《数列的综合应用（原卷版）2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列的综合应用（原卷版）2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题1 9数列的综合应用【题型归纳目录】题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用题型二：数列中的新定义问题题型三：数列与函数、不等式的综合问题题型四：数列在实际问题中的应用题型五：数列不等式的证明题型六：公共项问题题型七：插项问题题型八：蛛网图问题题型九：整数的存在性问题（不定方程）题型十：数列与函数的交汇问题题型十一：数列与导数的交汇问题题型十二：数列与概率的交汇问题题型十三：数列与几何的交汇问题【典型例题】题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用例 1.（2023 全国高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那
2、契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.即尸（1）=尸（2）=1,尸 =尸尸（“一 2）（2 3,”e N*）,此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4 整除后的余数构成一个新的数列 4 ,则4+仇+4 +%22的 值 为（）A.2696 B.2697 C.2698 D.2700例 2.（2022.新疆喀什高三期末（文）70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高
3、清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为。，其后每天产生的数据量都是前一天的4（41）倍，那么训练”天产生的总数据量为（）A.瞰 B.W C.D.3-q -q例 3.（2023全国高三专题练习）大衍数列来源于 乾坤谱中对易传“大衍之数五十 的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐臧的世界数学史上第一道数列题.其前1 0 项依次是0、2、4、8、1 2、1 8、2 4、3 2、4 0、5 0,则此数列的第2 1
4、项 是（）A.2 0 0 B.2 1 0 C.2 2 0 D.2 4 2例 4.（2 0 2 2.全国.模拟预测（理）孙子算经是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题“，后来南宋数学家秦九韶在 算书九章大衍求一术中将此问题系统解决大衍求一术 属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中 国 剩 余 定 理 现 有 一道同余式组问题：将正整数中，被 3除余2且被5除 余 1 的数，按由小到大的顺序排成一列数，则 2 8 1 是第几个数（）A.1 8 B.1 9 C.2 0 D.2 1例 5.（2 0 2 2 山西太原,三模（理）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现
5、代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：4=/=1，a =q i+4-2（W 3,e N*）.已知 上 空 竺 士 二 土 4 是该数列的第1 0 0 项，则机=（）4A.9 8 B.9 9C.1 0 0 D.1 0 1【方法技巧与总结】（I）解决数列与数学文化相交汇问题的关键|读 懂 题 意 冬 眠 冬 攵 的 语 葆砒面看一 而生菽由施森:府至尊至薮加面琴正取丽最演箍；I构 造 模 型L 关系式的模型 0 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二由 南 矶 二 利 用 所 学 知 识 求 解 数 列 的 相 关
6、信 息，如求：任 暨 里 士n揖-定项 通网公式感刖匕项和的一公式（2）解答数列应用题需过好“四关”审 题 关 存 画 面1认宜/解窗煮一.：殿|求 解 关H求解该数列问题：还 原 关 I-而 隶 的 结 欣 旬 变 词您不：题型二：数列中的新定义问题例 6.（2 0 2 2.陕西长安一中模拟预测（理）意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列也 满足4=1,%=1,%=4T+4-2（2 3,WN*）.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为S“，每段螺旋线与其所在的正方
7、形所围成的扇形面积为党 ,则其中不正确结论例 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1,1,2,3,5,8,13,2 1,3 4,55,在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列%满足：4=1，%=1，%+2=。”+1+。，若。3+%+%+%+4 1=4-%，贝也等于（）A.12 B.13 C.8 9 D.144例 8.（2 0 2 2 全国高三专题练习）高斯函数 =区也称为取整函数，其中国 表示不超过x的最大整数，例如
8、3.4 =3.己知数列 叫 满 足 4=1,设数列，禽，的前项和为S“，则设2 0 2 2b.例 9.（2 0 2 2 陕西西安二模（理）“0,1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或 1的数列.设A是一个有限“0,1 数列“，/（A）表示把A中每个0都变为1,0,1,每 个 1 都变为0,1,0,所得到的新的“0,1 数列“，例如4 =1,0 ,则 A）=0,l,0,l,0,l.设 A 是一个有限“0,1 数列“，定义A+i=/（A）y1，2,3,.若有限“0,1 数列“A =0,1，0 ，则数列词2 2 的 所 有 项 之 和 为.+-2例 10.（2 0 2 2 甘肃张
9、掖 高三阶段练习（文）己知数列%满足M=lo g 2（-）.给出定义：使数列 可 的 +1前k项和为正整数的M%G N*）叫做“好数”，则在 1,2 0 2 2 内的所有“好数”的和为例 11.（2 0 2 2 山东潍坊模拟预测）对于项数为，（，沦3）的有穷数列 ,，若存在项数为m+1的等比数列 2,使得4，”1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想 等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6 f 3f 10r5f 1 6-8 f 4f 2f 1,至少需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）.一般地，一个正整数，首次变成1 需经过 个步骤（简称为步“雹程”）现给出冰雹猜想
10、的递推，关系如下：已知数列%满足%当a为偶数时4=皿，为正整数），向=2 ，若4。=1,即9 步“雹程”对应的机的所有可能取值的中位3%+1,当为奇数时数为.【方法技巧与总结】（1）新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.（2）新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.题型三：数列与函数、不等式的综合问题例 16.（2
11、 0 2 2 山西吕梁二模（文）已知 4“是各项均为正数的等比数列，卬=3，%=、，且4+4 +4 +，贝！1 k的最小值是.例 17.（2 0 2 2 山东烟台三模）已知数列 4 的前项和为S“，当“2 2 时，=anS-a.求 S.；2 设数歹U不 的前项和为T.，若 肛 4（2+9卜2 恒成立，求彳的取值范围.例 18.（2 0 2 2.全国高三专题练习）设等差数列 4 的前项和为5,*。.若对任意的正整数,都有S“N S*,则整数=（）A.3 4 B.3 5 C.1 8 D.1 9例 19.（2 0 2 2 四川省泸县第二中学模拟预测（文）已知等差数列 4 的前项和为S“，S4=2 邑
12、+8,%=3.若对任意 e N+且”2 2,总 有 占 +4+三 二 4彳恒成立，则实数4 的最小值为（）321A.1 B.C.-D.一4 3 3例 20.（2 0 2 2 河南模拟预测（理）已知数列 叫 中，4=；,则 满 足 的 的 最4 c in+十 1 1UUU大 值 为（）A.3 B.5 C.7 D.9例 2 1.（2 0 2 2 四川 树德中学高三开学考试（理）已知数列。”的首项4=1,且 满 足 4=（_3（n e N*）.则 存 在 正 整 数%使 得（4-4）（.+九）0 成立的实数2组成的集合为（）A.凡 一 露&+8）B.住,1）C.3）D.卜。,一割紧）例 22.（2
13、0 2 2 咛夏 银川一中三模（文）已知数列 4 满足4 =2 ,a=a_+（j （2 2 且e N*）,若%“恒成立，则 M 的最小值是（）9 5A.2 B.C.D.34 2例 23.（2 0 2 2 浙江高三专题练习）数列 4 的前项和为S，且q +3%+3 一 可=3 ,若对任意weN 5“W（-1）反 恒成立，则实数2的取值范围为（）A.-3,4 B.-2 板,2 及C.-5,5 D.-2&-2,2 0 +2 _1例 24.（2 0 2 2 全国局三专题练习）已知数列伍,的通项公式为。“=二一前”项和为S,若实数兀满足n（n+2）（-1）=3 +（-1 产5 对任意正整数恒成立，则实数
14、4的取值范围是（）A1 0 ,9 n 1 0 。9 厂 9 1 1 0 、9 I 1 0A.-Ayy B.-2 C.-D.-A尸()恒成立o a 尸()M；a 尸()恒成立 o a F(n)in j n.题型四：数列在实际问题中的应用例 26.(2 0 2 2 上海长宁二模)甲、乙两人同时分别入职A8两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为3 7 0 0 元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加3 0 0 元；8 公司第一年月基础工资数为4 0 0 0 元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.0 5 倍.(1)分别求甲、乙两人工作满1 0 年的基础工资收
15、入总量(精确到1 元)(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为a,、b“元,记 c“=a“-b”,讨论数列 q,的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由.例 2 7.(2 0 2 2 全国高三专题练习)保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2 0 2 1 年 7月，国务院办公厅发布 关于加快发展保障性租赁住房的意见后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划2 0 2 1 年新建住房4 0 万平方米，其中有2 5 万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新
16、建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2 0 2 1 年为累计的第一年)将首次不少于4 7 5 万平方米？(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于8 5%?例 28.(2 0 2 2 内蒙古 海拉尔第二中学高三期中(理)某高校2 0 2 1 届毕业生春季大型招聘会上，4,B两家公司的工资标准分别是：A公司许诺第一年的月工资为3 0 0 0 元，以后每年月工资比上一年月工资增加3 0 0元；B公司许诺第一年月工资为3 5 0 0 元，以后
17、每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被A,B两家公司同时录取，试问：(1)若此人分别在A公司或B公 司 连 续 工 作 年，则他在第年的月工资收入分别是多少？(2)此人打算连续在一家公司工作1 0 年，仅从工资总收入作为应聘的标准，此人应该选择哪家公司？参考数据：1.0 5 i a l.6 2 9.例 29.(2 0 2 2 全国高三专题练习)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款 5 0 0 万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2 0 0 2 年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%,按复利计算)，
18、公寓所收费用除去物业管理费和水电费1 8万元.其余部分全部在年底还建行贷款.（1）若公寓收费标准定为每生每年80 0 元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2 0 1 0 年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）？（参考数据：1 g 1.7 3 4 3=0.2 3 91,1 g 1.0 5=0.0 2 1 2,1.0 58=1.4 7 7 4）例 30.（2 0 2 2.全国.高三专题练习）在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2,4,6,8,.；依次选出来的数可组成等比数列，如：2,4,8,1 6,.12 23
19、 4 44 6 8 85 8 1 2 1 6 1 6记第行第机个数为/（，加）.（I）若“23,写出“,2）,”,3）的表达式，并归纳出了（,砌的表达式；（I I）求第1 0 行所有数的和数.例 31.（2 0 2 2 全国模拟预测（文）某企业年初在一个项目上投资2 千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的5 0%,为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出50 0 万元进行科研、技术改造，其余继续投入该 项 目.设 经 过 年 后，该项目的资金为万元.（1）求证：数列 4-1 0 0。为等比数列；（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（怆3 0.5,l g2 0.3）例 32.（2
20、0 2 2 辽宁实验中学模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（M E R 5）和严重急性呼吸综合征（S A R S）等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为6 0%,现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得 分 1 分，持续进行试验设得分为（n e N+）时的概率为（1）进
21、行两次试验后，总得分为随机变量X,求 X的分布列和数学期望；（2）求 证:%：.O例 33.（2 0 2 2 全国高三专题练习（理）足球运动被誉为“世界第一运动深受青少年的喜爱.(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试 来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3 次.下表是某同学6 次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为官，求4 的分布列及数学期望；点球数2
22、03030252025进球数101720161314(I I)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为匕，即6=1.(/)求，鸟(直接写出结果即可)；()证明：数列1%一 3为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大.【方法技巧与总结】现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决.(1)数列实际应用中的常见模型等差模型：如果增加(或减少)的量是
23、一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项 明与第 +1项4,+1的递推关系还是前n项和S“与前 +1项和S+l之间的递推关系.在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解.一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系.(2
24、)解决数列实际应用题的3 个关键点根据题意，正确确定数列模型；利用数列知识准确求解模型；问题作答，不要忽视问题的实际意义.题型五：数列不等式的证明例 3 4.（2 0 2 2.浙江.模拟预测）已知正项数列应 满足为=-a；=2（+1）,e N .求证：；%1 1 1,（2）求证：+0）,其中a 为实常数.（1）若函数g（x）=/（x）-.O 定义域内恒成立，求 a 的取值范围;1+JC（2）证明：当。=0 时，型,1；X（3）求证：-Z （l +n）l+-+-+.2 3 n+2 3 n例36.（2 0 2 2 广州二模）已知数列 4 和 色 满足q =4,且对任意“w N*都 有 见+=1,理
25、4,1-（1）求数列 凡 和 2 的通项公式;（2）证明：%+幺+刍 +驮 /（1 +）3 b&%b b2 b3 bn例 3 7.（2 0 2 2 秋泰山区校级月考）设函数/。）=/+4（+1）,其中（1）讨论函数/（x）的单调性；（2）当w A T 且.2 时证明不等式：/（1+1）（2+1）.（_ 1 +1）+4+4+.+4 2-L.2 3 n 23 33“3 2 +1例 3 8.（2 0 2 1 山东 嘉祥县第一中学高三期中）已知函数/（力=1 屋-+1,;0,+0），8（力=4 1 1 -办（，躇1 1）.（1）求/（x）的最大值；（2）若对V%e（O,+a）,总存在今（0 彳），使得
26、再）8 伉）成立，求实数”的取值范围；（3）证明不等式s i n；J+s i n j+s i n：V（其中e 是自然对数的底数）.例39.（2 0 2 1 四川 射洪中学高三月考（文）已知函数/（x）=lnx x+l,x e（0,+oo）,g（x）=ex-ax.（1）求A*）的最大值；（2）若对W X|E（O,用），总存在超6 1,2 使得“xJ Vg（x2）成立，求”的取值范围；(3)证明不等式：n n n e1(2)设a=log3(a”+2 ),且例 40.(2021.全国高三专题练习)已知正项数列 4 的前项和为S“，且/I(.(1)计算可、的、%，猜想数列%的通项公式；(2)用数学归纳
27、法证明数列%的通项公式；(3)证明不等式J r+；+=r+对任意“eN*恒成立.4 a2 a3 an 4例 41.(2021.全国高二单元测试)设数列%的前项和为S“，已知2S“=%”-2 向+l(e N*),且生=5.(1)证明黑+”为等比数列，并求数列%的通项公式；+/，证明,2；(3)在(2)的条件下，若对于任意的 eN*不等式2(1+”)-助(仇+2)-6 =/*)的图象在点(0,0)处的切线方程；(2)讨论函数X)的单调性；(3)当eN”，且 nN 2时，证明不等式此(+1)(-+1),(+1)+7+77+-.2 3 n 2-3 n 2 n+1【方法技巧与总结】(1)构造辅助函数(数
28、列)证明不等式(2)放缩法证明不等式在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大(或缩小)分式的分子(或分母).放缩法证不等式的理论依据是：A B,B C=A C ；A B,B C A C.放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.方 法 1：对。“进行放缩，然后求和.当f 4 既不关于单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对勺进行放缩，使目标变成可k=i求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求
29、证的结论，调整与控制放缩的度.方法2：添舍放缩方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含n 的式子看作是一个数列的前n 项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有n 的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.方法4：单调放缩题型六：公共项问题例 43.（2 0 2 2 全国高二课时练习）已知两个等差数列5,8,1 1,，3 0 2 与 3,7,1 1,3 9 9,则它们所有公共项的个数为（）A.2 3 B.2 4 C.2 5 D.2 6例 4
30、4.（多选题）（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知，机e N*,将数列 4”+1 与数列 5 的公共项从小到大排列得到数列 5 ,则（）A.an=5n B.%=5 C.4 的前“项和 5 二1）D.4 的前项和为5（2 5 T）4 2 4例 45.（2 0 2 2.江苏.苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）已知两个等差数列 4：5,8,1 1,与也J：3,7,1 1.它们的公共项组成数列匕,则数列%的通项公式c“=；若 数 列 和 他 的项数均为1 0 0,则%的项数是.例 46.（2 0 2 2.北京昌平.高二期末）数列 q 玛，生，L,册，L；bn:bt,%,L ,L ,定义数列an
31、&b:at,a2,b3,a4,as,b6,%,L.f -1 为奇数设q=c *俚 粕，=1，10 4 2 9,则数列4,&b“的所有项的和等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _:2,”为偶数设q =5”，*=4/?-1,1 2 9,则数列“&仇,与仇&%有 个公共项.例 47.（2 0 2 2 江苏高二单元测试）将数列 2 与 2 的 公 共 项 从 小 到 大 排 列 得 到 数 列 则 “的 前 1 0项和为_ _ _ _ _ _ _ _例 48.（2 0 2 2.江西南昌市八一中学高一月考）将数列 4“-3 与 3”-1 的公共项从小到大排列得到数列则“的前项和为.例 49.（2
32、 0 2 2 河南商丘高三月考（理）将数列 2 与 3 +1 的公共项从小到大排列得到数列 4,则其通项a=.题型七：插项问题例 50.（2 0 2 2 全国高三专题练习（文）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现将数列1，2 进行构造，第 1 次得到数列1,3,2；第 2次得到数列1,4,3,5,2；依次构造,第“（“1 20 22成立，则 的最小值为.例 51.（20 22 全国高二课时练习）在-9和 3 之间插入“个数，使这+2 个数组成和为-21 的等差数列，则=（）A.4 B.5 C.6 D.7例 52.（20 22全国
33、高二专题练习）已知数列 4 的通项公式为%=2 ,在4和a 2之间插入1 个数X”，使%，X”，出成等差数列:在。2和%之 间 插 入 2 个数a,使华,孙,工22必成等差数列；在。”和 之 间 插入n个数%，小，使%成 等 差 数 列.这 样 得 到 一 个 新 数 列 ：”|，5 1，“2，莅1，了 22，。3，沏，*32，F3，4,-，记数列，的刖项和为S”，有下列结论：玉,+4+，2%。=%=30 7 2/=1 4 3 3 7 其中，所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4例 5 3.（20 22 全国高二课时练习）已知数列 4 满足为=2-1,在狐，之间插入个1,构成数
34、列他,：4,1,和，1，1，%，1，1，1，4，则数列 4 的前1 0 0 项的和为（）A.21 1 B.232 C.24 7 D.25 6例 54.（20 22.全国高二专题练习）在。力中插入个数，使它们和 力组成等差数列a,a”4，4,，。，贝 Uq +-卜 =（）A.B.2C（鹿 +1）（4 +匕）D（+2）（+份22例 55.（20 22 全国高二课时练习）等比数列 4 的通项公式为4=2-3 T,现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列也,那 么 1 6 2是新数列也,的A.第 5项 B.第 1 2项 C.第 1 3项 D.第 6项例 56.（多选题）（20 22吉林松原高三
35、月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1 的常数列，在 此 数 列 的 第 项 与 第”+1 项之间插入首项为2,公比为2,的等比数列的前项，从而形成新的数列 4,数列 4 的前”项和为S，则（）A.2021=25 B.“2021=26C.与=3x 26 3+5 9 D.520 2,=26 4-3例 57.（多选题）（20 22 湖 南 永 州市第一中学高三月考）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数 列 1,2进行构造，第 1 次得到数列1
36、,3 2 第 2 次得到数列1 4 3,5,2；第（”eN*）次得到数列1,x2,xk,2；记”“n l +X i+W1-1-xk+2 ,数列 q 的前项为 S“，则（）A.左+1 =2 B.3 C.a“=万（，+3 n）D.Sn=+2 3）题型八：蛛网图问题例 58.（20 22秋虹口区校级期中）已知数列 ,满足：4=0,%+1）q（e N*）,前项和为S“，则下列选项错误的是（）（参考数据：0.6 93.1.0 99）A.生,一/是单调递增数列，%,是单调递减数列B.an+a+1 ln3C-SM 2 0 0,a,向=a；a“+1 ,e M,S,表 示 数 列，前项和，则下列选项中错误的是（
37、）74.若 0 4 ,则。1B.若则 可 递减2D-若4=2,则国政例 60.（2022浙江模拟）已知数列 4 满足：4=0,%=/（炭”+1）_ 4（）*）,前w项和为S“（参考数据：/n2 0.693./3 1.099）,则下列选项中错误的是（）A.%,7是单调递增数列，%,是单调递减数列B-a+an+l ln3S 2 0 2 0 666a2n-0,且4；=3匕 2可”（），下列说法正确的是（）4.若q=5，则4,。用C.4+%,2qB.若4=2,则%.+申 tD.I +2-q+1 I H14用-a I例 6 2.（多选题）（2022秋9月份月考）已知数列 4 满 足:4=0,4川=a（n
38、 e N*）,前”项 和 为5“（参考数据：/2。0.693,/J3 1.099）,则下列选项正确的是（）儿 4“一J是单调递增数列，%,是单调递减数列B-%+%，上3C.S2c2 0 670D，%-l”a2n题型九：整数的存在性问题（不定方程）例 63.（2022 全国高三专题练习）已知数列 4 的前项和为S“，q=2,2q =5 +l）S“02 N*）.求数列 q 的通项公式；（2）判断数列【3 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论.+1 J例 64.(2 0 2 2.福建省福州格致中学模拟预测)在冬=(+2)可,S,=4/这两个条件中任选一个Tn n 3补充在下面问题中，并解答下列
39、题目.设首项为2的数列 q 的前项和为S“，前项积为且.(1)求数列W“的通项公式；(2)在数列%中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.例 65.(2 0 2 2 天津耀华中学一模)设数列 a,J(c N*)是公差不为零的等差数列，满 足%+4=的，%+嫉=6%.数列出 (w e N *)的前 项和为S,且满足4 s“+2 么=3 .求数列%和 依 的通项公式；(2)在4和。之间插入1 个 数 孙,使 R,孙，成等差数列;在2和么之间插入2个数 科，%，使”,如，了 2 2，成等差数列；在 和耳+1 之间插入
40、个数/，/2，X,m,使，X“，X2,X,m,bn+成等差数列.(i)求(=所+(|+w 2)+(七1+&2+W 3)+L +(X,H+X 2+L +X);(ii)是否存在正整数m,，使(=等 成 立？若存在，求出所有的正整数对(?,)；若不存在，请说明理由.例 66.(2 0 2 2 江苏南通模拟预测)已知等差数列 即 满足“广由，”尸2 2,正项等比数列出 的前”项和为S n,满足 S6=5S4 4 S2,且 h2=ai.求他 和 加 的通项公式;(2)是否存在使得eZ,若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.例 67.(2 0 2 2 江苏模拟预测)已知正项数列 4“的前项和为5.，
41、现在有以下三个条件:数列 ；的前项和为萼=妁#.4 =1,2=0,当 N 3 时,(4,+a“-i)(S”-2 S,i+S.2)=1 .从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：求数列%的通项公式；设数列也 满足4 =1 也=4-%(2 2)，试问他 中是否存在连续三项4也+血 2，使得(，/-，土 构成等差数列？请说明理由.例 68.(2 0 2 2.辽宁辽阳二模)2%“为等差数列，且为=,；(詈 二 为等比数列，且/=1.从两o I 乙 -1 J 4个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.在数列 4 中，.(1)求%的通项公式；(2)已知 4 的前项和为5.，试问是否存在正整数p,q,
42、r,使得5“=。-矽,修?若存在，求 p,q,，的值；若不存在，说明理由.例 69.(2 0 2 2 全国高三专题练习(理)等差数列 为()中，%见，阳分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行431 2第三行1 669(1)请选择一个可能的 外 里，/组合，并求数列%的通项公式.(2)记(1)中您选择的 的前项和为S ，判断是否存在正整数人,使得勺ak,I-成等比数歹U?若存在，请求出上的值;若不存在，请说明理由.例 70.(2 0 2 2 天津耀华中学模拟预测)已知数列 m 的奇数项是首项为1 的等差数列，偶数项是首项
43、为2的等比数列.数列 a“前项和为M 且满足S 3=M a3+as=1+a4 求数列“的通项公式；求数列 前”项和S 2 k(3)在数列 中，是否存在连续的三项初，am+l,am+2,按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数，”的值；若不存在，说明理由.例 71.(2 0 2 2.浙江舟山市田家炳中学高三开学考试)已知数列 为 是公差大于0的等差数列，其前项和为 s“，且4 9=1 5,5益成等比数列.(1)求数列%的通项公式；设“=一(e N ),其前”项和为7.，则是否存在正整数九(”H)，使得岂,小7；成等差数列？若an,an+l存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.例
44、 72.(2 0 2 2 河南 南阳中学模拟预测(文)已知等差数列 ,的前项和为5，公差d W 0,4+4=8,且是%与%的等比中项.求 4 的通项公式；(2)设2=3,是否存在一个非零常数r,使得数列 也为等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，n+t请说明理由.题型十：数列与函数的交汇问题a例 73.(2 0 2 2 龙泉驿区校级一模)已知定义在尺上的函数/(x)是 奇 函 数 且 满 足=/(%),/(-2)=-3,数列 “是等差数列，若2 =3，%=1 3,则/(4)+/(g)+/(/)+/(。2 0 1 5)=()A.-2 B.-3 C.2 D.3例 74.(2 0 2 2 日照模拟
45、)已知数列 4“的 通 项 公 式 为+,则 一 出|+&一引+|附 一|=(n)A.1 5 0 B.1 6 2 C.1 8 0 D.2 1 0例 75.(2 0 2 2 新郑市校级模拟)已知等差数列仅“的前项和为S“，若-1)3+2 0 1 0(%-1)=1，(“2 0 0 9 1)，+2 0 I O(a2 o o 9-1)=-1,下列为真命题的序号为()S 2 0 0 9 =2 0 0 9;S 2 0 1 0 =2 0 1 0;()a2 am t z,;S2(X)9 qC.520I2=2 0 1 1，“2 0 0 9%例 77.(2 0 2 2 琼海校级模拟)已知函数f(x)=s in x
46、+t a n x.项数为2 7 的等差数列凡满足%(弓 乡，且公差d#0,若/(4)+/(g)+/(/7)=0，当f(4)=0 时，则k 的值为()A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.1 1例 78.(2 0 2 2 秋 江 苏 期 中)已 知 定 义 域 为 A 的函数/(x)满 足 f(x)=2/(x+2),当 x e 0,2)时，X2+X +1,X 0,1)/(尤)=3-，设f(x)在 2-2,2)上的最大值为a“(e N*)则数列 对 的前W 项和S“的值(-)2,x e l,2)为()A.5-5(；)“B.1-5(1)C.5 5(g 严 D.1-5()n+l题型十一：数列与导数的
47、交汇问题例 79.(2 0 2 2 全国模拟)函数八万)=史三1 0),曲线y =/(x)在点(1 ,f(1)处的切线在y 轴上的截1 +X距为U.2(1 )求4 ；(2)讨论g(x)=x(/(x)2 的单调性;(3)设 4=1,%+=/(“)，证明：2n212 lnan-lift|0,0),曲线y =/(幻在点(1,/(1)处的切线在y 轴上的截距为(1)求4；(2)讨论函数 g(x)=/(x)-2 x(x 0)和(x)=/(x)-(x 0)的单调性；2 x 4-125-2n+,1(3)设 4=三，%=f(a)，求证：-2 0(/1.2).5 2 an例 81.(2 0 2 2 武侯区校级模
48、拟)已知/(x)=s in x,g(x)=，其中a e R(y=gx)与 y =g(x)关于直线y=x对称)(1)若函数G(x)=/(l-x)+g(x)在区间(0,1)上递增，求。的取值范围；(2)证明：V sin-!7 打2；tt(1+幻2(3)设产(x)=gT(x)-/n d-2(x +l)+伙相0恒成立，求满足条件的最小整数b 的值.例 82.(2022揭阳一模)已知函数/(幻=方，g(x)=live,其中 aw R,(e 2.718).(1)若函数尸(x)=/(x)-g(x)有极值1,求。的值；(2)若函数G(x)=/(sin(x-l)-g。)在区间(0,1)上为减函数，求的取值范围;
49、1(3)证明：V sin-0,函数f（x）=a x2+Z （x w R）.若/（S一）,/）,_/（$+f）成等比数列，则平面上点（s,f）的轨迹是（）A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线例 94.（2 0 2 2.江西信丰.高三月考（理）已知A B C D-A 2IG DI为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是A A iA Q i，黑蚂蚁爬行的路线是 A B-B BI T，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设白，黑蚂蚁都走完2 0 1 1 段后各停止在正
50、方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是A.1 B.2 C.招 D.0例 95.（多选题）（2 0 2 2 吉林 长春市第二实验中学高二期中）已知双曲线耳,5 2-2=3、（*且 2 0 1 9）,设直线x=2与双曲线E.在第一象限内的交点为A，点4在E,的两条渐近线上的射影分别为B,c,记的面积为,则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为丫=如 B.%=上2（）1VC.数列%为等差数列 D.4+弓+生地=竽例96.（2 0 2 2.湖北黄石.高三开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆O：/+y2=2上两个不同的动点，是MA“的中点，且 满 足 瓯.西+2函2=0（eN*）.