《数学（理）知识清单-专题03 函数的应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题03 函数的应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1专题专题 3函数的应用函数的应用求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与 x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力知识点一知识点一函函数的零点与方程的根数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图象与函数 yg(x)的图象交
2、点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，1x，x0，则 yf(x)g(x)的零点个数为()A1B3C2D4【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点【变式探究】设 f(x)ln xx2，则函数 f(
3、x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)高频考点二、二次函数的零点高频考点二、二次函数的零点3例 2、（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_【变式探究】已知函数 f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式 f(x)0 的解集为1,2，求不等式 f(x)1x2的解集；(2)若函数 g(x)f(x)x21 在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及
4、根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【变式探究】已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围高频考点三高频考点三函数零点的应用函数零点的应用例 3、【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则（）Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0【举一反三】（2018 年江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【变式探究】【2017 课标 1，理 21】已知函数2()(2)xxf xaeaex.（1）讨论()
5、f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求 a 的取值范围.【方法规律】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用【变式探究】(1)设函数 f(x)|ln x|，x0，ex(x1)，x0，若函数 g(x)f(x)b 有三个零点，则实数 b 的取值范围是()A(1，)B1e2，0C0(1，)D(0，14(2)若关于 x 的方程 exaxa0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是()A(e2，0B0，e2)C(e，
6、0 D0，e)高频考点四、二次函数的模型高频考点四、二次函数的模型例 4、(1)(2019高考全国卷)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M1(Rr)2M2r2(Rr)M1R3.设rR.由于的值很小，因此在近
7、似计算中33345(1)233，则 r 的近似值为()AM2M1RBM22M1RC33M2M1R D3M23M1R(2)(2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A 1010.1B 10.1C lg 10.1D 1010.1【举一反三】（2018 年天津卷）已知函数，其中 a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线 l，
8、使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；5如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？高频考点五、分段函数的模型高频考点五、分段函数的模型例 5、设函数10()20 xxxf xx，则满
9、足1()()12f xf x的 x 的取值范围是_.【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产1 千件需另投入 2.7万元 设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)10.8130 x2010.(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函
10、数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？1【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则（）Aa
11、1，b0Ba0Ca1，b1，b062【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1=2152lgEE，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A1010.1B10.1Clg10.1D1010.13【2019 年高考全国卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”
12、，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M，月球质量为 M，地月距离为 R，2L点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()MMMRrRrrR.设rR，由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则 r 的近似值为（）A21MRMB212MRMC2313MRMD2313MRM1.（2018 年全国 I 卷理数）已知函数若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A.1，0）B.0，+）C.1，+）D.1，+）2.（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f
13、(x)1.7（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线1.【2017 北京，理 14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3中最大的是_.记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3中最大的是_.2.【
14、2017课标3，理15】设函数10()20 xxxf xx，则满足1()()12f xf x的x的取值范围是_.1,43.【2017 课标 1，理 21】已知函数2()(2)xxf xaeaex.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求 a 的取值范围.1.【2016 高考山东理数】已知函数2|,()24,xxmf xxmxm xm其中0m，若存在实数 b，使得关于 x的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.2、【2016 高考上海理数】已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的反函数.3.【2016 高考上海理数】已知a
15、R，函数21()log()f xax.（1）当5a 时，解不等式()0f x；8（2）若关于x的方程2()log(4)250f xaxa的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围.4.【2016 高考上海理数】设()f x、()g x、()h x是定义域为R的三个函数，对于命题：若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均为增函数，则()f x、()g x、()h x中至少有一个增函数；若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是以T
16、为周期的函数，则()f x、()g x、()h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A、和均为真命题B、和均为假命题C、为真命题，为假命题D、为假命题，为真命题9专题专题 3函数的应用函数的应用求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与 x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力知识点一知识点一函函数的零点与方程的根数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做
17、函数 f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，1x，x0，f(x)在 R 上单调递增，又 f12 e74 3740，零点在区间12，1上(2)作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示，易知两个函数图象有 3 个不同的交点，所以函数 yf(x)g(x)有 3 个零点，故选 B.【答案】(1)B(2)B【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令 f(x)
18、0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点12(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点【变式探究】设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】B【解析】法一：f(1)ln 11210，f(1)f(2)0，函数 f(x)ln xx2 的图象是连续的，函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)法二：
19、函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)高频考点二、二次函数的零点高频考点二、二次函数的零点例 2、（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_【答案】(1).(1,4)(2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式 f(x)0，g20，1a40，即a50，2a110，8a4，a2 6，解得5a2 6.所以实数 a 的取值范围是(5，2 6)【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利
20、用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【变式探究】已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围【解析】设方程 x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，即 x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即 a2a20，2a1.故实数 a 的取值范围为(2,1)高频考点三高频考点三函数零点的应用函数零点的应用例 3、【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x
21、xf xxaxax x若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则（）Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0【答案】C【解析】当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x?，则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）axb?x3?（a+1）x2+axaxb?x3?（a+1）x2b，142(1)yxax，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有
22、2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：?0 且?，解得 b0，1a0，b?（a+1）3，则 a1，b0，ex(x1)，x0，若函数 g(x)f(x)b 有三个零点，则实数 b 的取值范围是()A(1，)B1e2，0C0(1，)D(0，1(2)若关于 x 的方程 exaxa0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是()A(e2，0B0，e2)C(e，0 D0，e)【解析】(1)当 x0 时，f(x)ex(x1)，则 f(x)ex(x1)exex(x2)，由 f(x)0，得函数 f(x)的单调递
23、增区间为(2，0，由 f(x)0，得函数 f(x)的单调递减区间为(，2)，且易知 x1 时，f(x)0 恒成立，即证 exa(x1)当 xexx1，令 f(x)exx1，则 f(x)ex(x2)(x1)20，则 f(x)单调递减，即有 f(x)0 成立，a 可以是任意实数；当 x1 时，aexx1，令 f(x)exx1，则 f(x)ex(x2)(x1)2，当 x(1，2)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当 x2 时，f(x)取得极小值，也是最小值 e2，即有ae2.综上，实数 a 的取值范围是(e2，0，故选 A【答案】(1)D(2)A高频考点四、二次函数的模型高频考点四、二次函数的模
24、型例 4、(1)(2019高考全国卷)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器17的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M1(Rr)2M2r2(Rr)M1R3.设rR.由于的值很小，因此在近似计算中33345(1)233，则 r 的近似值为()AM2
25、M1RBM22M1RC33M2M1R D3M23M1R(2)(2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A 1010.1B 10.1C lg 10.1D 1010.1【解析】(1)由M1(Rr)2M2r2(Rr)M1R3，得M11rR2M2rR21rRM1.因为rR，所以M1(1)2M22(1)M1，得33345(1)2M2M1.由33345(1)233，得 33M2M1，即 3rR3M2M1
26、，所以 r3M23M1R，故选 D(2)根据题意，设太阳的星等与亮度分别为 m1与 E1，天狼星的星等与亮度分别为 m2与 E2，则由已知条件可知 m126.7，m21.45，根据两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，把 m1与 m2的值分别代入上式得，1.45(26.7)52lgE1E2，得 lgE1E210.1，所以E1E21010.1，故选 A【答案】(1)D(2)A【举一反三】（2018 年天津卷）已知函数，其中 a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【答
27、案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.【解析】（I）由已知，有.18令，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以 a 为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线 l1：.曲线在点处的切线 l2：.要证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得 l1和 l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得.因此，只需证明当时，关于
28、x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，19又，故存在唯一的 x0，且 x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数 t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数 t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之
29、间的函数关系可近似地表示为：y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】设该单位每月获利为 S，则 S100 xy100 x12x2200 x80 00012x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 400 x600，20所以当 x400 时，S 有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损高频考点五、分段函数的模型高频考点五、分段函数的模型例 5、设函数10()20 x
30、xxf xx，则满足1()()12f xf x的 x 的取值范围是_.【答案】1,4写成分段函数的形式：132,021112,0222121 2,2xxxxg xfxfxxxx，函数 g x在区间11,0,0,22 三段区间内均单调递增，且：00 1111,201,212142g，据此 x 的取值范围是：1,4.【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产1 千件需另投入 2.7万元 设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)2110.8130 x2010.(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的
31、函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)【解析】(1)当 010 时，WxR(x)(102.7x)981 0003x2.7x.W8.1xx33010010.(2)当 00，当 x(9,10时，W10 时，W981 0003x2.7x9821 0003x2.7x38，当且仅当1 0003x2.7x，即 x1009时，W38，故当 x1009时，W 取最大值 38(当 1 000 x 取整数时，W 一定小于 38)综合知，当 x9 时，W 取最大值，故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大【方
32、法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；22若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解析
33、】(1)设旅行团人数为 x 人，由题得 0 x75，飞机票价格为 y 元，则 y900，0 x30，90010 x30，30 x75，即 y900，0 x30，1 20010 x，30 x75.(2)设旅行社获利 S 元，则 S900 x15 000，0 x30，x1 20010 x15 000，30 x75，即 S900 x15 000，0 x30，10 x60221 000，30 x75.因为 S900 x15 000 在区间(0,30上为单调增函数，故当 x30 时，S 取最大值 12 000 元，又 S10(x60)221 000 在区间(30,75上，当 x60 时，取得最大值 21
34、 000.故每团人数为 60 人时，旅行社可获得最大利润1【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则（）Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0【答案】C【解析】当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x?，则 yf（x）axb 最多有一个零点；23当 x0 时，yf（x）axb?x3?（a+1）x2+axaxb?x3?（a+1）x2b，2(1)yxax，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当
35、a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：?0 且?，解得 b0，1a0，b?（a+1）3，则 a1，b0.故选 C2【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1=2152lgEE，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮
36、度的比值为（）A1010.1B10.1Clg10.1D1010.1【答案】A24【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE，令211.45,26.7mm ，则121222lg(1.4526.7)10.1,55EmmE 从而10.11210EE.故选 A.3【2019 年高考全国卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上
37、设地球质量为 M，月球质量为 M，地月距离为 R，2L点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()MMMRrRrrR.设rR，由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则 r 的近似值为（）A21MRMB212MRMC2313MRMD2313MRM【答案】D【解析】由rR，得rR，因为121223()()MMMRrRrrR，所以12122222(1)(1)MMMRRR，即543232221133(1)3(1)(1)MM，25解得2313MM，所以231.3MrRRM故选 D。1.（2018 年全国 I 卷理数）已知函数若 g（x）存在 2
38、 个零点，则 a 的取值范围是A.1，0）B.0，+）C.1，+）D.1，+）【答案】C【解析】画出函数的图像，在 y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选 C.2.（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_【答案】(1).(1,4)(2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式 f(x)1.（I）求函数的单调区间；（II）若
39、曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.【解析】（I）由已知，有.令，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.27（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以 a 为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线 l1：.曲线在点处的切线 l2：.要证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线
40、的切线，只需证明当时，存在，使得 l1和 l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得.因此，只需证明当时，关于 x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的 x0，且 x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，28所以.下面证明存在实数 t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数 t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.1.【2017 北京，理 14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分
41、别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3中最大的是_.记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3中最大的是_.【答案】1Q；2.p【解析】作图可得11A B中点的纵坐标比2233,A BA B中点的纵坐标大，所以 Q1，Q2，Q3中最大的是1Q，分别作123,B BB关于原点的对称点123,BBB，比较直线112233,A B A BA B的斜率（即为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工
42、的零件数），可得22A B最大，所以 p1，p2，p3中最大的是2.p2.【2017课标3，理15】设函数10()20 xxxf xx，则满足1()()12f xf x的x的取值范围是_.【答案】1,429写成分段函数的形式：132,021112,0222121 2,2xxxxg xfxfxxxx，函数 g x在区间11,0,0,22 三段区间内均单调递增，且：00 1111,201,212142g，据此 x 的取值范围是：1,4.3.【2017 课标 1，理 21】已知函数2()(2)xxf xaeaex.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求 a 的取值范围.【答案
43、】（1）见解析；（2）0,1.【解析】（1）f x的定义域为,，2221121xxxxfxaeaeaee，（）若0a，则 0fx，所以 f x在,单调递减.（）若0a，则由 0fx得lnxa.30当,lnxa 时，0fx；当ln,xa 时，0fx，所以 f x在,lna 单调递减，在ln,a单调递增.（2）（）若0a，由（1）知，f x至多有一个零点.（）若0a，由（1）知，当lnxa 时，f x取得最小值，最小值为1ln1lnfaaa.当1a 时，由于ln0fa，故 f x只有一个零点；当1,a时，由于11ln0aa，即ln0fa，故 f x没有零点；当0,1a时，11ln0aa，即ln0f
44、a.又4222e2 e22e20faa，故 f x在,lna 有一个零点.设正整数0n满足03ln1na，则00000000ee2e20nnnnf naannn.由于3ln1lnaa，因此 f x在ln,a有一个零点.综上，a的取值范围为0,1.1.【2016 高考山东理数】已知函数2|,()24,xxmf xxmxm xm其中0m，若存在实数 b，使得关于 x的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.【答案】3,【解析】画出函数图象如下图所示：31由图所示，要 fxb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30mmm mm mm，解得3m。2、【2
45、016 高考上海理数】已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的反函数.【答案】2log(x1)【解析】将点（3，9）代入函数 1xf xa 中得2a，所以 1 2xf x ，用y表示x得2log(1)xy，所以 12log(1)fxx.3.【2016 高考上海理数】已知aR，函数21()log()f xax.（1）当5a 时，解不等式()0f x；（2）若关于x的方程2()log(4)250f xaxa的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围.【答案】
46、（1）1,0,4x （2）1,23,4（3）2,3【解析】（1）由21log50 x，得151x，解得1,0,4x （2）1425aaxax，24510axax，当4a 时，1x ，经检验，满足题意当3a 时，121xx，经检验，满足题意当3a 且4a 时，114xa，21x ，12xx1x是原方程的解当且仅当110ax，即2a；322x是原方程的解当且仅当210ax，即1a 于是满足题意的1,2a综上，a的取值范围为1,23,4（3）当120 xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以 f x在0,上单调递减函数 f x在区间,1t t上的最大值与最小值分别为 f t，
47、1f t 22111loglog11f tf taatt即2110atat，对任意1,12t成立因为0a，所以函数211yatat在区间1,12上单调递增，12t 时，y有最小值3142a，由31042a，得23a 故a的取值范围为2,34.【2016 高考上海理数】设()f x、()g x、()h x是定义域为R的三个函数，对于命题：若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均为增函数，则()f x、()g x、()h x中至少有一个增函数；若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是以T为周期的函数，则()f x、()g x、()h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A、和均为真命题B、和均为假命题C、为真命题，为假命题D、为假命题，为真命题学科.网【答案】D【解析】不成立，可举反例2,1)1(3,xxf xxx,03,023,21()1,xxxxxxg x,0(0)2,xhxxxx33()()()()f xg xf xTg xT()()()()f xh xf xTh xT()()()()g xh xg xTh xT前两式作差，可得()()()()g xh xg xTh xT结合第三式，可得()()g xg xT,()()h xh xT也有()()f xf xT正确故选 D.