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1、空白演示单击输入您的封面副标题6.4.1 6.4.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用复习回顾复习回顾 学习了向量的线性运算和数量积运算，我们发现很多几何图形的性质可以由向量的线性运算和数量积运算表示出来，例如因此，平面几何中许多问题就可以用向量的方法来解决.平行：垂直：夹角：长度：例题讲解例题讲解例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.几何元素平面向量几何关系运算翻译表示基底法:题中涉及的向量用合适的基底(尽量知道模和夹角)表示例题讲解例题讲解例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，
2、BC的中点，求证：AFDE.xy几何元素平面向量几何关系运算翻译表示坐标法：题中涉及的向量建系后用坐标表示并计算（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示（基底法或坐标法）问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：用基底表示向量运算翻译几何结果归纳总结归纳总结例题讲解例题讲解例例2 如图如图示示，已知平行四边形已知平行四边形ABCD，你能发现对角线，你能发现对角线AC和和BD的长度与两的长度与两条邻边条邻边AB和和AD的长度之间的关系吗？的长度之间
3、的关系吗？第一第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:解：解：第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:第三步，把运算结果第三步，把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系:平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和习题演练习题演练P39-2.如图所示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求EMF的余弦值.xy例题讲解例题讲解例例3 如图如图示示，D
4、E是是ABC的中位线，用向量方法证明：的中位线，用向量方法证明：转化转化运算运算翻译翻译如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC和OB的交点P的坐标为_.xy(3,3)习题演练习题演练1.三角形的四心概念（1）重心：）重心：三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；（2）垂心：）垂心：三角形三条高线的交点；三角形三条高线的交点；（3）内心：）内心：即三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，内心到三边距离相等；即三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，内心到三边距离相等；（4）外心：）外心：即即三角形外接圆三角形外接圆
5、的圆心，是三的圆心，是三条边的中垂线的条边的中垂线的交点交点，外心到三个顶点距离，外心到三个顶点距离相等；相等；点点G是重心是重心点点H是垂心是垂心点点I是内心是内心点点O是外心是外心新知探究新知探究新知探究新知探究2.四四心对应的向量式心对应的向量式外心外心垂心垂心内心内心重心重心下面证明四心的向量式下面证明四心的向量式.证明：证明：DEABCG新知探究新知探究新知探究新知探究若点若点G是是ABC 的重心，则的重心，则(1)点点G是三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；是三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；三角形重心的性质：三角形重心的性质：新知探究新知探究证明：证明：分分分分分分新知探究新知探究平行四边形平行四边形对角线的平方差对角线的平方差=邻边数量积邻边数量积的的4倍倍极化恒等式极化恒等式-求数量积的范围或最值求数量积的范围或最值-2，6例题讲解例题讲解