《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)29 空间点、直线、平面之间的位置关系(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)29 空间点、直线、平面之间的位置关系(含详解).pdf（84页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题2 9空间点、直线、平面之间的位置关系【考点预测】知识点.四个公理公 理 1:如果一条直线上的两点在个平面内,那么这条直线在此平面内.注 意:U）此公理是判定直线在平面内的依据;（2）此公理是判定点在面内的方法公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.注 意:（1）此公理是确定一个平面的依据;（2）此公理是判定若干点共面的依据推 论 :经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注 意:（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推 论 :经过两条相交直线，有且只有一个平面;推 论 :经过两条平行直线,有且
2、只有一个平面;公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.注 意:（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.知识点二.直线与直线的位置关系位置关系相 交（共面）平 行（共面）异面图形/X 73符号ab=Pa/baa-A,b u,A 走 公共点个数1O特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何个平面内知识点三.直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与
3、平面平行三种情况.位置关系包 含（面内线）相 交（面外线）平 行（面外线）知识点四.平面与平面的位置关系:有平行、相交两种情况.图形/7Az符号IU a a =PI/a公共点个数无数个10位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形Xa j_A _/7符号a/夕=/a L ,6=/公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上知 识 点 五.等 角 定 理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.【题型归纳目录】题 型 :证 明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”题型二：截面问题题型三:异面直线的判定题型四：平面的基本性质题型五：等角定理
4、【典例例题】题型：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”例1.（2022 上海高三专题练习）如图,在正方体A B CD B lG口 中,M为棱 G的 中 点.设A仞 与平面85。的交点为,则（A,三点O,B共 线,且08=2 0Z）IB.三点 出,0,8不 共 线,S.0B=20DtC.三点。,O,B共 线,且O B=OD.三点 ,O,B不 共 线,且O B=O Z）I例2.（2 02 2 上海高三专题练习）如图A B C D一4BCQ是长方体,。是8Q的中点,直线AC交平面 旦。于 点 则 下 列 结 论 错 误 的 是（）A.A,M。三点共线B.M,0,A四点共面C.B,Bl,
5、O,Z四点共面D.A,O,C,M四点共面例3.（2 02 2 宁 夏 固 原一中一模（文）在正方体A 8 C Z）-44G 中,是。B的中点,直线AC交平面C。于 点,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）G、M、O、C四点共面;C 1、。、4、B四点共面;2、。、。、M四点共面.A.B.C.D.例4.（2 02 2 上海模拟预测）已知长方体A B C。AAG2中,对角线Aa与平面A B z）交于点,则 为A A B。的（）A.外心 B.内心 C,重心 D.垂心例5.（2022 全 国 高三专题练习（理）如图,在长方体8 8-A M G，中,E,分别为G,与G的中 点,M分别为8。,的中点,则
6、下列说法错误的是（）四点8,D,E,在同一平面内B.三条直线8 F,DE,C G有公共点C.直线A C与直线。不是异面直线D,直线C上存在点N使M ,N ,。三点共线例6.（2022 上海高三专题练习）在空间四边形ABCr）各边AB,8C,CD,D4上分别取E,R G,”四点，如果EF,G”能相交于点尸，那 么（）A.点 尸必在直线A C上 B.点必在直线8。上C.点/必在平面。B C内 D.点P必在平面A B C外例7.（2022 全国高三专题练习）如图，在长方体A 8 8-A B C口 中，E,分别是M G和G R的中点.证明:E,F,D,8四点共面.（2022 全 国 模拟预测（理）图1
7、是由矩形ABGF,Rt 4）E和菱形ABCr）组成的个平面图形，其中AB=2,AE=AF=I,ZBA D=GOa.将该图形沿A 3,A。折起使得A E与A F重合，连接C G,如图2.图2证 明:图2中C,D,E,G四点共面;例9.（2022 湖北省仙桃中学模拟预测）如图，等腰梯形ABCr）中A D/BC,BE 1 A D,B C =BE=4,DE=8,沿 B E 将 AAB E折起至与平面BCr）E成直二面角得到四棱锥,M为A E中 点,过。、D、M作平面A请画出平面CDM截四棱锥A-B C D E 的截面,写出作法,并求其周长;例 10.（2022 安徽马鞍山二中模拟预测（理）四棱锥P-A
8、BCZ）中，平面PCZ）丄平面A B a）,PD=PC,NDPC=90,ADHBC,rABC=90,AD=AB=I,BC=2,M 为 PC 的 中 点,PN=2ND.A,B,M,N 四点共面;例 11.（2022 四 川 眉 山 三 模（文）如图,已知在三棱柱ABC-A8 C 中，AB=AC=6,A B lA C,F是线段BC的中点，点。在线段A尸上，AO=2LZ）是侧棱CG中 点,BDnCBl=E.（1）证 明:OE 平面AAGC；（2）F,E,G 三点在同一条直线上吗?说明理由,求五的值.例 12.（2022 全国高三专题练习（文）如图,在正方体A B a）-A B C 中,。为正方形A
9、B a）的中心,为直线用。与平面ACA的 交 点.求 证:Dt,H,。三点共线.13.（2022 陕西西北工业大学附属中学模拟预测（文）如图,在正四面体BC。中,点 E,F 分别是AB,B C 的 中 点,点 G,H 分别在S A。上,且 D H q A A D G =求 证:直 线 EH,F G 必 相 交 于 一 点,且 这 个 交 点 在 直 线 上;例 14.（2022 河 南 三 模（文）如 图,在 长 方 体 A B C O-A B C 中,E,F 分别是8 和 G R 的中点.（1）证 明:E,F,D,B 四点共面.（2）证 明:BE,DF,C a 三线共点.例 15.（2022
10、 山 东 枣 庄 模）已知正方体ABCL-A B C 中,点 E,分别是棱AA,A Q 的中点,过点作出正方体ABC。4 4 G A 的截面,使得该截面平行于平面BEf.作出该截面与正方体表面的交线,并说明理由:（截面：用个平面去截一个几何体,平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.）【方法技巧与总结】要证明点共面 、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面,再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）;证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 线共点 问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于
11、一点,再证明交点在第三条直线上.题型二:截面问题例1 6.（2 02 2 上海黄浦二模）如图,已知P、。、R分别是正方体ABCD-18 C R的棱、BC和GR的 中 点,由点P、2、R确定的平面截该正方体所得截面为B.四边形C,五边形D.六边形例1 7.（2 02 2 江西萍乡三模（文）正方体48 C0-A山C 中,E是棱 的中点,尸在侧面8 DC上运动，且满足 平面A8E.以下命题中,正确的个数为（）侧面CDA G上存在点F 使得B1FI CDt；直线B7与直线BC所成角可能为30；设正方体棱长为1,则过点E,F,A的平面截正方体所得的截面面积最大为選.A.0 B.1 C.2 D.3例1 8
12、.（2 02 2 福建省厦门集美中学模拟预测）在正方体A B C。-A1BG 中,棱 长 为3,E为 棱 上 靠 近用的三等分点，则平面4 E截正方体A B C。-A，耳G 的截面面积为（）A.2 H B.4 C.2 2 2 D.4 2 2例1 9.（2 02 2 山 西 模 拟 预 测（理）如图,长方体BCO-4 4 G 中,AB=BC=,AA=2,点M为线段4A的中点,点N为棱CG上的动点（包括端点）,平 面 耳似N截长方体的截面为,则（）截面可能为六边形B,存在点、N,使得BN丄截面C,若截面为平行四边形,则该截面面积的最大值为石D.当N与C重合时,截面将长方体分成体积比为2:3的两部分
13、例2 0.（2 02 2 云南曲靖二模（文）正方体ABCo-ACQ的棱长为1，E、G分别为B C,C C1,BB1的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（）平面AEF截正方体所得的截面面积为之;直线AG与直线E F所成的角的余弦值为巫.8 I OA.B.C.D.例2 1.（2 02 2 全国高三专题练习）已知长方体A B CA4G 中A B =AA=4,BC=3,M为A的中点,N为CQ l的中点，过 片的平面与。M,AN都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（）A.32 2 B.3 C.4 2 2 D.5 例2 2.（2 02 2 全国高三专题练习（理）如图，在正方体A B C Z）A BC
14、Q中，A =2,点E为AB中点,点 为BC中点，则过点4与BE,GF都平行的平面被正方体A B C Z）AAC。截得的截面面积为)B例 23.（2022 全 国 高三专题练习（理）已知正方体4 8 8-A B C a 的棱长为4,E,F 分别是棱AA,BC的中点,则平面。E截该正方体所得的截面图形周长为（）A.6 B.102 C.13+25 D.西 +:+25例 24.（2022 贵州模拟预测（理）在正三棱柱ABC-AG 中,AB=3,A41=6,D,E 分别在4?，BC上，D=B E =I,则过。，E,G 三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（）A.4 B.2#C.6 D.2W例 25.（20
15、22 河南西南大学附中高三期中（文）如图,在直四棱柱A 8 C 0-4 4 G 中,BC丄CD,ABHCD,BC=B AA=AB=A=2,点尸、。分别为棱明、CC的中点,则平面”。与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（）例 26.（2022 四川省内江市第六中学模拟预测（理）在棱长为1 的正方体A用G R-A B C D 中,M 为底面ABC。的中心,Q 是棱A 上一点,且 丽=职,6 I,N 为线段AQ的中点,给出下列命题:CN与。M共面;三棱锥AMN的体积跟的取值无关;当=丄 时,A M lQ M .4 当 =:时,过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为逑土R i I.3
16、 3其中正确的有（填写序号）.例2 7.（2 02 2 全 国 高三专题练习（理）正方体A f iC Z）-AbC 的棱长为2.动点P在对角线8上.过点 尸作垂直于BD的平面 .记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y=/（x）,设B P=x,x（0,2 3）,下 列 说 法 中,正 确 的 编 号 为.截面多边形可能为四边形;函数（X）的图象关于X=。对称;当X=G时,三 棱 锥 尸A8 C的外接球的表面积为9兀.例 28.（2 02 2 上海静安模拟预测）正方体A88-A4CQ的棱长为1，E、F分别为BC、CG的中点，则平面E截 正 方 体 所 得 的 截 面 面 积 为.例
17、29.（2 02 2 全国高三专题练习）正方体力88-ABCQ的棱长为2,E是棱。的中点,则平面A GE截该正方体所得的截面面积为（）A.5 B.2 5 C.4 6 D.2 6例 30.（多选题）（2022 湖北模拟预测）棱长为1的正方体A 8 8-A 8 C Q 中,p、Q 分别在棱BC、C G上，CP=x,CQ=y,x 0,l,y ,l且x?+0,过 A、RQ 三点的平面截正方体 A BCQ-A1BCQ得到截面多边形,则（）A.=y时,截面一定为等腰梯形B.x=l时,截面一定为矩形且面积最大值为 C,存在X,y使截面为六边形D.存在,y使BR与截面平行例3 1.（多选题）（2022 河北衡
18、水 高三阶段练习）已知。为正方体BC。A B e A底面AB eD的中心,E为棱B e上动点，率=瓯，F垂直例32.（2022 全 国 高三专题练习）正方体 A B C o-A B c。的棱长为 4,BiP=2PC,D,Q=3QCl,用经过8,尸,。三点的平面截该正方体,则所截得的截面面积为（【方法技巧与总结】3I5B.153C 1515,-4D.32T)截面问题是平面基本性质的具体应用,先由确定平面的条件确定平面,然后做出该截面,并确定该截面的形状.题型三:异面直线的判定例3 3.（多选题）（2022 重 庆 三 模）如图,在正方体A 8 C D-4 4 G A中，为正方形ABC。的中心，当
19、点P在线段8 G上（不包含端点）运动时,下列直线中一定与直线O P异面的是（）AB1B.A1CC.A1A D.AD1例34.（2022帙西西北工业大学附属中学二模（理）如图,在长方体A B cD-A 8CD中，A fi=2AA=2 4）,M、N分别是A的、C的中点.则直线C N与 M是（）B.相互垂直的异面直线相互垂直的相交直线C.相互不垂直的异面直线D.夹角为60。的异面直线例 35.（2022 新 疆 二模（理）设点E 为正方形ABC。的 中 心,M 为平面 BC外 一 点,阳4B为等腰直角三角形,且/MA8=90,若 是线段MB的 中 点,则（）A.M E D F,且直线M E、是相交直
20、线B.ME=。，且直线M E、C.M E D F 且直线M E、尸是异面直线D.M E =D F,且直线M E、尸是异面直线 F 是相交直线例 36.（2022 全国高三专题练习）已知直线a、b、，和平面、,a u a,b u ,a=l,且 丄.对于以下命题，下列判断正确的是（）若”、异面,则、b 至少有一个与/相交;若。、垂直,则、至少有一个与/垂 直.A.是真命题，是假命题B.是假命题,是真命题C.是假命题,是假命题D.是真命题,是真命题例 37.（2022 四川射洪中学模拟预测（文）“直线/与直线机没有公共点”是“/的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也
21、不必要条件例 38.（2022 全国高三专题练习）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开 图.某小组得到了如图所示表面展开图,则在正方体中,A B.C D、E F、GH这四条线段所在的直线中,异面直线有（）1对B.3对C.5 对D.2 对例 39.（2022 全国高三专题练习）如图,在正方体ABC。A g C Q 中,E,尸分别为CG,A G 的中点,则下列直线中与直线BE相交的是（）A.直线A B.直线C.直线G R D.直线AA例 40.（2022 福建福州三模）在底面半径为1 的圆柱。I中,过旋转轴O a 作圆柱的轴截面ABc,其中母线A3=2,E 是 BC的 中 点,是 AB的中点
22、,贝（）A.AE=CF,A C与E是共面直线B.A E C F,A C与E是共面直线C.AE=CF,AC与E是异而直线D.AECF,AC与E是异面直线例 41.（2022 上 海 高三专题练习）正方体上点P,Q,R,S是其所在棱的中点,则直线尸。与RS异面的图形是（）【方法技巧与总结】判定空间两条直线是异面直线的方法如下:（1）直接法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.（2）间接法：平面两条不可能共面（平行,相交）从而得到两线异面.题型四:平面的基本性质例 42.（2022 浙 江 高三专题练习）如图所示，点A,线 加,面之间的数学符号语言关 系 为（）例 4
23、3.（2022 河 南 濮阳市华龙区高级中学高三开学考试（文）下列命题中正确的是（）A.过三点确定一个平面 B.四边形是平面图形C.三条直线两两相交则确定一个平面 D.两个相交平面把空间分成四个区域例 44.（2022 江苏省滨海中学模拟预测）空间中5个平面可以把空间最多分成的部分的个数为（）A.26 B.28 C.30 D.32例 45.（2022 上 海 高三专题练习）空间中三个平面最多可以将空间分为 部分.例 46.（2022 上 海 高三专题练习）空间两个平面最多将空间分成 部分.（填数字）例 47.（2022 安 徽 六安市裕安区新安中学高三阶段练习（理）设有下列四个命题:若点A直线
24、,点A e平面,则直线 u 平面a；过空间中任意三点有且仅有一个平面;若空间两条直线不相交,则这两条直线平行;两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内则上述命题中正确的序号是.例 48.（2022 全 国 高三专题练习）如图所示,用符号语言可表 述 为（）a=m,u a,/Mn=AB.a=m,n a,nn=AC.a y=m,u a,AU m,AUn D.a=m,n生a,A e m,Ae.n例 49.（2022 全 国 高三专题练习）下列命题正确的个数 是（）两两相交的三条直线可确定一个平面两个平面与第三个平面所成的角都相等,则这两个平面一定平行过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行和两
25、条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线A.4 B.3 C.2 D.1题型五:等角定理例 50.（2022 全国高三专题练习（理）过正方形ABCQ-A円C Q 的顶点A作直线人使得/与直线州G。所成的角均为60。，则这样的直线/的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4例 51.（2022 全 国 高三专题练习）已知a,b,C是两两不同的三条直线，下列说法正确的是A.若直线,异面,b,C异面，则4,C异面B.若直线a,b 相 交,b,C异面，则小 C相交C.若。/,则a 与C所成的角相等D.若。丄 c,则ac例 52.（2022 全 国 高三专题练习）平面a 过正方体ABCD-A闰 G。的顶点
26、A,a/平面C qR,a c 平面ABC。=”?，a c 平面ABBM=,则 根,“所成角的正切值为A.3 B.1 C.电 D.2例 53.（2022 甘肃嘉峪关市第一中学三模（文）空间两个角a,的两边分别对应平行,且a=6。,则B为（）A.60o B.120 C.30o D.60或 120例 54.（2022 全国高三课时练习）己知二面角-/-/?的大小为50,P 为空间中任意一点,则过点P 且与平面 和平面所成的角都是25的直线的条数为A.2 B.3 C.4 D.5例 55.（2022 上海高三专题练习）设ZA和DB的两边分别平行,若/A =45。，则DB的大小为.例 56.（2022 重
27、庆巴蜀中学高三阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边 中 点,所 组 成 的 四 边 形 是.【方法技巧与总结】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【过关测试】、单选题1.（2022 上海模拟预测）如图正方体ABC。ABC。中，入。、R、S 分别为棱A8、B C、B B 的中点、,连接AS，4。,空间任意两点例、N,若线段MN上不存在点在线段AS,四。上，则称MN两点可视，则下列选项中与点R 可视的为（A.点 尸5Bf BC.点 RD.点。2.（2022 四川石室中学模拟预测（理）如图是个几何体的平面展开图,其中四边形 BC为正方形,E,F
28、分别为以，P。的中点，在此几何体中,给出下面四个结论:直线BE与直线A异面;直线E 平面PBC；平面BCE丄平面P A D.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3 D.43.（2022 山西大同高三阶段练习）如图,在四棱柱8 8-A1B C 9中,AB=AO=AA1=I,A D Y A A,A D Y A B,ZAi AB 60,M,N分别是棱A B和B C的中点,则下列说法中不正确的是（）A.A,G,M,N四点共面B.8N与 J共面C.Ar）丄平面4.（2022 上海长宁二模）如图,己知A、D.A M丄平面ABCQB、C、D、E、分别是正方体所在棱的中点,则下列直线中与直线E相交的是（）
29、.直线ABC.直线C oB.直线BCD,直线DA.5.（2022 河 南 安 阳 三 模（文）以三棱柱的任意三个顶点为顶点作三角形，从中任选两个三角形,则这两个三角形共面的情况有（）A.6 种 B.12 种C.C种D.30 种6.（2022 全国高三专题练习）在长方体A B C O-丹G R中,点 ,分别是棱A R,A A的中点,点。为对角线A C,的交点,若平面E o F n平面ABCE =/,l AB=G,&A G =k G B,则实数=（）C.I D.7.（2022 全国高三专题练习）如果直线。平面。，P w a,那么过点P且平行于直线的 直 线（）A.只有一条,不在平面 内 B.有无数
30、条,不一定在平面 内C,只有一条，且在平面 内 D.有无数条,一定在平面 内8.（2022 贵州贵阳模拟预测（理）已知正方形ABC中 E 为 AB中 点,“为 A。中点，F,G 分别为BC,C上的 点,CF=2FB,C G =I G D,将 Afi。沿着BO折起得到空间四边形ABCD,则在翻折过程中,以下说法正确的是（）.A.E F/G H B.E与 G”相交C.E F 与 G H 异面 D.EH 与 FG 异面9.（2022 全国高三专题练习（理）如图,在棱长为4 的正方体ABC。-4 8 。，中,M ,N 分别为棱 A 8,B C 的中点，过 C,N 三点作正方体的截面，则以B点为顶点，以
31、该截面为底面的棱锥的体积 为（）10.（2022 全国高三专题练习）已知长方体ABC。A1BG。中，AB=BC=，点 E 在线段CG上，同=/l（0 l l）平面 过线段A的中点以及点、E,现有如下说法:（1）3 0,l,使得 BE 丄 B E;I 2（2）若 ,-,则平面 截长方体ABCO-A円G A 所得截面为平行四边形:（3）若=0,A B=2,则平面 截长方体A8CO-A1B C 所得截面的面积为3几以上说法正确的个数为（）A.O B.1 C.2 D.311.（2022 全国高三专题练习）用平面 截棱长为1 的正方体ABCD-A与G R ,所得的截面的周长记为则当平面 经过正方体的某条
32、体对角线时,，的最小值为（）A.述 B.5 C.334D.25二、多选题12.（2022 广东惠州高三阶段练习）如图，在棱长为2 的正方体A 8CD-瓦C Q 中,M,M P 分别是,G C,AIA的 中 点,则（）四点共面B.异面直线P R 与 MN所成角的余弦值为巫IOC.平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P-M V B的体积为:13.（2022 全国模拟预测）如图,在正方体ABCEEHG中,M,N分别为FH,FE的中点,则（）A.AN,BF,CW三条直线不可能交于一点，平面AeMzV丄 平面BoG尸B.AN,BF,CM三条直线一定交于一点,平面ACMN丄 平面BDG尸C.直线
33、AE与直线CM异 面,平 面 A EC丄平面ABCD.直线AE与直线CM相交，平面ACMV丄 平面ABCD14.（2022 湖南长郡中学高三阶段练习）如图，E,F,G,分别是空间四边形 BC各边上的点（不与各边的端点重合），且 4E:EB=4H:H=，,CF:FB=CG:GD=n,AC丄B，AC=4,8=6.则下列结论正确的A.E,F,G,定共面B,若直线E与 G 4 有交点，则交点一定在直线AC上C.AC平面E尸 GHD.当 机=时,四 边 形EFG”的面积有最大值615.（2022 全国模拟预测）在正方体ABCz）-A B C Q中,下列说法正确的是（）A.若E,F,G分别为8C,CC,B
34、4的中点,则A G与平面AE平行B.若平面丄AC,正方体的棱长为2,则截此正方体所得截面的面积最大值为3亚C.点尸 在线段BG上运动，则三棱锥R-A P C的体积不变D.。是B a的中点,直线C交平面ABIR于点。,则A,Q,。三点共线三、填空题16.（2022 全国高三专题练习（文）如图，平面 平面万,Z R4B所在的平面与,分别交于CZ）平面的厚度是5cm；经过一条直线和一个点确定一个平面;两两相交且不共点的三条直线确定一个平面;经过三点确定一个平面.19.（2022 上海高三专题练习）空间不共线的四点，可能确定 个平面.20.（2022 全国高三专题练习）已知正方体ABC o-A円C a
35、的棱长为。，点 瓦,G分别为棱A8,順,CQ的 中 点,则 下 列 结 论 中 正 确 的 序 号 是.过E,E G 三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;B a 平面E FG；明 丄 平 面 A C/四面体A C B Q 的体积等于:/21.（2022 黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习（理）已知正方体A 8 8-A 4 C 的长为2,直线A G 丄平面。,下列有关平面 截 此 正 方 体 所 得 截 面 的 结 论 中,说 法 正 确 的 序 号 为.截面形状一定是等边三角形:截面形状可能为五边形;截面面积的最大值为3百,最小值为2L存在唯一截面,使得正方体的体积被分成相等的两部分.22.（2
36、022 全国高三专题练习）在平行六面体ABC。-AM G的所有棱中,既与A B共面,又与C G 共面的棱的条数为.23.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已知BAC=旦A G,A BAlBif则 A C 与 A c I的位置关系是专题2 9空间点、直线、平面之间的位置关系【考点预测】知识点.四个公理公 理 1:如果一条直线上的两点在个平面内,那么这条直线在此平面内.注 意:U）此公理是判定直线在平面内的依据;（2）此公理是判定点在面内的方法公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.注 意:（1）此公理是确定一个平面的依据;（2）此公理是判定若干点共面的依据推 论 :经过一条直
37、线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注 意:（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推 论 :经过两条相交直线，有且只有一个平面;推 论 :经过两条平行直线,有且只有一个平面;公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.注 意:（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.知识点二.直线与直线的位置关系位置关系相 交（共面）平
38、 行（共面）异面图形/X 73符号ab=Pa/baa-A,b u,A 走 公共点个数1O特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何个平面内知识点三.直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.位置关系包 含（面内线）相 交（面外线）平 行（面外线）知识点四.平面与平面的位置关系:有平行、相交两种情况.图形/7Az符号IU a a =PI/a公共点个数无数个10位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形Xa j_A _/7符号a/夕=/a L ,6=/公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上知 识
39、 点 五.等 角 定 理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.【题型归纳目录】题 型 :证 明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”题型二：截面问题题型三:异面直线的判定题型四：平面的基本性质题型五：等角定理【典例例题】题型：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”例1.（2022 上海高三专题练习）如图,在正方体A B CD B lG口 中,M为棱 G的 中 点.设A仞 与平面8 5。的交点为,则(A,三点O,B 共 线,且 08=20Z)IB.三点 出,0,8 不 共 线,S.0B=20DtC.三点。,O,B 共 线,且 OB=OD.三点 ,O,B
40、 不 共 线,且 OB=OZ)I【答案】A【解析】在正方体A8C7)-48GZ)中,连 接 Az),BG 如图,CiD J I C D I I A B,连 8。,平面 A B C Q C 平面BBQQ=8。，因 M 为棱!)IG 的中点,则M e 平面A B C Q,而AG平面A B C Q,即AM U平面ABcQ,又O A ,则O e 平面 ABGQ,因 AM与平面8BAZ)的交点为0,则O e 平面BBQQ,于是得。B R,即,B 三点共线,显然。M A8 且。M=丄 )IG=;5,于是得。=T 80,B P OB=2OD,所以三点。I,O,B 共 线,且。8=2。.故 选:A例 2.(2
41、022 上海高三专题练习)如图ABC。-AM cQI是长方体,。是 的 中 点,直 线 A C 交平面ABQ于 点 则 下 列 结 论 错 误 的 是()A.A,M,。三点共线B.M ,O,A，A 四点共面C.B,B|,M 四点共面D.A,O,C,M 四点共面【答案】C【解析】解:连 接 A G,A C,则AG/AC,D1CiG，C A 四点共面,ACU 平面 ACGA,.例 平面ABQI ,点M在平面ACGA与平面A B的交线上,同理点。在平面A eG A 与平面A片。的交线上,。三点 共 线,故 A 正确;M,。三点共线,且直线与直线外一点可确定一个平面,.A,M,。,四点共 面,A,M,
42、C,。四点共 面,故 B,D 正确;.BB1 巨平面 ABQ,OMU 平面 ABQI ,B1 e 平面 A B a 且 B j O M ,.8風和OM是异面直线,B,B Q,M四点不共面,故C 错误.故 选:C例 3.（2022 宁夏固原一中一模（文）在正方体ABCG A 中,。是。B 的中点,直线A C 交平面GB。于点M,则下列结论正确的是（B G、三点共线;C1、M、O、C四点共面;G、。、用、B四点共面;、。、M四点共面.A.B.C.（2）D.【答案】A【解析】解:.e AC,ACU平面ACGA，O e平面AeG.V O e B D,如 U平面C BO,.平面C BO,。是平面A ee
43、A和平面C。的公共点；同理可得,点M和G都是平面A e c a和平面CiB D的公共点,二:.点C,M,。在平面C/O与平面A eC a的交线上，即G，M,。三点共线.故正确.；A41BBl,BBJlCC,：.A A JiCC AA1,Ca 确定一个平面,又M eA C,ACU平面ACClAI/平面ACGA,故正确.根据 异 面 直 线 的 判 定 定 理 可 得 与G o为异面直线,故G、。、用、B四点不共面,故不正确.根据异面直线的判定定理可得。与MO异面直线，故、。、四 点不共面,故不正确.故 选:A.例4.（2022 上海模拟预测）已知长方体ABC。-A1BC 中,对角线AG与平面8。
44、交于点,则。为AAIB。的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【答案】C【解析】解:如图,平面ACGA与平面ABD的交线为A E,显然点E是BD的中点,且点。在E上,故点。在5O的中线上,同理可得点。在4,A的中线上,即点。是 8。三边中线的交点,即为AAB。的重心.例 5.（2022 全国高三专题练习（理）如图,在长方体4 8 8-A B C 中,E,分别为G R ,4 G 的中 点,加分别为B,E的中点,则下列说法错误的是（）A.四点8,D,E 在同一平面内B,三条直线B尸,DE,CG有公共点C.直线A C与直线OF不是异面直线D,直线A C上存在点N 使M,N ,。三点共线【答案】
45、C【解析】利用两条平行线确定一个平面可判断A:利用点共线公理可判断B:根据异面直线的定义可判断C:连接OM可判断D.【详解】作出图象,对于A,连接用。,则8上/3。,BfDl/E F,所以BD E尸,所以四点8,D，E,在同一平面内,故AIE确:对于B,延长B E O E,则 B E o E 相交于点尸,又B尸U平面BCCM,O EU 平面ACC,则 P e 平面8 C G 4，PW平面QRGC,且平面 BCC1B1 DD1C1C=CC1,所以PUCC 即三条直线所,DE,CG有 公 共 点,故 B 正确;对于C,直线A C 为正方体的体対角线,所以直线A C与直线.不可能在同一平面内,所以直
46、线A C 与直线。是异面直 线,故 C 错误;对于D,A,0,C,C均在平面41C C内,连接0“，则OM与A C相交,所以直线A C上存在点N 使“，N,。三点 共 线,故 D 正确;故 选;C例 6.（2022 上 海 高三专题练习）在空间四边形ABCZ）各边AB,BC,CDQA上分别取E G H 四点，如果E R G H 能相交于点，那 么（)A.点P 必在直线AC上B.点尸必在直线BZ）上C.点 尸必在平面。BC内D.点必在平面ABC外【答案】A因为E属于个面A B C,而G”属于另个面A D C,且E、G”相交于点尸,所以点P在两面的交线上,又A C是两平面的交线,所以点尸必在线A
47、C上.故 选:A.例?.（2022 全国高三专题练习）如图,在长方体ABCA B C Q中,E,分别是旦G和C Q的中点.证明:E,F,D,B四点共面.E是 4 G 的中位线,EF/BiDi.V BBl与。平行且相等,四边形B D A是平行四边形,：.BD/BlDl,:.EF/BD,：.E,F,D,8四点共面.例8.（2022 全国模拟预测（理）图1是由矩形AfiG,RtZAOE和菱形ABC。组成的个平面图形,其中5=2,AF=AF=I,44D =600.将该图形沿AB,A折起使得AE与AF重合,连接C G,如图2.证明:【解析】证明:四边形ASC和ASQ分别是矩形和菱形,图2中C,D,E,G
48、四点共面;/.ABHGE,ABHCD,：.GEHCD,：.C,D,E,G四点共面.例9.(2022 湖北省仙桃中学模拟预测)如图，等腰梯形A3CZ)中AP/8C,BE丄AL,8C=8E=4,OE=8,沿BE将A A B E折起至与平面BCz)E成直二面角得到四棱锥,“为AE中 点,过。、D、M作平面写出作法,并求其周长;请画出平面C例 截四棱锥A-B a)E的截面,【解析】y以E为原点，E8为X轴，E/)为y轴,EA为Z轴,建立空间坐标系如上图,平 面&与线段AB的交点为F,则有:A(0,0,4),5(4,0,0),2)(0,8,0),C(4,4,0),川(),0,2),F(x,0,z),TS
49、tAF=A A B,则向量兩 与向量前,病 共面,丽=(,4,0),DM=(0,-8,2),E W=(-x,0,2-z),设 FM=mCD+nDM=(-4m,4rn-8n,2n)=(-x,O,2-Z)(A T7,2 7?)X=4 z,得:4/72-8/1=0 ，2n=2-z又=(,0*4),4 =丸封=(4/1,0,-4),.=4/1一4=-4,X=-(Z-4),x+z=4 ,x+4z=8x+z=4解得=：；=：,即尸 1，O q)由得，岡=4a骗号点在靠近B 点的三分点处:If)M=扬 +8?=217,C D 42+42+02 42,四边形Cr)MF的周长为生叵+殳叵+4 0 ；例 10.(
50、2022 安徽马鞍山二中模拟预测(理)四棱锥尸一ABC。中,平面尸 C丄平面ABCQ,PD=PC,ZDPC=90,ADHBC,ZABC=90,AD=AB=,BC=2,M 为 PC 的中点,证 明:A,B,M,N 四点共面;【解析】证 明:延 长 C,8A 交于点。.因为 Ao=J 8C 且 ADBC,所以 BA=AQ,CD=DQ,连接P。,在PQC中,D,M 分别为C。,PC 的中点,故。河与尸的交点为尸QC的 重 心,设 为 G,所以所=2訪,因 为 丽=2而,所以点G 与点N 重合,所以A,B,M,N 四点都在平面QBM 中,故 A,B,M,N 四点共面.例 11.（2022 四 川 眉