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1、20 23年新高考复习讲练必备第2 4讲空间向量及其应用一、知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量空间中既有大小又有方向的量称为空间向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共线向量(或平行向量)如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行(或共线)共面向量空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面2.空间向量的有关定理共线向量定理：如果“W0且方。，则存在唯一的实数九 使得)=痴.(2)共面向量定理：如果两个向量a,方不共线，则向量a,b,c 共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x,y),使 c=xa+v
2、Z.由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如 果 A,B,C 三点不共线，则 点 P在平面A3C内的充要条件是，存在唯一的实数对(x,y),使力=x病+而:.(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a,b,c 不共面，那么对空间中的任意一个向量P，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=xa+W+zc.其 中,a,A,c称为空间向量的一组基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 为=,O B=b,则/A O B 叫做向量a与b 的夹角，记 作a,b),其范围是 0,呼若a,b=多 则 称 a与 1 互相垂直,记作(2)两向量的数
3、量积：非零向量a,的数量积a协=|a仙|cos a,b).4.空间向量数量积的运算律(1)结合律:(痴)6=2 3 山)；(2)交换律:a-b=b-a；(3)分配律：(a+5)-c=Qc+c.5.空间向量的坐标表示及其应用设 a=(xi,y,zi),b=(x2,yi,Z2).向量表示坐标表示数量积a-bxx2+yyi+zz2共线=2a(aW0,A,GR)X 2=Z xi,y2=Xy,Z 2=2zi垂直a山=O(aWO,bWO)x iX 2+y iy 2+z iZ 2=0模|a|/+v 1+z 夹角(a,b)(aWO,万WO)_x ix 2+y iy 2+z iz 2COS df 0/2 i 2
4、 i 1 9_i_ 7_L 2yxi+yr+zT Jx2-ry2+z26.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果/是空间中的一条直线，。是空间中的一个非零向量，且表示。的有向线段所在的直线与/平行或重合，则称。为直线/的一个方向向量.(2)平面的法向量：如果a 是空间中的一个平面，是空间的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面a 垂直，则 称n为平面a 的一个法向量,此时也称n与平面a 垂直，记作na.7.空间位置关系的向量表示常用结论位置关系向量表示直线/l,/2的方向向量分别为初，V2l/hU l 02=01=加2/l-L/2V V2 VV2 =0直线/的方向向量为
5、0,平面a的法向量为nl/avl.n v-n=Ol-Lav/nn=Av平面a,4 的法向量分别为ni,1 1 2a/p/n 2=i=%2alpn_ L 2=7 1 1,/I 2=O1.在平面中A,B,C 三点共线的充要条件是：物=x(乃+义元(其中x+y=l),。为平面内任意一点.2.在空间中P,A,B,。四点共面的充要条件是：由=尢/1+为+2比(其 中 x+y+z=1),。为空间任意一点.二、考点和典型例题1、空间向量的运算及共线、共面定理【典 例1-1】(20 22全国高三专题练习)已知向量之=(2m+1,3,加-1),b=(2,m,in),且刃必，则实数机的值等于()32A.B.-23
6、C.0D.一或一22【答案】B【详解】当?=0 时，5=(1,3,一 1),5=(2,0,0),a b 不平行，4 0,丁 a/h，.2 7 +1 3 加 一 12m m,解得?=2.故选：B【典 例1-2】(20 21河北,沧县中学高三阶段练习)a=(1,-1,3),=(-l,4,-2),c =(1,5,x)，若日瓦d三向量共面，则 实 数()A.3 B.2 C.1 5 D.5【答案】D【详解】,:a=(1,-1,3),6=(-1,4,-2),，、与 5 不共线，又 :a、B、三向量共面，则存在实数如使乙=加1+方m-n =即 一 机+4 =5 ,解得修=2,m=3,x =5 .3m-2n=
7、x故选：D.【典例 1-3】(20 20全国高三专题练习)设x,yeR,向量d =(x,l,l),5 =(1,y,l),c =(2,-4,2)a A.b 则 I 1 +51=()A.2/2 B.V 1 0 C.3 D.4【答案】C【详解】因为向量。=(x,l,l),B =(l,y,I),乙=(2,-4,2)且 _1 _ 5，b/c -=-=解得x=-l：-2-2 2故答案为：-1.2、空间向量的数量积及其应用【典例2-1】（2022.河南省杞县高中模拟预测（理）正四面体A-B。的棱长为4,空间中的动点P 满足PB+PC=2 2,则 审 丽 的取值范围为（）A.4-2 6,4 +2 6 B.夜,
8、3忘C.4-3 上,4-忘 D.-14,2【答案】D【详解】A（o,-V 2,o）,c（0,V 2,0）,由对称性，点尸在4 4,4C，AACR 是相同的,故只考虑尸在BG上时，设正四棱台的高为 人 则G 0，*，设 P（乂y,z）,P Q =k 2 7B C=一 ,0,因为在 8 1 G 上，所以 P C 1=丸4。（0 K/1 4 1）,则3 巴夜血r Z,-Z,n,1 2 2 2 J旦 向旦旦,一小/_ 旦,_ 逑+,2 2 2 ）（2 2 2定=，虫 及 一 也+立 4_公=，也 4也+也 尢 _：2 2 2 J I 2 2 2 ）所 以 可.定 把+（也 2-述 丫 立 2 +立 +
9、*2 2 2 2 2=-A2+-22+-2-2-+/I22 2 2 2 2=A2-Z +/z2=f 1 +/i22 I 2；4I 7由二次函数的性质知，当/=；时，万.前 取 得最小值为 2-，乂因 为 苏.玩 的 最小值为:，所以/-二=1，解得力=士1（负舍），2 4 2 2故正四棱台的体积为：1 1 2 7V=-（5I+7 5 +S2）A=1（2X2+V2X2X1X1+1X1）X|=-.故选：A.【典例2-3】（2 0 2 2 山东泰安 模 拟 预测）九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵ABC-ABG中，A B
10、L A C,M是 AG的中点，AB =7 ,N,G分别在棱84，AC上，且 B N =；BB-A G=A C,平面MNG与 A 5 交于点H,则弁 7 =，H M AB =t）ri【答案】6 -4 2【详解】如图，延长例G,交AA的延长线于K,连接K N,显然K N u 平面M N G,K Nu 平面A B B ,因此，平面MNG与 A 8的交点”，即为KN与 A B 交点，2=-,即 K A=2 AA,1-3-1-2=GMAAPlKA在堑堵48C4G中，A GM,则又 BN=LBB/L.则 必=6 8N,而 K A B N ,于是得 L =6,所以4 H=9A3 =6,3 3 B H N B
11、 7因A4 1_ L A8,A.M L A B,所 以 两 丽=（丽+丽+村 通=丽 丽=-6x 7=T2.故答案为：6；-4 2【典例2-4】（2 0 2 2 上海徐汇三模）已知3、B是空间相互垂直的单位向量，且 4 =5,c-a=c-h=2 y2,则g-痴-码 的最小值是.【答案】3【详解】因为万，方互相垂直，所以必5=0，|o -ma-nZ）|=c2+m2a2+n2b2-Ima-c-2 nb-c+2 mna-b=2 5+.2+2-4 血机-4 忘 =（,”-2 应 了+（八-2 点 了+9 ,当且仅当初=”=2 立 时，卜-机a-司 一 取得最小值，最小值为9,则卜闷 的 最 小值为3.
12、故答案为：3【典例2-5】（2 0 2 2 浙江模拟预测）若 尸、Q、R 是棱长为1的正四面体棱上互不相同的三点，则 可 砺的 取 值 范 围 是.【答案】（一 1,；【详解】如下图所示，由任意性，设点P、Q、R分别棱长为1的正一棱锥A-3 C D 的棱A。、BC、8 0 上的动点，A设 的=2 册，其中2 e 0,l ,则 一 方=/l（房 而），所以，P Q =（-P B+A P C.所以，同 引（1 T）丽+西M（1 T）附+4正 卜 m a x 网困 =1,当且仅当线段P。与棱A B 或 8 重合时，等号成立，即|而|的最大值为1,.PQ Q R=-QP Q R -=-,当且仅当。与点
13、B或C重合，P、R重合于点A 或点。时，等号成立，但 P、Q、R为不同的三点，则 丽-1,由上可知|所|的最大值为1,取线段网 的中点M,则 QP QR =（Q M +M P Q M -M P）=|QM|2-|MP|2 0-=一;,当且仅当线段P R 与楼A B电合且。为棱A B的中点时，等号成立，则 而 灰 4：.4_ 1综上所述，-P Q Q R 且 DD,1 平 面 ABCD,又EFu 平面A B C D,所以EF J-。，因为E,尸分别为AB,8C的中点，所以E F|A C,所 以 所 _LB,又 B D C D D、=D,所 以 叮，平面8O R,又E F u平面目EF,所 以 平
14、面 EF _L平面BDD,，故 A 正确；选项BCD解 法-：如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设 AB=2,则 4（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,20）,3（2 2 0）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,G（0,2,2）,则 EF=（-1,1,0）,=（0,1,2）,丽=（2,2,0）,瓯=（2,0,2）,丽=（0,0,2）,祕=（_ 2,2,0）,而=（_ 2,2,0）,设平面B|EF的法向量为浣=（4,x,zJ,则有m EF=-x1+y=0fn-EB=+2Z=0可取机=（2,2,-1）,同理可得平面.4 3。的法向量为I =平面A AC的法向量为点=
15、（1,1,0）,平面AG。的法向量 为&=（1,1,1）,JjiJ mn,=2 2+l=l r 0,所以平面与E F与平面ABD不垂直，故 B 错误;因为而与2 不平行，所以平面BtE F与平面A AC不平行，故 C 错误;因为何与胃不平行，所以平面8 F 尸与平面4C Q 不平行，故 D 错误,故 选:A.Az选项BCD解法二：解：对于选项B,如图所示，设ABC|B|E=M,E F C B D =N,则MN为平面Bg产与平面ABD的交线，在内，作BP_LMN于点P,在AEMN内,作GP_LMV,交EN于点G,连结8G,则N B P G或其补角为平面B,EF与平面48。所 成：面角的平面角，由
16、勾股定理可知：PB2+P N2=B N2,P G2+P N2=G N2,底面正方形ABCD中，E,尸为中点，则 所，8),由勾股定理可得NB,+N G2=8G2,从而有：N B，+NG)=(PB。+P N2)+(PG2+P N2)=B G2,据此可得B P G?HB G?,即 NBPGH 90。,据此可得平面B,EF I平面ABD不成立，选项B错误；时于选项C,取4月的 中 点 则A”|8 E，由于AH与平面AAC相交，故平面8尸平面A AC不成立，选项C错误;对于选项D,取 的 中 点 很 明 显 四 边 形 4 8 尸”为平行四边形，则AM I田厂,由于A M 与平面4G。相交，故平面8声
17、尸平面ACQ不成立，选项D 错误；)C.旦 D.我4 4【典例3-3】（2022福建龙岩模拟预测）已知直三棱柱A B C-A B C 的所有棱长都相等，M 为A G 的中点，则4 0 与8 G 所成角的正弦值为（A.巫 B.3 3【答案】C【详解】取线段AC的中点0,则 B O J.A C,设直三棱柱A B C-A A G 的棱长为2,以点。为原点，O B.OC，丽的方向分别为X、z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则 A（O T O）、“（0,0,2）、B（G,O,O）、C,（0,1,2）,所以，AM=（0,1,2）,限M,2）,cos=氤稿 忌T乎.所以，sin=-cos2 =乎.
18、故选：c.【典例3-4】（2022河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理）已知三棱柱ABC-ABG的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2,。为8 c的中点，若NA48=NAAC=W，则异面直线A。与BQ所成角的 余 弦 值 为.【答案】近6【详解】由题意，D =AB+AC,BC=AC+AA-AB,所 以|丽|=/宿+/2+2而.祕=3777=石，g卜+羽。+AB+2AC-AA-2AC-AB-2AA-AB=2收，ADBC=-A C A B+X A B-A B2+AC2+ACAA-ACAB=2,所以cos/AA。r ,BDZG-,=|通函=行2耳=不V6故答案为：运6【典例3-5（2022福建泉州
19、高二期末）如图，在直三棱柱4BC-A81G中，AB=AC,AA,=4,4ABAC=90,D,E分别是BC,AB的中点，且%_“网=.证明：AD BCt；（2）求AD与平面B E所成角的正弦值.设3 =y,z）为平 面 片 的一个法向量，九，璃，元 J _ 席 即-x+2 y +4 z =0 ,M.令=4,贝!J y =4,z =Tx+4z=0-,=（4,4,1）1 2设Ap与平面B E所成角为氏 则 s i n 个瑞卜|福西=2 廊3 3法二：AB=A C,。为 3C 中点，:.AD BC在直三棱柱A B C A4G中，平面A B C,又 AOu平面A B C 耳又 BCCBBi=B,3。/片
20、 ,因为所以两两垂直，所以以A 为原点，A 3,A 2A E所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,因为面ABCD是边长为2 的正方形，DFHAE,.D F =-AE=,N 为 的 的 中点，2所以 4(0,0,0),3(2,0,0),0(0,2,0),(0,0,2),N(l,0,l),M(1,2,0),尸(0,2,1),所 以 标=(-1,2,0),因为平面ABCD的法向量可以为 =(0,0,1),所 以 标.日=0，即 而 _ L ,又NF 0平面ABCD,所以NF平面ABC。；解:因 为 标=(-1,2,0),赤=(1,0,1),设平面MNF的法向量为 =(x,y,zm-NF=-x+2y=0m-MF=x+z=Q则令y=l，贝 ijx=z=2,所以m=（2,l,2）,因为AEL平面A8C。,DF/AE,所以。尸_L平面ABCD,因为A)u 平面48CD,所以D F 1A D，因为 AOJLDC,DCnQF=。，所 以 _L平面MFD,所以平面MFD的法向量可以为G=(0,1,0),设二面角N 为6,由图可知二面角N-M F-D 为钝角,