其外接 球 半 径/?=且，则S球=3%,所以错误.2【详解】因为力（P）=C,连接CA，则有CA，平面A 8Q,C 4,c平面ABQ=Q C A =C B、=R为正三角形，所以。2为正三角形AA4A的中心，也是A 44A的重心，所以正确；由C4,_L平面A B Q,可知平面ACGA_L平面记力（P）=Q,由BJ.AC,BO_LCG，可得BOL平面ACC|4，Q,Q e平面ACG4,则。0,也），所以正确;若 PQJI平 面/，则 P Q
19、 A E,设 CP=Z(O 1),AEc CG=也 由 R u M A C R t M P Q得 P。=2-t词易得QC=*2T),由 P Q JA E,则 NPQC=NM AC,由 tan/PQC=tan/MAC 得,t _ 22 o V2 9解得3(2 7)当尸与C重合时，勿5世=?一 向 最大，P 为棱长为 的正四面体，其外接球半径R=,则s球=3万,所以错误.故答案为：【点睛】此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.1 4.一 叵12 6【解析】7 T求出函数的导数，利用导数的几何意义令X =,即可求出切线斜率.【详解】,/y=/(%)
20、=xcosx,/(x)=cosx-xsinx,T V 71.71 1 6兀f =cos-sin=-,33326即曲线 =%85X在=四处的切线的斜率=_L 一 叵.3 2 6故答案为：二 _ 运2 6【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.15.9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，S2BC=S“BD+SaB8,由角平分线性质和三角形面积公式得 acsinl20=axlxsin 60+ex lx sin 6 0,化简得ac=a+c,L+=l,因此2 2 2 a c.、/1 1、u c 4 a、c I 4
21、a A4a+c=（4a+c）（l）5 H 1-2 5+2.1一,9,a c a c a c当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.16.y （或写成60）【解析】设Z与坂的夹角为。，通 过 伍-山 明 可 得 仅 一 小 =0,化简整理可求出cos。，从而得到答案.【详解】设 与石的夹角为。可得（B-a）,a=0,a-b-a=0故|a|.W.cos e 问2 =0,将 问=
22、2同代入可得得到cos。=,2于是与B的夹角为?.故答案为：y.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析；(2)Joo,1【解析】(1)F(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对 a 分类讨论，即可得出单调性.1 X X(2)由 xeaxa+lK),可得 a(x+l)-l 时，a/,+令 g(x)=Ag_；e-x+；x+1利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.【详解】解法一：(1)f(x)=e+xe-ax-
23、a-(e-a)(x+1)当a W O时，X1oo,-1)-1(-1,+切f(x)-0+f(x)X极小值7所以价)在J oo,-。上单调递减，在(.1,+到单调递增.当a 0时,f(x)=0的根为x=Ina或工=1.若 Ino-即a -，X(-X,-1)-1(-7,Ina；na(Ina,+财f(x)+0-0+f(x)/极大值极小值/所以保r)在，-oo,-1)9 flnn,+切上单调递增，在(上单调递减.若 Ina=-1,即白=一，ef(x)-oo,4-oo)上恒成立，所以体 庭，00,+00,上单调递增，无减区间.若Ina/,即X(-co,na)Ina(Ina,-1)-1(-1,+到f(x)+
24、0-0+f(x)7极大值极小值7所以狡，在JooJna),+8)上单调递增，在flnq-上单调递减.综上：当aWO时，在，8,上单调递减，在(.1,+到上单调递增；当0 a-时,f(x)在(-8,-1),flna,+co)上单调递 增,在(-上单调递减.e(2)因为；ve-ax.。2 0，所以 x+1)/时，竺 士.x+1X )A xe+1 (x+x+1)-1令 g(x)=S M=-3X+/(x+1)设/?=e(x+x+1)-1因为=eCv+Z)G+2)冰 X e(-1,+00,上恒成立，即 G)=eX(x+x+7)-/在 x(-1,+oo,上单调递增.又因为从。)=0,所以8 J +在(-1
25、。上单调递减，在 很+划上单调递增,则g%n =S(O)=1,所以a 09则 的 庭 -1,+8)上单调递增,所以gO 2 g(-0，满足题意.e当时，令h(x)=e+xe-a9因为。=2e+xe 0，即力=e+xe-4在I-L+8)上单调递增.又因为。(-/)=-Q 09所以做x)=J +.a=冰 -1,0上有唯一的解，记为先,X(-L xjxo(x(f+0 0；g(x)-0+g(x)X极小值/gMnin=g(=a+/=xoe0-(e0+xoe0)xo-(e0+x/)+1 2 3-e (x0+-j)+1-e +l 0,满足题意.当a /时，g(O)=-a+1 0 “+i=a”+3(,2 2)
26、数列 q 从生开始成等差数列，n 2 9 1 4=一1，代入S=向上6得 )=2,%4=3 q,是首项为1,公差为3的等差数列，=3 -4,b=a2=2,h3=a4=8,bn-2”.(2)由 得c“=(3 42T,Tn=-1-2+2-2+?-+(3n-412T,27；,3 1 0 6 2 +?+(n-)”,两式相减得-7；,=-l+3(2l+22+?-+2,-1)-(3 n-4)-2,=-1 +6(2T-1)-(3-4)2,.北=(3-72+7.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.(1)见 解 析(2)见解析【解析】试题分
27、析：(1)先由平面几何知识证明EF/W,再由线面平行判定定理得结论；(2)先由面面垂直性质定理得BC_L平面4 夕,则再由A5_LA及线面垂直判定定理得AD_L平面A 5 C,即可得ADA-AC.试题解析：证明：(1)在平面A8D内，因为ABL4O,E F A.A D,所以ER|A8.E又因为ET7 a 平面ABC,AB u 平面A B C,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABZ)_L平面5C。，平面4 5 c 平 面BCD=BD,8。匚平面57),B C 1 B D,所以BCJ_平面ABD.因为A D u 平面A B O,所以B C,AD.又 A8JLA。，B C c A B =B,A B
28、 u 平面A5C,B C u 平面ABC,所以4O_L平面48C,又因为A C u平面ABC,所以 AZ)_LAC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.71 7120.(I)8=；(II)N A D B =.4 4【解析】(I)由正弦定理边化角，再结合sinC =sin(A+B)转化即可求解；(H)可设AC=1,由三=石，再由余弦定理/+c 2 2accos8=解得=2 0,8。=：=也，smC sm B 2对 A BO 中，由余弦定理有AC=
29、J r+(夜-2夜 cos7=l,通过勾股定理逆定理可得A 8 2+A 2 =B 2,进而得解【详解】(I)由正弦定理得sinAsin3+sinBcosA=sinC.而 sin C=sin(乃-A-B)=sin(A+B)=sin A cos B+cos AsinB.由以上两式得 sin Asin B=sin Acos B,B P sinA(sinB-cos B)=0.由于sin A 0,所以sinB=cos3,又由于B O,;r),得B=?.(I I)设c=l,在/16 c中，由正弦定理有一J=二=逐.sine sm B由余弦定理有a2+c2-2ccos B=，整理得(-2夜)(a+夜)=0,
30、由于a0,所以a=20,BD=-=y/2.2在ABD中，由余弦定理有AD=+(&-2&cos?=l.jrTT所以 AB2+A)2 =32，所以/BAD=，ZADB=-.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题721.(1)3p2cos20+4p2sin20=12(.,1 反。卜=jC,：3p2cos2+4p2 sin2 =12，由 可 得 二=3cs2 a+4 s i/a,1 3cos2,+|+4 s in 2,+|,P:12 p广 12)!=b-2+y2=l(x-l),2 7m n c、-1 =1(/?w 2),4-33(-7i v e 0,则函数。(x)在(0,+。)上单调
31、递增,X此时函数/(X)既无极大值，也无极小值；若小 0,贝!|l +mx 0,令/(x)=0,解得x=-,2 m故当xe(0,-)时，r(x)0,/(x)单调递增；2m当x e(3，+8)时，/(x)0,/(x)单调递减，2 m此时函数/(X)有极大值f (，一)=I n，一一他，一 一加(J _)2 =i n-L _ 3 无极小值；2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4若m 0,令/(x)=0,解得x=一工，m故当xe(0,-,)时，f M 0,/(x)单调递增；m当xe(，,+8)时，/(x)2,即证相(+q)2,即证：I n t y-I n 匕p(z p+g、)八2,即证,q 2(q-p)q-p P p+q设=f(/l),只需证：i n/也 二D 1),p t+设g =则g )=4 0,故g (f)在(1,+8)上单调递增，故g g =0,即l n f 故l n p+l n q2.r +1【点睛】本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式/(%)g(x)的基本方法:若f(x)与g(x)的最值易求出，可 直 接 转 化 为 证 明 g(x)M (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数(x)=/(x)-g(x),然后根据函数(x)的单调性或最值，证明h(x)0