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1、一功功率力对物体所做的功，等于力的大小、位移大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。功跟完成这些功所用的时间的比值叫做功率。1.功(1)对功的计算式W=Fs cos，的认识:计算式中的F必须是恒力，即F的大小和方向都不能变化，否 则F、cosO都不是定值，利 用%=Es c o s。就不能计算功了。一个力尸做功的多少与其他力及物体的运动状态无关。比如，外力/作用在水平面上一物体，物体前进的位移是s,那么厂所做的功等于尸s。水平面光滑与否不影响功的大小。如图所示,在其他条件相同的情况下,如果#0,则 心 丫 2 。在有些情况下，将 S看作力F 作用点移动的位移，可以使问题变得简单。如图所示，一根
2、十分细软的质量不能忽略的弹簧平放在粗糙的水平面上，一恒定外力E 作用其一端，并使得弹簧在平移中有形变。如果用力厂和力的作用点移动的位移s,求产所做的功，显然是比较简单的。依加麻加湍而 派 国 而 匕(2)怎样计算物体在力作用下沿圆周运动的功：如图所示，质点在大小不变，方向始终沿圆周的切线方向的外力/作用下，沿半径为尺的圆周运动一周，那么外力厂做的功等于多少呢？能否以为质点运动一周的位移为零，R所做的功也等于零呢？如果不等于零，如何计算呢？由于厂是变力，是大小不变，而方向始终变化着的力，所以不能直接应用公 式 版/c o s。求解，而应该将圆周分割成无穷多等份，每一等份大小等于加,方向为圆周的切
3、线方向，和此时的外力尸方向相同。力厂在这段位移内所做的功 为W=F-S,同样，在其他“位置”，E 做 的 功 为%=尸&2,W3=F S3.W n=F N n,力E在质点运动一周后，外力R累积做的功为：%1+%+.+名 产 E(A S|+A S 2+.力=2 nF R。n(3)对形变物体做功的讨论：划船、引船靠岸、登山、爬楼梯等都属于形变物体自身的不同部分交替做功的实例，如图甲所示，某人划小船前行，当人奋力向前推桨柄时，桨叶向后拨水，假设水并没有移动，但水给了桨一个反作用力，方向向前推动船前行。那么，对船(包括人)做功的力是水的推力吗？不是。因为水的推力作用点并没有随桨一起向前移动，根 据 的
4、 尸s可知，当s等于零时，尸做功为零。实际上，在人向前推桨柄时，作为船体一部分的桨叶推动船向前运动，桨叶对船做功，水只不过给了桨叶一个支撑点，水并没有对桨做功，当桨叶出水并在空中向前换位时，实际上作为船的一部分的人向后拉桨柄，通过船体带动桨叶换位成功，也是船体的一部分对另外一部分做功的结果。当然，归根到底还是人做功的结果。同样，读者可以试着解释图乙中引船靠岸和丙中爬楼梯过程中的做功问题。2.功率w(1)功率是描述力做功快慢的物理量，其 定 义 式 为 六 巴，所求出的功率是时t间t内的平均功率。(2)功率也可以用力和速度来表示，其数学表达式为P=F“cos。，式中。是力与速度的夹角。此公式有两
5、种使用方法：一种是求某时刻的瞬时功率。这时速度V取瞬时值；另一种是求某段时间内的平均功率。这时的速度U取平均速度，并且外力E必须是恒力。常常利用尸=户丫讨论功率、牵引力、速度的关系。如在机械功率一定时，速度小，牵引力大，速度大，牵引力小。【难点突破】利用功率和牛顿第二定律讨论汽车加速问题。汽车加速有两种形式：以恒定功率加速和以恒定牵引力加速。以恒定功率加速。由公式P=/十和户/=”?”可知“=上-，随着n的不断m增大，咒必将减小，最后导致a减小，汽车做加速度不断减小的变加速运动，直至尸=/；4=0,这时速度达到最大值，vm=F f以恒定牵引力加速。由公式尸=FV和 Fy=/Ma可知P=（/,+
6、因为E 恒定，所 以 a 恒定，速 度 v 均匀增大，功率尸也均匀增大，直到产增大到额定功率尸m,这时匀加速运动结束，句 加 速 运 动 的 最 大 速 度。如果汽车继F f续加速，只能做功率恒定的变加速运动了。直 到 4=0,即代歹，汽车达到了和第一种情况一样的全程最大速度，Vm=OF f【例题】物体由静止在光滑水平面上，先对物体施以水平向右的恒力尸I,经时间，后撤去尸1,立即再对它施一水平向左的恒力尸2,又经过，时间后物体回到原出发点，在这一过程中，Fi、尸2分别对物体做功修、%的 关 系 是（上海）：A.%=%【分析】B.%=2%C.%=3/D.%=5%在一个题中，力的方向和位移的方向可
7、以变化数次，但求力做的功时，原则只有一个，那就是找出力户和对应的位移s以及它们的方向.如果方向一致，力做正功.如果方向相反，力做负功.但在利用运动学公式求解时，选取正方向还是必要的.【题解】设在NB段，力为防，作用时间为d如图8-5所示，在BCD段，力为西，作用时间也为1.和3为同一点,为清楚起见，将往返过程分开画出来，并选取水平向右为矢量正方向.的fB过程中、s=m -在B rC fD it程中，B，D=-s-s=Vhi 一士-02=解以上四式得民=3尸I由于E和B在各自存在的时间内，位移方向和力方向一致，所以均做正功.用!=3肪【答案】C【例题】人的心脏每跳一次大约输送g x io n?的
8、血液，正常人的血压（可看做心脏输送血液的压强）的平均值约为1.5xl（）4p%心脏每分钟跳70次，据此估计心脏工作的平均功率为 Wo【分析】这是一道理论联系实际的题目，当面对此类题目时，必须将实际问题转化为物理模型.设想心脏在输送血液时，类似于活塞推动管中的液体而对液体做功的情形.【题解】设血管的截面积为S,血压为P，压力为F,F-p-S 每次跳动，将血液推动位移人血液体积为v 每跳动一次，心脏所做的功为甲 W=FL 解、式得 力=孙 心脏每次跳动所经历的时间为r勺兼心 脏 的 功 率 为产 吁 解，三式得 P=1.4W【答案】1.4【例题】质 量 为m的物块放在光滑的水平面上，绳经滑轮与水平
9、方向成e角，用大小为尸的力拉物块，如图所示。将物块由4点 拉 至5点，物块前进了 s位移。求外力尸对物块/所做的功有多大？【分析】本题中的外力蹴有直接作用在物块用上，力F作用点不是龌 因 而 直 接 应 用 公 式 郎=&8 8。得出的结果就是错误的.本题的正确解法有多种形式.【题解】解 法 一 如 图8-7所示，物块沿力尸方向上的位移为s(l+gs 8),所以力碉 做 的 功 为 昨 砥1+COS 8)解法二由于滑轮的作用，可以认为物块受到水平方向上的叫沿绳与水平线成8角方向上的邢I作用,这两个力的合力由余弦定理求出=VFFz+lFzcos 6-F-j2(l+cos 8合 力/与 水 平 方
10、 向 的 夹 角 为 会aroc。我零互外力对物块所做的功为 用=产合1 S*C O B -y-=冰1+008 0)解法三外力对物块所做的功等效为两条绳分别对物块所做功的总和，那么在水平方向上有效做功的力有艮Foos凡它们对物块做功的总和为 W=F s+Es=cos 6-Fs(l+oos&)【答案】尸s(l+cos 8)二动能动能定理1.物体由于运动而具有的能量叫做动能。物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半。2.动能定理(1)动能定理的不同表达一种是：合外力做的功等于物体动能的变化。这里的合外力是指物体受到的所有外力的合力，包括重力、弹力、摩擦力等。另一种是：外力对物体做功的总
11、和等于物体动能的变化。利用这一种表述解决问题往往比较方便，不必求合力，特别是在全过程的不同阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功按代数和加起来，就能得到总功。动能定理的数学表达式是：%=/Ek和动量定理一样，动能定理描述的也是过程量(功)和状态量(动能)之间的联系。这样求合外力的功还是求物体的动能变化，有了两种不同的选择。(2)应用动能定理解题的步骤：明确研究对象和研究过程。对研究对象进行受力分析。写出在全过程中合外力所做的功或各个外力做功的代数和。写出物体的初、末动能量。根据动能定理列方程求解。【难点突破】动能与动量的区别动能和动量都是状态量，即都是描述物体运动状态的物理量。
12、动能只有大小，P2 _ _没有方向，是标量，动量是矢量。动能和动量的大小关系是Ek=或P=J l m EK o2 m因此对于某一个物体，其动能发生变化时，动量必然发生变化，而其动量发生变化，动能不一定发生变化。动能的变化就是物体初末状态动能直接相减，而动量变化应是物体初末状态动量的矢量差，很有可能等于初末状态动量大小之和。【例题】有一炮竖直向上发射炮弹。炮弹质量为M=6.0 kg(内含炸药的质量可以忽略不计)，射出的初速度*=60 m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为m=4.0 kg。现要求这一片不能落到以发射点为圆心，以K=600 m为半径的圆周范围内，则刚爆
13、炸完时两弹片的总动能至少多大？炉lO m/s?,忽略空气阻力）（2003年，北京）【分 析】炮 弹 的 运 动 过 程 可 以 分 为 三 个 阶 段，第一阶段为炮弹以比=60 m/s的速 度 做 竖 直 上 抛 运 动，第二阶段炮弹在最高点爆炸为沿水平方向运动的两 块，第 三 阶 段 两 块 弹 片 沿 相 反 方 向 做 平 抛 运 动.这 显 然 是 一 道 力 学 部分的综合题.【题 解】炮 弹 及 弹 片 的 运 动 过 程 如 图8-11所 示，设 炮 弹在最高点爆炸后其中那=4.0 kg的 一 块 水 平 速 度 为vi,另 一 块 质 量 则 为n=M-n=2.0 kg,水 平
14、 速 度 为e，vo弹 片 做 平 抛 运 动 的 下 落 时 间 为i=Y要求的水平射程R 600m,R=vt-/解 以 上 各 式 并 代 入 数 据 得vi=100m/s两 弹 片 在最高点炸开时水平方向动量守恒.段水平向右为正方向，加中一加 力=0代 入 数 据 解 得v5=2OOm/s两弹片在最高点时的动能之和为代 入 数 据 后 得k=6xlO*J【答 案】EK=6X101【例题】如图所示，水平轨道上停放着质量/”A=5.Oxl02kg的小车工,在/的右方L=8.0 m处，另一，】、车5正以速度VB=4.0 m/s向右做匀速直线运动而远离A车，为 使/车 能 经 过Z=10.0s时
15、间追上5车，立即给/车适当施加向右的水平推力，使小车做匀变速直线运动，设小车受到水平轨道的阻力是车重的0.1倍，试问在追及过程中，推力至少需做多少功？（g=10 m/s2）【分 析】运 动 学 中 有 追 及 和 相 遇 两 种 常 见 的 相 对 运 动 事 例.这 两 种 事 例 有 着不同的运动学恃点,相遇常用到时间量和位移量，而 追 及 常 用 到 速 度 量、时 间 量和位移量，在 本 题 中，X追上E时，速 度 应 有 以;外，且位置相同,找出4 B物 体 的 位 移 关 系，结合动能定理即可求解.【题 解】在1。$内，3车 的 位 移 为$B=VBU40 nlH车离X车出发位置的
16、距离为JB SBfB+L=48m若力车追上以 4车的运动位移为SArB=48m对油车应用动能定理 W fsK-mv/因为VAVB,所以 Wf SA+y IVB2代入数据后得 用2,8*10*J【答案】2,8x10*1三.重力势能及重力做功弹性势能物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能。物体的重力势能等于物体的重力和它的高度的乘积。发生形变的物体，在恢复原状时能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能。1.重力势能(1)重力势能的数学表达式是EP=mgho式中高度h是一个相对量，所 以Ep也是一个相对量。在分析物体的重力势能，应该首先选取一个水平参考面，做为零势能参考平面，和参考平面相距
17、力的高度上，物体的重力势能等于/叫心重力势能是标量，当物体所处的位置高于参考面时，是正值，重力势能是正值，与物体所处的位置低于参考平面时，/?是负值，重力势能是负值。(2)重力做功跟重力势能改变的关系：当物体由高处向低处运动时，重力做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；当物体由低处向高处运动时，重力做负功，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功(或表述为增加的重力势能等于重力所做的负功)。用 公 式 表 示 为%=-AEp或JVQ=EP-EP2(2.弹性势能弹性势能跟物体发生形变的程度和材料的性质有关。同一个物体，形变量越大，弹性势能越大，形变量越小，弹性势能越小。在
18、中学阶段不引入弹性势能的数学的表达式，关于弹性势能的定量计算，只能用功、能等相关量间接得到。【难点突破】重力做功的特点：重力所做的功只跟初位置的高度加和末位置的高度比有关，跟物体运动的路径无关。因此计算重力对物体做功时，只需找到物体所受的重力和物体初末位置的落差即可。【例题】有一种叫做“蹦极跳”的运动中，质 量 为m的游戏者身系一根长为L.弹性优良的轻质柔软橡皮绳，从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法正确的是：A.速度先增大后减小 B.加速度先减小后增大C.动能增加了加gL D.势能减少了加g【分析】这是一道理论联系实际的试题，其物理模型经常出现在各
19、类考试中“一弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，有一小球在弹簧上端某高度处自由释放，”.由于这类问题中涉及到的状态是变化的，研究对象的受力也是变化的，因而加速度、速度以及它们的方向都是变化的，因此不少考生总感到无从下手,其实解决任何力学问题关键是要弄清物理过程，对物体进行准确无误的受力分析.【题解】人从高处下落，不计空气阻力，在像皮绳未拉直前，人做自由落体运动，加速度等于重力加速度，是定值，速度逐渐增大；当人将糠皮绳拉直以后，像皮绳开始被拉伸形变，人受到重力和竖直向上的弹力，合外力小于重力，加速度小于重力加速度，由于形变越来越大，人受到竖直向上的弹力也越来越大，合外力越来越小，加速度越来越小，但
20、速度仍然增加；当弹力增大到等于重力这一时刻，合外力为零，加速度为零,速度增大到最大值；人继续向下运动，弹力大于重力，合外力方向改为竖直向上，加速度竖直向上、人做减速运动，随着形变量的继续增大，加速度继续增大，人做反向加速度逐渐增大的变加速直线运动，直到速度减小为零，人到达了最低点.综上所述，人的速度先增大后减小，加速度最初恒定，而后先减小后增大，动能增量为零，势能减少了L5mgL.【答案】A【例题】如图所示，劲度系数为A 的轻质弹簧两端分别与质量为“、nn的物体1、2 拴接，劲度系数为心的轻质弹簧上端与物块2 拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现施力将物块1 缓慢地竖直上提
21、，直到下面那个弹簧的下端脱离桌面。在此过程中，物 块 2 的 重 力 势 能 增 加 了,物 块 1 的重力势能增加了 o （全国）【分析】该题较为繁琐，在方法选用上，应 注 意“整体法”和“隔离法”的灵活运用.在求解皿上升的高度时，不要漏掉侬也要上升一定的高度，即考虑鬲的变化和融的变化对物体高度的影响.【题解】设物块1、2移动前后距桌面的高度分别为加、如.加。、加，弹簧心、的自由原长分别为心、以 取桌面为零势能参考平面，移动前加1、册曲处于平衡状态切的压缩量为 A3。丁加 2 距桌面的高度为hg=Lz-加+即2k 2 苍后的压缩量为&L1=岩g皿距桌面的高度为AIO=MJ+(I-AI)=LZ
22、-加k 2 g+g i _ 詈 g)当施力将物块1 缓慢地竖直上提，直到弹簧心刚疝脱离桌面时;弹簧也恢复原长，这时段距桌面的高度为加=乙物块加重力势能的噌加量为八郎=他出及-加)=年誓电必f e弹簧方的伸长量为A Z i =*ims这时皿跖桌面的高度为A i=L 2+L i+A i r物块皿重力势能的增加量为A Epi=mig(h i-A w)=mi(m i+n t 2)(y-+-r-J g2二 的 攵 2【答案】一型7 出/刑 加+叫)$+：)片K 2 K 1 K 1四.机械能守恒定律在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律
23、。机械能守恒定律还可以表述为，如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力的相互转化时，机械能的总量保持不变。1.对机械能守恒定律的理解动能和势能统称机械能，势能包括重力势能和弹性势能，对于一个系统来说,机械能的总量等于动能和势能之和。因此，机械能守恒定律涉及的是一个系统机械能问题。重力势能是系统中重物和地球所共有的，弹性势能是系统中和重物有关联的发生弹性形变的物体(如弹簧)具有的。系统动能中的速度是重物相对于地面的速度。2.机械能守恒定律的各种表达式用系统的状态量表示 E*产E东用系统状态量的增量表示 A=0用系统动能增量和势能增量间的关系表示 EbEp3.运用机械能守恒定律的解题步骤(1)
24、选取研究对象，明确物理过程。(2)判断机械能是否守恒。(3)选取零势能参考平面，写出初、末状态的动能和势能。(4)选定合适的表达式列方程求解。【难点突破】1.当系统内物体较少时，往往根据只有“重力做功”或“弹簧弹力做功”来判断机械能守恒。当系统内物体较多时，往往根据是否有“摩擦和介质阻力”来判断机械能是否守恒。2.只有重力或弹簧弹力做功并不意味着系统只受重力和弹簧弹力作用。物只要受到的其他力不做功或做功的代数和等于零，机械能就守恒。【例题】在光滑水平面上有两个相同的弹性小球/、B,质量都是小。现 5球静止，/球 向 3 球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为E
25、P。则碰前/球的速度等于：（2002年，全国）【分析】A.B两小球组成的系虢在水平方向上不受外力作用，因而动量守恒.小球是弹性小球，并且已知碰错过程机械能守恒.由此看来，本题考查考生理解和运用动量守恒定律、机械能守恒定律的能力.是一道力学综合题，相当于一道计算题.【题解】4、E两球间的距离最小时具有相同的速度，设 大 小 为 由 动 量守恒定律可知，v的方向和小球 的碰前速度谣方向相同.mv=2mv/由机械能守恒定律得 J mv2-；（2m）vz2+Ep、两式联立解得四 杵容易出现的错误；认为当人8两球压缩最紧时，碰前4球的动能全部转化为了它们的弹性势能，丢掉了两球此时具有相同速度时的动能，因
26、 而 得 出 了 错 误 的 结 果.【答案】C【例题】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角，=30。，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两 端 分 别 与 物 块/和 5连结，力的质量为4?，3 的质量为1。开始时将5 按在地面上不动，然后放开手，让/沿 斜 面 下 滑 而 5 上升。物 块/与B间无摩擦。设当A沿斜面下滑s 距离后，细线突然断了，求物块3 上升的最大高度7/。（广东）【分析】虽然系统的机械能守恒离不开地球这个恃殊物体的参与，但为方便起见，简化了机械能守恒定律中对地球的表达，地球因素体现在物体重力势能衰达式之中.本题可宜采用机械能守恒定律，使用整体
27、法和隔离法相结合的方法来分析问题和解决问题.【题解】设物块 沿斜面下滑5距离时间速度为V,3上升的速度也等于也4丹组成的系统机械能守恒，A&=_ A Ep当细线突然断开后，8做竖直上抛运动，设继续上升的高度为儿h-V2 5V=Ts物块B上升的最终高度为H,H=s+h=1.2s【答案】1.2s【例题】如图所示，在横截面为半圆形，半径为R的光滑圆柱上，用一根 不可伸长的细绳两端分别系着物体力和优且 1A=2/”B,让其由静止开始释放,试问：(1)物体8能否到达半圆顶点？(2)若要8能过半圆顶点，mA应满足的条件是什么？【分析】(1)根据物体做圆周运动的知识可知，物体由绳牵引在圆形轨道上运动并到达半
28、圆顶点的条件是轨道的支持力N 0,对应占在最高点速度为0GV魔，女瞟v 海，所以物体B不能到达最高点，而是做斜向上方向的运动而飞越最高点.(2)若8能够到达最高点，根据机械能守恒定律,有0=y (/HA+ZH BJV2-(-ymA-mB)gfl B通过最高点的条件是v v痴比较、两 式 可 得，办1普7 T -1除此之外，要使8能沿M l柱而上冰 必须有饵AM 所以K -1【答案】不能(2)府M *n-【例题】如图所示，重物/、B、C 的质量相等，/、B用细绳绕过轻小定滑轮相连接。开始时，/、5 静止，滑轮间细绳长L=0.6m。现将。物体轻轻挂在绳的中点，求：(1)C下落多大高度时速度最大？C
29、的最大速度是多少？(2)C下落的最大距离是多少？【分析】本题涉及的物体较多，并且包含着隐含条件.当C受力平衡时刻的瞬时速度最大.落至工、B、C三者的瞬时速度为零时的距离最大,在不计一切摩擦的情况下，机械能守恒.【题解】(1)由于4 B、C运动都是先加速后减速，所以当顼度最大时，三个物体各自所受合力均为零，此时结点O,的合力也为零，绳与水平方向夹角a=3 0,设C此时已下落的高度为九 如图2-28所示ft=-j-Z-tan30c=0.17ni 设此时弼速度为心 对v进行分解，如图8-28所不，则 VA=VB=V sin a=-崎、B、C为一个系统，根据机械能守恒定律*2 mg(而 翁-y )=ywv2+yx2w VA2、联立解得v=l.lm/s(2)当CT落到最低点时，4 3上升到了最高点，此时三者速度均为零.设仟落的最大高度为打，对4、&Cff次应用机械能守恒定律，mg H=2+修)2-亨)代入数据后得H=0.4m【答案】(1)C下落的高度为0.17 m时速度最大，的最大速度为1 1 m/s(2)C下落的最大距离为04 m.