《2023年高考数学（浙江专用）总复习教师用书5~6章 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学（浙江专用）总复习教师用书5~6章 .doc（116页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第1讲平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知 识 梳 理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相
2、等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(
3、1)零向量与任意向量平行.()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()(5)在ABC中，D是BC中点，则().()解析(2)若b0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等.则所有正确命题的序号是()A. B. C. D.解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等
4、，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误.答案A3.(2017枣庄模拟)设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则()A.2 B.3 C.2 D.3解析由，可得34，即44，则4，即4，可得3，故3，则3，故选D.答案D4.(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.答案5.(必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示).解析如图，ba，ab.答案baab6.
5、(2017嘉兴七校联考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则1_，2_.解析如图所示，().又12，且与不共线，所以1，2.答案考点一平面向量的概念【例1】 下列命题中，不正确的是_(填序号).若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac.解析不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同，因此.正确.ab，a，b的长度相等且方向相
6、同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.答案规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.【训练1】 下列命题中，正确的是_(填序号).有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有
7、一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)(2017潍坊模拟)在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且APAB，BQBC.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab(2)(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析(1)()ab，故选A.(2)由题中条件得，()xy，所以x，y.答案(1)A(2)规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基
8、本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于()A.B.C.D.(2)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则等于()A.1 B. C. D.解析(1)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以.所以，故选D.(2)，2，即.故.答案(1)D(2)D考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab)
9、.求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立.【训练3】 (1)已知向量a3b，5a3b，3
10、a3b，则()A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A.0 B. C.1 D.0，1解析(1)2a6b2(a3b)2，、共线，又有公共点B，A，B，D三点共线.故选B.(2)因为，所以x2x0，即x2(x1)，因为A，B，C三点共线，所以x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.答案(1)B(2)D思想方法1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起
11、点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.易错防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.已知下列各式：；，其中结果为零向
12、量的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题知结果为零向量的是，故选B.答案B2.设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与a的方向相反 B.a与2a的方向相同C.|a|a| D.|a|a解析对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反；B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小.答案B3.如图，在正六边形ABCDEF中，()A.0 B.C. D.解析由题干图知.答案D4.设a0为单位向量，下述命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|
13、a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案D5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B.2 C.3 D.4解析()()224.故选D.答案D6.在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc解析2，22()，32，bc.答案A7.(201
14、7温州八校检测)设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A.2 B.1 C.1 D.2解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线.设，2apb(2ab)，22，p，1，p1.答案B8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.答案D二、填空题9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有_个.解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向
15、量相等的向量有，共3个.答案310.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.解析因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.答案211.向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_.解析由4e12e22，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.答案12.已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.解析由已知条件得，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，A
16、B的中点，即M为ABC的重心，()，即3，则m3.答案313.(2017杭州模拟)在ABC所在平面内有一点P，如果，则PAB与ABC的面积之比是_.解析因为，所以20，22，所以点P是线段AC的一个靠近点A的三等分点(如图所示).所以PAB与ABC的面积之比是13.答案13能力提升题组(建议用时：15分钟)14.(2017延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A. B. C. D.不存在解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2
17、)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，所以解得k.答案A15.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上解析因为22，所以2，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.答案B16.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析作BAC的平分线AD.，(0，)，.P的轨迹一定通过ABC的内心.答案B17.(2017湖州模拟)如图，在ABC
18、中，AD2DB，AEEC，BE与CD相交于点P，若xy(x，yR)，则x_，y_.解析由题可知()(1)，又()(1)，所以可得解得故，所以x，y.答案18.若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_.解析2()()，|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形.答案直角三角形第2讲平面向量基本定理与坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
19、这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a
20、bx1y2x2y10.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()(5)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b(0，0)，则无意义.(5)向量a与b的夹角为ABC的补角.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2017东阳月考)
21、已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab等于()A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9)解析2ab2(2，4)(1，1)(3，9)，故选D.答案D3.(2015全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7，4)C.(1，4) D.(1，4)解析根据题意得(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)，故选A.答案A4.(2016全国卷)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析因为ab，所以由(2)m430，解得m6.答案65.(必修4P101A3改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)
22、，则顶点D的坐标为_.解析设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案(1，5)6.(2017浙江五校联考)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足20.(1)用，表示为_；(2)若点D是OB的中点，则四边形OCAD的形状是_.解析(1)因为20，所以2()()0，所以2.(2)如图，D为OB的中点，则(2).故，即DAOC，且DAOC，故四边形OCAD为梯形.答案(1)2(2)梯形考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.(2)(2017金华调研)如图，
23、在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.解析(1)如图所示，()()().(2)设k，kR.因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案(1)A(2)规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.(2)(2017南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若(，R)，则_.解析
24、(1)()ab.(2)由题意可得，由平面向量基本定理可得，所以.答案(1)ab(2)考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A.(23，12) B.(23，12)C.(7，0) D.(7，0)(2)(2017北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若cab(，R)，则()A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)3a2bc(23x，12y)0，故x23，y12，故选A.(2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，所以a(1，1)，
25、b(6，2)，c(1，3)，cab，解之得2且，因此，4，故选D.答案(1)A(2)D规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点B的坐标为()A.(7，4) B.(7，14)C.(5，4) D.(5，14)(2)(2015江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2).若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.
26、解析(1)设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5).由3a，得解得(2)由向量a(2，1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则解得故mn3.答案(1)D(2)3考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.(2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|BP|，则点P的坐标为_.解析(1)由a(1，2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)0，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8).(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延
27、长线上，则，得(x2，y3)(x4，y3)，即解得所以点P的坐标为(8，15).答案(1)(4，8)(2)(8，15)规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(b0)，则ab.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2017浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是()A. B.C. D.(2)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_.解析(
28、1)(4，1)(1，3)(3，4)，与同方向的单位向量为.(2)(a1，3)，(3，4)，根据题意，4(a1)3(3)0，即4a5，a.答案(1)A(2)思想方法1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10.易错防范1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的
29、关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标.2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(必修4P118A组2(6)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B2.(2016沈阳质监)已知在ABCD中，(2，8)，(3，4)，则()A.(1，12) B.
30、(1，12)C.(1，12) D.(1，12)解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以(1，12)，故选B.答案B3.已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件，故选A.答案A4.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A.e1e2B.2e1e2C.2e1e2D.2e1e2解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建
31、立平面直角坐标系，由题意可得e1(1，0)，e2(1，1)，a(3，1)，因为axe1ye2x(1，0)y(1，1)，(xy，y)，则解得故a2e1e2.答案B5.已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A. B. C. D.解析(4k，7)，(2k，2)，因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.答案A6.(2017诸暨市调研)在ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs等于()A. B. C.3 D.0解析因为2，所以()，则rs0，故选D.答案D7.在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(
32、1，5)，则等于()A.(2，7) B.(6，21) C.(2，7) D.(6，21)解析(3，2)，Q是AC的中点，2(6，4)，(2，7)，2，3(6，21).答案B8.(2017河南八市质检)已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则向量()A. B.C. D.解析如图，2，().答案C二、填空题9.已知向量a(x，1)，b(2，y)，若ab(1，1)，则xy_.解析因为(x，1)(2，y)(1，1)，所以解得所以xy3.答案310.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为_.解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即a
33、b2a2b0，所以.答案11.已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_.解析因为a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，所以u(1，2)2(x，1)(2x1，4)，v2(1，2)(x，1)(2x，3).又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案12.在平行四边形ABCD中，e1，e2，则_(用e1，e2)表示.解析如图，2()e2(e2e1)e1e2.答案e1e213.(2017丽水月考)平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1).(1)满足ambnc的实数m，n分别为_；(2)若(akc)(2ba)，则实
34、数k_；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，则d的坐标为_.解析(1)由题意得(3，2)m(1，2)n(4，1)，解得(2)akc(34k，2k)，2ba(5，2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(3)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2，4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5，3).答案(1)，(2)(3)(3，1)或(5，3)能力提升题组(建议用时：15分钟)14.(2017长沙调研)如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2 ，则()A.x，y B.x，yC.x，y D.x，y解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.答案A15.已知
35、|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为()A.2 B. C.3 D.4解析0，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，(1，0)，(0，)，mn(m，n).tan 30，m3n，即3，故选C.答案C16.已知点A(1，2)，B(2，8)，则的坐标为_.解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).由题意得(x11，y12)，(3，6)，(1x2，2y2)，(3，6).因为，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别为(0，4)，(2，0)，从而(2，4).答案(2，4)17.(2017金华四校联考)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示
36、，点C在以O为圆心的圆弧上运动.若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_；最小值为_.解析以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2；当0或时，xy取得最小值1.答案2118.(2016四川卷改编)已知正ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是_.解析建立平面直角坐标系如图所示，则B(，0)，C(，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2(y3)21.设P(x，y)，M(x0，y
37、0)，则x2x0，y2y0，代入圆的方程得，所以点M的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以|max，所以|.答案第3讲平面向量的数量积及其应用最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与
38、b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)a