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1、绝密启用前绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学(必修必修+选修选修 II)(II)(答案详解答案详解)本试卷分第I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第I 卷 1 至 2 页。第卷3至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I I 卷卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第 I 卷共 12 小
2、题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B)P(A)P(B)S 4R2如果事件A、B相互独立，那么其中 R 表示球的半径P(AB)P(A)P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么V 34R3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中 R 表示球的半径Pn(k)Cnp(1 p)kkn k(k 0,1,2,n)一选择题一选择题(1)复数3 2i2 3i(A)i (B)i (C)12-13i (D)12+13i1A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查
3、分母实数化的转化技巧.【解析】3 2i2 3i(3 2i)(2 3i)(2 3i)(2 3i)6 9i 4i 613 i.(2)记cos(80)k,那么tan 100 1 kk2A.B.-1 kk2C.k1 k2D.-k1 k22.B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.第 1 页 共 9 页【解析】sin 80sin 80cos 801 cos80221 cos(80)21 k2,所以tan 100 tan 80 1 kk.y 1,(3)若变量x,y满足约束条件x y 0,则z x 2 y的最大值为x y 2 0,(A)4
4、(B)3 (C)2 (D)13.B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为zmax 1 2 (1)3.x y 0O21yy xAl0:x 2 y 0 x2Ax y 2 0（4）已知各项均为正数的等比数列 an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则(A)52a aa=(B)7 (C)6 (D)424.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解 析】由 等 比 数 列 的 性 质 知1a1a2 a3
5、(a)a313a2 5 a2，a7a8a9(a7a9)a8 a3810,所以a2a8353 503,13所以a4a5a6(5)(1 2(a4a6)a5 a(a2a8)(506)5233x)(1x)5的展开式中 x 的系数是(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)45.B【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项第 2 页 共 9 页式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】(1 2x)3(13x)(1 655x 12 x 8xx)(1 3x)5x的项为故3(1 2x)(1333x)的0展开式中含1 C
6、5(3x)12 xC5 10 x 12 x 2x,所以 x 的系数为-2.(6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一 门，则不同的选法共有(A)30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选1 门,B 类选修课选2 门,有C3C4121种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有C32C4种不同的1选法.所以不同的选法共有C31C42+C32C4 18 12
7、30种.(7)正方体 ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为A23 B33 C D32637.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为 BB1/DD1,所以BB1与平面 ACD1所成角和DD1与AB VD1 ACD,即D1A1DOB1C1C平面 ACD1所成角相等,设 DO平面ACD1，由等体积法得VD ACD13SACD1 DO 13SACD DD1.设 DD1=a,1第 3 页 共 9 页则SAC D112AC
8、AD1sin 6012(2a)232322a,SACD12ADCD 12a.2所 以D OSA C D D D1C1DSA33a323a33a,记 DD1与 平 面 ACD1所 成 角为,则sinDODD1,所以cos1263.（8）设 a=log32,b=In2,c=5,则A abcBbcaCcabD cba8.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】a=log32=121log23,b=In2=1log2e,而log23 log2e 1,所以 ab,c=5=15,而5 2 log24 log23,
9、所以 ca,综上 cab.(9)已知F1、F2为双曲线 C:x2 y2 1的左、右焦点，点 p 在 C 上，F1pF2=600，则 P到 x 轴的距离为(A)32(B)62(C)3(D)69.B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解 析】不 妨 设 点P(x0,y0)在 双 曲 线 的 右 支,由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得a(c2|P F|1e0 x)a 0e x 1，2|x PF2|ex00a2c)ex0 a 2x01.由余弦定理得cosF1PF2=|PF1|PF2|F1F2|2|
10、PF1|PF2|32222,即 cos600(12x0)(2x01)(22)2(1 2x0)(2x01)222,解得x0252,所以y0 x01 22，故 P 到 x 轴的距离为|y0|62（10）已知函数 F(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是(A)(22,)(B)22,)(C)(3,)(D)3,)10.A【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在第 4 页 共 9 页做本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+2b a A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lg
11、a|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或b 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+212a1a2a 22,从而错选，所以 a+2b=a 2a,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a(0,1)上=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+).（11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA PB的最小值为(A)4 2(B)3 2(C)4 22(D)3 2211.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设 PA=PB=x(x 0),APO=
12、,O则APB=2，PO=1 x，sin2A11 x2P，B 22PA PB|PA|PB|cos 2=x(1 2 sin)=x(x1)x1222=x x242x1 ，令PA PBy，则y x x242x1，即x4(1 y)x2 y 0，由x2是实数，所以 (1 y)4 1(y)0，y 6 y 1 0，解得y 3 2222或y 3 22.故(PA PB)min 3 22.此时x 2 1.（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A)233(B)433(C)23(D)83312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算
13、、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有V四 面 体 ABCD13 2 12 2 h 23h,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,hmax 2 2 1 2 3,故22Vmax433.第 5 页 共 9 页绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请 认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
14、2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3。第卷共 l0 小题，共 90 分。二填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效)(13)不等式2x 1 x 1的解集是 .13.0,2【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.2x21 (x 1)2,解析:原不等式等价于解得 0 x2.x 1 02(14)已知为第三象限的角，cos 2 141735,则tan(4 2).【命题意图】本小题主要考查三
15、角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第三象限的角,所以2(2(2 k 1),c o s 2 352k(21)k)(Z，又450,所以2(2 2(2 k 1),2(2 k 1)(k Z),于是有sin 2,tan 2sin 2cos 2 43,所以tan(4tan 2)4 tan 21 tan4tan 23 1.471314(15)直线y 1与曲线y x x a有四个交点，则a的取值范围是 .15.(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形452第 6 页 共 9 页结合的数学思想.
16、【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线y 1与曲线y x x a,观图可知，a 的a 15取值必须满足 4a 1,解得1 a.4 14122yx x 12y x x ay=12a(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段uuruurBF的延长 线交C于点D，且BF 2FD，则C的离心率为 .16.23Oy x4a 14【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，|BF|b c a,22y yB Buuruur作DD1 y轴于
17、点 D1,则由BF 2FD，得|OF|DD1|BF|BD|23O OF FD Dx xD1c,所以|DD1|32|OF|322即xD3c2,由椭圆的第二定义得|FD|e(ac3c2)a 3c22a又由|BF|2|FD|,得c 2a 3ca2,整理得3c 2a ac 0.232222两边都除以a,得3e e 2 0,解得e 1(舍去)，或e.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知VABC的内角A，B及其对边aC，b满a b a cot A b cot B，求内角17.【命题意图】本小题主要考
18、查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.(18)(本小题满分12 分)（注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5，复审的稿件能通过评审的概率为0 3第 7 页 共 9 页各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率；(II)记X表示投到该杂志的4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分
19、布列及期望18.【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.（19）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 S-ABCD中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC.（）证明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C的大小.【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理
20、论证能力和运算能力.(20)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知函数f(x)(x 1)ln x x 1.（）若xf(x)x ax 1，求a的取值范围；（）证明：(x 1)f(x)0.【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.（21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线C:y 4x的焦点为 F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点 A 关于
21、x轴的对称点为 D.（）证明：点 F 在直线 BD上；8（）设FAFB，求BDK的内切圆 M 的方程.922【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，第 8 页 共 9 页同时考查了数形结合思想、设而不求思想.（22）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知数列an中，a1 1,an1 c 521an 21an.（）设c,bn，求数列bn的通项公式；（）求使不等式an an1 3成立的c的取值范围.【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.第 9 页 共 9 页