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1、第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步
2、乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(
3、4)均不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()A.6 B.5 C.3 D.2解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.答案B3.(选修23P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A.24种 B.30种C.36种 D.48种解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有432248(种).答案D4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一
4、个小组，则不同的报名方法有_种(用数字作答).解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2222232(种).答案325.已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为_(用数字作答).解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5420种走法.答案206.(2015广东卷改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言_条；若每两个同学互通一次电话，那么共通_次电话(均用数字作答).解析第1位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言；依次下
5、去，第40位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言，故全班共写了40391 560条毕业留言.显然互通一次电话的次数为1 560780.答案1 560780考点一分类加法计数原理【例1】 (1)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A.4种 B.6种 C.10种 D.16种(2)(2017温州十校联考)满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A.14 B.13 C.12 D.10解析(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，同理，甲先传给丙时
6、，满足条件有3种踢法.由分类加法计数原理，共有336种传递方法.(2)当a0，有x，b1，0，1，2有4种可能；当a0时，则44ab0，ab1，()若a1时，b1，0，1，2有4种不同的选法；()若a1时，b1，0，1有3种可能；()若a2时，b1，0，有2种可能.有序数对(a，b)共有443213(个).答案(1)B(2)B规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重
7、复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a0这一类.【训练1】 (1)如图，从A到O有_种不同的走法(不重复过一点).(2)若椭圆1的焦点在y轴上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为_(用数字作答).解析(1)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有ABO和ACO共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有ABCO和ACBO共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1225种不同的走法.(2)当m1时，n2，3，4，5，6，7共6个当m2时，n3，4，5，6，7共5个；当m3时，n4，5，6，7共4个；当m4时，n5，6，7共3个
8、；当m5时，n6，7共2个，故共有6543220个.答案(1)5(2)20考点二分步乘法计数原理【例2】 (1)(2017郑州二模)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A.10种 B.25种 C.52种 D.24种(2)定义集合A与B的运算A*B如下：A*B(x，y)|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，则集合A*B的元素个数为_(用数字作答).解析(1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.(2)显然(a，a)，(a，c)等均为A*B中的关系，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分
9、步计数原理可知A*B中有3412个元素.答案(1)D(2)12规律方法(1)在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.(2)利用分步乘法计数原理应注意：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.【训练2】 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A.24种 B.4种 C.43种 D.34种(2)设集合A1，0，1，B0，1，2，3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数为_(用数字作答).解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.
10、由分步乘法计数原理可得共有43种方法.(2)易知AB0，1，AB1，0，1，2，3，x有两种取法，y有5种取法.由分步乘法计数原理，A*B的元素有2510(个).答案(1)C(2)10考点三两个计数原理的综合应用【例3】 (1)(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个 B.120个 C.96个 D.72个(2)(2017杭州七校联考)如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_(用数字作答).解析(1)由题意，首位数字只能是
11、4，5，若万位是5，则有3A72(个)；若万位是4，则有2A个48(个)，故比40 000大的偶数共有7248120(个).选B.(2)按区域1与3是否同色分类：区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A种方法.区域1与3涂同色，共有4A24种方法.区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法.这时共有A21372种方法.由分类加法计数原理， 不同的涂色种数为247296.答案(1)B(2)96规律方法(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又
12、用到分类加法计数原理.注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理.【训练3】 (1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()A.240 B.204 C.729 D.920(2)从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为_(用数字作答).
13、解析(1)若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0“凸数”为120与121，共2个.若a23，则“凸数”有236(个).若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个).所有凸数有26122030425672240(个).(2)由题意知本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C种结果，当有4个键同时按下，有C种结果，以此类推，根据分类加法计数原理得到共有CCCCCCCC(CCC)210(11045)968.答案(1)A(2)968思想方法1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄
14、清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.易错防范1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正
15、确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有()A.30个 B.42个 C.36个 D.35个解析abi为虚数，b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数.答案C2.某校举行乒乓球赛，采用单淘汰制，要从20名选手中决出冠军，应进行比赛的场数为()A.18 B.19 C.20 D.21解析因为每一场比赛都有一名选手被淘汰，即一场比赛对应一个失败者，要决出冠军，就要淘汰19名选手，故应进行19场比赛.
16、答案B3.(2017舟山市质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式()A.24 B.14 C.10 D.9解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4312种方式，第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法.由分类加法计数原理，共有12214(种)选择方式.答案B4.集合Px，1，Qy，1，2，其中x，y1，2，3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9 B.14 C.15 D.21解析当x2时，xy，点的个数为177(个).当x2时，由P
17、Q，xy.x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7714(个).答案B5.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为()A.3 B.5 C.9 D.12解析只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3519(种).答案C6.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A.
18、24 B.18 C.12 D.6解析从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从3，5，7中选两个数字排在个位与百位，共有CA6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位，从3，5，7中选两个数字排在个位与百位，共有CA6种；2排在百位，从3，5，7中选两个数字排在个位与十位，共有CA6种；由分类加法计数原理可知共有66618种.答案B7.从集合1，2，3，4，10中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A.32个 B.34个 C.36个 D.38个解析将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C2种，共有
19、2222232个.故选A.答案A8.(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18 C.12 D.9解析由题意可知EF共有6种走法，FG共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318种走法，故选B.答案B二、填空题9.(2016西安质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个(用数字作答).解析当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理知共有“
20、好数”CCC12(个).答案1210.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答).解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32840(个).答案4011.(2016长沙二模)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种.解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法.再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1
21、种排法.因此共有A2112(种)不同的排列方法.答案1212.从1，0，1，2这4个数中任选3个不同的数作为函数yax2bxc的系数，则可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个(用数字作答).解析a，b，c的一组不同的取值对应着一个不同的二次函数.第1步，确定a(a0)的值，有3种方法；第2步，确定b的值，有3种方法(这时，b可取0)；第3步，确定c的值，有2种方法.故可组成33218个不同的二次函数.若二次函数为偶函数，则b0，这时只需确定a，c的值，分两步完成，共有326个不同的偶函数.答案18613.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(不一定六名同学都能参加)，(1)每人恰
22、好参加一项，每项人数不限，则有_种不同的报名方法；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，则有_种不同的报名方法；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限，则有_种不同的报名方法(用数字作答).解析(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法36729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法654120(种).(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报
23、名方法63216(种).答案(1)729(2)120(3)216能力提升题组(建议用时：15分钟)14.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法(用数字作答).解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法.所以共有5445433260种涂色方法.答案26015.(2017绍兴市调研)用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243 B
24、.252 C.261 D.279解析0，1，2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，有重复数字的三位数有900648252(个).答案B16.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A.24对 B.30对C.48对 D.60对解析与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对角线有8条，故共有8对.正方体的12条面对角线共有12896(对)，且每对均重复计算一次，故共有48(对).答案C17.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不
25、同游览线路有_种(用数字作答).解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法.由分步乘法计数原理知共有64248种不同游览线路.答案4818.(2017浙江名校协作体联考)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，99.3位回文数有90个：101，111，121，191，202，999.则(1)4位
26、回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个.解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计91090(种)填法，即4位回文数有90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合计数原理，知有910n种填法.答案(1)90(2)910n第2讲排列与组合最新考纲1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(
27、mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn).特别地C1性质(1)0！1；An！(2)CC；CCC诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)若组合式CC，则xm成立.()(4)kCnC.()解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确
28、；若CC，则xm或nm，故(3)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A24.答案B3.(选修23P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A.18 B.24 C.30 D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC12种，故3名学生中男女生都有的选法有CCCC30种.法二从7名同学中任选
29、3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即CCC30.答案C4.(2017浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有_个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有_个.解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有AA144个.答案7201445.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_(用数字作答).解析末位数字排法有A，其他位置排法有A种，共有AA48种.答案486.(2017绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中
30、选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_(用数字作答).解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种.甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49(种)选法.法二(间接法)从9人中选3人有C种方法.其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选排方法是CC843549(种).答案49考点一排列问题【例1】 (2017河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(
31、5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA4 320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.(3)法一(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.法二(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A
32、种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，符合要求的排法种数为A20 160(种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种；其余人6个人进行全排列，有A种.共有AAA种.由分类加法计数原理，共有AAAA30 960(种).法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法AA
33、种，因此共有AAAA30 960(种).法三(间接法)8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种.因此共有A2AA30 960(种).规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】 (1)(2017新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4
34、人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480(2)(2017抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有()A.30 B.600 C.720 D.840解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3456360种方法.(2)若只有甲乙其中一人参加，有CCA
35、480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA240种方法，则共有480240720种方法，故选C.答案(1)C(2)C考点二组合问题【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CC
36、C5 984种.某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100种.恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555种.至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式CC6 5454556 090种.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，
37、再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】 (1)(2017邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是()A.90 B.115 C.210 D.385(2)(2017湖州市质检)若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种 B.63种 C.65种 D.66种解析(1)分三类，取2个黑球有CC90种，取3个黑球有C
38、C24种，取4个黑球有C1种，故共有90241115种取法，选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有CCCC66(种).答案(1)B(2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后
39、再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCCA144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法.故共有C(CCAA)84(种).规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组
40、合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()A.AC B.ACC.AA D.2A(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).解析(1)
41、法一将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种).所以不同的安排方法有CA(种).法二先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCCAC(种).(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.答案(1)B(2)60思想方法1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑
42、其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.易错防范1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).
43、分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24 B.48 C.60 D.72解析由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA3432172，故选D.答案D2.(2017东阳调研)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A.16种 B.36种C.42种 D.60种解析法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法.由分类加法计数原理知共ACA60(种)方法.法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共4364种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43464460(种).答案D3.10名同学合影，