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1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试全国年普通高等学校招生全国统一考试全国 I I 卷卷理科数学理科数学考前须知：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2 答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。B x 3x1，那么1.集合Ax x 1，AAB x x 0CAB x x 1BADAB R
2、 RB 2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是1B483.设有下面四个命题，那么正确的选项是1p1：假设复数z满足R R，那么zR R；zp2：假设复数z满足z2R R，那么zR R；AC12D4p3：假设复数z1，z2满足z1z2R R，那么z1 z2；p4：假设复数zR R，那么zR RAp1，p3A1Bp1，p4B2Cp2，p3C4Dp2，p4D84.记Sn为等差数列an的前n项和，假设a4 a5 24，S6 48，那么an的公差为单调递减，15.函数fx在，且
3、为奇函数 假设f1 1，那么满足1fx2的x的取值范围是A2，21B1，4C0，D1，36.1 62121 x展开式中x的系数为xA15B20C30D357.某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形，这些梯形的面积之和为C148.右面程序框图是为了求出满足3n 2n1000的最小偶数n，那么在空白框中，可以分别填入A10B12D16和两个AA 1000和n n 1CA1000和n n 1BA 1000和n n 2DA1000和n n 22 9.曲线C1:y cos x，C2:y sin2
4、x，那么下面结论正确的选项是3A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线C2B 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的单位长度，得到曲线C2D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线C2个6个121倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个26个1210.F为抛物线C：y2 4x的交点，过F作两条互相垂直l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D，E两点，AB DE的最小值为A16B1411
5、.设x，y，z为正数，且2x 3y 5z，那么A2x 3y 5zB5z 2x 3yD3y 2x 5zC12C3y 5z 2xD1012.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项为哪一项20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的N 100且该数列的前N项和为2的整数幂最小整数N：那么该款软件的激活码是 A440B330C220D110二、填空题：此题共 4
6、小题，每题 5 分，共 20 分。13.向量a，b的夹角为60，a 2，b 1，那么a2b _x 2y 114.设x，y满足约束条件2x y 1，那么z 3x 2y的最小值为_x y 0 x2y215.双曲线C:22，a 0，b 0的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆AabN两点，与双曲线C的一条渐近线交于M，假设MAN 60，那么C的离心率为_16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为元O上的点，DBC，ECA，FAB分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，
7、使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积单位：cm3的最大值为_三、解答题：共 70 分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。一必考题：共 60 分。a217.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为3sin A1求sin Bsin C；2假设6cos Bcos C 1，a 3，求ABC的周长18.12 分如图，在四棱锥P ABCD中，AB CD中，且BAP CDP 901证明：平面PAB平面PAD；2假设PA PD AB DC，APD 90，求二面角
8、A PB C的余弦值19.12 分为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸单位：cm 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下2生产的零件的尺寸服从正态分布N，1假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在3，3之外的零件数，求PX 1及X的数学期望；2一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3，3之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查I试说明上述监控生产过程方法的合理性：II下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019
9、.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x xi9.97，s i1161161 16222x 16x 0.212，其中xi为抽xi xi16i116i116取的第i个零件的尺寸，i 1，2，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值用样本平均数x作为的估计值 3，3之外的数据，用剩下的数判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除据估计和精确到0.01 2,那么P3 Z 3 0.997 4附：假设随机变量Z服从正态分布N，0.997 416 0.9592，0.008 0.093x2y21，1P 0，1P1，20.12 分椭圆C：221a
10、 b 0，四点P，1232ab3P41，中恰有三点在椭圆C上21求C的方程；2设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点21.12 分2xx函数fx aea 2e x1讨论fx的单调性；2假设fx有两个零点，求a的取值范围二选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参考方程x 3cos，xOy在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，直线l的参数方y sin，x a 4t，程为t为参数 y 1t，1假设a 1，求C与l的交点坐标；2假设C上的点到l距离的
11、最大值为17，求a23.选修 4-5：不等式选讲2函数fx x ax 4，gx x 1 x 11当a 1时，求不等式fxgx的解集；1，求a的取值范围2假设不等式fxgx的解集包含1，一、选择题答案及解析1.1.Ax【解析】A x x 1，B x 3 1x x 0AB x x 0，AB x x 1，选 A2.B【解析】设正方形边长为2，那么圆半径为1那么正方形的面积为224，圆的面积为12，图中黑色局部的概率为那么此点取自黑色局部的概率为2482应选 B3.B【解析】p1:设z a bi，那么1z1a bi2R R，得到b 0，所以zR R.故P1正确；a bia b2p2:假设z2 1，满足
12、z2R R，而zi，不满足z2R R，故p2不正确；p3:假设z11，z2 2，那么z1z22，满足z1z2R R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；p4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确；4.C【解析】a4a5 a13d a14d 24S6 6a165d 4822a17d 24联立求得6a 15d 48 13得2115d 246d 24d 4选 C5.D【解析】因为fx为奇函数，所以f1 f11，1等价于f1fx 2f1|于是1fx2单调递减又fx在，1x 211x3应选 D6.C.16661【解析】1+21 x11 x21 xxx2对1 x的x2项
13、系数为C6665152164 1 x=15，的x2项系数为C62xx2的系数为151530对应选 C7.B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S梯2 422 6S全梯 6212应选 B8.D【答案】因为要求A大于 1000 时输出，且框图中在“否时输出“中不能输入A 1000排除 A、B又要求n为偶数，且n初始值为 0，“中n依次加 2 可保证其为偶应选 D9.D2【解析】C1:y cosx，C2:y sin2x3首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1:y cosx用诱导公式处理y cosx cosxsinx横坐标变换需将1变成 2，222C1上各点横坐标缩
14、短它原来12 y sin2x sin2x即y sinx2242 y sin2xsin2x33平移至x，43根据“左加右减原那么，“x到“x需加上，即再向左平移431212注意的系数，在右平移需将 2提到括号外面，这时x10.A【解析】设AB倾斜角为作AK1垂直准线，AK2垂直x轴AF cos GF AK（几何关系）1易知AK1 AF（抛物线特性）GP PP P22 AF cos P AF同理AF PP，BF 1cos1 cos2P2PAB 1cos2sin22又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为DE 2P2Pcos22sin244sin2cos2212 4sin 2sincos2sin2cos2
15、4而y2 4x，即P 211AB DE 2P22sincos1616，当取等号2sin 24即AB DE最小值为16，应选 A11.D【解析】取对数：xln2 yln3 ln5.xln33yln222x 3yxln 2 zln5那么xln55zln222x 5z3y 2x 5z，应选 D12.A【解析】设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推设第n组的项数为n，那么n组的项数和为由题，N 100，令n1 n2n1 n2100n14且nN N*，即N出现在第 13 组之后n12第n组的和为 2n112n组总共的和为2 12n1 2 n 2n 2 nn1 n2
16、假设要使前N项和为 2 的整数幂，那么N 反数项的和2k1应与2 n互为相n14即2k1 2n kN N*，k log2n3n 29，k 5那么N 应选 A291 292 5 440二、填空题13.2 3【解析】a 2b(a 2b)2 a 2 a 2b cos60 2 b22 21 22 222 22 444212a 2b 12 2 314.5x 2y 1不等式组2x y 1表示的平面区域如下图x y 0yACB1xx+2y-1=02x+y+1=03zx，223z求z的最小值，即求直线y x 的纵截距的最大值223z当直线y x 过图中点A时，纵截距最大22由z 3x 2y得y 2x y 1由
17、解得A点坐标为(1,1)，此时z 3(1)21 5x 2y 115.2 33【解析】如图，OA a，AN AM bMAN 60，AP 3b，OP 2322OA PAa2b243bAP2tanOP3a2b243bbb2tan又，解得a2 3b2a3aa2b24b212 3e 121a3316.4 15【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD BCOG 3BC，即OG的长度与BC的长度或成正比6设OG x，那么BC 2 3x，DG 5 x三棱锥的高h DG2OG22510 x x2 x 2510 x1SABC 2 33x 3 3x221那么V SABCh 3x22510 x=325x410
18、 x535令fx 25x410 x5，x(0,)，f x100 x350 x42令f x 0，即x4 2x3 0，x 2那么fx f280那么V 3 80 45体积最大值为4 15cm3三、解答题必考题1a217.1ABC面积S.且S bcsin A23sinAa21bcsinA3sin A2322a bcsin A2322由正弦定理得sin A sinBsinCsin A，22由sin A 0得sin BsinC.3212由1得sin BsinC，cosBcosC 36A B C cos A cos B C cosB C sinBsinCcosBcosC 又A0，12A 60，sin A 1
19、3，cosA22由余弦定理得a2 b2 c2bc 9由正弦定理得b aasinB，c sinCsin Asin Aa2bc 2sinBsinC 8sin A由得b c 33a b c 333，即ABC周长为33318.1证明：BAP CDP 90PA AB，PD CD又AB CD，PD AB又PDPA P，PD、PA平面PADAB 平面PAD，又AB平面PAB平面PAB平面PAD2取AD中点O，BC中点E，连接PO，OEABOECD四边形ABCD为平行四边形AB由1知，AB 平面PADOE 平面PAD，又PO、AD平面PADOE PO，OE AD又PA PD，PO ADPO、OE、AD两两垂直
20、以O为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系O xyz0，0、B设PA2，D 2，0，2、PB PD 2，2，2，0、P 0，0，2、C 2，2，0，2，2，2、BC 2 2，0，0设n x,y,z为平面PBC的法向量nPB 02x2y2z 0由，得nBC 02 2x 0令y 1，那么z 2，x 0，可得平面PBC的一个法向量n 0,1,2APD90，PD PA又知AB 平面PAD，PD平面PADPD AB，又PAAB APD平面PAB即PD是平面PAB的一个法向量，PD 2,0,2cos PD,n PDnPD n22 3 3333由图知二面角APBC为钝角，所以它的余弦值为 3之内的概率为0.
21、9974，落在3，3之19.1由题可知尺寸落在3，外的概率为0.00260PX 0 C1610.99740.997416 0.95920PX 11 PX 010.9592 0.04080.0026由题可知X B16，EX160.0026 0.0416 3之外的概率为0.0026，2i尺寸落在3，3之外为小概率事件，由正态分布知尺寸落在3，因此上述监控生产过程的方法合理ii3 9.97 30.212 9.334 3 9.97 30.212 10.60639.334，10.6063，10.606，需对当天的生产过程检查9.229.334，因此剔除9.22剔除数据之后：29.97169.2210.0
22、2152222222229.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.0229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02222210.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02 0.00821150.008 0.0920.1根据椭圆对称性，必过P3、P4PP4三点又P4横坐标为 1，椭圆必不过P1，所以过P2，3，31，P31，将P20，代入椭圆方程得2 1b21，解得a2 4，b2131124b2ax2椭圆C的方程为：y214 yA2当斜率不存在时，
23、设l:x m，Am，yA，Bm，yA1yA12 1mmm得m 2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足kP2A kP2B当斜率存在时，设ly kx bb 1Ax1，y1，Bx2，y2y kx b2221 4kx 8kbx 4b 4 0联立2，整理得2x 4y 4 08kb4b24x1 x2，x1x21 4k214k2y11y21x2kx1 b x2 x1kx2 b x1那么kP2A kP2Bx1x2x1x28kb28k 8kb28kb21 4k4b2 41 4k28kb 14b 1b 1 1，又b 1 b 2k 1，此时 64k，存在k使得 0成立直线l的方程为y kx 2k 1当x
24、2时，y 11所以l过定点2，2xx21.1由于fx aea 2e x2xxxx故f x 2aea 2e 1ae 12e 1当a 0时，aex1 0，2ex1 0从而f x 0恒成立fx在R R上单调递减当a 0时，令f x 0，从而aex1 0，得x lnax，lnalna0极小值lna，fxfx单调减单调增综上，当a 0时，f(x)在R R上单调递减；当a 0时，f(x)在(,lna)上单调递减，在(lna,)上单调递增2由1知，当a 0时，fx在R R上单调减，故fx在R R上至多一个零点，不满足条件当a 0时，fmin flna1令ga11 lnaa1lnaa111 上单调令ga1 l
25、naa 0，那么ga2 0从而ga在0，aaa增，而g1 0 故当0 a 1时，ga 0 当a 1时ga 0 当a 1时ga 0假设a 1，那么fmin1不满足条件1 lna ga 0，故fx 0恒成立，从而fx无零点，a1 lna 0，故fx 0仅有一个实根x lna 0，不满a假设a 1，那么fmin1足条件1aa2 lna 0，注意到lna 0f121 0aeee1 3 lna上有一个实根，而又ln1 ln lna故fx在1，aa假设0 a 1，那么fmin1 3 31ln13ln 3aaf ln(1)eaea2ln1且aa 3 3 3 313 a a 2 ln11 ln1 0aaaal
26、n故fx在ln a，31上有一个实根alna上单调减，在lna，单调增，故fx在R R上至多两个又fx在，实根ln lna及ln a，又fx在1，31上均至少有一个实数根，故fx在R R上a恰有两个实根综上，0 a 1四、解答题选考题22.1a 1时，直线l的方程为x 4y 3 0 x2曲线C的标准方程是 y21，921x 4y 3 0 x x 3225联立方程x，解得：或，2y 024 y 1y 9252124 那么C与l交点坐标是3，0和，25252直线l一般式方程是x 4y 4 a 0设曲线C上点p3cos，sin那么P到l距离d 3cos 4sin 4 a175sin 4 a17，其中tan34依题意得：dmax17，解得a 16或a 8223.1当a 1时，fx x x 4，是开口向下，对称轴x 1的二次函数22x，x 1gx x 1 x 1 2，1x1，2x，x 1当x(1,)时，令x2 x 4 2x，解得x 17 12上单调递增，fx在1，上单调递减gx在1，17 1f x g x1，此时解集为21时，gx 2，fx f1 2当x1，1时，gx单调递减，fx单调递增，且g1 f1 2当x，17 1综上所述，fxgx解集1，21恒成立2依题意得：x2 ax 42在1，1恒成立即x2 ax 20在1，21 a120那么只须，解出：1a121a1201故a取值范围是1，