《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)22 平面向量的数量积及其应用(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)22 平面向量的数量积及其应用(含详解).pdf（67页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题2 2平面向量的数量积及其应用【考点预测】一.平面向量的数量积4(1)平面向量数量积的定义己知两个非零向量与,我们把数量Ia画COSe叫做。与/的数量积(或内积)，记作方,即A=b cos6,规定:零向量与任一向量的数量积为.(2)平面向量数量积的几何意义向量的投影:IaICoS。叫做向量Q在方向上的投影数量,当。为锐角时,它是正数;当。为钝角时,它是 负 数;当。为直角时.,它是().的几何意义:数量积等于Q的长度Ia l与在。方向上射影IbICOS。的乘积.二.数量积的运算律已知向量。、C和实数Z 1,则:0b=b；(0 b=(a b)=a (Ab)；(+b)c=c+6 c.数量积的性
2、质设。、都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,。是。与e的夹角,则 e-a =a-e=a cos.。丄 =。=().当。与同 向 时,。=Ia IlI;当。与 反向时，。=一Ia Il|.特 别 地,。=|2或|。|=。.CoS(9=:(0).Z%6.Ia Is l四.数量积的坐标运算已知非零向量=(x,y),b=(x2,y2),6为向量a、b的夹角.结论几何表示坐标表示模a=yaaIa b J X 2 +y2数量积=!。Il ICos。a b =xix2+yxy2夹角C a bcos。=-Wll ICOSe=:中2+婚M +y；-5 +“丄b的充要条件。=()2 +yy2=a b的充要a
3、=（0）+y%=条件Ie ”与 IalS l的关系 b b（当且仅当 时等号成立）t2+IW J片+-J考+五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是个实数,可正、可负、可为零,且I5 I.（2）当WO时，由 5=O不能推出5一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量B都有小5=0.当HO时,且B=时，也不能推出定有6=,当仮是与垂直的非零向量，是另一与a垂直的非零向量时,W=c=0,但5 .（3）数量积不满足结合律,即（商（B ）万,这是因为3 是一个与共线的向量,而（5）万是个与q共线的向量,而与不一定共线,所以伍不一定等于（招,即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零
4、向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当d 5 0且妬（）（或d 5 0,且*痛（=ac=6=c（。）;但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、满足 5=（0）,则不一定有6=,即等式两边不能同时约去个向量,但可以同时乘以个向量.（5）数量积运算不适合结合律,即（B-）,这是由于（表示一个与共线的向量,a-（b-c）表示一个与共线的向量,而与不一定共线,因此（与（5 ）不一定相等.【题型归纳目录】题型:平面向量的数量积运算题型二:平面向量的夹角题型三:平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量题型五:平面向量的垂直问题题型六：建立坐标系解决向量问题【典例例题】题型：平面向量的数量积运算例1.（2
5、022 全国 模拟预测（理）在AA5C中，ZABC=I。为AA8C的 外 心,丽.丽=2,BCBO=4,一 ,U U U U U贝 8 A 8 C=（）A.2 B.22 C.4 D.42例 2.（2022河南安阳模拟预测（理）已知A”是Rt4?C 斜边BC上 的 高,=2&,点 M 在线段 H上,满 足（痂+祝）相=8 ,则 福.碇=（）A.-4 B.-2 C.2 D.4例 3.（2022 全国 高三专题练习（理）已知向量 出满足|2|=1,|B I=G,2加=3,则B=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2例 4.（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）如图,正六边形A B sE 中,43
6、 =2,点 P 是正六边形A B C D E F的 中 心,则 丽.丽=.（2022安徽合肥市第八中学模拟预测（理）已知向量瓦工满足+c=0,|a I=1,|I=3,|cI=4,贝=.例 6.（2022陕西模拟预测（理）已知向量 =（l,x）,=（0,l）,若,+24=6,则枠方=例 7.（2022 上海徐汇 二模）在AA8C中，已知B=1,A C =2,NA=I20。,若点P 是ABC所在平面上一 点,且 满 足 而=而+/1祝,BP CP=-X 则实数的值为.例 8.（2022 陕西 交大附中模拟预测（理）已知在平行四边形ABCD中,D f=,F =,AE=2,AF=6,则 前 丽值为.例
7、 9.（2022福建省福州第一中学三模）过点（2,C）的直线与O C:（x-3）2 +=16交于4,B两点，当 M为线段A 8中 点 时,CA CB=.例 10.（2022.全国.模拟预测（理）已知向量Z与不共线，且 仅+=2,冋=1,若（2 叫 丄（2,则=）=.例 11.（2022.全国高三专题练习（理）设向量的夹角的余弦值为!，且W =I,=3,则（2 ）=例 12.（2022江苏 徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形 BC。是由4 个全等的直角三角形和中间的小正方形EFG，组成的.若大正方形的边长为,E 为线段B的
8、中点，则 通.犯=.D【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型,最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示,分别突出了它的几何特征和代数特征,因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处,因此它的应用也就十分广泛.（3）平面向量的投影问题,是近几年的高考热点问题,应熟练掌握其公式:向量在向量方向上的投影为b（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同:（4 ）=2“+尸;|/?|=a2 2ab+b2；“（厶 +c）=，+c,公式都可通用异：整 式：a=+6 Z ,冋 仅 仅 表 示 数;向 量：a b=同WCOS e（。为与
9、 的 夹 角）na+n=y|m2 p 2+2m n cos +n21 2,使用范围广泛，通常是求模或者夹角.n-wh na 士闻 wl+/，通常是求 n a或 最值的时候用.题 型 二:平面向量的夹角例 13.（2022甘肃高台县第一中学模拟预测（文）已 知 非 零 向 量;,满 足。=,a l a-b,则;与 己 夹 角 为.例 14.（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（文）已知向量|仮|=1,向量 =（I,君）,且|万 一 后I=遥，则 向 量 石 的 夹 角 为.例 15.（2022湖北武汉.模拟预测）两 不 共 线 的 向 量 5,满足问=3%,且V feR,B一回求 耳，则cos4
10、,=（）A.B.亜 C.-D.且22 3 3例 16.（2022 云 南师大附中 模 拟预测（理）已知向量 =（2f,2）,=（-2,-5）若向量 与向量 +的夹 角 为 钝 角,则，的取值 范 围 为（）A.（-31）B.（-3,-1）U（T l）c（T,3）D-Cb3）例 17.（2022广东深圳高三阶段练习）已知向量=（CoS 30。,-sin210。），6=（瓜1）,则 与夹角的余弦值为.例 18.（2022.全国.高三专题练习）已知向量 =（3,4）,=（1,0）4=+南,若 =,则t=（）A.6 B.5 C.5 D.6例 19.（2022.湖南.长沙市明德中学二模）已知非零向量万、
11、5 满足5=0,R+B）（-5）=0,则向量5 与向量5 夹角的余弦值为（）A.一也 B.0C.D.-例 20.（2022辽宁大连市一（）三中学模拟预测）已知单位向量,B满足|2 同=码 小 则Z 与B的夹角为（）A.30o B.60o C.120 D.150例 21.（2022北京市大兴区兴华中学三模）己知为单位向量,向量=（1,2）,且B=2,则,石一=（）C%兀 3兀A.-B.-C.D.6 4 3 4例 22.（2022.全国.模拟预测（理）已知平面向量 +与 互相垂直，模长之比为2：1,若IZl=6，则 与 +的夹角的余弦值为（）A.还 B.更 C.D.；55 5 2例 2 3.（多选
12、题）（2022.福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,石的夹角为120。,则以下说法正确的是（）A.a+b=B.（+2）aC.cos（a-b,b）=D.+2石与2/+b 可以作为平面内的组基底例 2 4.（多选题）（2022江苏模拟预测）已知向量=（-3,2）,=（2,1）,c=（,-l）,R 则（）A.若（6+25）丄,则 =4B.若=区+,则+?=-6c.K+闻 的 最 小 值 为 半D.若向量d+方与向量+的夹角为锐角,则的取值范围是（-8,T）例 25.（2022河南通许县第一高级中学模拟预测（文）己知盛月 是单位向量，a=e,-2e2,fo=3+,若 丄则1 的夹角的余弦值为（）
13、例26.（2022.安徽师范大学附属中学模拟预测（理）非零向量。5 满足卜+同小 叫=2同,则万 一 与G的夹 角 为（）A=B.C.空 D.例 27.（2022内蒙古海拉尔第二中学模拟预测（文）已知 向 量 为单位向量,|2+4=-4（。），则公与的夹角为（）C 兀 一 花 r 2A.B.-C.-D.6 3 2 3【方法技巧与总结】求夹角,用数量积,由G?5 I初?ICoS q得CoS q=“遇=+,=,进而求得向量石国 皿 I 7?+2+的夹角.题型三:平面向量的模长例28.（2022福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量、满 足 +=6，（叱 R T =O,归4=9,例29.（2022辽宁
14、沈阳 三 模）已知平面向量,满足同=1,同=1,G+=O B=-1,则W=例30.（2022全国高三专题练习（文）已知向量=（2,1）,=（-2,4）,则（）A.2 B.3 C.4 D.5例31.（2022.江苏.扬中市第二高级中学模拟预测）已知 与为单位向量,且丄,向量2满足c-a-b=2则IA的可能取值有（）A.6B.5C.4 D.3例32.（2022江苏南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量,满足冋=2,W=I,且 与的夹角为 ,则 +I=（）A.3 B.5 C.7 D.3例33.（2022河南开封市东信学校模拟预测（理）已知非零向量,的夹角为2,而I=G）丄M ）,则I I=.例34
15、.（2022全国高三专题练习）已知三个非零平面向量,，两两夹角相等,且Ial=I,|B|=2,|c|=3,求12 仮 +3 c|.例 35.（2 0 2 2.全国.髙三专题练习）已知同=2,W=3,万与B的夹角为120I求卜+可及K一司的值.例 36.（2 0 2 2福建泉州模拟预测）已知向量=（0,1）,B =Q,石）,若石的夹角为,则|5|=.【方法技巧与总结】求 模 长,用 平 方,I口=符.题型四:平面向量的投影、投影向量例3 7.（2 0 2 2新疆克拉玛依三模（理）设,B是两个非零向量,AB=a,CD=b 过通的起点A和终点、B,分别作而所在直线的垂线,垂足分别为A ,B1t得 到
16、 病,则 福 叫 做 向 量）在向量上的投影向量.如下图，已知扇形Ao B的半径为1,以。为坐标原点建立平面直角坐标系,0 4 =（1,0）,OB则弧AB的中点C的坐标为;向量的在而上的投影向量为例 38.（2 0 2 2江西鹰潭二模（文）已知向量a,b,a=（3,1）,|b|=2,（2 a-b）b=3,则在2 方向上的投影为例 39.（2 0 2 2江西南昌市八一中学三模（理）已知向量=（1,-2）,=（3,且Z在B上的投影等于1,则.例 40.（2 0 2 2江苏淮安模拟预测）已知|Z|=2,在Z上的投影为1,贝+在Z上的投影为（）A.-1 B.2 C.3 D.2例 41.（2 0 2 2
17、四川成都三模（理）在A A B C中,已 知/A=，Z C=J,AC=2叵,则向量丽 在 配 方1 2 6向上的投影为（）.A.2 2 B.2 C.2 D.-2例 42.（2 0 2 2广西桂林二模（文）已知向量Z =（1,2）,=（0,-1）,则 在仮方向上的投影为（）A.-1 B.-2 C.1 D.2例 43.（2 0 2 2内蒙古呼和浩特二模（理）非零向量,b,满足丄（-2）,Z与的夹角为2,忖=3,则 在B上的正射影的数量为（）A.-B.-連 C.I D.正2 2 2 2例 44.（2 0 2 2辽宁渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量B满足|加=1,则Z在B方向上的投影向量为（
18、）A.-b B.b C.a D.a例45.（2022海南华侨中学模拟预测）己知平面向量值,B的夹角为二,且I利=2,=（-l,3）则万在5方向上的投影向量为（）题型五:平面向量的垂直问题例46.（2022海南海口 二模）已知向量庁,的夹角为45。,同=0,且商?B 2,若（兩+5）丄5,贝 =例 47.（2022.广东茂名.二模）已知向量 G=（/,2t）,5=（-f,1）,若（庁5）丄（+）,则 t=.例48.（2022青海玉树.高三阶段练习（理）已知向量 =（-1,1）,6=0,加）,若R +3丄,则=.例49.（2022.河南开封.模拟预测（理）已知两个单位向量与a的夹角为,a =et+
19、2e2,b=ei+me2,且丄行,则实数W J=（）例50.（2022河南安阳模拟预测（文）已知向量 =（-2 0,4）石=1,CoSg,其中。（O,兀），若丄万，则Sine=例51.（2022.全国.模拟预测（文）设向量=（2,1）,B=（T,x）,若丄但）,则W=.【方法技巧与总结】。丄仮=,.5=。0中2 +%=O题型六:建立坐标系解决向量问题例 52.（2022山东淄博三模）如图在 AA8C 中,NABC=90。,为 AB 中 点,CE=3,CB=S,AB=I2,则 丽 丽=（）B.-13C.13 D.15例53.（2022贵州贵阳模拟预测（理）在边长为2的正方形ABC。中,E是B e
20、的 中 点,则 前.屍=（）A.2 B.-2 C.-4 D.4例54.（2022江苏模拟预测）如图，在平面四边形A 8 8中,E,分别为A,B C的 中 点,而=（4,1）,DC=(2,3),AC=(-2,/7/),若 而.而=(),则 实 数 Z的值是(A.-3 B.-2 C.2 D.3例 55.(2022四川南充三模(理)在 RtAABC 中,ZA=90。，AB=2,AC=3,AM=2 MC,AN=A B ,CN与BM交于点、P,则COS NBPV的值为()A.此B.亚5 5C,一直 D.迤5 5例 56.（多选题）（2022山东聊城三模）在平面四边形ABC。中，网=囲=闻=丽 灰 =1
21、,BABC=,则（）A.A C =1 B.C4+CD =G4-CDC.AD=y2BC D.BD.CD=1L例 5 7.（多选题）（2022.湖南长郡中学模拟预测）己知向量,b,满足同=2忸a =2忸卜2同=2,则可能成立的结果为（）A W 则 A F 8 C=（）A.y B.C.D.必5 58.（2022 全 国 二模（理）已知向量 =（,y）,=（1,2）,c=（-l,l）,若满足 ,l（a-c）,则向量 的坐 标 为（）9.（2022山东济南三模）已知单位向量、B、,满足a+b =e,则向量和5 的夹角为（）C.-D.3 610.（2022河北邯郸二模）若向量，满足Ial=2,W=2,且.
22、=3,则向量与-夹角的余弦值为（）.A,正 B,撞72 C 330LJ.16-20II.(2022全国模拟预测)已知平面向量=(l-x,3+x),b=(2,l+x),若 石=4,则 与 的 夹 角 为()12.(2022河南安阳模拟预测(理)如图,在等腰直角AABC中,斜 边 AC=2,M 为 A 8的中点,为AC的中点.将线段A e绕着点旋转得到线段E 则 磁.赤=()B.N2C.1 D.213.(2022.河南安阳.模拟预测(文)在AABC中,点。在边AC上，&A D =3DC,BA=BC,若BD L(S BC-BA),则=()4A.-B.3 C.2 D.1314.(2022 湖南长沙县第
23、一中学模拟预测)已知AABC中，NA=60,AB=4,AC=6,且 西=2 MB，AN=NB,贝 Z 丽=()A.12 B.14 C.16 D.18二、多选题15.(2022辽宁实验中学模拟预测)已知平面向量同=2，W=1,且丄石,满足=2 ,若 忸 ,则同可能的取值为()A.4 B.8 C.12 D.1616.(2022 湖南长沙一中模拟预测)已知=(COS a,sinc),5=(cos/7,sin),其中,0,2t),则以下结论正确 的 是()A.若/区,则=夕B.若丄,贝I a 1=或当C.若。.b=-；,则 1+5=D.若一可=忖，则 3+6)=17.(2022 全国 高三专题练习)已
24、知石为非零平面向量,则下列说法正确的有()A.d-Lh 0 dh=0 B.d/b R,b=dC.若=B,贝万=5 D.(d b)c=d(b c)18.（2 0 2 2全国模拟预测）已知向量I=（2一利3）,=（,则下列说法正确的 是（）A.若 ,则6 =g B.若 丄 ,则 机=3 C.2 a+人的最小值为7 D.若T/n 5 =同W B.（a 0 b）c=a（b 0 c）C.a b =（-a）0 b D.（+）c =（c）+（0 c）2 0.（2 0 2 2山东日照模拟预测）已知对任意平面向量 福=（x,y）,把 通绕其起点A沿逆时针方向旋转，角得到向量而=（X C o S e-y s i
25、n,x s i n +y c o s,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转。角得到点P.已知平面内点4（1,2）,点 网1 +0,2-2旬，把点8绕点A沿顺时针方向旋转（后得到点4,逆 时 针 旋 转 （后分别得到点2,6则（）A.AR,=Q B 叫=B间C.AB-APi=A -AF D.点片的坐标为（0,-1）2 1.（2 0 2 2 河 北 高三阶段练习）若平面向量 =（2 C o S a,2 S i n a）,=（2 c o s夕,2 s i n尸）,2 =（1,G）,则下列说法中正确的 是（）A.若 ,则=+E,A ZB.若 丄,则 =+A,k e ZC.若 +=（）,则a=7 t +2E
26、或 =-+2 A,Z e ZD.若 I“I=2 ,则 =k t+;,&Z2 2.（2 0 2 2海南文昌中学髙三阶段练习）如图,平行四边形A B C。中,A B=4,A D=2且/BAo =6（T ,M为边C。的 中 点,则（）AD+M C=MA B.D M-CB =AMC.AM BC=6三、填空题D.而 在而上投影向量的模为223.（2022.全国.模拟预测）已知向量 =（2,-5）,力=（一1,4）,若（而+H丄仮,则=.24.（2022 贵州贵阳一中模拟预测（文）已知向量=（1,-1）出=（1m）,己=（2根,2）,若万丄瓦则=25.（2022洞 北 沧县中学模拟预测）己知向量仮的夹角为
27、,W=4,M=3,则归+可=.26.（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（文）设 为 非 零 向 量,且 恆+可=恆一目,则,方的夹角为.27.（2022辽宁 抚顺市第二中学三模汜知半径为R的圆内有一条长度为2的弦AB,则丽.而=.28.（2022.河南 模拟预测（文）若向量词满足问=l,B=（-6,8）,7B =-5,则 与 的 夹 角 为.29.（2022.海南省直辖县级单位.三模）已知平面向量,5满足3+B）5=2,且 团=2,=1,则 用+5|=30.（2022河北高三期中）如图,在等腰直角A M C中,斜 边AC=2,M为A B的中点,为A C的中点,A将线段AC绕着点D旋转得到线
28、段EF,则 踞.杯=.B C专题2 2平面向量的数量积及其应用【考点预测】一.平面向量的数量积4(1)平面向量数量积的定义己知两个非零向量与,我们把数量Ia画COSe叫做。与/的数量积(或内积)，记作方,即A=b cos6,规定:零向量与任一向量的数量积为.(2)平面向量数量积的几何意义向量的投影:IaICoS。叫做向量Q在方向上的投影数量,当。为锐角时,它是正数;当。为钝角时,它是 负 数;当。为直角时.,它是().的几何意义:数量积等于Q的长度Ia l与在。方向上射影IbICOS。的乘积.二.数量积的运算律已知向量。、C和实数Z 1,则:0b=b；(0 b=(a b)=a (Ab)；(+b
29、)c=c+6 c.数量积的性质设。、都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,。是。与e的夹角,则 e-a =a-e=a cos.。丄 =。=().当。与同 向 时,。=Ia IlI;当。与 反向时，。=一Ia Il|.特 别 地,。=|2或|。|=。.CoS(9=:(0).Z%6.Ia Is l四.数量积的坐标运算已知非零向量=(x,y),b=(x2,y2),6为向量a、b的夹角.结论几何表示坐标表示模a=yaaIa b J X 2 +y2数量积=!。Il ICos。a b =xix2+yxy2夹角C a bcos。=-Wll ICOSe=:中2+婚M +y；-5 +“丄b的充要条件。=()
30、2 +yy2=a b的充要a=（0）+y%=条件Ie ”与 IalS l的关系 b b（当且仅当 时等号成立）t2+IW J片+-J考+五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是个实数,可正、可负、可为零,且I5 I.（2）当WO时，由 5=O不能推出5一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量B都有小5=0.当HO时,且B=时，也不能推出定有6=,当仮是与垂直的非零向量，是另一与a垂直的非零向量时,W=c=0,但5 .（3）数量积不满足结合律,即（商（B ）万,这是因为3 是一个与共线的向量,而（5）万是个与q共线的向量,而与不一定共线,所以伍不一定等于（招,即凡有数量积的结合律形式的选项，
31、一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当d 5 0且妬（）（或d 5 0,且*痛（=ac=6=c（。）;但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、满足 5=（0）,则不一定有6=,即等式两边不能同时约去个向量,但可以同时乘以个向量.（5）数量积运算不适合结合律,即（B-）,这是由于（表示一个与共线的向量,a-（b-c）表示一个与共线的向量,而与不一定共线,因此（与（5 ）不一定相等.【题型归纳目录】题型:平面向量的数量积运算题型二:平面向量的夹角题型三:平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量题型五:平面向量的垂直问题题型六：建立坐标系解决向量问题【典例例题】题型：平
32、面向量的数量积运算例1.（2022 全国 模拟预测（理）在AA5C中，ZABC=I。为AA8C的 外 心,丽.丽=2,BCBO=4,_ ,UU UUU则 BA8 C=（）A.2 B.22 C.4 D.42【答案】B【解析】【分析】设AB,B C的中点为D E,将 丽.丽=2,变为2丽 的，根据数量积的几何意义可得I丽 I=1 ,同理求得|B C|.根据数量积的定义即可求得答案.【详解】如 图,设 A8,BC的中点为D E,连接ODoE,则。丄AS,OE丄BC,故 丽 屈=2，即 28。8 0 =2|8 DHBOlCOS NOB=2,即|8fj|2=l,|B 1=1,故 1841=2,B C B
33、 O =4 即2而 丽=2|丽 丽 ICoS NQBE=4,p BE2=2,=2 J 故IBCI=2&.Uir uim uu U lm 故 B A-BC =A CjcosZ B A C =2 2 2-=22,故 选:B例 2.（2022 河南安阳 模拟预测（理）已知AH是RtZS ABC斜边BC上 的 高,A =2&,点 M 在线段AH上,满 足（而后+而）厅=8 0,则枇.碇=（）A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】由（荻+祝）正=8应 结 合 数量积的运算可得I而 同=2,由.是RtAABC斜边BC上的高，A H=22，可得!Ci =A2=8,然后对M B M C
34、=（M H +H B）（M H+亚）化简可求得结果【详解】因为AH是RtAABC斜边BC上的高，AH=22所以 而.而=0,而.阮=（）阮,而 可=8,因为（Q+M）A/=8夜,所以（丽+丽+丽+亚）而=8&,所以2丽 通 +丽 通+沅 正 =8夜,所以说 而=4,所以W HH而 卜 4&,所以I丽 卜 2,所以福 碇=（丽+丽）（丽+亚）=丽 丽.阮+丽.丽 +紀.丽=I丽1+1西I网 c o s =r+8 x（-l）=-4,故 选:A例 3.（2022 全国高三专题练习（理）已知向量Z,满足|tz I=1,|h I=/,l a-2b=3,则 =（）A.-2 B.-I C.1 D.2【答案】
35、C【解析】【分析】根据给定模长,利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解:.&-252=2亠石+4时,X.|d I=1,|ft I=/,l a-2 I=3,.,.9=l-4d +43=13-45，db=1故 选:C.例 4.（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）如图,正六边形A B a）E中,A3=2,点 尸是正六边形ABCDEF 的中心,5 1!AP.AB=.【答 案】2【解 析】【分 析】找到向量的模长和夹角,带入向量的数量积公式即可.【详 解】在 正 六 边 形 中,点P是 正 六 边 形A8COEf的中心,.ZPAB=60 且 AP=AB=2.APAB=AP AB cos60j=2
36、 2 =2.故 答 案 为:2.例5.(2022.安徽.合肥市第八中学模拟 预 测(理)已 知 向 量 瓦满足+=6,=1,1I=3,|=4,则a b-【答 案】3【解 析】【分 析】由+c=6,得+=-c,两边平方化简可得答案【详 解】由“+c=0，得4+=-C两 边 平 方,得 +2i+2=A因为 M=LW=3,H=4,所以 l+24+9=1 6,得 5=3.故 答 案 为:3.例6.(2022.陕 西.模 拟 预 测(理)已 知 向 量 =(l,x),5=(0,1),若卜+2同=6,则&出=【答 案】或T#T或0.【解 J【分 析】由向量模长坐标运算可求得X ,山向量数量积的坐标运算可求
37、得结果.【详 解】.1+M =(1,X+2),.d +2Z?|=l+(x+2)2=5 解 得:X=O或=4当尤二()时,。=仏。)，.不/?=0：IX=4时,。=(1,-4)，.，.展0=0 4=4;.Mb=0 或-4故答案为:或4例 .(2022 上海徐汇二模)在 BC中,己 知 AB=I,AC=2,ZA=1 2 0,若点P 是2lBC所在平面上一 点,且 满 足 而=而+/1統,BPCP=-,则实数的值为.【答案】1或,4【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则,分别把丽,方 用 福 而 表 示 出 来,再用而.存=-1建 立 方 程,解出的值.【详解】由兩=而+/1正,得而 一 通=亚
38、,SPBP=ZA CCP=A P-A C =AB+(A-I)A C,在 AA3C 中，己知 AB=I,AC=2,ZA=120,所以 BPCP=AC(AB+(-)AC)=AC-AB+(-)Ad)=22 cos 120+4A(2-l)=422-5 2 =-l,即422-52+1 =0,解得2=1 或 2=丄4所以实数2 的值为1或L4故答案为:1或丄.4例 8.(2022陕西交大附中模拟预测(理)已知在平行四边形ABC中,DE=EC,BF=FC,AE=2,AF =6,贝 方值为.【答案】7【解析】4【分析】AE=BC+-D C由向量加法的几何意义及数量积运算律有 而.丽=反 2_宿,再 由 _ ;
39、结合数量积运算律,AF=D C+-BC3即可得结果.【详解】由题设可得如下图:A C =A D +D C,D B =D C+C B,而而=一 行,所以 丽=反2而y_DE=EC,BF=方,国=2,岡=指A E=A D+D E=B C+-D CBC-B CD C +-D C2=4所以3,则A F =A B+BF=D C+-B C3D C3 9BC D C+-B C2=63 9-(D C -B C )=2,a D C-B C =-,即 尼 丽=?.9 4 4故答案为:4例 9.(2022福建省福州第一中学三模)过 点M(2,b)的直线与。C:(x-3)?+=16交于A,B两 点,当 为线段4 8中
40、 点 时,CA CB=.【答案】8【解析】【分析】由题意可得M(2,有)在。C内,又 由M为线段A B中点AS丄CM,由两点间距离公式得CW=2=；AC,进而求得Z A C B=120 再由向量的数量积公式计算即可得答案.【详解】解:因 为 点M(2,石)在。C:3)2+=16内，所以当M为线段A B中点时，A B A.C M ,乂因为。C的半彳仝为4,CW=2=丄C,所以/A C M=60,所以/A a 5=12()。，所以，G4.CB=C4CBcosl200=4 4(-)=-8.故答案为:-8.例 10.(2022.全国.模拟预测(理)已知向量 与不共线，且(+。=2,同=1,若(229丄
41、(2办,则=_ B.【答案】-3【解 析】【分 析】由 +=2得 万=1,由（2）W丄W +得W=2,即可求解结果.【详 解】由（+B）=Z +=l+=2 得 B=1由（2）丄（2 +得（2-B）（2+B）=442-=O,所 以 忖=2则 B（-B）=B-B=1 4=3故 答 案 为:-3例11.（2022.全国高三专题练习（理）设 向 量 的夹角的余弦值为L且 同=1,|=3,则（2 =【答 案】11【解 析】【分 析】设Z与 的 夹 角 为 依 题 意 可 得COS。=：,再根据数量积的定义求出 ,最后根据数量积的运算律计算可得.【详 解】解:设 日H的 夹 角 为 因 为Z与的夹角的余弦
42、值为3,即cos。=；,乂，Z I=I,W=3,所 以a.=卜HICOSe=IX 3x；=l,所 以（22+）=2+2 =2+|（=2x1+3?=1 1.故 答 案 为:11.例12.（2022江苏滁州市第七中学模拟预测）如 图 是 第24届国际数学家大会的会标,它是根据中国古代数学 家 赵 爽 的 弦 图 设 计 的,大 正 方 形ABC。是 由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组 成 的.若大 正 方 形 的 边 长 为 右,E为 线 段8 F的中点,则.而:=.B【解 析】【分析】利用数量积的几何意义求解.【详解】解:如图所示:设CE=X,由题可得8=2x,所以+（2x）2 =
43、5,解得X=L过作BC的垂线,垂足设为Q,.AF BC=BQ BC=BF2=4,故答案为：4.【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型,最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示,分别突出了它的几何特征和代数特征,因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题,应熟练掌握其公式：向量在向量5 方向上的投影为.b（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同:（a b）2 =巒 2ab+;可=J/2为+/;（b+c）=h+4c公式都可通用异:整 式:=土
44、同河,冋 仅 仅 表 示 数;向 量:5=同WCoS e（。为 与的夹角）痴 土 回=,川 忖 2m n|/?cos+n21 ,使用范围广泛,通常是求模或者夹角.zn-A 7 zna 回?+网,通常是求tna匈 最值的时候用.题型二:平面向量的夹角例 13.（2022甘肃高台县第一中学模拟预测（文）已知非零向量，满足a-.=,.丄0 ,则:与 夹 角 为.TT【答案】:#45【解析】【分析】根据已知求出/金 工,山=也 而,即得解.【详解】解:因 为 斗,所以在=2蒿(T f (T -2 T T因为 丄 一,所以 Z?=Z?=0,.二,所以 =2“,.2 -设 与 己 夹 角 为 所以CoSe
45、=ahahah fl212 2JT因为E|0,加,所以。二夕例14.(2022安徽合肥一六八中学模拟预测(文)己知向量|5|=1,向量 =(1,有),且Ia-&B b 6,则向量色5的夹角为.【答案】5#90【解析】【分析】由 a-3B=#两 边 平方,结合数量积的定义和性质化简可求向量石 的夹角【详解】因为 =(i,G),所以同=,+(G)=2因为-5=布,所以2 0万5+力2 =6,又 5=,所以4-2 0石+2=6,所以5=0，向量淆5的夹角为仇 则 同Wcose=O所以CoSe=,则=.故 答 案 为:.例15.(2022.湖北武汉.模拟预测)两不共线的向量,6,满足同=3%,且V f
46、e R,左 回 冲 一q,则C O S ,二()A.B.3 C.-D.显2 2 3 3【答案】C【解析】【分析】由B一卜 归一两边平方后整理得一元二次不等式,根据一元二次函数的性质可判断A 0,整理后可知A只能为0,即可解得答案.【详解】解:由题意得:.V R,a-a-.M e R ,同2 +2 2-2ta-b a+b-2a-b即W-6/1 cos(,-W+6 CoS,0.0,.V/e/?,-6fcos(,-1 +6COS(,0例16.(2022云南师大附中模拟预测(理)已知向量 =(2/,2),=(-2,-5)若向量与向量 +的夹角为钝角,则r的取值范围为()A.(-3,1)B.(-3,-l
47、)(-l,l)C.(-1,3)D.卜;卜(如)【答案】D【解析】【分析】求出+的坐标,求得当 与+共线时，=(,根据向量与向量+B的夹角为钝角,列出相应的不等式,求得答案.【详解】因为 +=(-2,-3),又与+石的夹角为钝角,当与 Z+B 共线时，-6 f-2(f-2)=0 =,所 以（2+）VO且 与 +B的 不 共 线,即一2,一3o且 w g,所 以TO嗚，3）,2故 选:D.例17.（2022广东深圳高三阶段练习）已知向量=（COS 30。,-sin21。）,=（-3,l）,则与夹角的余弦值为.【答 案】;【解 析】【分析】化 简 向 量,根据向量的模的公式,数量积公式和向量的夹角公
48、式求解.【详 解】由 G=(COS 30,-sin 210)知 d，故 石=X (-)+丄Xl=-I2 2,I I=1,出=2,记。与B的夹角为 则 陰=而為2 2.故 答 案 为:T例18.（2022全国高三专 题 练 习）已知向量 =（3,4）石=（1,0）=，+亦,若=,则，=()A.6B.5C.5D.【答 案】C【解 析】【分 析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详 解】/9+3,+1 6 3 +1解:=(3+f,4).cos。=COS,即 一 洞 一=|-,解 得 =5.故 选:C例19.（2022湖南长沙市明德中学二模）已知非零向量、5满 足 /=,（。
49、+（。5）=0,则向量5与向量。5夹 角 的 余 弦 值 为（）A.克B.0cTDT【答 案】A【解 析】【分析】根据B=0,设=(i,0),B=(O,t),根据伍+G-S)=O 求出=1,再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为5=0,所以可设=(1,0),=(0,/)则 +5=(lj),d-b =(1,),因为(日+日)(5)=0,所以 1 t 2=0,即 2=1.,-b(a-b _-V-1 2则 CO S =-=-F=，ba-b l+r 12 2故 选:A.例 20.(2022.辽宁.大连市一 三中学模拟预测)己知单位向量仮满足卜)=卜+4,则与B的夹角为()A.30o B.60
50、o C.120 D.150【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得;【详解】解:因 为 为单位向量,所以自=M=1,又W =G +目,所以 R-=3(+町,H p a-2a-b+b=2a+2a-b+b,所以2 1+4 4 m+)=0,即2(1+4+区，=(),所以=-g,所以CoS R)=補=一;,因为,),句，所以卜 )=手故 选:C例 21.(2022北京市大兴区兴华中学三模)己知为单位向量,向量=(1,2),且=2,则他 今=()C 兀 一 兀 C 3A.-B.-C.-D.【答案】B【解析】【分析】先根据 已知条件求出()和卜彳,然后利用向量的夹角公式可求出结果【详