《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(含详解).pdf（61页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点:构成空间几何体的基本元素一点、线、面（1）空间中,点动成线,线动成面,面动成体.（2）空间中,不重合的两点确定一条直线,不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.知识点:简单凸多面体一棱柱、棱锥、棱台1.棱 柱:两个面互相平面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(1)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱:(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱;(4)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱;(5)直平行
2、六面体;侧棱垂直于底面的平行六面体;(6)长方体:底面是矩形的直平行六面体;(7)正方体：棱长都相等的长方体.2.棱 锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.（1）正棱锥:底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心;（2）正四面体:所有棱长都相等的三棱锥.3.棱 台:用个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.棱柱凸多面体简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.直横柱长方体正方体正四面体正因棱柱知识点三:简单旋转体圆柱、圆锥、圆台、球 L圆 柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形
3、成的面所围成的几何体叫做圆柱.2.圆 柱:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.3.圆 台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台.4.球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.知识点四:组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.知识点五:表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体S真极柱=Ch+2S底S親极柱=c7+2S底(为 直截面周长)SM=2r2+2rl=2r(r+1)fl:/2r锥体S正极推+S底SM=r
4、+rl=乃“r+/)）叩台体S正枝台=;(+d)h+S上+S下Se!.=乃(/2 +r2+r,l+rl)1a9:球S=ATTR2体积公式锥体%=LSh*3傘台体%=g（S+底7+及）人球4V=-R33知识点六:空间几何体的直观图1.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下:（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的。X,Oy,建立直角坐标系.（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于Ox,O y ,使 厶 。y=45（或135）,它们确定的平面表示水平平面.（3）画出对应图形.在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画
5、成平行于x轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于y 轴的线段,在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.（4）擦去辅助线.图画好后,要擦去轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.注：直观图和平面图形的面积比为3:4.2.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.【题型归纳目录】题型：空间几何体的结构特征题型二:空间几何体的表面积与体积题型三：直观图题型四:最短路径问题【典例例题】题型：空间几何体的结构特征例 L（2022全国模拟预测）以下结论中错误的是（）A.经过不共面的四点的球有且仅有一个 B,平行六面体
6、的每个面都是平行四边形C.正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D.棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例 2.（2022全国高三专题练习（文）下列说法正确的是（）A,经过三点确定一个平面 B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C.各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D,个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例 3.（2022海南模拟预测）“三棱锥P-A B C 是正三棱锥”的个必要不充分条件是（）A,三棱锥P-ABC是正四面体 B,三棱锥P-A 5 C 不是正四面体C.有一个面是正三角形 D.AABC是正三角形且PA=PB=PC例 4.（2022全国高三专题练习）给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周
7、上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3例 5.（2022山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（）A.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B,过空间内不同的三点,有且只有一个平面C.棱锥的所有侧面都是三角形D.用个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例 6.（2022.全国.髙三专题练习）给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这
8、两点的连线是圆柱的母线;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3例 7.（2022全国高三专题练习）莱昂哈德欧拉,瑞士数学家和物理学家,近代数学先驱之一，他的研究论著儿乎涉及到所有数学分支,有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数匕棱数反面数之间总满足数量关系V+尸E=2,此式称为欧拉公式，已知某凸32面 体,12个面是五边形，20个面是六边形,则该32面体的棱数为;顶点的个数为.例 8.（2022安徽合肥一六八
9、中学模拟预测（理）如图,正方体AG上、下底面中心分别为Q,O2将正方体绕直线。旋转360。,下列四个选项中为线段A片旋转所得图形是（）例9.（多选题）（2022全国高三专题练习）如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是（）（多选）C.是棱锥 D.是棱柱A.是 棱 台B.是圆台例10.（2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习（理）碳60（C6 0）是种非金属单质,它是由60个碳原子构成的分子,形似足球,又称为足球烯,其结构是由五元环（正五边形面）和 六 元 环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体,共32个面，且 满 足:顶 点 数 棱 数+面 数=2.则其六元环的个数为【方法技巧与总结】熟
10、悉几何体的基本概念.题型二:空间几何体的表面积与体积例1 1.（多选题）（2022湖北高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善 谐音,折扇也寓意“善良 善行 .它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如 图 1）.图 2 是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分）,若两个圆弧Z）E,4C 所在圆的半径分别是3 和 9,且 厶 BC=120,则该圆台的（图1)图2A.高为4 0 B.体积 为 差 2 万C.表面积为34乃D.上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:22例 12.（2022.青海海东市第一中学模拟预测（理）设圆
11、锥的侧面积是其底面积的3 倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A.：B.述 C.D.I9 3 3 3例 13.（2022 云南二模（文）已知长方体A B S-1B C Q 的表面积为6 2,所有棱长之和为4 0,则线段AG的 长 为（）A.38 B.叵 C,返 D.292 3例 14.（2022福建省福州第一中学三模）已知A8,8 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且 A B 丄C O ,。，。分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等,且三棱锥A-BC。的体积为1 8,则该圆柱的侧面积为（）A.9兀 B.12兀 C.16兀 D.18兀例 15.（2022河南模拟预测（文）在正四棱锥P
12、-ABCD中,AB=2 2 若正四棱锥P-ABCn 的体积是8 则该四棱锥的侧面积是（）A.22 B.222 C.422 D.822例 16.（2022.全国高三专题练习）九章算术中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图,现有一方亭ABCD-EFHG,其中上底面与下底面的面积之比为1:4,方亭的高/=EF,B=並 EF,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭四个侧面的面积之和12店,则方亭的体积为（）DJ.E4A.24Br64b TcD.164例 17.（2022湖南高三阶段练习）如图,种棱台形状的无盖容器（无上底面A蜴G R）模型其上、下底面均为正方形,面积分别为4c ,
13、9cm2且AA=B田=CC=若该容器模型的体积为I C m?,则该容器模型的表面积为（A.(53+9)cm2C.(55+9)cm2B.19cm2D.(5炳+9)cm2例 18.（2022.海南海口二模）如图是个圆台的侧面展开图,其面积为3乃，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4,则该圆台的体积为（）例 19.（2022全国高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在个直径为10的球面上,其上、下底面的半径分别为4 和 5,则该圆台的侧面积为（）A.810 B.8H C.910 D.9例 20.（2022河南安阳模拟预测（文）己知圆柱的底面半径为1,高为2,A B,C。分别为上、下底面圆的直径,ABl C
14、D,则四面体ABC。的体积为（）A.-B.-C.1 D.-3 3 3例 21.（2022.山东.烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中的梯卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1 是种鲁班锁玩具，图 2 是其直观 图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成,其中每条棱长均为2.若该玩具可以在个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为S lS2例 22.（2022.湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2万,底面直径与母线长相等,圆柱内有一个 三 棱 柱,与 圆 柱 等 高,底 面 是 顶 点 在 圆 周 上 的 正 三 角 形,则
15、三 棱 柱 的 侧 面 积 为.例 23.（2022.上海闵行二模）已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的4 倍，则它的侧面积扩大为原来的 倍.例 24.（2022浙江绍兴模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图,将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3 个点截去个正三棱锥,如此共截去4 个正三棱锥,若得到的几何体是个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体,且正六边形的面积为2,则原正四面体的表面积为例 25.（2022上海徐汇三模）设圆锥底面圆周上两点A、B 间的距离为2,圆锥顶点到直线AB 的 距 离 为 石,AB 和圆锥的轴的距离为1,则 该
16、圆 锥 的 侧 面 积 为.例 26.（2022全国高三专题练习）中国古代的“牟合方盖 可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“基势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一 半,其体积等于与其同底等高的正四棱柱中,去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如 图 1 所示）.现将三个直径为4 的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等,三个圆柱的公共部分为如图2 所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为叵,则该几何体的体积为图1图2【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.题型三:直观图例 27
17、.（2022全国高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的AA3C的直观图是边长为。的正三角形,原的面积为一.A,C例28.（2022浙江 镇海中学模拟预测）如 图,梯 形AB a）是水平放置的一个平B X：2AB=A D =I,O C丄8 C,则原图形的面积为（）C 2B.2+2C.2+2 D.l+2例29.（2022全国 高三专题练习）如 图,AAB C是水平放置的AAB C的斜二测直观图,其中OC=OA =2Of3 ,则以下说法正确的是（）C.ZXA BC是等腰直角三角形A.ZA BC是钝角三角形B.ZA 8C是等边三角形D.ZkA BC是等腰三角形,但不是直角三角形例30.（2022全
18、国 高三专题练习）如图,水平放置的四边形A BC。的斜二测直观图为矩形AB C D,已知A:O=OB=2,BC=2,则四边形A BC。的周长为（）20B.12C.8+4G D.8+42例31.（2022全国高三专题练习（文）如图,已知等腰直角三角形 A8 ,=是一个平面图形的直观图,斜边0片=2,则这个平面图形的面积是（）B.1C.2 D.22遮例32.（2022 全国高三专题练习）个三角形的水平直观图在x y是等腰三角形,底角为30。,腰长为2,如图,那么它在原平面图形中,顶点B到X轴距离是（）旦A.1【方法技巧与总结】B.2C.2 D.22斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系
19、:Sr t=题型四:最短路径问题例 3 3.（多选题）（2022广东广州三模）某班级到厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台。2,在轴截面A B a）中,AB=A D=B C=2 c m,且 CZ）=2 A B,则（A.该圆台的高为ICrnB,该圆台轴截面面积为3版?C.该圆台的体积为件cD.只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到A。的中点,所经过的最短路程为5Cm例 34.（2022河南洛阳三模（理）在棱长为1的正方体ABCZ）-A 4 C Q 中,点E 为CG上的动点,则DxE+EB的最小值为.例 35.（2022.黑龙江齐齐哈尔二模（文）如图，在直三棱柱A B C-A8。中,AA=2,4
20、8=BC=1,Z A B C=90。,点 E 是侧棱B片上的一个动点，则 下 列 判 断 正 确 的 有.（填序号）直三棱柱外接球的体积为限兀存在点E,使得/A E 为钝角截面AAEG周长的最小值为2&+指例 36.（2022河南二模（理）在正方体A B C DG 中，AB=2,P 是线段B G 上的动点,则A2+尸 C的最小值为.例37.（2022陕西宝鸡 二 模（文）如 图,在 正三棱锥P-A B C中,A A P B -Z B P C =Z C P A=30,PA=P B=P C =4,只虫子从A点出发,绕三棱锥的三个侧面爬行一周后,又回到A点,则虫子爬行的最短距离是.例38.（2022
21、安徽宣城 二 模（理）已知正四面体ABCz的棱长为2,尸为AC的中点，E为AB中点，M是。P的动点，N是平面E a）内的动点，则IAMl+1MNl的最小值是,今为4-的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E,则蚂蚁爬行的最短距离为（）E-242+1 B.2y C.2 J+1 D.y 2+1例40.（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）竖立在水平地面上的圆锥形物体,只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P岀发,绕圆锥表面爬行一周后回到P点,已知圆锥底面半径为1,母线长为3,则蚂蚁爬行的最 短路径长为（）A.3 B.33 C.D.2【方法技巧与总结】此类最大路径问题:大胆展开,把问题变为平面两
22、点间线段最短问题.【过关测试】、单选题1.（2022.河北.高三阶段练习）已知圆锥的高为1,母线长为迷，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A.2 B.士 C.D.32 32.（2022全国模拟预测（文）若过圆锥的轴SO的截面为边长为4 的等边三角形,正方体48C。A B C a的顶点A,B,C,O 在圆锥底面上,A，Bl,C1,3 在圆锥侧面上,则该正方体的棱长 为（）A.22B.333.（2022.全国高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且面积为4,则圆锥的体积为（）A.-B.7 C.-D.Ti4.（2022广东深圳高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器,
23、用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是ICm和 4cm）制作该容器的侧面,则该圆台形容器的高为（）B.Icm5.（2022.全国高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2,如图,其底面A8C水平放置的直观图（斜二测画法）为 A B C ,其中。A=O B =OC=l,则此三棱柱的表面积为（）A.4+42B.8+42 C.8+45D.8+856.（2022.湖北天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为6 e ,高为,则该圆锥底面圆的半径为（）7.（2022山西大同髙三阶段练习）正四棱台的上、下底面的边长分别为2.4,侧棱长为2,则其体积为（）A.562823
24、C.2828.（2022江西九江三模（理）如 图,个四分之一球形状的玩具储物盒,若放入个玩具小球,合上盒盖,可放小球的最大半径为若是放入个正方体,合上盒盖,可放正方体的最大棱长为则=（）9.（2022浙江湖州模拟预测）如图,已知四边形ABe0,Z3C是以3。为斜边的等腰直角三角形,A A B D为等边三角形，亜=2,将 A8E 沿对角线3 0 翻折到尸比在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）A.BD L P CB.DP与 8C 可能垂直C.直线 P 与平面BC。所成角的最大值是45。D.四面体尸 B ef）的体积的最大是坦10.（2022全国高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源
25、短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.己知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0k n?;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0k n?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升一到157.5m时,增加的水量约为（=2.6 5）（）A.1.0109m3 B.1.2109m3 C.1.4109m3 D.1.6109m3二、多选题11.（2022河北高三阶段练习）如图，正方体 BCr）-A 4 G R 棱长为1,P 是 A。上的个动点,下列结论中正确的是（A.B P的最小值为无B,P 4+P C的最小值为 2+夜C.当 P 在 直
26、线 上 运 动 时,三 棱 锥 用3的体积不变D.以点B 为球心,也为半径的球面与面A8C的交线长为亚12.（2022全国高三专题练习）如图,四边形AB a）为正方形,E D n ABCD,FB/ED,AB=E D =I F B,记三棱锥E A 8,F-A B C,F ACE 的体积分别为匕,匕，则（）C,匕=乂+匕 D.2匕=3匕13.（2022江苏常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体A BCB e A中,点P 为线段C 上的动点,点”,N 分别为线段AG,CG的中点,则下列说法正确的是（）A.A1P I AB1 B.三棱锥M-8N尸的体积为定值C.Z A P D1 60,120 D.尸+
27、2 尸的最小值为:14.（2022湖北高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史,“扇 与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行 .它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如 图 1）.图 2 是个圆台的侧面展开图（扇形的一部分）,若两个圆弧。E,AC所在圆的半径分别是3 和 9,且/A BC=I20,则该圆台的（）A,高为4 0 B.体积为岑图1图2C.表面积为34万D.上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15.（2 0 2 2.全国高三专题练习）已知一三角形 BC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形A B C
28、 （如图）,则三角形A B C 中边长与正三角形A B C 的 边 长 相 等 的 边 上 的 高 为.16.（2 0 2 2.上海,模拟预测）已知圆柱的高为4,底面积为9 万,则圆柱的侧 面积为:17.（2 0 2 2 新疆三模（理）已知一个棱长为。的正方体木块可以在个圆锥形容器内任意转动,若圆锥的底面半径为1,母线长为2,则a的 最 大 值 为.18.（2 0 2 2.吉林长春高三阶段练习（理）中国古代数学家刘徽在 九章算术注中,称个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”,如 图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积,直言“欲陋形措意，惧失正理 ,不得不说“敢不阙疑,以
29、俟能言者.约2 0 0 年后,祖冲之的儿子祖眶提出 鼎势既同,则积不容异”,后世称为祖瞄原理,即:两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等,如 图（3）（4）.的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥”等哥等积”，祖瞄由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1,则 其 牟 合 方 盖 的 体 积 为.四、解答题1 9.（2 0 2 2.吉林.长春市第二实验中学高三阶段练习）如 图,已 知四棱锥P-438中，P Z）丄平面A B C ,且 A B 。C,4 A B =O C,P M =P C.求 证:平面M 8;当直线P
30、A与 底 面 C Z)所成的角都为“且 8 =4 丄 A 8 时,求出多面体M M 的体积.2 0.(2 0 2 2 全国南宁二中高三期 末(文)图 1 是由矩形A B G ,图形,其中A 8 =2,A E=A F=,Z 4 D =6 0o 将该图形沿A B,Rt Z X A D E和菱形A B C。组成的个平面A。折起使得AE 与 AF重合，连接C G,如图2.(1)证明:图 2中的C,D,E,G 四点共面;(2)求图2中三棱锥C-8 G 的体积.2 1.(2 0 2 2 全国高三专题练习)如图，三棱柱A B C A/BQ中，已知A 8 丄侧面M Q C,A B=B C=I,B B i=2,
31、ZB C C I=6 0.(1)求 证;B C/丄平面4 B C；(2)E是棱CG 上的一点,若三棱锥E A B C 的 体 积 为 走，求线段CE 的长.2 2.(2 0 2 2 青海海东市第一中学模拟预测(文)如图，在三棱柱A 8 C-4 片G 中,AiC =A A1=2A B =2A C =2B C =4 9 N B A A1=6 。.专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点:构成空间几何体的基本元素一点、线、面（1）空间中,点动成线,线动成面,面动成体.（2）空间中,不重合的两点确定一条直线,不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形
32、、四面体或三棱锥）.知识点:简单凸多面体一棱柱、棱锥、棱台1.棱 柱:两个面互相平面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(1)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱:(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱;(4)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱;(5)直平行六面体;侧棱垂直于底面的平行六面体;(6)长方体:底面是矩形的直平行六面体;(7)正方体：棱长都相等的长方体.2.棱 锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.（1）正棱锥:底面是正多边形，且顶点在底面的射影是
33、底面的中心;（2）正四面体:所有棱长都相等的三棱锥.3.棱 台:用个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.棱柱凸多面体简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.直横柱长方体正方体正四面体正因棱柱知识点三：简单旋转体圆柱、圆锥、圆台、球 L圆 柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.2.圆 柱:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.3.圆 台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台.4.球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一
34、周形成的旋转体叫做球体,简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.知识点四:组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.知识点五:表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体S真极柱=Ch+2S底S親极柱=c7+2S底(为 直截面周长)SM=2r2+2rl=2r(r+1)fl:/2r锥体S正极推+S底SM=r+rl=乃“r+/)）叩台体S正枝台=;(+d)h+S上+S下Se!.=乃(/2 +r2+r,l+rl)1a9:球S=ATTR2体积公式锥体%=LSh*3傘台体%=g（S+底7+及）人球4V=-R33知识点六:空间几何体的直观图1.斜二测画法斜二测画法的主
35、要步骤如下:（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的。X,Oy,建立直角坐标系.（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于Ox,O y ,使 厶 。y=45（或135）,它们确定的平面表示水平平面.（3）画出对应图形.在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于x轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于y 轴的线段,在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.（4）擦去辅助线.图画好后,要擦去轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.注：直观图和平面图形的面
36、积比为3:4.2.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.【题型归纳目录】题型：空间几何体的结构特征题型二:空间几何体的表面积与体积题型三：直观图题型四:最短路径问题【典例例题】题型：空间几何体的结构特征例 L（2022全国模拟预测）以下结论中错误的是（）A.经过不共面的四点的球有且仅有一个 B,平行六面体的每个面都是平行四边形C.正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D.棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直【答案】D【解析】对于A,经过不共面的四点的球,即为该四面体的外接球,有且仅有一个,故A 正确,对 于 B,平行六面体的每个面都是平行四边形,故B 正确,对于C
37、,正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直,故C 正确,对于D,棱台的每条侧楼延长线交于一点,侧棱中有可能与底面垂直,故D 错误,故 选:D例 2.（2022全国高三专题练习（文）下列说法正确的是（）A.经过三点确定一个平面 B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C,各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D.个三棱锥的四个面可以都为直角三角形【答案】D【解析】A.错误,经过不共线的三点确定一个平面;B.错误,正八面体的八个面也都是正三角形;C.错误,侧面都是正方形,但底面如果不是正多边形,也不是正棱柱,比如侧面是正方形,但底面是菱形的柱体不是正四棱柱;D.正确，底面是直角三角形,一条侧棱和底面垂直，并
38、且垂直落在非直角顶点处的三棱锥，即可满足条件.故 选;D例 3.（2022海南模拟预测）“三棱锥尸ABC是正三棱锥”的个必要不充分条件是（）A，三棱锥尸ABC是正四面体 B,三棱锥P-B C 不是正四面体C.有一个面是正三角形 D.AABC是正三角形且/=PB=PC【答案】C【解析】由正三棱锥的定义,得三棱锥P-A B C 是正三棱锥等价于“有一个面是正三角形,其他面是等腰三角形”，对于A:因为三棱锥P-ABC是正四面体等价于四个面是全等的正三角形，所以 三棱锥尸BC是正四面体”是“三棱锥P-ABC是正三棱锥”的充分不必要条件,即选项A 错误;对于B;因为个正三棱锥可能是正四面体，也可能不是正
39、四面体，所以“三棱锥P-M C 不是正四面体 是“三棱锥尸ABC是正三棱锥 的既不充分也不必要条件,即选项B 错误;对于C:因为三棱锥P-A B C 是正三棱锥等价于有一个面是正三角形,其他面是等腰三角形,所以“有一个面是正三角形 是“三棱锥P-A B C是正三棱锥 的必要不充分条件,即选项C 正确；对于D:因为三棱锥P-A B C 是正三棱锥等价于有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形,当但正三角形不一定是AABC,所以“AABC是正三角形且PA=PB=PC”是“三棱锥P-A B e是正三棱锥”的充分不必要条件,即 选 项 D 错误.故 选:C.例4.（2022全国高三专题练习）给出下列命题
40、:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】不一定,只有这两点的连线平行于轴时是母线;不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;不一定,当以斜边所在宜线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;错误,楼台的上、下底面是相似且对应
41、边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.图(1)图(2)例5.（2022山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B,过空间内不同的三点,有且只有一个平面C.棱锥的所有侧面都是三角形D.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】C【解析】对A:根据棱柱的定义知,有两个面平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱,所以A错误,反例如图:对 B:若这三点共线,则可以确定无数个平面,故B错误;对C:棱锥的底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的:角 形,故
42、 C正确;对 :只有用平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误,故 选:C.例 6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】不一定,只有当这两点的连线平行于轴时是母线;不定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是山两个同底圆锥组成的几何体;是侧棱长不一定相等.棱台的上、下底
43、面相似且是对应边平行的多边形,各侧楼延长线交于一点，但故 选:A.例 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）莱昂哈德欧拉,瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支,有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数匕棱数及面数之间总满足数量关系K+F-E =2,此式称为欧拉公式,已知某凸3 2面体，12个面是五边形,20个面是六边形,则该3 2面体的棱数为;顶点的个数为,【答案】9 0 6 0【解析】因为某凸3 2面 体,12个面是五边形，20 个面是六边形,则该3 2面体的棱数:125 +206=9 0
44、；2因为顶点数匕棱数反面数之间总满足数量关系V +F-E=2,设顶点的个数为尤,则x+3 2-9 0=2,解得X =6 0,故答案为:9 0：6 0.例 8.（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（理）如图,正方体AG上、下底面中心分别为。I,O2t将正方体绕直线。0 旋转360。,下列四个选项中为线段ABl旋转所得图形是（）【答案】D【解析】解:设正方体的棱长等于。,.A B,的中点到旋转轴的距离等于!,而A、Bl两点到旋转轴的距离等于也”,4片的中点旋转一周,得到的圆较小,可得所得旋转体的中间小,二、下底面圆较大.由此可得A、C 项不符合题意,舍去.又在所得旋转体的侧面上有无数条直线,且直线
45、的方向与转轴不共面,rB 项不符合题意，只有D 项符合题意.故 选:D.例 9.（多选题）（2022全国高三专题练习）如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是（）（多选）【答案】CD【解析】题图中的几何体不是由棱锥被个平面所截得到的,且上、下底面不是相似的图形,所以不是棱台;题图中的几何体上、下两个面不平行,所以不是圆台:图中的几何体是三棱锥;题图中的几何体前、后两个面平行,其他面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，所以是棱柱.故选:CD.例10.（2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习（理）碳60（C6 0）是 种非金属单质,它是 由60个碳原子构成的分子，形
46、似 足 球,又 称 为 足 球 烯,其 结 构 是 由 五 元 环（正五边形面）和 六 元 环（正六边形 面）组 成 的 封 闭 的 凸 多 面 体,共32个面，且 满 足:顶 点 数 棱 数+面 数=2.则其六元环的个数为【答 案】20【解 析】根 据 题 意,碳60（Co）由60个顶点，有32个面，由 顶 点 数 棱 数+面 数=2可 得:棱 数 为60+32-2=90,（x+y=32 fx=12设正五边形有X个,正 六 边 形 有y个,则 U C C C,解得:C C,所以六元环的个数为20个,5x+6y=90 x2 y=20故 答 案 为:20【方法技巧与总结】熟悉几何体的基本概念.题
47、 型 二:空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积例1 1.（多 选 题）（2022湖北高三阶段练习）折 扇 是 我 国 古 老 文 化 的 延 续,在 我 国 已有四千年左右的历史,“扇，与“善，谐 音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大 智 大 勇 的 象 征（如 图1）.图2是 个 圆 台 的 侧 面 展 开 图（扇形的一部分），若两个圆弧。E,AC所在圆 的 半 径 分 别 是3和9,且/ABC=120,则 该 圆 台 的（）AD.-EB图1图2C A.高为4 B,体积为里普乃C.表面积为34万 D,上底面积、下底面积和侧面
48、积之比为1:9:22【答案】AC【解析】解:设圆台的上底面半径为，下底面半径为R,贝 2;rr=；x2）3,2万/?=g 2乃 9,解得r=l,R=3.圆台的母线长7=6,圆台的高为=6 2-（3-1）2=4&,则选项A 正确;圆台的体积=x4x（32+3xl+F）=平,则选项B错误:圆台的上底面积为刀，下底面积为9万,侧面积为%（l+3）x6=24万,则圆台的表面积为万+9万+24%=34,则C 正确;由前面可知上底面积、底面积和侧面积之比为1:9:2 4,则选项D 错误.故 选:AC.例 12.（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设圆锥的侧面积是其底面积的3 倍,则该圆锥的高与母线长
49、的比值为（）巫3C8-9A.2-D.3【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为,高为由题意得万/7=3 ,解得/=3厂,又广=/+,Jz=2 2 r,=半.故 选:B.例 13.（2022云南二模（文）己知长方体A B S-A B C 的表面积为6 2,所有棱长之和为4 0,则线段AG的 长 为（）A.38 B.叵 C.D.292 3【答案】ABBl【解析】A1D1山题意知:2(AB AD+AB AA,+AD AAy)=62,AB+AD+AAf=10故(AB+AD+AA,)1=AB2+AD2+AA,2+2AB-AD+2AB-AAi+2AD-AA,100,W J AB2+AD2+4l2=
50、38(所以 A G=yABr+AD2+AA;=38.故 选:A.例14.（2022福建省福州第一中学三模）已知A 8,C。分别是圆柱上、下底面圆的直径,且A B丄8,.。分别为上、下底面的圆心,若圆柱的底面圆半径与母线长相等,且三棱锥A-B S的体积为18,则该圆柱的侧面积为（）A.9 B.12 C.16兀 D.18【答案】D【解析】分别过B作圆柱的母线A E,B尸，连接CE,小,CE z尸，设圆柱的底面半径为则三棱锥A -BCD的体积为两个全等四棱锥C-A BFE减去两个全等三棱锥A -CDE 2M2-r2rr-2-r-2rr=-r3=18）则=33 3 2 3圆柱的侧面积为2r r=18例