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1、第1讲数列的概念及简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1
2、an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.已知数列an的前n项和Sn，则an诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1
3、)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)一个数列中的数是不可以重复的.()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的.(3)不是所有的数列都有通项公式.答案(1)(2)(3)(4)2.(2017浙江五校联考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an(1)n11 B.anC.an2sin D.ancos(n1)1解析对n1，2，3，4进行验证，an2sin不合题意，故选C.答案C3.设数列an的
4、前n项和Snn2，则a8的值为()A.15 B.16 C.49 D.64解析当n8时，a8S8S7827215.答案A4.已知ann2n，且对于任意的nN*，数列an是递增数列，则实数的取值范围是_.解析因为an是递增数列，所以对任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.答案(3，)5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.答案5n46.(2017金华调考)在数列xn中，x110，xnlog2(xn12)，则数列xn的第2项是_
5、，所有项和T_.解析x110，xnlog2(xn12)，x2log2(x12)log283，x3log2(x22)log210.数列xn所有项的和为103013.答案313考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5，55，555，5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5).(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13，35，57，
6、79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9，99，999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联
7、想.【训练1】 (1)数列0，的一个通项公式为()A.an(nN*) B.an(nN*)C.an(nN*) D.an(nN*)(2)数列，的一个通项公式an_.解析(1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n.答案(1)C(2)(1)n考点二由Sn与an的关系求an(易错警示)【例2】 (1)若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.(2)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.解析(1)当n1时，a1S13122112；当
8、n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式.故数列的通项公式为an(2)由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.答案(1)(2)(2)n1规律方法数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示.易错警示在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.
9、【训练2】 (1)(2017温州市十校联考)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.解析(1)依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，an2n1.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式.an答案(1)2n1(2)考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1ann1，则通
10、项公式an_.(2)若a11，anan1(n2)，则通项公式an_.(3)若a11，an12an3，则通项公式an_.解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)法一因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1，以上(n1)个式子的等号两端分别相乘得ana1.法二因为ana11.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3).令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.bn42n12n1，an2n13
11、.答案(1)1(2)(3)2n13规律方法(1)形如an1anf(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如an1anf(n)的递推关系式可化为f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通项.(3)形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.【训练3】 (1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.(2)在数列an中，a13，an1an，则通项公式an_.解析(1)由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列a
12、n1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足).(2)原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐项相加得，ana11，故an4.答案(1)32n12(2)4思想方法1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系：an3.
13、已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.易错防范1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式是an等于()A. B.cos C.cos D.cos 解析令n1，2，3，逐一验证四个选项，易得D正确.答案D2.数列，的第10项是()A. B. C. D.解析所给数列呈现分数形
14、式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1，故a10.答案C3.(2017绍兴一中检测)在数列an中，已知a11，an12an1，则其通项公式an()A.2n1 B.2n11C.2n1 D.2(n1)解析法一由an12an1，可求a23，a37，a415，验证可知an2n1.法二由题意知an112(an1)，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.答案A4.数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an等于()A.2n1 B.n2C. D.解析设数列an的前n项积为Tn，则Tnn2，当n2时
15、，an.答案D5.数列an满足an1an2n3，若a12，则a8a4()A.7 B.6 C.5 D.4解析依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即an2an2，所以a8a4(a8a6)(a6a4)224.答案D二、填空题6.若数列an满足关系an11，a8，则a5_.解析借助递推关系，则a8递推依次得到a7，a6，a5.答案7.(2017绍兴月考)已知数列an的前n项和Snn22n1(nN*)，则a1_；an_.解析当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1S14211，因此an答案48.(2017嘉兴七校联考)已知数列an的前n项和为Sn，且an0(nN*)，又a
16、nan1Sn，则a3a1_.解析因为anan1Sn，所以令n1得a1a2S1a1，由于a10，则a21，令n2，得a2a3S2a1a2，即a31a1，所以a3a11.答案1三、解答题9.数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n4时，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍).从第7项起各项都是正数.10.已知数列an中，a11，前n项和Sna
17、n.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式.解(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.显然，当n1时也满足上式.综上可知，an的通项公式an.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()A. B. C.4 D.0解析an3，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.答案D12.(
18、2017石家庄质检)已知数列an满足an2an1an，且a12，a23，则a2 016的值为_.解析由题意得，a3a2a11，a4a3a22，a5a4a33，a6a5a41，a7a6a52，数列an是周期为6的周期数列，而2 0166336，a2 016a61.答案113.(2017金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列an，如果aii(i1，2，3，)为完全平方数，则称数列an具有“P性质”.不论数列an是否具有“P性质”，如果存在与an不是同一数列的bn，且bn同时满足下面两个条件：b1，b2，b3，bn是a1，a2，a3，an的一个排列；数列bn具有“P性质”，则称数列an具有“变换P
19、性质”.下面三个数列：数列an的前n项和Sn(n21)；数列1，2，3，4，5；1，2，3，11.具有“P性质”的为_；具有“变换P性质”的为_.解析对于，当n2时，anSnSn1n2n，a10，ann2n，aiii2(i1，2，3，)为完全平方数，数列an具有“P性质”；对于，数列1，2，3，4，5，具有“变换P性质”，数列bn为3，2，1，5，4，具有“P性质”，数列an具有“变换P性质”；对于，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，11，不具有“变换P性质”.答案14.(2017瑞安市模拟)已知数列an中，an1(nN*，aR且a0).(1)若a7，求数列an中的
20、最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围.解(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1(nN*).结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a0，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20100130.答案(1)C(2)130规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质
21、求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】 设等差数列an的前n项和为Sn，a10且，则当Sn取最大值时，n的值为()A.9 B.10 C.11 D.12解析由，得S11S9，即a10a110，根据首项a10可推知这个数列递减，从而a100，a110，故n10时，Sn最大.答案B思想方法1.在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用，可以大大
22、减少运算量.易错防范1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016武汉调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析法一由题意可得解得a15，d3.法二a1a72a48，a44，a4a2422d，d3.答案C2.已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数
23、列的项数为()A.10 B.20 C.30 D.40解析设项数为2n，则由S偶S奇nd得，25152n，解得n5，故这个数列的项数为10.答案A3.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()A.a1a1010 B.a2a1000C.a3a990 D.a5151解析由题意，得a1a2a3a1011010.所以a1a101a2a100a3a990.答案C4.(2015浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d0，dS40 B.a1d0，dS40，dS40 D.a1d0解析a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20(d0)，又S44a1d，dS40，故选B.答案B5.(2017泰安模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若a211，a5a92，则当Sn取最小值时，n()A.9 B.8 C.7 D.6解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，由得解得an152n.由an152n0，解得n.又n为正整数，当Sn取最小值时，n7.故选C.答案C二、填空题6.已知每项均大于零的数列an中，首项a11且前n项和Sn满足SnSn12(nN*且n2)，则a61_