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1、X X义大学线性代数期末考试题一、填 空 题（将正确答案填在题中横线上。每小题2 分，共 10分）1 -3 11.若 0 5 X =0,则力=-1 2-2A r,+x2+x3=02.若齐次线性方程组 七+a 2+与=0 只有零解，则丸应满足X +七=03.已知矩阵4,B,。=（%）,刈，满足A C=CB,则A与8分别是阶矩阵。a24.矩阵A=a2 l a2 2的行向量组线性。5 .阶方阵A满足42-3 4-5=0,则人7=。二、判断正误（正确的在括号内填“J ，错误的在括号内填“X”。每小题2 分，共 10分）1.若行列式。中每个元素都大于零，则。0。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的
2、线性组合。（）3.向量组,a,“中，如果q与a,”对应的分量成比例，则向量组为,4线性相关。（）0 1 0 01 0 0 0,4 .A=，则 A =A。（）0 0 0 10 0 1 05 .若彳为可逆矩阵A的特征值，则 AT的特征值为7。（）三、单 项 选 择 题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共 10分）1.设A为阶矩阵，且|A|=2,则|A|A=（）。2 2-2,+,42.维向量组四，见，,v（3 s n）线性无关的充要条件是（）。/，a2，见 中任意两个向量都线性无关 囚，夕2,，氏 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 G，a2，中任一个向量都不能用其
3、余向量线性表示/，氏 中不含零向量3.下列命题中正确的是（）。任意个+1维向量线性相关 任意个+1维向量线性无关 任意”+1个 维向量线性相关 任意”+1个 维向量线性无关4 .设A,8均为n阶方阵，下面结论正确的是（）0 若A,8均可逆，则A +8可逆 若4,8均可逆，则A 8可逆 若A +B可逆，则A B可逆 若A +B可逆，贝ij A,B均可逆5.若 匕，v2,匕，匕 是线性方程组A X =O的基础解系，则匕+/+匕+匕 是4*=0的（）解向量 基础解系 通 解 A的行向量四、计 算 题（每小题9分，共6 3分）X+Qahx+bc dc d1.计算行列式oab x +c dabc x+d
4、解.x+a bcdx +/?+c+d h cda x-bcdx+o+O+c+d x+b cda bx+cdx +/?+c+d h x +cda bcx+dx+o+6+c+d b cx+d1 bc d b c d1 x+bc d0 x 0 0 ,=(X+Q+/?+c+d)=(x +/?+c+d)=(x+a+b-c+d)x31 bx+c d0 0 x01 bc x +d0 0 0 x 30 1、2.设 A 6 =A +28,且4=1I 0,求B o1 2-1 -f-5 -2-2解.(A-2E)8=A(A -2 4=2-2-1,B(A-2 Ey A=4 -3-2-1 1 1-2 2 3 _3.设5
5、=10010-11000-11000-11、7 2 1 3 4、C=；j ；且矩阵X满足关系式X(C B)=瓦 求X。、0 0 0 2,4.问。取何值时,卜 列向量组线性相关?Axt+x 2+X 3=丸-35.4为何值时，线性方程组 x+办：2+3 =-2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多X +%2+办 3 =-2解时求其通解。当1且4H 2时，方程组有唯一解;当7 =-2时方程组无解当4 =1时，有无穷多组解，通解为X =6.设r2、1、3490101，%=-1，%=-3,4=-7Q)7.求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。1 0 0、7.设4=0
6、 1 0,求A的特征值及对应的特征向量。、。2 1,五、证 明 题(7分)若A是阶方阵，且AV=/,同=一1,证 明|A +/|=0。其中/为单位矩阵。X义X大 学 线 性 代 数 期 末 考 试 题 答 案1.、1.填空题52.4 w 13.SXS,nxn4.相关5.二、A-3E判断正误1.三、X单项选择题2.J3.V4.5.X1.四、计算题2.3.4.5.ddx+dx+abedx +/?+c+db cax+bc dx +q+/?+c+dx+bcabx +c dx +b+c+dbx +cabc x+dx +/?+c+dbc2.b c d b e d1 x+b c d0 x 0 0=(x +/
7、?+c+d)=(%+Q+/?+c+d)=(%+Q +5 +C +4)/1 b x+c d0 0 x01 b c x+d0 0 0 x(A-2 E)B=A(A-2E)-1-2-1-f-5 -2-2-2-2-1,B=(A-2 EY A=4 -3-2-1 1 1-2 2 33.234-)00O-C-B =0 10 02132，（c-B)=231201000 00l _4321-100O-100O-(c-B)r=-211 0-2 100X=E(ci)=-211-2010001-2101-214.i ic i 2 21%,%，的l=1 1 a 2 21cl二一（2。+1）（2。-2）当。=或=1 时，向
8、量组外,a2,%线性相0 2_ _1 _ _ _ _1 z jU2 2关。5.当/I w l且/l w 2时，方程组有唯一解;当4 =一2时方程组无解6.(%，a2,%，%)4029-1-3当4 =1时，有无穷多组解,10-3-131 2 131 2 1 3100 1-4-20 1-4-2 T-70-3-4 -100 0-16 -16-70-3-1-70 0-13-13100001000010-2210%，4)=3，其中q,a2,%构成极大无关组，4 =-2卬+2叼+%7.2 1AE-A=000 0A-l 0 =(A-1)3=O-2 2-10特征值4=4=4=1，对于入i=i，Oo五、证明题A
9、+I =A+=|A|/+A =-(/+A)=-(/+A)：.2|(/+A =0,V|(/+A)|=O一、选 择 题(本 题 共4小题，每小题4分，满 分1 6分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、设A,8为n阶方阵，满足等式A 8 =0,贝I 必 有()(A)A =O 或 8=0;(B)A +B =0 ；(C)同=0 或 冏=0;(D)|A +M =0。2、A和8均为阶矩阵，K（A+B）2=A2+2 AB+B2,则必有（）（A）A=E；（B）B =；（C）A=B.（D）AB=BA.3、设A为m x 矩阵，齐次方程组A x =0 仅有零解的充要条件是（）（A）A的列向量线性无关；
10、（B）A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关.4、阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）（A）A 的秩小于；（B）|A|H0；（0 A的特征值都等于零；（D）A的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4 小题，每题4 分，满分1 6 分）5、若 4 阶矩阵A的行列式=-5,A*是A的伴随矩阵，贝!J|A*卜。6、A 为“X 阶矩阵，且 4-2 E=0,贝 I J(A +2 E)T=23a7、已知方程组21卜、a+2 x2-2（1）3无解，贝=48、二 次 型/（七,2，刍）=2 片+3 +用+2 取2+2 罚/是 正 定 的，则 f的 取 值 范 围是O三、计算题（本
11、题共2 小题，每题8 分，满分1 6 分）l+x 1 1 19、计算行列式O=:二 J 1 1 1 +y 11 1 1 -y1 0、计算阶行列式玉+3%2%+3%D”=：.:X|x2 x+3四、证明题（本题共2 小题，每小题8 分，满分1 6 分。写出证明过程）1 1、若向量组%,4,口 3 线性相关，向量组4，&3，。4 线性无关。证明：（1）能有，仁 3 线性表出;(2)%不 能 由 线 性 表 出。1 2、设A是阶矩方阵，E是阶单位矩阵，A +E可逆，且/(A)=(E-A)(E +A)T。证明(1)(+/(A)(+A)=2 E；(2)/(/(A)=4。五、解答题(本题共3 小题，每小题1
12、 2 分，满分3 2 分。解答应写出文字说明或演算步骤)2 0 0、1 3、设4=0 3 2,求一个正交矩阵尸使得尸一“尸为对角矩阵。2 3,%1 +x2+x3=01 4、已知方程组-o2 5三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得:xI0D=x1-x01oi01yiyl-y0 01000第二列减第一列，第四列减第三列得：。x101-X00（4 分）-yyi按第一行展开得D-x-x001 0y0i-y按第三列展开得一XoD=-xy=x 2 y 2o（4 分）1 0、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子(n+3I i=l,再通过行列式的变换化y7为上三角形行列式(n D.=2玉
13、+3/=l 7111X2 x+3（4 分）=Ex/+3 /=110 x23%00 03=31经,+3（4 分）四、证明题1 1、证明：(1)、因 为 a 2 ,&3，%线性无关，所 以%，线性无关。，又必，a 2 ,a,线性相关，故必 能由 a 2,%线性表出。(4 分)厂(q，)=3 ,(2)、(反正法)若不，则%能 由 四，4，火线性表出，不妨设%=&必+k2a2+k 3 a 3 o由(1)知，a,能 由 巴，口 3 线性表出，不 妨 设%=4%+t2 ai 所以。4 =匕。1%+，2%)+A 2 a 2 +左3 a 3，这表明&，。3，&4 线性相关，矛盾。1 2、证明(1)(E +/(
14、A)(E +A)=E +(E-A)(E +A)T(E +A)=(E +A)+(E-A)(E +A)T(E +A)=(E +A)+(E-A)=2 E (4 分)(2)/(/(A)=-/(A)+/(A)r，由(1)得：E +/(A)=；(E +A),代入上式得W(A)=J E T)(E+A)联(E +4)=/+A)-3 T)(E+A 尸 扣+4)(E +A)(E-A)=A(4 分)2 2五、解答题13、解：(1)由|/I E 川=0 得A 的特征值为4 =1,4=2,4=5。(4 分)0、(2)4=1 的特征向量为。=-1 ,4=2的特征向量为 -(3)4 =5 的特征向量为刍（3 分）因为特征值
15、不相等，则&正交。（2 分）取 P =(P ，P 2，P 3)=01一正1正I00(6)P-AP 0、00Ifa020005（4）将。，2名单位化得0=10（2 分）（1 分）71 4、解：该非齐次线性方程组Ax =8 对应的齐次方程组为Ar=0因R（A）=3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。（5 分）另一方面，记向量4 =-（%+7）,则-A(2；7 1 -%-%)=2 A|一 A%-A%-2 b-b-b-0直接计算得J =（3,4,5,6）H O,J 就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为x =4+7 3、456
16、，2、34.k e R o(7分)15、解：将与联立得非齐次线性方程组:%1 +x2+x3=0,$+2X2+ax3=0,xx+4X2+a2x3=0,X +2X2+x3=6 Z -1.若此非齐次线性方程组有解，则与有公共解，且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵N作初等行变换得:即与有公共解，其全部公共解即 1 110、110、1 2a001a-0彳=,(4 分)a2-1 4000(a 2)(1)0J 21 a-1.、001 aa-l1 当。=1时，有(4)=厂 商)=23,方程组有解,为的通解，此时f 1 0 1 0|(0 0 0 0)-1、则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为：0Jp所以与
17、的全部公共解为左0,a为任意常数.(4分)2 当a =2时，有r(4)=Z)=3,方程组有唯一解，此时 1 0 0 0、0 1 0 10 0 1-1、0 0 0 0,故方程组的解为:1 ,即与有唯一公共解=1（4分）线性代数习题和答案好东西第 一 部 分 选 择 题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设 行 列 式 孙3,2=m,a3卬 ，则行列式0 +等于（）321 a 22 a 03 2 a a +a23A.m+nB.一(m+n)C.n-mD.m-n 1 0
18、0、2.设矩阵人=0 2 0,则A-1等 于（）)A.-6B.6C.2D.-24 .设A 是方阵，如有矩阵关系式A B=A C,则 必 有（）A.A=0 B.B*C 时 A=0C.A w O 时 B=CD.IAIWO 时 B=C5 .已知3 X 4 矩阵A 的行向量组线性无关，则 秩（AT）等 于（)A.1C.36.设两个向量组a”a 2,A.有不全为0 的数人1，B.2D.4（和 即，g，6,均线性相关，则（B.有不全为0 的数人C.有不全为0 的数人1，D.有不全为0 的数人”A.2,入2,A 2,A 2)入 s使 A I a什X.2 a 2+入 s a s=0 和入 B 1+入 2 B
19、2+A s。s=0，3 使人 (a|+6 1)+入 2(a 2+8 2)+入 s (a s+B .)=0，As使人(a I)+8 2(a z B?)+入 s (a s-3 s)=0,L 和不全为0 的数NI，u 2,使入 ia|+入 2 a 2+、sa s=O和 1 B 1+U 2）2+u s0 s=07 .设矩阵A 的秩为r,则 A 中（A.所有r-l 阶子式都不为0C.至 少 有 个 r阶子式不等于08 .设A x=b 是一非齐次线性方程组,A.n i+n 2 是 Ax=o 的一个解c.nn 2 是 Ax=o 的一个解9.设n阶方阵A 不可逆，则 必 有（A.秩（A）A x=b 的一个解）
20、B.秩（A）=n-1D.方程组Ax=O 只有零解1，)1 0.设A 是 个 n（，3）阶方阵，下列陈述中正确的是（)A.如存在数人和向量a使 A a =入 a ,则 a是 A 的属于特征值人的特征向量B.如存在数人和非零向量a ,使（人 E-A）a=O,则入是A 的特征值C.A的 2个不同的特征值可以有同个特征向量D.如入X2,入3 是 A 的 3个互不相同的特征值，a（,a2,5 依次是A 的属于A”X 2,入3 的特征向量，则 a|,a2,1 3 有可能线性相关1 1 .设入。是矩阵A 的特征方程的3 重根，A 的属于入o 的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（)A.k W3C.k=3B
21、.k 31 2 .设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（)A.IAF必 为 1C.A-I=ATB.I A必 为 1D.A 的 行（列）向量组是正交单位向量组1 3 .设A 是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T A C 则（)A.A与 B相似B.A 与 B不等价C.A 与 B有相同的特征值D.A 与 B合同1 4 .下列矩阵中是正定矩阵的为（)A.2 3,3 4,B.3 412 6,n 0 0、C.0 2 -3p i rD.1 2 0J 0 2 第二部分 非 选 择 题(共7 2分)二、填空题(本大题共1 0小题，每小题2分，共 2 0分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或
22、不填均无分。1 1 11 5.3 5 6 =.9 2 5 3 61 6 .设 A=(；，B=C .则 A+2 B=-11 7 .设A=(a ijb x 3,IA 1=2 ,Ajj表 示 I AI 中 元 素 a.的 代 数 余 子 式(i,j=l,2,3 ),则(a ii A 2 +a 12 A 22+a 13A23)+(a21A 21+a22 A22+a23A23)+(a31 A 2+a32 A22+a33 A23)=.1 8 .设向量(2,-3,5)与 向 量(-4,6,a)线性相关，则 a=.1 9.设A是 3X4矩阵，其秩为3,若 山，1 1 2 为非齐次线性方程组人*=1)的 2个不
23、同的解，则它的通解为.2 0 .设A是 mXn矩阵，A的 秩 为 r n),则齐次线性方程组A x=0 的一个基础解系中含有解的个数为.2 1 .设向量a、B 的长度依次为2 和 3,则向量a+6与 a-B 的 内 积(a+B,a -0 )=,2 2 .设3阶矩阵A 的行列式I AI=8,已知A有 2个特征值-1 和 4,则 另 一 特 征 值 为.(0 1 0 6(2、2 3.设矩阵A=1 -3 -3,已知a =-1 是它的一个特征向量，则 a所对应的特征值为一、一 2 1 0 8 1 2;2 4.设实二次型f(X|,X 2,X 3,X 4,X 5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为三、
24、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共 4 2 分)1 2 0、2 5.设 A=3 4 0-1 2 1(-243 -01,.求(1)A BT；(2)I 4 AL32 6.试计算行列式:211 -11 30 1-5 3试判断a 4是否为a”a2,a 3的线性组合；若 是,则求出组合系数。I -2 -1-2 4 22 9.设矩阵 人=0 ,A2-10、3 3 30 26 -62 33 4,求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。0 -2 2 3 0 .设矩阵A=-2 -3 4的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T“AT=D.、2 4 -3,3 1.试用配方法
25、化卜列二次型为标准形f（x,X2,X3）=x；+2x5-3x：+4 xx 2-4 xx j-4 x 2 3，并写出所用的满秩线性变换。四、证 明 题（本大题共2小题，每小题5分，共1 0分）3 2.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.3 3.设是非齐次线性方程组A x=b的一个特解，（，g 2是其导出组A x=0的一个基础解系试证明（1）n 尸 n o+1,1 2=11 0+&2均是人*=1）的解；（2）H o,H l,n?线性无关。答案：一、单项选 择 题（本大题共1 4小题，每小题2分，共2 8分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A1
26、 0.B1 1.A1 2.B1 3.D1 4.C二、填 空 题（本大题共1 0空，每空2分，共2 0分）1 5.61 7.41 8.-1 01 9.n i+c（。2-n I）（或 n 2+c（。2-Q i），C 为任意常数2 0.n-r2 1.-52 2.-22 3.12 4.zf 4-Z 2 +Z 3 -Z 4三、计 算 题（本大题共7小题，每小题6分，共4 2分），12 5.解（1）ABT=3242O Y 20 31八1-2、40;8 6、=1 8 1 0(2)I 4 AI=43I AI=6 4 I AI,而1 2 0I AI=3 4 0 =-2.-1 2 1所以 1 4 Al=6 4 (
27、-2)=-1 2 82 6.解3 1 -1-5 1 32 0 11 -5 31 -1 11 3 -10 1 0-5 3 05 1 1=-1 1 1-1-5 -5 05202=3 0+1 0 =4 0.-5-502 7.解 AB=A+2 B 即(A-2 E)B=A,而 2 2(A-2 E)=1-12 8.解一210-324302-10-149;今100-5-311 3301-1-2、-120300 0008-1 45、28-1 4；1000 10 10 0 11所以 a 4=2 a j+a 2+a 3,组合系数为（2,1,1).考 a 4=x a 1+X2 a 2+X3 a 3,即 2 x +x
28、 2 +3 x 3=0 x -3 x 2 =-12 x 2 +2 x 3 =43 X +4 x 2 -x3 =9.2 9.解方程组有唯 一 解（2,1,1）丁，组合系数为（2,1,1）.对矩阵A施行初等行变换A000000=B.(1)秩(B)=3,所 以 秩（A）=秩(B)=3.3 0.解（2）由于A与 B 的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的 第 1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的 第 1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第1、2、5列 或 1、3、4列，或 1、3、5列也是）A的属于特征值入=1 的 2个线性无关的特征向量为g 1=（2,-
29、1,0）T,&2=（2,0,1）T.2 石/5、经正交标准化，得 3=-V 5/5 ,、廿 2 0/1 5、4 7 5/1 5 .、后3,入=一 8的一个特征向量为1 j (1/3、2 ,经单位化得1 1 3=2/3 .1-2/3；所求正交矩阵为 2 用5T=-7 5/52 7 1 5/1 54 7 5/1 5V 5/31/32/3-213,对 角 矩 阵 D=00、0-8;（也可取T=2 用50.7 5/52 V 1 5/1 5-A/5/3-4 7 5/1 51/32/3-2/3000.)3 1.解 f(X ,X 2，x3)=(X|+2 x2-2 x 3)2-2X22+4X2X3-7X32(
30、x +2 x 2 2 x 3)2 2 (X 2-X 3)5X?2.Y 1 =x i +2X2-2X3X =y i-2 y 2设 Y2=X2-X3,即.X 2=Y 2+Y 3Y3=X3X3=Y3 1 -2因其系数矩阵C=0 1经此变换即得f(X|,X 2,X 3)的标准形y i -2 y 22-5 y32.四、证 明 题(本大题共2小题，每小题5分，共 1 0 分)3 2 .证 由 于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A 可逆，且(E-A)-I=E+A+A2.3 3 .证 由假设 A n()=b,A i=0,A&2=。.(1)A n|=A(Q()+i)=A n()+A&尸b,同理 A n 2=b,所以2，1 1 2 是人*=1的 2 个解。(2)考虑/()n o+人 n i+b eO，即(lo+ll+(2)n o+A i+，2&2=0.则/o+/i+/2=O,否则n o 将是Ax=o的解，矛盾。所以l K 1+Z 2&2=。又由假设，&2线性无关，所以/尸0,/2=0,从 而/o=O.所以n(”H i，n 2线性无关。