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1、6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二）分类加法计数原理 分步乘法计数原理联系区别注意都是完成一件事的不同方法种数的问题是方法的分类:“类类独立”即每类方法中的每一种方法都能独立地完成这件事是过程的分步：“步步相依”即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事分类要“不重不漏”分步要“步骤完整”复习回顾 复习回顾解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为 N 32=6.这6种挂法如右图所示.例4 要从甲、乙、丙
2、3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法?.乙乙丙甲右边丙乙甲左边 得到的挂法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG 或UZ，后两个要求用数字1 9，最多可以给多少个程序命名？解2:首字符用AG 给程序命名的个数为 799567.首字符用UZ 给程序命名的个数为 699486.总的不同名称的个数是 5674861053.思考 你还能给出不同的解法吗?解:由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为 7613.后两个字符从19 中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的
3、个数是 13991053，即最多可以给1053个程序模块命名.例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用 1 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成（1）1 个字节（8 位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码包含了 6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？第 1 位 第 2 位 第 3 位 第
4、 8 位解:(1)2 种2 种2 种 2 种由分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同的字符个数是 22222222 28256.(2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256256=65536这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有 0
5、 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用 1 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成（1）1 个字节（8 位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码包含了 6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？1.某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是09 中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个?解：10410000(个).2.从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的
6、选法?解：5420(种).3.从1,2,19,20中任选一个数作被减数，再从1,2,10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式?解：2010200(个).课本P7解1：被5除余2的正整数的个位是2或7.当满足条件的数是一位数时，满足条件的个数有2个；当满足条件的数是两位数时，满足条件的个数有92 18个；当满足条件的数是三位数时，满足条件的个数有4102 80个.所以满足条件的数共有100个.4.在1,2,500中，被5除余2的数共有多少个?解2：被5除余2的数可以表示为5k2(k为整数).由15k2500，解得0 k99，满足条件的k值有100个，所以满足条件的数
7、共有100个.解：满足条件的三位数有555 125 个.5.由数字1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)?课本P7解：(1)由分步计数原理得，所求三位数共有554 100个巩固练习用0,1,2,3,4,5这6个数字：(1)可以组成_个数字不重复的三位数;(2)可以组成_个数字允许重复的三位数;(2)由分步计数原理得，所求三位数共有566 180个解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91子模块4、子模块5中的子路径条数共38+43=81又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为9181=7371 例7 计算机编程人
8、员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径?再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为32=6.如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.显然，178与7371的差距是非常大的.他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的
9、工作是否正常，总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？追问：为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗?例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中，序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和除O，I 之外的24个英文字母组成；(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?解:由号牌
10、编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为1010101010=100000(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第25步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各
11、有10种选法,根据分步乘法计数原理,号牌张数为2410101010=240000 同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为 240000+240000+240000+240000+240000=1200000(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第
12、1位、第2位，各有24种选法；第35步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为 同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为57600010=5760000.2424101010=576000.综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.归纳：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点:(1)要完成的“一件事”是什么;(2)怎么完成这件事？需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别
13、对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.解：展开后共有335 45项.1.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?解：98765432145(个).2.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个?3.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式?解：进出商场的不同方式有6530(种).4.任意画一条直线，在直线
14、上任取n 个分点.(1)从这n 个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段?(2)从这n 个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量?解：课本P11 练习2 运动会有跳高、跑步、游泳三个比赛项目，某班有四名同学报名参赛，要求每名同学只能参加一个项目，不同的报名方式共有（）A.4 种 B.24 种 C.43种 D.34种 练习1 四名同学，争夺三项冠军(每项没有并列冠军)，则冠军获得者可能有的种类是（）A.4 B.24 C.43 D.34 CD巩固练习 练习3 长方形的两条对角线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分
15、涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？A BC D解1：(1)若B,C 同色，则不同的涂色方法有 541480(种).(2)若B,C 不同色，则不同的涂色方法有 5433 180(种).综上所述，由分类计数原理得：共有80180260(种).A B C D 练习3长方形的两条对角线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？解2：由题意四部分最多涂4种颜色，最少涂2种颜色，(1)若涂4种颜色，则不同的涂色方法有 5432 120(种).(2)若涂3种颜色，则不同的涂色方法有若A、D 同色，则不同
16、的涂色方法有543 60(种)若B、C 同色，不同的涂色方法也有543 60(种)，共有6060=120(种)(3)若涂2种颜色，则不同的涂色方法有 54 20(种).综上所述，由分类计数原理得：共有12012020260(种).A BC D课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数归纳