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1、2022年上学期高一年级期末试卷数学试题一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.已知集合=5 =x|x2 则 4 c 8=()AA TO 1 B 0 C T l D 0，L 22.“Q0 力 0”是“0”的()AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 设加 e(O,l),若a =lg 叫 b=l g m c=(lg m)：贝 火)Ca b c B.b c a Q c a b Q c b a解：*/0 1,:.0 m2 m l flg 广 lg 加 I g l=0,b a o,:.c a b 9 故选：C.4.在“8 C中，。为 4 c 的中
2、点，E为 8 C 上靠近c 点的三等分点，则 方=（）DA.源声IAB-ACB.3 6-A B+-A CC.6 6-A B+-A CD.3 65 若x o,yo,且A.121 3 ,-1-=1X y ,则3 x+的最小值为()/D.16解：因为=6+6=12当且仅当X y,即x=2,V=6 时取得最小值为12,6.某班有位同学，统计一次数学测验的平均分与方差.故选：A在第一次计算时漏过了一位同学一,2的成绩，算得-1位同学的丫均分和方差分别为王、可，所以只好再算第三次，算得位同学的平均分和方差分别为三、年,若已知该漏过了的同学的得分恰好为X,则(A.)BXj X?S -C.X1=X2 ,S1
3、S2解：设这个班位同学的成绩分别是 I/，4,，%,第一次漏过了第，位同学的成绩，第一次计算时总分是G-i）再，第二次计算时，2 方差 其 =6-可+-1-可+口 +-菊=-5i2故s：s；,故选：B.7.饕餐（启。t论）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餐纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1,有一点P从4点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着饕餐纹的路线到达点B的概率为（）C1111A.16 B.4 C.8 D.2解：点P从4点出发，每次
4、向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以三次跳动后，1恰好是沿着饕餐纹的路线到达点8的概率为0.8.在棱长为1的正方体中，点”，N分别是棱BC,的中点，动点P在正方形B e g/（包括边界）内 运 动.若 平 面AMN,贝 旷勺的最小值是（）CA.1B.T3C.T.解：取/C i的中点E,B片的中点尸，连结为E,&F,E F,取EF中点。，连结4 ,点 叫N分别是棱长为2的正方体中棱BC,0好的中点，AM/A1Ef
5、 MN/EF,AMCMN=M,4止 平面4M N平面&EF,.动点p在正方形B CCi i（包括边界）内运动，且P&面A M N,点P的轨迹是线段即，,.1E=W=4,即=苧，MIO I E F,3 12当P与。重合时，P i的长度取最小值，为4=于，当P与E（或F）重合时，叫的长度取最大值，为 为 公 勺/二?故 选：C取8 1c l的中点E,B片 的中点F,连结&E,4尸，E F,取EF中点0,连结为,推导出平面4M N平面人道尸，从而点P的轨迹是线段EF,由此能求出P 41的长度范围，即可求出其最小值.二、多 选 题（本大题共4小题，共2 0分）9.已知i为虚数单位，复数z满足z（2 T
6、）=I.2022,则下列说法正确的是（）A.复数z的模为手2 1.B.复数z的共桅复数为v+m1.C.复数Z的虚部为V D.复数z在复平面内对应的点在第三象限AB）解：2=高施=卷=一|总昨1 =或项=,故/正确，2 1.1复数z的共辗复数为三十於，故8正确；复数z的虚部为-5,故C错；复数Z在复平面内对应的点为（W）,在第三象限，故。正确.10.已知万，分是单位向量，且。+3 =（1，T）,贝）A.词“B,）与B垂直71C.1与万一B的夹角为4 D.仅-3|=1B C解：因为 1+B =（1,1）,所以 m +B|=J 1 2+（_ 1）2=&,2=|歼=1,庐=向2=1,（a+b）2=a2
7、+b2+2 a-b=2 所以所以石石=0,所 以 办B,故 正确，A错误；a-h yl（a-b）2=yla2-2 a*b+b2=y/a2+b2=&_ r a a-b）1 72因为展（1一6）=52 _./,=1,所以 aa-h V 2 2（7T所 以 万 与 的 夹 角 为4,故。正确，。错误.11.下面叙述正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线相互平行；B.正三角形的平面直观图一定不是等腰三角形C.圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为2：3.D.若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直BCD解：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一
8、直线的两条直线不一定平行，故A错误：正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成4 5,不为等腰三角形，选项8正%R 3确；圆柱的底面直径和高都等于球的直径2 R,则球的体积为与圆柱的体积为2兀相，球与圆柱的体积之比为2：3,选项C正确.若两个平面。，方垂直，假设平面口 内与它们的交线/不垂直的直线4与平面力垂直，因为且平面尸的 交 线 所 以 可得/i ,这与条件/与 不垂直相互矛盾，所以假设不成立，原命题成立，故只有D正确.12.下列表述正确的有（A B C ）A.在平行四边形/B C D中，方+1万=%.B.在中，若 万 祝 0）倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象，若函数y=/O
9、）在区间（。,兀）上有且仅有一个零点，则3的取值范围为.解：将函数y=sinx的图象向左平移!个单位长度，可得y=sin（x+的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的&(3 )倍(纵坐标不变)，得到函数y =/(x)=s in(3”+的图象，若函数y =八为在区间(0,兀)上有且仅有一个零点，0+1 万3 =万3,;3.兀+不兀 z(兀/c，2i兀 ,二 3 6z-(,2西 S-.,故答案为(布2 51 6.已知一个球与一个正三棱柱A B C-A|B|G 的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的3 2-71体 积 为 3 ,那 么 这 个 三 棱 柱 的 侧 面 积 为,二面角A-B C A
10、I 的 正 弦 值 为.2 7 1 3林0 48113答案：4 3 3 2-J ir=7 t解：设球的半径为r,则 3 3 ,得=2,所以正三棱柱的高为2 r=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为46,所以正三2回棱柱的侧面积S 侧=3x 4x 46=4 8 5,二面角A B%的 正 弦 值 为 1 3四、解 答 题(本大题共6小题，共 7 0 分)1 7.(1 0 分)已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能3 2够 通 过 测 试 的 概 率 分 别 为 求：(1)恰 有 1 人通过测试的概率：(2)至少有1 人通过测试
11、的概率.5 1 I(1)1 2 (2)1 2,=(sinA,slnB sinC),1 8.在A 4 B C 中，角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,mf=(a-bf b+c)-1 *n,且 m n,(1)求角C 的值；1+V3(2)若A 4 B C 为锐角三角形，且c =l,求 一”的取值范围.,、-=(sinA inB sinQ=(a b,b+c)J L -解：(1)因为m,n,且m n,所以 SM 4(Q b)+(s inB-s 讥C)(b+c)=0,(1 分)利用正弦定理化简得：a(a b)+(b+c)(b c)=0,a2+b2-c2=ab,(3 分)_ a2+b2-c2 _ 1由余弦
12、定理可得C S C=2 a b=5,(4 分)又因为C e(0,7 T),所以CE；(6 分)(2)由(1)得4 +B =lT,即8 =可一4,又因为三角形A B C为锐角三角形，所以。_ 匕0 y-i 4 。/般俎,4 V 2/Q/v 2解得：6 2,（8分）c 1 2因为C=l,由正弦定理得：S inA S inB S inC S i n g2 2匕 匚2。=三讥A b=-y=sinB所以 43,V3,所 以 与。一。=讥 一令讥B =管s in*务讥（J +4）=sinA-cosA =y/2sin（A-）（io 分）九 4 7T n n.n it因 为 产“2,所以所 以 萼 而 讥0
13、4-1,则 商 f的取值范围为（】）（1 2分）1 9.如图，在四棱锥尸一48co中，底 面/口。是矩形，夕。，平面4D=P D=2,N B =5,点Q是尸的中点.求证：P 4/平面B D Q.（2）在线段/笈上是否存在点尸，使直线勿与平面勿。所成的角为60?若存在，求出力尸的长，若不存在，请说明理由？解：连接A C,设4 C 交 B D 干 0,连 接0Q,因为底面力反力是矩形，则。是2。中点，又 点0是z的中点，故。是三角形67%的中位线，则0/，又尸“,平 面5OQ,0 匚平 面&7 Q,故&/平面（6分）（2）因为夕。工平面C，/8 u平面力5m，则又底面Z切力是矩形，则又 PD,Z
14、O u面目P DM D=D,则.面以，则/尸_L面 刃 ，（8分）故44 P R就是直线房与平面勿所成的角，（9分）又 4 P =ylA D2+P D2=25/2.A J 7 Ltan ZJPF=V 3则 4 P故 力/=2&5,a 分）FBA故当4F=2#时，在线段/上是存在点区 使直线/，?与 平 面 以。所成的角为60.（12 分）20.如图，三棱锥 H48c 中，平面 48C,PA=,4B=1,BC=J5,/SNC=60。.（1）求三棱锥,z-PBC的体积；MC_3（2）点/在 线 段PC上，且满足尸 求 证：BM 1 ACBC _ AB解：（1）因为48=1,BC=6,ZBAC=60,所以由 sin/sinC 得11片sinC=,而A B B C,C 0,下面研究关于 的方程（_ 2）/+2 a 1-1=01t 当4=2时，4,符合题意；（9 分）当”2 时，则 =4（a+2）（a-l）,何时仅有一个正根（8 分）z,=1 0 符合当 a=时，一 2 一 a,当 4=-2 时,t1=t2-=-0 舍去2 2-a 2-2时/0当。-2 有异号的两个实根，符合题意；Q i分）综上所述，实数a的取值范围为。2 2或a=1（2分）