《第05讲 空间向量及其应用 (讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第05讲 空间向量及其应用 (讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习.pdf（45页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 0 5讲 空 间 向 量 及 其 应 用（精 讲）目 录 第 一 部 分：知 识 点 精 准 记 忆 第 二 部 分：课 前 自 我 评 估 测 试 第 三 部 分：典 型 例 题 剖 析 题 型 一：空 间 向 量 的 线 性 运 算 题 型 二：共 线、共 面 向 量 定 理 的 应 用 题 型 三：空 间 向 量 的 数 量 积 及 其 应 用 角 度 1：求 空 间 向 量 的 数 量 积 角 度 2：利 用 数 量 积 求 长 度 角 度 3：利 用 数 量 积 求 夹 角 角 度 4：利 用 向 量 解 决 平 行 和 垂 直 问 题 角 度 5：向 量 的 投 影 和 投 影
2、 向 量 题 型 四：利 用 空 间 向 量 证 明 平 行 与 垂 直 第 四 部 分：高 考 真 题 感 悟 第 一 部 分：知 识 点 精 准 记 忆 知 识 点 一：空 间 向 量 的 有 关 概 念 1、概 念：在 空 间，我 们 把 具 有 大 小 和 方 向 的 量 叫 做 空 间 向 量，空 间 向 量 的 大 小 叫 做 空 间 向 量 的 长 度 或 模；如 空 间 中 的 位 移 速 度、力 等.2、几 类 特 殊 的 空 间 向 量 名 称 定 义 及 表 示 零 向 量 长 度 为 0 的 向 量 叫 做 零 向 量，记 为 0单 位 向 量 模 为 1的 向 量 称
3、 为 单 位 向 量 相 反 向 量 与 向 量 Q长 度 相 等 而 方 向 相 反 的 向 量，称 为 的 相 反 向 量，记 为共 线 向 量 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互 相 平 行 或 重 合 的 向 量 共 面 向 量 平 行 于 同 一 个 平 面 的 向 量 知 识 点 二：空 间 向 量 的 有 关 定 理 1、共 线 向 量 定 理：对 空 间 任 意 两 个 向 量 2,5 3 二 6),历 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数;I,使=/1坂.(1)共 线 向 量 定 理 推 论：如 果/为 经 过 点 A 平 行 于 已 知 非
4、 零 向 量 的 直 线，那 么 对 于 空 间 任 一 点。，点 P 在 直 线 I上 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 人 使 丽=砺+而，若 在/上 取 福=3,则 可 以 化 作：0 户=函+/,月(2)拓 展(高 频 考 点)：对 于 直 线 外 任 意 点。，空 间 中 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是 OP=AOA+/J AB,其 中 九+=12,共 面 向 量 定 理 如 果 两 个 向 量 石 不 共 线，那 么 向 量,与 向 量 石 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 对(x，y),使 p=xa+y b(1)空 间 共 面 向
5、量 的 表 示 如 图 空 间 一 点 P 位 于 平 面 A B C内 的 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对(x,y),使/=而+了 而.或 者 等 价 于：对 空 间 任 意 一 点。，空 间 一 点 P 位 于 平 面 A B C内(P,A,B,C 四 点 共 面)的 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对(x，y),使 0户=oZ+xAB+y/,该 式 称 为 空 间 平 面 A B C的 向 量 表 示 式，由 此 可 知，空 间 中 任 意 平 面 由 空 间 一 点 及 两 个 不 共 线 向 量 唯 一 确 定.(2)拓 展对 于 空 间 任 意 一 点
6、0,四 点 R C A 8 共 面（其 中 C,A,5 不 共 线）的 充 要 条 件 是 OP=xOC+yOA+zOB（其 中 x+y+z=l）.3、空 间 向 量 基 本 定 理 如 果 向 量 三 个 向 量 成 员 工,不 共 面，那 么 对 空 间 任 意 向 量 万，存 在 有 序 实 数 组 x,y,z,使 得 p=xa+yb+zc.知 识 点 三：空 间 向 量 的 数 量 积 1、空 间 两 个 向 量 的 夹 角（1）定 义：如 图 已 知 两 个 非 零 向 量 在 空 间 任 取 一 点。，作 oX=,O B=b 则 么 N A O 3 叫 做 向 量 的 夹 角，记.
7、（特 别 注 意 向 量 找 夹 角 口 诀：共 起 点 找 夹 角）h“_O h B（2）范 围：eO,7r.特 别 地，（1）如 果=，那 么 向 量 4 1 互 相 垂 直，记 作，心（2）由 概 念 知 两 个 非 零 向 量 才 有 夹 角，当 两 非 零 向 量 同 向 时，夹 角 为 0；反 向 时，夹 角 为 乃，故=0（或=;r）o/6（a,B 为 非 零 向 量）.（3）零 向 量 与 其 他 向 量 之 间 不 定 义 夹 角，并 约 定。与 任 何 向 量 7 都 是 共 线 的，即 6|万.两 非 零 向 量 的 夹 角 是 唯 一 确 定 的.（3）拓 展（异 面
8、直 线 所 成 角 与 向 量 夹 角 联 系 与 区 别）若 两 个 向 量 23 所 在 直 线 为 异 面 直 线，两 异 面 直 线 所 成 的 角 为。，一 一 71 向 量 夹 角 的 范 围 是 0。力 万，异 面 直 线 的 夹 角。的 范 围 是-71（2）当 两 向 量 的 夹 角 为 锐 角 时，0=；当 两 向 量 的 夹 角 为 一 时，两 异 面 直 线 垂 直；当 2两 向 量 的 夹 角 为 钝 角 时，0=7t-.2、空 间 向 量 的 数 量 积 定 义：已 知 两 个 非 零 向 量 b 则|a cos 叫 做 2,B 的 数 量 积，记 作 石；即。石=
9、|6/|6|以）5.规 定：零 向 量 与 任 何 向 量 的 数 量 积 都 为 0.3、向 量 的 投 影 3.1.如 图(1),在 空 间，向 量 向 向 量 B 投 影，由 于 它 们 是 自 由 向 量，因 此 可 以 先 将 它 们 平 移 到 同 一 个 平 面 0 内，进 而 利 用 平 面 上 向 量 的 投 影，得 到 与 向 量 办 共 线 的 向 量 c=|a|cos=向 量 称 为 向 量 在 向 量 B 上 的 投 影 向 量.类 似 地，可 以 将 向 量 向 闻 直 线/投 影(如 图(2).3.2.如 图(3),向 量 Z 向 平 面 投 影，就 是 分 别
10、由 向 量 的 起 点 A 和 终 点 8 作 平 面 尸 的 垂 线，垂 足 分 别 为 4，B，得 到 向 量 屈 称 为 向 量 在 平 面 夕 上 的 投 影 向 量.这 时，向 量 3，的 夹 角 就 是 向 量 公 所 在 直 线 与 平 面 所 成 的 角.4、空 间 向 量 数 量 积 的 几 何 意 义：向 量,坂 的 数 量 积 等 于 Z 的 长 度|3|与 分 在 方 向 上 的 投 影 cos 的 乘 积 或 等 于 B 的 长 度|与 在 B 方 向 上 的 投 影|a|cos 的 乘 积.5、数 量 积 的 运 算：(1)(Aa)-h-A(a-b),几 w R.(
11、2)/=(交 换 律).(3)a.(5+c)=a%，c(分 配 律).知 识 点 四：空 间 向 量 的 坐 标 表 示 及 其 应 用 设=(%,外,%)，B=(伪 也 也)，空 间 向 量 的 坐 标 运 算 法 则 如 下 表 所 示：数 量 积 a b=albl+a2b2+a3bi共 线(平 行)I I（方/0）=M=a-独 a2=也（4 G R）%=劝 3垂 直*=。=也+生 4+3b3=0(a,B均 非 零 向 量)模=(a；+a；+a；,即|。|=击；+4+4夹 角 _ _ a-b ab+02b2+，响 cos=,-.Ci|a|b|、储+域+掀+/72知 识 点 五：直 线 的
12、方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 1、直 线 的 方 向 向 量 如 图,a 是 直 线 I的 方 向 向 量，在 直 线/上 取 而=,设 P 是 直 线/上 的 任 意 一 点，则 点 P 在 直 线/上 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 t，使 得 丽=不，即 丽=/丽 2、平 面 法 向 量 的 概 念 如 图，若 直 线,取 直 线 I 的 方 向 向 量,我 们 称 为 平 面 a 的 法 向 量；过 点 A 且 以 为 法 向 量 的 平 面 完 全 确 定，可 以 表 示 为 集 合 P|7/=0./3、平 面 的 法 向 量 的 求 法 求 一 个 平 面 的
13、 法 向 量 时，通 常 采 用 待 定 系 数 法，其 一 般 步 骤 如 下：设 向 量：设 平 面 a 的 法 向 量 为=（x,y,z）选 向 量：选 取 两 不 共 线 向 量 而，/n-AB=0列 方 程 组：由 一 列 出 方 程 组“AC=0:须=0解 方 程 组：解 方 程 组.一 n-AC=0赋 非 零 值：取 其 中 一 个 为 非 零 值（常 取 1）得 结 论：得 到 平 面 的 一 个 法 向 量.知 识 点 六：空 间 位 置 关 系 的 向 量 表 示 1、空 间 中 直 线、平 面 的 平 行 设 直 线 4 4 的 方 向 向 量 分 别 为，B，平 面 a
14、,2 的 法 向 量 分 别 为 m，则 线 线 平 行 4 114=。|5=焉（火）线 面 平 行 4 II。=_!_=()面 面 平 行 a 114=|m=%加 2、空 间 中 苜 线、平 面 的 垂 直 设 直 线 4 的 方 向 向 量 为 a=（4，,q）,直 线 4 的 方 向 向 量 为 石 二（。2,4，。2），平 面。的 法 向 量 力=（方，*4），平 面 夕 的 法 向 量 为 机=（工 2，%，22），则 线 线 垂 直/1 2 0 H o+贴 2+平 2=0线 面 垂 直 4 J_ a=。=万=，%=4%b、=孙 q=丸 4面 面 垂 直 第 二 部 分：课 前 自
15、我 评 估 测 试 1.（2022全 国 高 二 课 时 练 习）若 平 面 a,4 的 一 个 法 向 量 分 别 为 正=（-岩,-1）,G=（g，T，3）,则（）A.a/P B.a，。C.a 与 夕 相 交 但 不 垂 直 D.a 6或 a 与 夕 重 合【答 案】A由=机，所 以 前 百 所 以 a 4故 选：A2.（2022全 国 高 二 课 时 练 习）设 平 面 a 法 向 量 为（1 2-2）,平 面 夕 的 法 向 量 为（-2,-4,%）,若 a/，则 等 于（）A.2 B.-4 C.4 D.-2【答 案】C1?-2由 题 可 知：a/，所 以 丁=；=丁=&=4故 选：C
16、3.(2022.全 国 高 二 单 元 测 试)若 直 线/的 方 向 向 量。=(2,2,-1),平 面 a 的 法 向 量=(-6,8,4),则 直 线/与 平 面 a 的 位 置 关 系 是.【答 案】平 行 由 题 可 知：7 1=0,所 以 所 以 直 线/与 平 面。的 位 置 关 系 是 平 行 故 答 案 为：平 行 4.(2022全 国 高 二 课 时 练 习)已 知=(1,2,|),B=分 别 是 直 线/的 一 个 方 向 向 量.若 k k，则()A.x=3,y=B.x=-,y=C.x=3,y=15 D.x=3,y=2 2-4 4=y-5-2=X-2=3-2-1.u由
17、y 175故 选：D5.(2022.全 国 高 二 课 时 练 习)若 3=(2,-3,1)是 平 面 a 的 一 个 法 向 量，则 下 列 向 量 中 能 作 为 平 面 a 的 法 向 量 的 是()A.(O,-3,l)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1)【答 案】D由 题 可 知:3=(2,-3,1)是 平 面 a 的 一 个 法 向 量，向 量 1=(2,3,1)=-(2,3,-1)故 选：D第 三 部 分：典 型 例 题 剖 析 题 型 一：空 间 向 量 的 线 性 运 算 典 型 例 题 例 题 1.(2022全 国 高 二 课 时 练 习)如 图，在
18、 正 方 体 A 8C Q 4 4 G D 中，给 出 下 列 各 式：(瓦+而)+西(硒+而；)+方 解.+)+而.(宿+丽)+恁.UIIL1其 中 运 算 结 果 为 向 量 A G的 共 有()D1-A.1个 1B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】D对，（而+前）+函=/+不=近；对，（丽+加）+玩=题+和=宿；对，（而+西）+而=（而+网+3 解=4区+函=其 弟 对，AD+CB）+A C=A D+D D+D A+A C=AC+DD=A C+C q=A q,U U U.以 上 4 个 算 式 运 算 的 结 果 都 是 向 量 A G.故 选：D.例 题 2.（2022四 川
19、省 绵 阳 南 山 中 学 高 二 期 末（理）如 图，设 方=,OB=b,OC=c,若 AN=N,B M=2MC,则 加=()A1-61-2B.-c2-3+1-6ta1-2【答 案】AD.1-1 r 1-a-b+c2 6 3o 0 i由 题 意 得 丽=砺+丽=一 而+丽=一（而-云）+（丽-丽）1.-6一。1-21-6+A故 选 题 型 归 类 练 1.（2022 全 国 高 二 期 末）如 图 所 示，在 平 行 六 面 体 A B C D-A M G。中，AB=a,A D=b,丽=2,点 M 是 A R 的 中 点，点 N 是 C A 上 的 点，且 C N：CA=1：4,则 向 量
20、MN 可 表 示 为()A.a+b+c21-3-1-C.-a-b-c4 8 4B.a+b+c4 43-1-3-D.-a+-b-c4 4 4【答 案】D解：因 为 在 平 行 六 面 体 ABC-AB|C|R中，AB=a AD=b 羽=2,点 加 是 4%的 中 点，点 N 是 CA，上 的 点，且 CN:C 4,=1:4,所 以 而?=函+而=_ g 而+,而=_ g 而+?芯 一 可=一 1而+（而+而 一 用=3而+_ L 而 一 3丽 士+上 一 3乙 2 4、“4 4 4”4 4 4故 选：D.2.（2022.全 国 高 二 单 元 测 试）如 图 所 示,在 平 行 六 面 体 A
21、B C O-A g C Q中，AG n 8 a=F,A F=xAB+yAD+zAA,则 x+y+z=.【答 案】2解：因 为 而=通+西+歼=通+西+丽=血+西+g（科-硒）=AB+BBt+-A D-A B 2 2=|AB+1 AD+A,又 AF=xAB+A）+z A 4 i，所 以 x=y=g,Z=1,则 x+y+z=2.故 答 案 为：2.3.（2022全 国 高 二 开 学 考 试）如 图，在 三 棱 锥 产 一 ABC中，M 是 侧 棱 P C的 中 点，且 B M=x A B+y A C+z A P,则 x+y+z 的 值 为.【答 案】0在 三 棱 锥 P A 8 C中，M 是 侧
22、 棱 P C的 中 点，所 以 丽=g（而+宽）.又 丽=丽-福，BC=AC-A B所 以 的=：（而 _ 阳+而 _ 画=_ 而+：而+g 丽.所 以 x+y+z=-l+；+g=0.故 答 案 为 0.题 型 二：共 线、共 面 向 量 定 理 的 应 用 典 型 例 题.1 _.例 题 1.（2022天 津 南 开 中 学 高 一 期 末）如 图，在 AABC中，AD=-DC,P 是 线 段 B O上 一 点，若 Q=/n而+1 前，则 实 数 的 值 为（）A.-B.C.2 D.3 3 5【答 案】D由 而=!觉 可 得：AD=AC,即 而=4亚，3 4.1.4 故 AP=mAB+-A
23、C=niAB+-AD,4 1因 为 8,P,D三 点 共 线，所 以 加+g=l,?=g,故 选：D例 题 2.（2022山 西 太 原 高 一 期 中）在 43C中，点。在。上，且 BD=2 D C,过。的 2直 线 分 别 交 直 线 A3,A C 于 点 M,N,记 丽=4 而，丽=/,若 2=3,则 4=（）5 3 C 4 5A.-B.C.D.一 3 2 3 4【答 案】c解：依 题 意 而=丽+丽=丽+反 通+写 国-碉=通+科 _ 2 _._.uiiu uuur又 赤=而，即 而=疵，AN=/J A C A C=-AN,_ 1 3.2 1-1 2 1 2所 以 4=T*彳 411+
24、-x AN=-A M+A N，因 为）、M、N 三 点 共 线，所 以 彳+丁=1,3 2 3 2 3 2 3 4解 得=;故 选：C例 题 3.（2022全 国 高 二 专 题 练 习）已 知 在 正 方 体 A 8 C D-A G R 中，尸，M 为 空 间 任 意 两 点，如 果 有 加=%+7 丽+6羽-4丽,那 么 点 M 必 在 平 面 _ 内.【答 案】B g因 为 丽=西+7丽+6羽-4 m=西+丽+6瓯-4 隔=函+超+6百 _ 4砺=可+6 _ 丽）_4（西 _ 寓）=11 雨-6 万-4 西，11-6-4=1,所 以 M,B,A，。四 点 共 面，即 点”必 在 平 面
25、3 4 2 内.故 答 案 为：BA,.例 题 4.（2022全 国 高 二 课 时 练 习）对 于 空 间 任 意 一 点。和 不 共 线 的 三 点 A,B,C,有 如 下 关 系：6OP=OA+2OB+3OC,贝！I（）A.四 点。，A,B,C 必 共 面 B.四 点 P,A,B,C 必 共 面 C.四 点。，P,B,C 必 共 面D.五 点。，P,A,B,。必 共 面【答 案】B 1 1 1 因 为。尸=一。4+-O8+-OC,6 3 2所 以 6而=丽+2万+3诙，A P=2PB+3PC 所 以 四 点 尸、A、B、C 共 面.故 选：B题 型 归 类 练 1.（2022 全 国 高
26、 二）已 知 空 间 A、B、C、。四 点 共 面，且 其 中 任 意 三 点 均 不 共 线，设 尸 为 空 间 中 任 意 一 点，若 丽=5对 一 4而+2前，贝 IJ2=（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【答 案】DBD=5PA-4PB+APCPD-PB=SPA-APB+A,PCPD=5PA-3PB+APC由 A、8、C、。四 点 共 面，且 其 中 任 意 三 点 均 不 共 线 可 得 5-3+4=1,解 之 得 a=-1故 选：D2.（2022江 苏 高 二 课 时 练 习）A,B,C 三 点 不 共 线，对 空 间 内 任 意 一 点。，若 T 3 f 1 T 1OP=-O
27、A+-OB+-OC,贝 I 尸，4,B,C 四 点（）4 8 8A.一 定 不 共 面 B.一 定 共 面 C.不 一 定 共 面 D.无 法 判 断 是 否 共 面【答 案】B因 为 OP=2OA+-O8+O C,则。一。4 二 一 一 OA+-OB+-OC4 8 8 4 8 8 1 1 即 OP-OA=-（OB。4）+-（OC-OA）8 8T 1 T 1 T即 AP=-AB+-AC8 8由 空 间 向 量 共 面 定 理 可 知，公 共 面，则 P，A，B,C 四 点 一 定 共 面 故 选：B3.（2022 全 国 高 二）若 空 间 中 任 意 四 点 O,A,B,P O P=mOA+
28、nOB,其 中?+=1,贝 I J()A.PAB B.P走 ABC.点 P 可 能 在 直 线 A B 上 D.以 上 都 不 对【答 案】A因 为 w?+=l,所 以 m=l-”,所 以 0户=(1-n)OA+nOB,即 OP-OA=n(OB-OA),即 通=通，所 以 而 与 丽 共 线.又 而，而 有 公 共 起 点 A，所 以 P,4,8 三 点 在 同 一 直 线 上，即 P C A 及 故 选：A.4.(2022黑 龙 江 鹤 岗 一 中 高 一 期 中)在 AABC中，点 M 是 B C 上 一 点，且 配=3两，P_ _ _ 3 1为 4 0 上 一 点，向 量 3P=4B4+
29、8C(/l0,0),则 7+的 最 小 值 为()X J J.A.16 B.12 C.8 D.4【答 案】B因 为 反=3的，所 以 丽=2 丽+配=4 而+3 丽，又 A,P.M三 点 共 线，所 以 2+3=1,所 以 7=(A+3/z)(H)=64-1 6+2 x=12,当 且 仅 当 2=3”,即 4 Z/X 丫 41 1 3 1：时 等 号 成 立.所 以 弓+一 的 最 小 值 为 12.2 6 几 故 选：B题 型 三：空 间 向 量 的 数 量 积 及 其 应 用 角 度 1：求 空 间 向 量 的 数 量 积 典 型 例 题 例 题 1.(2022全 国 高 二)已 知 向
30、量 W=(2,-l,3)/=(x,2,-6)，若:_L。则 实 数 乂 的 值 为()A.7 B.8 C.9 D.10【答 案】D解：因 为 _L，所 以 2X-1X2+3X(-6)=0,，X=10.故 选：D例 题 2.(2022上 海 长 宁 二 模)已 知 若。4=(1,1,0),则 砺.方=.【答 案】2uir/uiu uur、因 为 K _ L 而，故 即 丽（丽 一 丽）=0,故 丽 砺 砺 2=0,故 nr uun uur，O A O B=OA=l2+l2+0=2故 答 案 为：2例 题 3.（2022新 疆 乌 鲁 木 齐 二 模（理）在 三 棱 锥 P-A B C 中，PB=
31、P C=,NAPB=NA P C=90,ZBPC=60,则 被 正=()A.g B.巫 C.1 D.722 2【答 案】A解：因 为 三 棱 锥 P-A B C 中，PB=P C=1,ZAPBZAPC90,NBPC=60,所 以 荏 定=（万 一 两）斤=丽 无-丽 无=|丽 口 无 上 osNBPC-0=lxlxcos600=g,故 选：A.例 题 4.（2022福 建 莆 田 第 二 十 五 中 学 高 二 期 中）如 图，在 平 行 六 面 体 ABC。-4 4 G A 中,jr _A A D=-,则 A8；.A；=()C.6 D.4【答 案】B4B1-AD=AB+AAt)-(A D+A
32、AX)=AB-A D+AB-AA,+A D-AAt+AAt-1 1,A B.A D.=0+2 X 2 X-+2 X 2X-+22=8,1 1 2 2故 选：B题 型 归 类 练 1.（2022 广 东 高 三 阶 段 练 习）已 知 正 四 面 体 ABC。的 棱 长 为 1,且 屈=2比，则 府 而=()A.6B-4c-4D-I【答 案】CLILU ULMl-1-因 为 BE=2 EC，所 以 C=CB.根 据 向 量 的 减 法 法 则，得 荏=屈-m=：丽-瓦，所 以 荏 而:CB-C4j.CD=l(CB.CD)-C4.CDCD|C O S-|CA|CD|7 T I f f 1,1cos
33、=-x l x l x lx lx 3 3 2 22 1-6 3故 选：C.2.（2022江 苏 徐 州 高 二 期 中）如 图，在 三 棱 锥 尸-A B C 中,ARAB,AC两 两 垂 直,AP=2,A3=AC=1,M为 P C 的 中 点，则 A C M.的 值 为（)A.1B 3c-7D-【答 案】D由 题 意 得 的=丽+而=丽+；（而+恁）=丽+；而+；/，故 A C B M=AC-BA+A P+A C=A C B A+A C-A P+A C-A C=2 2 2故 选：D.3.（2022.全 国 高 二 单 元 测 试）已 知 M N 是 长 方 体 外 接 球 的 一 条 直
34、径，点 尸 在 长 方 体 表 面 上 运 动，长 方 体 的 棱 长 分 别 是 1,1,布，则 丽 丽 的 取 值 范 围 为（）31 7 1 7 31A.-2-B.-0 C.D.-2,014J L 4 4 4J L【答 案】D设 外 接 球 的 半 径 为 厂，则 2r=6+1+7=3,%.设 0 是 球 心，则 网 e 1|,|OP|2 e，P M P N=P d+O M y（P d+O N）=P d+O M）（P O-O M）=P O2-O M2=P O2-e-2,0.故 选：D4.（2022.湖 北.高 二 阶 段 练 习）已 知 平 面 a 内 有 两 点”（1,-1,2）,N（
35、a,3,3）,平 面 a 的 一 个 法 向 量 为 日=（6,3,6）,贝 心=（）A.4 B.3 C.2 D.1【答 案】C解：因 为“（1,1,2）,N（a,3,3）,所 以 丽=（a-l,4,l）,因 为 平 面 a 的 一 个 法 向 量 为=（6,-3,6）,所 以 J.M N，则 小 丽=6（a-l）-3 x 4+6=0,解 得 a=2,故 选：C.5.（2022山 西 省 长 治 市 第 二 中 学 校 高 二 阶 段 练 习）已 知 向 量：=（-2,3,1）工=。,-2,4），则 a.b=）A.0 B.4 C.-4 D.-5【答 案】C因 为：=（一 2,3,1）1=（1,
36、一 2,4）,所 以 蒜=-2xl+3 x（-2）+lx4=-4.故 选：C6.（2022吉 林 长 春 市 第 二 十 九 中 学 高 二 阶 段 练 习）已 知 力=（1,1,0）,6=（0/,1）忑=（1,0,1）,万=一 反 于=+涕 一 2,贝 次 0=.【答 案】-1由 己 知 万=-3=(1,0,1),=+23 2=(0,3,1),所 以 p-(7=0+0 1=-1.故 答 案 为：-1.角 度 2：利 用 数 量 积 求 长 度 典 型 例 题 例 题 1.（2022四 川 绵 阳 高 二 期 末（理）如 图，空 间 四 边 形 O 48C中，OA=OB=OC=2,rr jrZ
37、AOC=ZBOC=-,NAOB=q,点 M,N 分 别 在 OA,BC 上，且 OM=2MA,BN=CN,则 M N=()【答 案】A解：-.-OM=2M A,BN=C N,：.MN=ON-OM=-(OB+O C)-O A=-O A+-O B+-O C.2 3 3 2 2jr jr又 OA=OB=OC=2,NAOC=NBOC=-,ZAOB=-,2 3所 以 丽.反=0，0 8 0 C=0方 丽=|丽|丽 cos工=2,=-O A+-O B+-O C=-OA+-OB2+-O C?-O A O B-O A O C+-O B O C（3 2 2 1 9 4 4 3 3 2+；网+|o c|2-|o
38、A-d s=-X 22+-X22+-X22-X2=,9 4 4 3 9所 以|丽|=与.故 选：A.例 题 2.（2022全 国 高 二 课 时 练 习）在 棱 长 为 1 的 正 方 体 A 8 8-A M G A 中，若 点 E 是 线 段 A 3 的 中 点，点 M 是 底 面 A B C D内 的 动 点，且 满 足 则 线 段 A M 的 长 的 最小 值 为（）A.近 B.也 C.1 D.更 5 5 2【答 案】B如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 4（。，0/），C|（1,1,1）,E（g,0,0）,M（x,y,0）,所 以 砂=（兑,一 1）,印=（-；,一
39、 1,-1）,由 4 知，可 得 3%一 丫+1=0,即 兀+2丫 2=0,所 以 线 段 A M 的 长 的 最 小 值 为-/2 二 挛.Vl2+22 5故 选:B._ _ 1 _ _例 题 3.（2022江 苏 常 州 高 二 期 中）已 知 正 方 体 A B C。-A g G A 的 棱 长 为 3,A M=-M C.,点 N 为 的 中 点，则|丽|=.【答 案】叵 2如 图 所 示，以 点。为 坐 标 原 点，以。A,D C,所 在 直 线 分 别 为 x,y,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D-xyz,则 A（3,0,0）C（0,3,3）,8（3,3,0）,（3,3,
40、3）,因 为 说=；西，点 N 为 四 8 的 中 点,所 以 祝=:用=(-1,1,1),所 以(2,1,1),N(3,3,g),丽=1,2,；)网 丽 卜/+2,+考.故 答 案 为：叵.2例 题 4.(2022全 国 高 二 课 时 练 习)在 空 间 直 角 坐 标 系 O-*z 中，已 知 A(-l,0,2),点 C,。分 别 在 X 轴，轴 上，A A D B C,那 么 C。的 最 小 值 是.【答 案】72设 C(x,0,0),0(0,y,0),0,2),8(0,1,-1),AD=(l,y,-2)6C=(x,-l,l)-,-AD1BC,ADBC=x-y-2=0即 工=+2.C)
41、=(-x,y,0)CD=yx2+y2=&2+J=J2y+4y+4=j2(y+iy+2&.(当 y=T 时 取 最 小 值)故 答 案 为：及 题 型 归 类 练 1.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习(文)已 知 在 平 行 六 面 体 A8C4 8/G D/中，同 一 顶 点 为 端 点 的 三 条 棱 长 都 等 于 1,且 彼 此 的 夹 角 都 是 60。，则 此 平 行 六 面 体 的 对 角 线 A G 的 长 为().A.6 B.瓜 C.3 D.G【答 案】B【详 解】AC=AB+AD+AAf禧 2=(而+而+稿/=AB2+A D+X 2+2A B A D+2A B A+
42、2 A D X=1+1+1+2(cos 600+cos 600+cos 60)=6.|阳 卜 指，即 A G 的 长 为 故 选：B2.（2022河 南 平 顶 山.高 二 期 末（理）在 平 行 六 面 体 A 3 C C-A 8 C Q 中，AB=BC=B B,=l,/A B B】=NABC=NBBC=鼻,通=2西，贝 耶|=()A.底 B.5 C.3五 D.3【答 案】BU U IT U U U UlT UIX UUtf U IT/U L T U U IT UIU、U L T U U tf Ulffi解：BE=B+BA+AE=B1B+BA+2(BA+BB+BC)=3BA+BB+2BC,所
43、 以 m u u*LOT umx2 iuuii|2 iuuni2 uir mar uiur urn uir uua3BA+BB1+2BC)=3-网+网+22|B C|+6BA,BB、+4BB、BC+V2BA BC=32+12 4-22 4-6 X 1X 1X+4 X 1X 1X-+1 2 x lx lx=25,2 2 2I UUITI所 以 网 q=5,3.（2022.江 苏 连 云 港.高 二 期 中）已 知 空 间 中 非 零 向 量 L 且 同=2,W=3,。=60,则 恢-3 q 的 值 为（）.A.屈 B.97 C.向 D.61【答 案】C|2-3年=（2a-3印=4蓝+9片-12/
44、B=4 x4+9 x 9-12 问.恸 cos60，=97-12x2x3x=61,2.出 _ 3彳=病，故 选：C.4.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 平 行 六 面 体 A B C D-A 8 C Q 中，AB=AD=,AA,=42,ZBAA,=ZDAA,=45BAD=60,则|的 卜（）A.1 B.73 C.9 D.3【答 案】D在 平 行 六 面 体 ABCO-A B G A 中，A C=AB+AD AC=AC+A=AB+AD+AA,由 题 知，A B A D=,ZBAA,=Z D A=45,ZBA=60.所 以 画=|码=1,|网=正，说 与 而 的 夹 角 为
45、 N B W=6（F,而 与 丽 的 夹 角 为/BAA,=45,而 与 根 的 夹 角 为 乙 4。=45,所 以-2A G=（而+亚+丽）2=|珂+|何+网 2+2通.而+2而.丽+2而.丽=1+l+2+2 x lx lx cos 600+2x lx 夜 x cos 450+2 x lx 1 x cos 45=9.所 以|祠=3.故 选：D.5.(2022 贵 州 贵 阳 高 二 期 末(理)在 空 间 直 角 坐 标 系 中，己 知 点 A(L2,1),8(4,11,4),0(1,1/),若 点 P 满 足 丽=2而，贝 Ui而 1=【答 案】5解：设 P(x,y,z),所 以 AP=(
46、x-l,y-2,z-l),PB=(4-x,l l-y,4-z),因 为 丽=2 万,所 以(x l,y 2,z 1)=2(4 x,ll y,4 z),所 以 x-1=2(4-x)x=3y-2=2(11-y),解 得 y=8,即 P(3,8,3),z-1=2(4-z)z=3所 以 所=(-2,-7,-2),所 以 回 卜 J(-2)。(-7)，(-2=历;故 答 案 为：屈 6.(2022.浙 江 玉 环 市 玉 城 中 学 高 二 期 中)若 刁=(2,3,5),B=(3,H),则 卜-2 5卜【答 案】V186 2,3,5),1=(3,1),.一 方=(2,3,5)-(6,2,-8)=(-4
47、,1,13),-25卜,J(-4)2+l2+132=5/186.故 答 案 为：J186.4.(2022 全 国 高 二)设 空 间 向 量 7,是 一 组 单 位 正 交 基 底，若 空 间 向 量 2满 足 对 任 意 的 x,y a-x i-方|的 最 小 值 是 2,则 归+3勾 的 最 小 值 是.【答 案】1以 7,E方 向 为 y，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则;=(1,0,0),(0,1,0),%=(0,0,1)设 a=(r,s,f)则,_ X：-yj卜 J(r-x)2+(s-yJ+产,当 r=苍 S=、时 忖-行 一 间 的 最 小 值 是 2,.z=2取 Z=
48、(x,y,2)贝 ija+3%=(x,y,5)a+3|=2+9+52又 因 为 x,y是 任 意 值，所 以 归+3 q的 最 小 值 是 5.取 a=(x,y,-2)则 a+3E=(x,y,l)|a+3i|=yx2+y2+2又 因 为 是 任 意 值,所 以 归+3勾 的 最 小 值 是 1.故 答 案 为：1.角 度 3：利 用 数 量 积 求 夹 角 典 型 例 题 例 题 1.(2022全 国 高 二 课 时 练 习)已 知 向 量。=(1,2,3)石=(-2,工-6),同=,若(a+hc=l,则 与 C 的 夹 角 为.【答 案】120设 1=(x,y,z)j.向 量 2=(1,2,
49、3),万=(一 2,-4,-6),同=JiW,(a+6)d=7,.方+石=(-1,-2,-3),，+/+z2=网 设 与 的 夹 角 为 8,-x-2y-3z=7八 a c x+2y+3z 1侬 砸 二 而 而 二 一 5 故 答 案 为 120、例 题 2.(2022全 国 高 二 课 时 练 习)已 知 A0,0,0)、B(o,-1,1)、9(0,0,0),次 泥 与 砺 的 夹 角 为 120,则 实 数 4=.【答 案】-逅 6山 题 意 得，OA+AOB=(1,-A,A),故 cos 120（砺+/函 丽 Wi+AOBOB22J1+2/.叵-,202解 得 有 一 黑 故 答 案 为
50、 一 骼 例 题 3.(2022江 苏 宿 迁 高 二 期 中)若 向 量=(1,2,-2),5=(-2,-4,4),则 向 量 与 B 的 夹 角 为()A.0 B.-C.g D.乃 2 3【答 案】D设 向 量 与 分 的 夹 角 为。，且 0 4 6 4 万，八 a-h-2-8-8-18所 以 8 S 丽 飞+22+(一 2)2 X心+(-4)2；42 手=f所 以，0=7T故 选：D题 型 归 类 练C.30 D.150a-b 3 V31.（2022 全 国 高 二）已 知 M=（l,0,1）,5=（羽 1,2）,且 限 5=3,则 向 量 M 与 5 的 夹 角 为（）A.60 B.