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1、【本讲主要内容】平抛运动平抛运动及类平抛运动的特征及解法【知识掌握】【知识点精析】1、平抛定义：水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。2、平抛特点：(1)初速度：水平。(2)运动性质：加速度为R的匀变速曲线运动。(3)运动轨迹：抛物线，轨 迹 方 程:y=J-x ,抛物线顶点为抛出点。2%问题：人站在平台上平抛一小球，球离开手的速度为力，落地时速度为玲，不计空气阻力，下图中能表示出速度矢量的演变过程的是解释：平抛运动中，任意两个时刻(或两个位置)间的速度变化量Av=g 4,方向恒为竖直向下，正确答案是C。3、研究方法：复杂曲线运
2、动可分解为两个互相垂直方向上的直线运动，一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。练习：战争和自然灾害造成了大量难民。一架飞机正在执行一次国际救援行动，空投救援物资。设飞机做水平匀速直线飞行，从某时刻起，每隔一秒钟投下一只货箱，这样接连投下了 4 只相同的货箱，每只货箱在离开飞机后的4 s 内，由于降落伞还没有打开，可以假设空气阻力不计，则从第一只货箱离开飞机后的4 s 内，关于儿只货箱在空中的位置关系的下列说法中正确的是人 在空中总是排成抛物线，落地点是等间距的B.在空中总是排成抛物线，落地点是不等间距的C.在空中
3、总是排成直线，位于飞机的正下方，落地点是等间距的D.在空中总是排成直线，位于飞机的后方，落地点是等间距的E.在空中总排成直线，位于飞机正下方，相邻货箱间在竖直方向上的距离保持不变解释：平抛运动的水平分运动是匀速的，且不受竖直方向的运动的影响，所以应选C。4、解题思路：两个方向上分别计算最后再合成。注意合运动、分运动间的同时性。5、平抛运动的规律：如图，质点从。处以vo平抛，经时间f 后到达P 点。速度：水平分速度匕=%竖直分速度vy=gt在 P 点的速度 V,=J v；+V；=M+3）2方向：t a n 0 =为匕与内之间的夹角）%位移：水平位移：x vQt1 ,竖直位移：y -g t合位移：
4、S =yjx2+y2=J（v（）f）2+（g g产）21 2方向：t a n a=）=2=与 一（。为 s 与 x 之间的夹角）x vot 2 v0例 题 1、一平抛物体抛出后经过5 s落地，第 5 s内水平位移为4 5?，取 g=1 0 m/s 2,求:该物体总的竖直位移和水平位移分别是多少？物体抛出时射出速度是多少？该物体的水平速度变化率和触直速度变化率分别是多少？解析：由平抛特点：/v J 4f=%=0 A vyJ t=ay=g而 v（）=4x/f=45/l=45m/s得出 x=加=45 X 5=225，y=g 3/2=125 m例题2、A、B、C 三个小球从同一高度处水平抛出，水平射程
5、SA：.%：,vc=3：2：1,则三球的初速度之比心：即：v r=3：2：1；若抛出的高度之比hA：hB：hc=3：2：1,水平射程相同，则三球的初速度之比vA：vB：vc=V 2：V3：V 6,x解析：由%=7X2/g知 h 相同时 o c X ,所以 vA.9 vB-VC=SA：瓯：s c=3：2：1知 X 相同时 口 0 8 ,所 以 匕：口 8 ：V c=7=:7=:7=尸:尸:-F4h 匹师促/声方法：涉 及 八%、vy,匕、4y s几个量，给出两个量求其他量的问题，是平抛运动的基本问题，解决这类问题的核心是找到八v0,而f的求解通常从竖直分运动入手。有用的推论：由上面发现：2t a
6、na=t an。，从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的两倍。因而为=t an。，得出：。知=3 =2(M为ON的中点)，平抛物体任意时刻瞬x t an 6 2时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。例题3、如图，从倾角为。的足够长斜面上的A点，先后将一小球以不同的水平初速度抛出。第一次初速度为V”球落到斜面上瞬时速度方向与斜面夹角为%,第二次初速度为也，球落到斜面上瞬时速度方向与斜面夹角为。2,不计空气阻力，若 匕 吗，则%。2。(填、=、)A解析：依据推论有 t an(%+。)=2t an。t an(a2+6)=2 t an
7、0得 t an(%+6)=t an(2+6)故 囚=a2可得落到斜面瞬时速度的偏向角与初速度大小无关。【解题方法指导】解题思路：审题之后画轨迹，分着计算再合成，角度要看矢量图，标清符号找关系，问题围绕h v o,求，先找y、型1、平抛运动中求解时间的方法：(1)利用水平位移或竖直位移求解时间：由平抛运动的时间等于各分运动的时间，根据水平方向f=土，竖直方向/=，也；%V g(2)利用水平位移、竖直位移及倾角求解时间；(3)利用速度求解时间：先利用速度分解图，求出竖直分速度，由于竖直方向为自由vv落体运动，则有/=上；8(4)利用匀变速直线运动的推论Z=a T2求解时间。例 题1、如图，小球在斜
8、面上A点以速度水平抛出，落在斜面上的C点，已知斜面倾角为。，求：小球何时离斜面最远？小球何时落在斜面上的C点？解析：当小球的运动方向与斜面平行时，小球与斜面相距最远，此时，小球的运动方向与水平 方 向 间 的 夹 角 为 如 图 由 上面结论可得t an。=上=世 所以f =乙 vo g当小球落在斜面上时，小球的位移方向与水平方向间的夹角为故可得1 2ta n*2=二-=里所以汕”S*vot 2v0 g方法：首先审题明确表示速度角还是位移角、哪两个量间的夹角，之后必须画出矢量分解图，从图中找出关系来求解。2、求平抛初速度的方法：(1)位移法：由轨迹曲线测出多个点A、8、C、D、E的坐标(x,y
9、 ),根据平抛的规律=%，和1Yy=-g r,得%=-4=。分别求出多个值，最后求平均即为所求初速度%。22y(2)纸带结论法：在研究平抛物体运动的实验中，用实验描绘出轨迹曲线求平抛物体的初速度。对于匀变速直线运动，相邻的相等时间T内的位移差A s都相等，且 取=。7 2。乃一月二且丁？%一%=2 g7 2 XAB=XBC=XCD=A X =VQT例题2、如图是某次实验记录的小球平抛运动轨迹，测得4、8间的水平距离和8、C间的水平距离都是1 5 c m,A B间的竖直距离是1 5 a”，B C间的竖直距离是2 5 c m。若取g=O m/s2，则小球平抛的初速度等于多少？ABc7解析：在匀变速
10、直线运动中，在两个连续相等的时间间隔f内的位移分别为心和J，可以推出A s =S 2-S|=力2。本题中，由于物体水平方向做匀速直线运动，而且A 3、B C 两段水平位移相等，由此可知，这两段距离所用的时间相等均为Af,根据上述结论可得：在竖直方向上：0.1 =g A，解 得 加=0.1 s由水平方向：5水=匕/,可得=1.5 m/s【考点突破】【考点指要】高考中对质点运动考察的热点，以0 6年试题为例，天津卷1 6题、重庆卷1 4题、北京卷2 2题均对平抛这一考点出题，高考对本知识点的考查表现在对平抛运动规律的深入理解和在电偏转问题中的迁移应用，但就平抛出现的考题常见的题型为选择题，而与能量
11、、动量、流量等结合的题目也有计算题，预计今后高考中更多在电偏转问题中体现运动合成分解观点及平抛运动规律的迁移应用。平抛及类平抛运动解题的基本方法是将复杂运动分解为匀速和匀变速直线运动分别处理，再利用合矢量和分矢量间的几何关系解决问题。【典型例题分析】例 题1、（0 4全国H-2 3）水平放置的水管，距地面高刀=/.8机，管内横截面积S=2.0 cm2。有水从管口处以不变的速度v=2.0 内源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度g l O m/s2,不计空气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。说明：本题考查的是平抛的位移公式这个知
12、识点，并与生活中流量问题结合，学生思维的障碍在对空中水流的体积的认识，如能将其等效为限定时间管口喷出水的体积，问题将得到简化。解析：以f表示水由喷口处到落地所用的时间，有2单位时间内喷出的水量为。=S v ,空中水的总量应为丫=Q f由以上各式得U=Sw，他 代入数值得K=2.4X1 0 T/例题2、如图所示，让一价氢离子、一价氮离子和二价氮离子的混合物由静止经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏转，它们是否会分成三股？请说明理由。卜 一 卜一i 1-解：设带电粒子质量为 加、电量为“，经过加速电场加速后，再进入偏转电场中发生偏转，最后射出。设加速电压为U,偏转电压为5,偏转电极长为L
13、两极间距离为“，带1 ,电粒子由静止经加速电压加速，则。闻=5?产，v =2U&m带电粒子进入偏转电场中发生偏转，则水平方向上：L=vt,竖直方向上:y -a t222 dm 2dmvu24U 0可见带电粒子射出时，沿竖直方向的偏移量y与带电粒子的质量机和电量q无关。而-价氢离子、一价氮离子和二价氮离子，它们仅质量或电量不相同，都经过相同的加速和偏转电场，故它们射出偏转电场时偏移量相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。评析：带电粒子在电场中具有加速作用和偏转作用。分析问题时，注意运动学、动力学、功和能等有关规律的综合运用。【达标测试】1、做平抛运动的物体初速度大小为vo,末速度大小为
14、匕，则物体飞行的时间为2、以 9.8 m/s 的水平速度V。抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角。=3 0。的斜面匕 可知物体完成这段飞行的时间是4.口gJ匕2 一 诏 J匕2 一说%D.C.U.g 2gg3、如图为物体做平抛运动的x y图象，在任意一点P（x,y）的速度方向的反向延长线交于x 轴的A点（4点未画出）则 OA的长度为（）A.x B.05xC.0.3x D.不能确定A.与3B.-s C.D.2s34、如图，在研究平抛运动的实验中，用一张印有小正方格的纸记录轨迹，小方格的边长LOAm,若小球在平抛运动中的几个位置如图中a、b、c、d,则小球平抛的初速度的计算公式vo=_ _
15、_ _ _ _（用 L、g表示），其值为（g取 1 0/n/.v2）5、沿水平方向抛出的物体，在抛出后的第2秒内的位移大小s=2 5 m,g=1 0 m/s 2,则物体的水平初速度Vo=w/s,抛出后第2秒末的速度大小也=_ _ _ _ _ _ _ _Hl/s,方向。6、A、8两个小球之间用一根细线相连，将4、B两小球相隔0.8s先后从同一高度同一点以45m/s的初速度水平抛出，A球（先抛）抛出后经1 s,细线刚好被拉直，不计空气阻力，g=10 m/s2,则可知连接两球的细线长度为7、如图，相靠的两个斜面的倾角分别为37。和53。，在顶点把两个小球以同样大小的初速度，分别向左、向右水平抛出，小
16、球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、8两球运动时间之比是多少？S 28、如图，物体分别由4、8点水平抛出，O B =H,A8=/2时，水平射程比=,S2 3若A8=/J不变，平抛速度也不变，欲使两水平射程相等，则AB应上移还是下移，移动多少？9、图示为排球场总长为18?，设球网高度为2?，运动员站在网前3m处正对球网跳起将球水平击出。若击球的高度为2 5 ,为使球即不触网又不越界，求击球的速度范围。当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界。10、证明：如图所示，由楼上某点以同样大小的速度均向各个方向把若干个小球同时抛出，若不计空气阻力，试分析在运动的任何时刻J,在空
17、中运动的所有小球都位于一个球面上。【综 合 测 试】1、如图所示，倾角为。的斜面长为I,在顶端4点水平抛出一个石子，它刚好落在这个斜面底端的8点，则抛出石子的初速度V。为A.g cotO J2g/sin 0C.sin 0gl2 cos 62、物体做平抛运动，它的速度方向与水平方向的夹角。（小 于9 0）的正切尔。随时间的变化关系是图中的3、如图，小球、分别以大小相等、方向相反的初速度从三角形斜面的顶点同时水平抛出，已知两斜面的倾角分别为仇和劣,求小球。、落到斜面上所用的时间之比？（设三角形斜面足够长）4、如图所示，球做平抛运动，在球落地前L s,其速度方向与竖直方向的夹角由45。变为3 0 0
18、,求此球做平抛运动的初速度。5、一质量为m的小球，以初速度沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为3 0 的固定斜面上，并立即反方向弹回。已知反弹速度的大小是入射速度大小的己，求在碰撞中4斜面对小球的冲量大小。6、如图，实线为某质点平抛运动轨迹的一部分测得4 8、BC间水平距离/SI=4S2=0.4 2,高度差4 6i=0.2 5/n,Z 2=O.3 5 m。取 g u lOm/s?,求:质点抛出时初速度均为多大？质点由抛出点到B点的时间为多少？7、A、B两小球同时从距地面高为力=1 5 机处的同一点抛出，初速度大小均为v o=lO，/s。A球竖直向下抛出，B球水平抛出，空气阻力不计，重力加速度
19、取g=/0 m/s 2。求：A球经多长时间落地？A球落地时，力、8两球间的距离是多少？8、离开地面高度为1 5 0 0，处，一架飞机以=1 0 0 z/s 的速度水平飞行。已知投下物体在离开飞机1 0 s 时降落伞张开，即做匀速运动，求物体落到地面时离出发点的水平距离。9、如图所示，位于竖直平面上的,圆弧光滑轨道，半 径 为R,OB沿竖直方向，圆弧轨4道上端A点距地面高度为“，质量为机的小球从4 点静止释放，最后落在地面C点处，不计空气阻力，求：(1)小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大？(2)小球落地点C与 B的水平距离s 为多少？(3)比值A/”为多少时，小球落地点C与 B水平距离s 最远
20、？该水平距离的最大值是多少？1 0、从倾角为。=3 0 的斜面顶端以初动能E=6 J向下坡方向水平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能X为 人命的材料你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是蛆成生富兰克林【达 标 测 试 答 案】1、解析：V产Jv；_%2,竖直方向做初速度为零的匀加速运动仁上，答案为瓦g2、解析：根据本题所给的信息，显然无法利用位移求解，但我们可以从速度入手，将物体撞击在斜面上的速度分解，如图，由几何关系得：vy=v0cot30=V3v0%.竖直方向做自【书落体运动，由vv.=gt可得，=1=6 s,答案是C。g1 a理 gt3、解析：如图 t g*=Z=工城2%神上那vo
21、%t g%=2tg4tgO2=y/x-O A（在 M Px 中）L=空 O A=0.5xx-O A x4、解析：从图中看出。、b、c、d四点沿水平方向相邻两点间的距离均为3L=加。a、b、c、四个点沿竖直方向依次相距2L、3L、4 L,因此Ay=g=L得出 t=J。g vo=代入数据 v0=3 m/s5、解析：第二秒内的位移是指水平和竖直方向合位移是2 5 m,竖直方向，第二秒内的位移是15机，水平方向位移是1=%x 1 h=15?2.s=近+夕 即：25x25=v+152%=20zn/s第 2 秒末，vy=20m/s vx=v0=20m/s.1.v2=Jv；+；=20y/2m/s6=456、
22、解析：在平面解析几何中，两点A（占，月），8（2,乃）间的距离为d N g-Xf+（为一月）根据平抛规律，A球抛出1秒后，它的水平和竖直方向上的位移为X =%x。=4.5 x 1 =4.5my.-at=x 10 x I2-5 m1 2 1 2B球抛出0.2 s,水平和竖直位移为x2=v0 x z2=4.5 x 0.2=0.9加y1 9 1 72=cit2=xl0 x（0.2）=0.2m A B两球之间的距离为：（也是它们之间的绳长L）L =5-x2）2+（力 一、2）2 =6小7、解析：如图，设4球经时间匕落到斜面上，下落高度用,水平位移与tg37o=h应tg53=h1/s2tg37oxSj=
23、tg53 x s23 4 V 0 t i =V（）t2t:t2=16:98、解析：由题意知，hA hDR,而1 说Z 明“/1 /l()v0 12在mls o设击球点高度为久时，球恰好即触网又压线，如 图(2)所示，球触网,1 2=犷,c 1 31 2 31 1 22所以小=一 XIOXF3 2 v2-2 =3 g.-y2 v1 ,球压线，%=加:33 =一V(1)1 24 =一V解(1)、(2)联立方程%=2匕1 51 52即当击球高度小于2 机时，无论球被水平击出时速度多大，球不是触网就是出界。1 51 0、解析：所有在空中的小球的运动都是由小球在初速度方向上做匀速直线运动和竖直方向上做自
24、由落体运动合成，依题意对从不同方向抛出的小球构建位移矢量三角形，如图所示。所以经f秒后，各球由于自由落体都将下落/?=g g/，但同时又在各自的V。方向上运动了 s=w，即它们各自实际位置在同一球面匕 如图虚线所示。球心。位置在抛出点A下面处，球的半径R=【综合测试答案】1、解析：运动时间仁产皿丫。=co,=cos 6 J2 e=cot3 42gl sin。,答案为 AD2、解析：，=上=纪=&/答 案 为A。对有tang=三二-=2%1 2gtb s f对b有tan&=2-=红votb 2v0得 仝=则 勿，可知时间之比与初速度的大小无关，只与斜面的倾角有关。tb tan%4、解析：根据平抛
25、运动速度公式有tana=员=1vv gttan J3=上%，g +D V 3联立得%=T 根/s7 3-15、解析：小球在碰撞斜面前做平抛运动.设刚要碰撞斜面时小球速度为丫。由题意，u的方向与竖直线的夹角为30,且水平分量仍为V o,如图。由此得v=2u()3碰撞过程中，小球速度由u变为反向的?丫。碰撞时间极短，可不4计重力的冲量，由动量定理，斜面对小球的冲量为31=m(v)+mv 7由、得I=万 明 6、解析：由设A3、8 c均历时T,而八h2-八hr二g/,得/.vo=Asi/T=4m/sA/ij+A/Z22T0.602=3 m Is tB=VyB i g=0 3s7、解析：4球做竖直下抛
26、运动：h=vot+gt2将 力=15机、%=10nz/s代入，可得：f=lsx=W8球做平抛运动：1 ,y=2g rx=10m将=10加/$、f=ls代入，可得：y=5 m此时A球与B球的距离L为：L =y/x2+(h-y)2将 x、y 4 代入，得：L -10V2/n8、解析：飞机投下的物体刚开始做平抛运动，在前10s内水平位移 s=MQ=AB=vor=100加/sx 10s=1000m竖直位移 h=QO=gg产=lOx 102m=500m被投物体在10s后做匀速直线运动，运动轨迹为图中的。C,根据平抛运动的位移与速度公式的夹角关系OQ 1tan a -二一MQ 2。OQ BOPQ BC因为
27、 2 tan a=tan/3,c.BO BQ-OQ 1500/M-500/?!所以 tan/?=1 =-BC BC BC所以8C=1000用AC=AB+BC=MQ+BC=2000机9、解析：(1)小球由A运动到B的过程中，在8点2由牛顿第二定律得FNBmg=mR由机械能守恒有mgR=；m v/f由 以 上 两 式 得FNB=3ing(2)小球离开6点后做平抛运动，抛出点高为“一R1 2HR=-gt22s=vBt解 得V=2gR s=d4HR-4R。(3)因为 s=j4”R 4R2当R=旦，即6=,时，s有最大值，即slllax=H2 H 2答案：(1)3mg(2)y 4HR-4R2(3)-；H10、解析:方 法1：列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系,7 1可求得 E=mv,2=()=141/2,3 2 方法2：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD,可以证明末速度灯的反向延长线必然交A8于其中点0,由图中可知A。：A O=2 ：眄,由相似形同样可知打：i，o=V 7 :日因此很容易可以得出结论：E=I4J。