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1、1、卜 (亦-dr2 f )d T=_J-oo3、绘出下列各函数式的波形图(1)./；(/)=42-i)次）b（，）+3 ”）o4、已知信号/(，)的波形如图所示，请画出下列函数的波形。(1)/(6-2/)g b(6-2/)5、某连续系统的框图如图(a)所示，写出该系统的微分方程。j(。+叼 3+%刈=/(。6、判 断 系 统(7)=/(/)是否为线性系统？非线性系统7、判 断 系 统=是否为线性时不变系统？时变系统8、系统的输入为x(f),输出为y ),系统关系如下，判断系统是否是因果系统。(1)咖=x(/)co s(/+1)(2)必)=%(-/)(1)因果系统(2)不是因果系统9、描 述
2、某 L T I 系统的微分方程为 匕 出+3 虫 3 +2 讪)=2 色 犯+6/，已知dt at at乂0.)=2/(0 一)=0,/(/)=(/),求系统的全响应，并指出零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应。解：(1)求全响应：将输入/(7)=1)代入系统微分方程，有，全响应是方程+3 +2y（t）=2 0时，可写为 立3+3且 也+2乂/）=6以/）（2）d产 d/显然，方 程（D的特解可设为常数O,把。代入方程（2）求得。=3所 以 方 程（1）的解为M/）=G e-+C 2 e-2 +3下面由冲激函数匹配法定初始条件。i2据 方 程（1）可设 驾=。匏）+尸0 0dr=（/）+
3、八（。M D无跳变代 入 方 程（1）,得 帚（7）+4（/）+3。（/）+3八（7）+2乂/）=2必）+6（。匹配方程两端的3（7）,及其各阶导数项，得a =2所以 j/（0.）=y（0 _）+a =0 +2 =2M）=4。）=2把 y（0.）=2/（0 J=2 代入 y（t）=C,e-+C2 e-2,+3得G=O,C z=1，所以系统的全响应为 y（7）=-e +3 /0（2）求零输入响应为：因为激励为零，零输入响应为是方程 朱9+3粤+2乂/）=0 （3）且满足为（0+）=%（0 ）=y（0 ）=2,%（0+）=为（0 ）=/（0 ）=0 的解。(3)式的特征根为4=-1,4=一2方 程
4、(3)的齐次解即系统的零输入响应为0=4 e-+&e”(4)由 分(0.)=2,乂；(0.)=0,代 入(4)式解得 5,=4,52=-2所以，系统的零输入响应为 K,.(/)=4e-2 e也/0(3)求零状态响应”,(/)：%(/)=必)-%3,即%(/)=。+3 /0因为特解为3,所以强迫响应是3,自 由 响 应 是4e-+e。1 0、已知某LT I系统的微分方程为 4 4 +5当8+6乂。=3色&+2/”)，试求其d/2 dr dt冲激响应(/)。解：先 求 方 程 号&+5驾0 +6%(/)=*/)的解九(/),得%(f)=(G e-2，+C 2 e”)由初始条件包(0+)=0,欢)+
5、)=1 (由6系数平衡法易知)得。1+。2=0 -2G3 G =1解得 C,=1 C2=-l即%(/)=(e-2-e-3%(/),所以咐=3凶+2 5(/)d/=3(-2 e-2,+3 e-3 z&(/)+3(e=一 e%)+2(e-2,-e-3,)e(0=3(-2 e-2 z+3 e-)1(/)+2 je3 -&(/)=(7e-3,-4e-2,)f(/)1 1、若激励为/(/),响应为y(/)的系统的微分方程为2珀)=X/(/)+3 3/(/)+3 /(/)，求系统的冲激响应M。oat at dtjJ 2 j解：将/=3(/)代入方程，=M/)+2 M/)=3H/)+3；b(/)+3*7)(
6、1)A t dt dr微分方程的齐次解为/(/)=4 e-2 z(2)用冲激函数匹配法求初始条件，设 与/=播 (/)+防(7)+C 3(/)+力(/)dtM，)=(，)+b(r)十 八。)上述两等式代入方程(1),经整理得时”)+b )+cd(f)+尸。+24 0+2/?(5(/)+2 外(，)=3 (/)+3 3 )+3 3(f)根据在片0时刻，微分方程两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等，解得(7 =1,/?=1,C =1于是(0+)=40 )+c=l把 4 0+)=1 代 入(2)式，求得4=1,考虑=1,=2,/M,中应加上3函数匹配过程中出现的3”)及其导数项。故 冲 激 响 应
7、 为。(/)=i(/)+*/)+(/)1 2、已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，求该系统的冲激响应M。rf(t)v(t)1 I 1/T_O I 2 7 o 1 2 解：对激励和响应分别微分一次，得/(/)=30-的-2)yt)=w(z)-w(/-l)-w(z-2)-u(t-3)当激励为-0=题)时，响应为为0=必)一 (1)于是当激励为/(/)=g)时，响应为M)=(/)一(/一1)即 颂=。)一(/-1)13、计算卷积工(/)*人(/),并画出波形。%)。*加)=1+(/-1)*e6)(/+1)=1*e-(,+1)r(/+l)+,(/-l)*e-(,+l)f(/+l)=/川)
8、(7 +1兄7+1)*e-r+l,(r +l)dr=e-(r+1)d r +3(/-1)*e-(r+1)d 工=1+e-(r+l)dT =l +(l-e-z 上(/)14、解:求信号./(/)的傅里叶变换F(jco)o 汝)=妆3兀(刃)或者 3(/)=1 ,2 +3兀3(。)0-已知信号/W波形如下，其频谱密度为尸(j。)，不必求出尸(j。)的表达式，试计算下列(2)网汝)de w解:所以*。)=4F(O)=F L =/(0 d/=1.5/(/)=白 工/e叫102兀川16、解:令 D,贝Ij/（o）=!-/o）d2 T lM贝（J 尸（）d=2兀/（0）=2兀已知大=利用傅里叶变换的性质，
9、求 用（%）=川/（6-2川。按反转一尺度变化一时移次序求解已 知 耳（汝）=川 片（川对r反转 网/!（）=6（一刃）对f压缩2倍/卜(-2/)=(片(/葭)对/时移g,得网“6-2/）=乂-司或者：按反转一时移一尺度次序求解或者：利用性质用/（。）=前用丁詈17、已知双S a信号 加）=S a/）-工）,试求其频谱。7 1解:E(汝)=l-e-j 2,vr0（Hwc）（蚓 2）18、已知信号/（/）=不解：利用频移性质（结合欧拉公式）/(/)=(1 +co s /雇工=(1 +；e +；e-jk”(r)F(j(w)=F/(0 =2s i i m%；2而兀(。-1),2 sinG+l)_ 2
10、册兀一1 +1 (2 -1)C D或者：用频域卷积定理/(/)=(l +co s/)g2K(Z)根据频域卷积定理有网/。)=4+co s小 尸 乙(川=-27 c.()+兀1)+兀3(啰 +)*2sin兀2兀CD2 s i n兀 (一 1)或者：利用傅里叶变换的时域微积分特性/(7)/(/),.，(/)的波形为：由图可知/(/)=-co s&=4/0-g 24 对上式两端取傅里叶变换，可得。/)2尸(%0)=-E(汝)-2sum”CO即(1 -/(;.)=空理故FM=-书写co a)a)-1)19、求信号/(7)=S a(10 0 7)的频宽(只计正频率部分)，若对/(/)进行均匀冲激抽样，求
11、奈圭斯特频率/v和奈圭斯特周期丁3。解：(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变换尸(。)。已知 gT(/)r S acotCi)T令 一 二 10 0，贝|J 1=20 0所以2g 2o o(f)c2O O S a(l O O )即 痴5 g 20 )c S aQ 0 )利用傅里叶变换的对称性 兀S a(10 0/)27 f-g20 0(co)=g20 0(co)/W的波形和频谱图如下所以信号的频带宽度为=H z Q n=l 0 0 r ad/s2兀 Tt(2)最高抽样频率(奈奎斯特频率)为/,2n/,n=10 0 Hz兀奈奎斯特间隔(即最大允许抽样间隔)为7 =s人i o o20、
12、已知周期信号火。的波形如下图所示,八/0求/W的傅里叶变换尸0。)。-1-2_J_1itl12解：将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积，用时域卷积定理来求解1 3截 取/在 的 信 号 构 成 单 周 期信号力，即有f 1 3/(/)-/dy）=F/（/）=27t 丑 6（所兀）=2 乞-1一（一1）由（所 兀）=O O n=-oa 21、求下列函数的拉氏变换/（7）=/（/一1）解：（若文字中未作说明，则指单边拉氏变换！）E（s）=/（/-1）=/（/）（t 1）+f （/-1）=f j e*v22、求三角脉冲函数/（7）如图4-2（a）所示的象函数t 0t l/（7）=（2 T l t
13、 （Z-2）4/（/）=Js /（4）=F（s）e于是 E（s）=2（l-2e-s+e-2s jz z l Q eT）2s s方法三：利用微分性质求解显然 L =3（/）_ 23（/_ l）+6（/_ 2）=（l _ eT）2根据微分性质 L区 型 =52F（5）-/（0-）-.y/（0-）A t由图 4-2（b）可以看出/（0-）=0,/（0-）=0于是 52F(5)=(l-e-s)2 尸(s)=4(l -e-Ts方法四：利用卷积性质求解/可看作是图4-2(c)所示的矩形脉冲工土)自身的卷积/(/)=/；(/)*/(7)1/0图 4-2(c)23、应用微分性质求图4-3(a)中的(/),人(
14、/),力(/)的象函数图 4-3(a)解：八川)=3的)(1)*/)=/)(1)|族)=M)-r -T-o-r图4-4(b)(1)对于单边拉氏变换，由于/；(7)=力(/)(/),故二者的象函数相同，即耳(S)=E(S)=3S(2)虽 然/(s)=匕(s),但工(/)。人(/),因而必(理*上对于/0,由于工(0)=0,故“/；(/)=.2(5)-0=3对 于 人 ，由于力(0一)=2,故必)=s E(s)2=1(3)虽然力(7)和力(/)一阶导数相同，但力(0_)=2,./；(0.)=0,因此，人(7)=d(x)dx+力(0_)=c（0）+4（0）=1故 系 统 的 起 始 状 态uc（o）
15、=0,zL（0）=1（3）求系统的初始状态当激励信号/（/）=（/）时，根 据（D式求得全响应为。（5）=s J s +2）c（0）+（0）s?+2s+1 s?+2s+l1 （s+2%/c（0）+，L（0）s s2 4-25+1 s2+25+1（2）要使全响应,(/)等于激励信号0,则(5+2盛(0 )+ZL(0 _)-5-2 =0从而求得系统的初始状态c(0 )=1,zL(0 )=02 6、题 图(a)是理想高通滤波器的幅频特性和相频特性，求此理想高通滤波器的冲激响应。解：因为 附(jc o)=1 以0+g)-(0-g)夕()=一碗0所以M j )=1 一 归(+4)_ (-/)。小 =e-
16、j 幽-E(CO+)以-)卜 叫1)=而-)-丝 Sa&(f-)712 7、系统的结构如下图所示，这是一种零阶保持器，它广泛应用在采样控制系统中。求出该系统的系统函数H(j。)。(2)若输入x(7)=b(/)+2 b(/7)+3 b(7 2 7)，求输出 j(/)。解：/?（/）=-j（z）-（z-r）d/=-f（/）-（Z-r）工工所以“（地）=-（1 -e T s）J G工i n 3=x（z）*（，）=-（/）一 （/一 工）+一 工）一 （，-2工）+一 2工）一 （/-3工）T T TM0伙）2 8、已知某系统的系统函数(/0)=一，输入信号x )为(l)c os3/,(2)si n/
17、,试求系jc o+5统的零状态响应M，）。解：X（.汝）=%+3）+3）H(jG =1jw +5所以Y(jco)=X(jco)H(jco)7 T5 31T2 5 (co 3)it正+3 25 3(c o+3)+nA/52+32-jarctan-1-,、e 5 d(0 3)因为所以5(w +3)-e-3 z e3/2 兀州=12 7 52+32d-1 -2A/52+32c os|3/-a rc t a n1-I5或 者：(/3)=一=/1 =w+5 V Z 7 7 31即 幅度加权J=，相移-a rc t a n 也J +3 2 5c os（3 t）作为输入的输出为 c os|3/-a rc t
18、 a n-1-7FT F I 5（2）同 理 si n/作为输入的输出为1#+5 2si nz-a rc t a n-lI52 9、图（a）所示为幅度调制系统，输入信号e 为限带实信号，带宽为加；s为周期性冲激序列，如 图（b）所示；3）为理想低通滤波器，带宽为3/加 如 图（c）所示，求系统(b)(c)解：e与s相乘相当于以奈奎斯特抽样率对e进行理想抽样，所以乘法器输出可表示为7 s（/）=e（/y y 3其对应的傅里叶变换为1 1 8工（0）=丁 同 ）*_.4兀 人 一4兀人）2 兀 2 ym“一=E（。）*刈。-而 兀（）二-8=（。一 4兀人）=O O因为抽样满足奈奎斯特抽样率，因而
19、e被抽样后,加信号对应的频谱不会重叠。如图（d ）所示。抽样信号与原信号在加法器中进行减法运算，因而加法器输出信号的傅里叶变换为y（=K （g）E（g）=E（w-4/77t./m）E（ty）=O O频 谱y（/3）如 图（e）所示这样总的输出信号的傅立叶变换为火（。）=丫（。）”（。）=E（0 +4兀八）+同0一 4兀人）频谱R（j3）如 图（f）所示 了。0）GG.O 4 nzm_0）（f）因此系统的输出为尸（/）=尸-（+4 兀/）+（。-4 7tzm）=e（/）e T 4%+e（/）ej4%=e（z）e_y4 n/m，+e1 =2 e（/）c o s 4 兀 fmt这是一个抑制载波的调幅
20、系统3 0、判断下列离散信号是周期序列还是非周期序列。若是周期序列试确定其基波周期N。疝）=sin图s喏）解：（1）非周期序列(2)N=323 1、已 知 描 述 某 系 统 的 差 分 方 程 为 歹(%)+3歹(A-1)+2 4 A-2)=/(。，且M-1)=0,4一 2)=；;设激励/(A)=2*,&2 0;求响应序列y(刈。解：方法一：经典法(1)求齐次解以(左)特征方程为无+3 2 +2 =0故特征根为4 =1,4=-2则齐次解为为的=G(T)*+G(-2 y(2)求特解由题知激励是指数序列形式，可设特解为y.(k)=A(2)k将其代入差分方程得3(3)求全解歹(左)=%(无)+4(
21、左)=G(-1+。2(-2)+g x 2，k 0由原差分方程得当=0 时，歹(0)=2。-2 y(-2)-3(一1)=0当=1 时，y(l)=2 i-2 y(-l)-3 y(O)=2即初始值：歹(0)=0,M 1)=2,代入全解有y(O)=G+G+；0齐次解 特解(自由响应)(强迫响应)方法二：求零输入和零状态响应(1)求零输入响应在零输入情况下，响应Ki(。满足齐次方程，解的形式为”口)=。片+2 4 ko而齐次方程的特征根4=-1几=一2,则 为 的=2(-咪+3(-2丫 ko由题知 M-1)=0,M-2)=g,得=+；。2 =0 为(-2)=0+；02=：解得3=1,3 =-2,则 为伊
22、)=(-1)“一2(-2)*k0(2)零 状 态 响 应%(%)零状态响应打是满足非齐次方程，且初始状态全部为零的解，即满足y(k)+3y(k-i)+2y(k-2)=f(k)y(一 l)=y(-2)=y(-N)=0可用经典法求得%的=-g(T)+(-2丫+；x2&k0所以系统的全解为yM=y,Ak)+y-M=(-l)A-2(-2y-*1丫+(-2丫+卜2人=|(-iy-(-2)A+；x2 k0齐次解(自由响应)特解(强迫响应)方法三：用离散卷积求零状态响应(1)求该系统的单位样值响应力(左)h(k)+3h(k-1)+2h(k-2)=3优)其特征方程为才+32+2=0故特征根为4=-1,4=一2
23、单位样值响应hk)=5,(1丫 +鸟(-2)*k0利用边界条件A（0）=l=0解得 A=-1,2 =2则，单位样值响应 从。=一(一1)*+2(-2 y k 0(2)离散卷积求零状态响应y M =h(k)*=-(-1)；+2(-2 R)-，途-。=寸 一(1)+2(一 2)，/=0=2喧 艮 生 一9K)i=o N 乙=2人 苣(切 一2勿出)/=0;=0 Z)利用等比级数求和公式，得系统的零状态响应%(人)=-;(-球+(-2丫+g x2(%)3 2、如 图(a)所示一线性离散系统，试求该系统的单位样值响应从外。解：由系统图可写出该系统的差分方程 乂%)5 M A-1)+6 4左一2)=-2
24、/(幻+/(%-1)则单位样值响应阚 满足方程 h(k)-5h(k-1)+6h(k-2)=-2dk)+5(*-1)上式的右边是单位样值信号6(。的加权与移位，故先令4 (外满足方程九化)一 5九(左 一)+6%依 2)=3(%)其特征根为 4 =2几=3,则。口)=(。2+43+的又 叫:解得=-2,2=3,则%(%)=(-2+3.3%(%)九(1)=0根据系统的线性与移位特性，得 从左)=-2%(左)+%(左-1)即 碗）=一21（后）+=（左 一 1）=-2（-2X2A+3X3*）r（）+-2（-2x 2*-+3 X 3A-k -1）由此可知MO）=-2,故系统的单位样值响应M）还可写为/
25、、-2 k=0h（k）-3x24-5x3 4 k?l33、已知离散信号工伏）=（左）一）一6）,不优）=畴+6）-卜+1）求 卷 积/的=工。）*/e）解：利用不进位乘法求卷积工 =（左）一（左一6）=、“=0Jk:1 2 3 4 5族)：J_J_ 1 _ _ 1 _ 11 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 5/(%)1 3 6 10 15 1 4 1 2 95n=3所以/(%)=L3,6,10,15,14,12,9,“、=3,此方法适应于时限序列。34、利用性质求序列的z变换 f(k)=(左一2夙人)解：Zk-2(Jt)=Zke(k)-2ek
26、z 2z_ 3 z-2 z2z,2目 11 i 7 T 13 5、X(z)=|z|-,求其逆变换。1-7-+z-2 26 61 1 1 z 解：入(2)=0(2)+与(2)=1 +-Z2-Z+6 6U _1 9 8其中，片(z)=_ J亍6 1=3+告=吃+/z z+Z-Z-Z-Z-6 6 2 3 2 3#)=Z-M(z)+Z T 帜(z)二 (5()+X(z)z+1Zz z zZ+-或者:z-2z 3所以原序列为 x(k)=ZTx(z)=9X|一8x 0(k)两种方法求逆z变换，其结果完全一致。3 6、描 述 某 离 散 系 统 的 差 分 方 程 为 员 左)+3乂4-1)+2 M A-2
27、)=/的且y(O)=O,y(l)=2;设激励f(k)=2*(上);求响应序列式左)，并指出零输入响应与零状态响应。解：对差分方程取单边z变换y(z)+3 zTy(z)+M l)+2z-2y(z)+z，(_ l)+y(2)=R(z)y(z)=z)_ 3 y(-1)+2/(-2)+2-(-*I l +3 z-,+2z-2 l +3 z-1+2z-2(1)=/(z)+(z)可用迭代法把 乂0)=0,乂1)=2代入原方程，即乂 0)=/(0)-3乂-1)-2 M-2)乂1)=/(1)-3 M 0)-2夕(-1)解得 y(-l)=0，X-2)=1(a)求零状态响应由小)=用整理得z(z)=z-2z31
28、+3 z-i +2z-2 (z-2府 +3 z+2)4(z)_ 4 I 4|4z z-2 z+2 z+1求 得 系 数4=；,4 =1,4231 z故得 4(z)=-+3 z-2 z+2 3 z+l则系统的零状态响应 k)=Z T乜(z)=；x2+(2)J；x(l)(b)求零输入响应把 乂-1)=0/(-2)=；代入匕(z)的表达式，得%(z)=，二 Z 1+3Z+2 Z用部分分式展开法，得/(z)=-2二+z+2 z+1则系统的零输入响应 i h)=ZT%(z)=-2x(-2)+(-l)“(。(c)求全响应丁(4)=丁公(左)+_)(4)=+(-2/(A)+2x(2)+(-1)k左)=|x(
29、-i y+(-2 y )4 x 2 )自由响应 强迫响应3 7、离散系统如图(a)所示，(1)列写系统差分方程的表示式；(2)求系统函数(z);(3)画“的零、极点分布图并指出收敛域；(4)求系统的单位样值响应；解：(1)列写系统差分方程的表示式根 据 图(a)可列写出加法器的输入、输出关系次左)=/(左)+0.5 J(0 1)(1)(2)求系统函数刈对 方 程(1)取Z变换并利用位移性质，得r(z)=F(z)+o.5 z-r(z)所以，系统函数”(2)=纲=一 (2)Fz)z-0.5(3)画(z)的零、极点分布图并指出收敛域由(2)式/(z)=j-r=-b(z)z-0.5得 零 点：z=0
30、极点：z=2H(z)的零、极点分布如图(b)可见匕M z)收敛(4)系统的单位样值响应对H(z)进行逆变换求单位样值响应 M H=g)次)3 8、一线性时不变离散时间系统(z)的零、极点分布如图(a)所示且已知其单位脉冲响应(A)的初值。(。+)=1,试求该系统的单位脉冲响应h(k).卜,/_*3 斤ReI(a)4-1解：先求系统函数 H(Z)=47(1)由初值定理可知。(。+)=l i m (z)=W m A-：土 或；=1Z T o o z-8 +Z2+1解得4=1,代入式，得 H =7 J (z+再求该系统的单位脉冲响应/(A)(z)_ z?+l _-1 1 1z z(z-l)(z+l)z z-1 z+1故得/7(z)=-l+z-1 z-f-l所以 MH=d的 +(左)+(l)*(%)