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1、7.57.5正态分布正态分布人教A版2019必修第三册 一般地，假设一批产品共有一般地，假设一批产品共有N N件，其中有件，其中有M M件次品件次品.从从N N件产品中随机件产品中随机抽取抽取n n件件(不放回不放回)，用，用X X表示抽取的表示抽取的n n件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则X X的分布列为的分布列为1.1.超几何分布超几何分布若随机变量若随机变量X X服从超几何分布，则有服从超几何分布，则有2.2.超几何分布的均值超几何分布的均值引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某
2、一特随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于定实数的概率可能大于0 0，人们感兴趣的是它取某些，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型连续型随机随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为数的概率都为0 0，所以通常感兴趣的是它落在某个区，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用离散型随机变量的概率分布规律用分布列分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数密度函数
3、（曲线）（曲线）描述。描述。问题问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差的误差(实际质量减去标准质量实际质量减去标准质量).用用X表示这种误差表示这种误差，则，则X是一个连续型随是一个连续型随机变量机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差袋食盐，获得误差X(单位单位:g)的观测值如下的观测值如下:-0.6-1.4-0.
4、7 3.3-2.9-5.2 1.4 0.1 4.4 0.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5-3.7 2.7 1.1-3.0-2.6-1.9 1.7 2.6 0.4 2.6-2.0-0.2 1.8-0.7-1.3-0.5-1.3 0.2-2.1 2.4-1.5-0.4 3.8-0.1 1.5 0.3-1.8 0.0 2.5 3.5-4.2-1.0-0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9-0.6-4.4-1.1 3.9-1.0-0.6 1.7 0.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.8 1.7 1.4 4.4 1.2-1.8-3.
5、1-2.1-1.6 2.2 0.3 4.8-0.8-3.5-2.7 3.8 1.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.3 1.5-1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7-0.9(1)如何描述这如何描述这100个样本误差数据的分布个样本误差数据的分布?(2)如何构建适当的概率模型刻画误差如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布的分布?根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.观察图形可知:误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
6、随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示.0-6-420-2频率/组距0.050.100.150.20X46(1)0-6-420-2频率/组距0.050.100.150.20X46(2)根据频率与概率的关系，可用图根据频率与概率的关系，可用图(3)中的中的钟形曲线钟形曲线(曲线与水平轴之间的区曲线与水平轴之间的区域的面积为域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食例如，任意抽取一袋食盐，误差落在盐，误差落在-2,-1内的概率，可用图
7、中黄色阴影部分的面积表示内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)思考思考1 由函数知识可知，图由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是中的钟形曲线是一个函数一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢那么，这个函数是否存在解析式呢?0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)答案是肯定的.在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式:其中R，0为参数.显然，对任意的xR，f(x)0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数正态密度函数，称它的
8、图象为正态密度曲线正态密度曲线，简称正正态曲线态曲线，若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布正态分布，记为XN(,2).特别地，当=0,=1时，称随机变量X服从标准正态分布标准正态分布.xyO正态密度函数：正态密度函数：正态曲线正态曲线正态曲线:正态密度函数正态密度函数图像为图像为正态密度曲线正态密度曲线.定义定义1 1定义定义2 2定义定义3 3两头低、中间高、左右对称若XN(，2)，则如图(4)所示，X取值不超过x的概率P(Xx)为图中区域A的面积，而P(aXb)为区域B的面积.(4)思考思考2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的观察正态曲线及相
9、应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点哪些特点?由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:(1)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；(2)曲线在x=处达到峰值(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.思考思考3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征?思考思考3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特
10、征?由于正由于正态曲曲线关于关于x=对称，因此，当称，因此，当参数参数固定固定时，正，正态曲曲线的的位置由位置由确定确定，且随着，且随着的的变化而沿化而沿x轴平移，所以参数平移，所以参数反映了正反映了正态分布的分布的集中位置集中位置，可，可以用以用均均值来估来估计，故有，故有当当固定固定时，因，因为正正态曲曲线的峰的峰值与与成反比，而成反比，而且且对任意的任意的0，正，正态曲曲线与与x轴之之间的区域的面的区域的面积总为1.因此，当因此，当较小小时，峰峰值高高，曲，曲线“瘦高瘦高”，表示随机表示随机变量量X的的分布比分布比较集中集中；当；当较大大时，峰峰值低低，曲，曲线“矮胖矮胖”，表示随机，表
11、示随机变量量X的的分布比分布比较分散分散，所以所以反映了随机反映了随机变量的分布相量的分布相对于均于均值的的离散程离散程度度，可以用，可以用标准差准差来估来估计，故有，故有=0.5012-1-2x-33x=1=2(1)曲线在曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交；轴不相交；(3)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1；(4)当当一定一定时，越大，曲越大，曲线越越“矮胖矮胖”，表示表示总体的体的分布越分散分布越分散；越小，曲越小，曲线越越“瘦高瘦高”，表示表示总体的体的分布越集中分布越集中.正态曲线的性质：正态曲线的性质：(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称，且曲线在x=处取得最大值
12、；(5)参数参数反映了正态分布的反映了正态分布的集中位置集中位置，反映了随机变量的分布相对于均反映了随机变量的分布相对于均值值的的离散程度离散程度.在实际问题中，参数在实际问题中，参数，可以分别用样本可以分别用样本均值均值和样本和样本标标准差准差来估计，故有来估计，故有3.正态曲线下的面积规律：正态曲线下的面积规律：-x1 -x2 x2 x1 a-a正态曲线下正态曲线下对称区域的面积相等对称区域的面积相等对应的概率也相等对应的概率也相等利用利用“对称法对称法”求正态分布下随机变求正态分布下随机变量在某个区间的概率量在某个区间的概率.练习练习 若若XN(1,2)，且，且P(X1)=_；(2)P(
13、X0)=_；(3)P(0X1)=_；(4)P(X2)=_；(5)P(0X1)=_ (精确到精确到0.0001.)0.50.68270.841350.15865O1-1xy=0题型二：利用题型二：利用正态分布求概率正态分布求概率答案：答案：C.C.2.设随机变量设随机变量XN(0,22)，随机变量，随机变量YN(0,32)，画出分布密度曲线草图，画出分布密度曲线草图，并指出并指出P(X-2)与与P(X2)的关系，以及的关系，以及P(|X|1)与与P(|Y|1)之间的大小关系之间的大小关系.O1-1xy=3=22-2解：解：作出分布密度曲作出分布密度曲线如如图示，由示，由图可知，可知，例例3 3.
14、假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170170（单位：（单位：cmcm，下同），下同），标准差为标准差为10.10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：（1 1）不高于）不高于170170的概率；的概率；（2 2）在区间）在区间160160，180180内的概率；内的概率；（3 3）不高于）不高于180180的概率的概率.题型三：题型三：正态分布的实际应用正态分布的实际应用解：设该学生的身高为解：设该学生的身高为X，由题意可知，由题意可知XN(170，102).（1）P(X17
15、0)=50,（2）因为均值为）因为均值为170，标准差为，标准差为10，而，而160=170-10,180=170+10，所以，所以P(160X 180)=P(|X 170|10)68.3，(3）由（）由（2）以及正态曲线的对称性可知）以及正态曲线的对称性可知P(170X 180)=P(160X 180)1/2*68.3=34.15，由概率加法公式可知由概率加法公式可知P(X 180)=P(X 170)+P(170X 180)50+34.15=84.15.变变3.3.设在一次数学考试中设在一次数学考试中,某班学生的分数某班学生的分数XN(110,202),XN(110,202),且知试卷满分且
16、知试卷满分150150分分,这个这个班的学生共班的学生共5454人人,求这个班在这次数学考试中及格求这个班在这次数学考试中及格(即即9090分及分及9090分以上分以上)的人数和的人数和130130分以上的人数分以上的人数.解解:=110,=20,P(X90)=P(X-110-20)=P(X-),P(X-)2P(X-)+0.683=1,P(X-)=0.158 5.P(X90)=1-P(X-130)=P(X-11020)=P(X-),P(X-)0.683+2P(X-)=1,P(X-)=0.158 5,即即P(X130)=0.158 5.540.158 59(人人),即即130分以上的人数约为分以上的人数约为9人人.课堂小结：课堂小结：若随机若随机变量量X的概率分布密度函数的概率分布密度函数为f(x)，则称随机称随机变量量X服从服从正态分布正态分布，记为XN(,2).特特别地，当地，当=0,=1时，称随机，称随机变量量X服从服从标准正态分布标准正态分布.1.正态分布：正态分布：正态密度函数：正态密度函数：2.特殊区间的概率：特殊区间的概率：