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1、初中几何练习题初中几何练习题一一 三角形三角形1.1.三角形的有关概念三角形的有关概念一、填空题：1、三角形的三边为 1，1a，9，则a的取值范围是。2、已知三角形两边的长分别为 1 和 2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为。3、在ABC 中，若C2（AB），则C度。4、如果ABC 的一个外角等于 1500，且BC，则A。5、如果ABC 中，ACB900，CD 是 AB 边上的高，则与A 相等的角是。6、如图，在ABC 中，A800，ABC 和ACB 的外角平分线相交于点 D，那么BDC。7、如图，CE 平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周长为 28 cm，则
2、 DB。8、纸片ABC 中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内（如图），若1200，则2 的度数为。9、在ABC 中，A500，高 BE、CF 交于点 O，则BOC。ACA1BCFDCDEABB2E第 6 题图第 7 题图第 8 题图二、选择题：1、若ABC 的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有（）A、6 个B、7 个C、8 个D、9 个2、在ABC 中，ABAC，D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 的度数为（）A、300B、360C、450D、7203、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（）A、7B
3、、11C、7 或 11D、不能确定4、在ABC 中，B500，ABAC，则A 的取值范围是（）A、00A1800B、00A800C、500A1300D、800A130015、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2 倍，且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形三、解答题：1、有 5 根木条，其长度分别为 4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？2、长为2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？3、如图，在ABC 中，A960，延长 BC 到 D，A
4、BC 与ACD 的平分线相交于A1，A1BC与A1CD的平分线相交于A2，依此类推，A4BC与A4CD的平分线相交于A5，则A5的大小是多少？AA1A2BCD第 3 题图4、如图，已知 OAa，P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射线 ON 上运动），AON600，填空：（1）当 OP时，AOP 为等边三角形；（2）当 OP时，AOP 为直角三角形；（3）当 OP 满足时，AOP 为锐角三角形；（4）当 OP 满足时，AOP 为钝角三角形。Aa600OPN第 4 题图22 2、等腰三角形、等腰三角形一、填空题：1、等腰三角形的两外角之比为 52，则该等腰三角形的底角为。2、在ABC 中，A
5、BAC，BD 平分ABC 交 AC 于 D，DE 垂直平分 AB，E为垂足，则C。3、等腰三角形的两边长为 4 和 8，则它腰上的高为。4、在ABC 中，ABAC，点D 在 AB 边上，且BDBCAD，则A 的度数为。5、如图，ABBCCD，ADAE，DEBE，则C 的度数为。AAAPDEBCE1D2HF3C4GBCBD第 5 题图第 6 题图第 7 题图6、如图，D 为等边ABC 内一点，DBDA，BPAB，DBPDBC，则BPD。7、如图，在ABC 中，AD 平分BAC，EGAD 分别交 AB、AD、AC 及 BC的延长线于点 E、H、F、G，已知下列四个式子：11（23）12（32）21
6、14（32）4122其中有两个式子是正确的，它们是和。二、选择题：1、等腰三角形中一内角的度数为 500，那么它的底角的度数为（）A、500B、650C、1300D、500或 6502、如图，D 为等边ABC 的 AC 边上一点，且ACEABD，CEBD，则ADE 是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、不等边三角形D、等边三角形AEFQDBCBDCPSEA第 2 题图第 3 题图003、如图，在ABC 中，ABC60，ACB45，AD、CF 都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是（）A、2B、3C、4D、534、如图，已知 BO 平分CBA，CO
7、平分ACB，且 MNBC，设 AB12，BC24，AC18，则AMN 的周长是（）A、30B、33C、36D、39DANBOMCECAB第 4 题图第 5 题图5、如图，在五边形 ABCDE 中，AB1200，EAABBC11DCDE，22则D（）A、300B、450C、600D、67.50三、解答题：1、如图，在ABC 中，ABAC，D、E、F 分别为 AB、BC、CA 上的点，且BDCE，DEFB。求证：DEF 是等腰三角形。ADFBEC第 1 题图2、为美化环境，计划在某小区内用 30 平方米的草皮铺设一块边长为 10 米的等腰三角形绿地。请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。3、如图，
8、在锐角ABC 中，ABC2C，ABC 的平分线与 AD 垂直，垂足为 D，求证：AC2BD。AEDBC第 3 题图4、在等边ABC 的边 BC 上任取一点 D，作DAE600，AE 交C 的外角平分线于 E，那么ADE 是什么三角形？证明你的结论。43 3、全等三角形、全等三角形一、填空题：1、若ABCEFG，且B600，FGEE560，则A度。2、如图，ABEFDC，ABC900，ABDC，那么图中有全等三角形_对。3、如图，在ABC 中，C900，BC40，AD 是BAC 的平分线交 BC 于 D，且 DCDB35，则点 D 到 AB 的距离是。AEDAAEHDCBFCCDBB第 4 题图
9、第 3 题图第 2 题图4、如图，在ABC 中，ADBC，CEAB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，请你添加一个适当的条件：，使AEHCEB。5、如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点落在 E 处，BE 与 AD 相交于点 O，写出一组相等的线段（不包括 ABCD 和 ADBC）。6、如图，EF900，BC，AEAF。给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN。其中正确的结论是_（填序号）。EDAFMGEEAODCMDEACBO1ABC2FNBBFC填空第 5 题图填空第 6 题图选择第 1 题图选择第 2 题图二、选择题：1、如图，ADAB，EAAC
10、，AEAD，ABAC，则下列结论中正确的是（）A、ADFAEGB、ABEACDC、BMFCNGD、ADCABE2、如图，AEAF，ABAC，EC 与 BF 交于点 O，A600，B250，则EOB 的度数为（）A、600B、700C、750D、85053.三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A、相等B、不相等C、互余D、互补或相等三、解答题：1、如图，12，34，ECAD。求证：ABE 和BDC 是等腰三角形。D4E31AB2C解答题第 1 题图2、如图，ABAE，ABCAED，BCED，点 F 是 CD 的中点。（1）求证：AFCD；（2）在你连结
11、BE 后，还能得出什么新结论？请再写两个。ABECFD解答题第 2 题图3、（1）已知，在ABC 和DEF 中，ABDE，BCEF，BACEDF1000，求证：ABCDEF；（2）上问中，若将条件改为ABDE，BCEF，BACEDF700，结论是否还成立，为什么？64、如图，已知MON 的边 OM 上有两点 A、B，边ON 上有两点 C、D，且ABCD，P 为MON 的平分线上一点。问：（1）ABP 与PCD 是否全等？请说明理由。（2）ABP 与PCD 的面积是否相等？请说明理由。BAPOCDNM解答题第 4 题图5、如图，已知 CEAB，DFAB，点 E、F 分别为垂足，且 ACBD。（1
12、）根据所给条件，指出ACE 和BDF 具有什么关系？请你对结论予以证明。（2）若ACE 和BDF 不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。CFAEBD解答题第 5 题图二四边形二四边形一、填空：1、对角线_平行四边形是矩形。2、如图已知 O 是ABCD 的对角线交点，AC24，BD38，AD14，那么OBC的周长等于_AOBD AOCBCBECBDADAFECD3、在平行四边形 ABCD 中，CB+D,则A_，D_4、一个平行四边形的周长为 70cm，两边的差是 10cm，则平行四边形各边长为_cm。75、已知菱形的一条对角线长为 12cm，面积为 30cm2，则这个菱形的另
13、一条对角线长为_cm。6、菱形 ABCD 中，A60o，对角线 BD 长为 7cm，则此菱形周长_cm。7、如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积_。8、如图 2 矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O,AOB60o,AB8,则矩形对角线的长_9、如图 3,等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5 则CDE周长_。10、正方形的对称轴有_条11、如图 4，BD 是ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是_12、要从一张长为 40cm，宽为 20cm 的矩形纸片中，剪出长为 18cm，宽为 12cm的矩形
14、纸片，最多能剪出_张。二、选择题：13、在ABCD 中，A：B：C：D 的值可以是（）A、1：2：3：4B、1：2：2：1C、2：2：1：1D、2：1：2：114、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线互相平分D、对角线互相平分且相等15、下列命题中的假命题是（）A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B、对角线相等的四边形是等腰梯形C、等腰梯形是轴对称图形D、等腰梯形的对角线相等16、四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，能判定它是正方形的是（）A、AOOC，OBOD B、AOBOCODO，ACBDC、AOOC，OBOD，ACBDD、AOOCO
15、BOD17、给出下列四个命题一组对边平行的四边形是平行四边形一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直的矩形是正方形顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。其中正确命题的个数为（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个818、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）中中中点点点ABCD三、解答题19、如图：在ABCD 中，BAD 的平分线 AE 交 DC 于 E，若DAE25o，求C、B 的度数。DECAB20、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，D120o,对角线 CA 平分BCD，且梯形的周长 20，求 AC。ADBC21、如图
16、：在正方形ABCD 中，E 为 CD 边上的一点，F 为 BC 的延长线上一点，CECF。BCE 与DCF 全等吗？说明理由；若BEC60o，求EFD。DAE60oBFC22 证明题：如图，ABC 中ACB90o，点 D、E 分别是 AC，AB 的中点，点 F 在BC 的延长线上，且CDFA。求证：四边形 DECF 是平行四边形。ADEFBC923、已知：如图所示，ABC 中，E、F、D 分别是 AB、AC、BC 上的点，且 DEAC，DFAB，要使四边形 AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是_,试证明：这个多边形是菱形。EAFB24、应用题某村要挖一条长 1500 米
17、的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深 0.8 米，渠底宽为 1.2 米，腰与渠底的夹角为 135o，问挖此渠需挖出土多少方？25、（10 分）观察下图正方形 A 中含有个小方格，即 A 的面积为个单位面积。正方形 B 中含有个小方格，即 B 的面积为个单位面积。正方形 C 中含有个小方格，即 C 的面积为个单位面积。你从中得到的规律是：。CAB10DC（1 1）三角形的有关概念答案）三角形的有关概念答案一、填空题：1、9 a 7；2、2；3、1200；4、300或 1200；5、DCB；6、500；7、8cm；8、600；9、1300；二、选择题：CBCBB三、解答题：1、6 种（4、8、8
18、；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）2、可以，设延伸部分为a，则长为2 a，3 a，5 a的三条线段中，5 a最长(2 a)(3 a)(5 a)a 0只要a 0，长为2 a，3 a，5 a的三条线段可以组成三角形，设长为5 a的线段所对的角为，则为ABC 的最大角，又由(2 a)2(3 a)2(5 a)2 a212，当a212 0，即a 2 3时，ABC 为直角三角形。3、30aaa4、（1）a；（2）2a或；（3）OP2a；（4）0OP或 OP2a222（2 2）等腰三角形参考答案）等腰三角形参考答案一、填空题：1、300；2、720；3、15；4、3
19、60；5、360；6、300；7、二、选择题：DDDAC三、解答题：1、证DBEECF2、提示：分两种情况讨论。不妨设 AB10 米，作 CDAB 于 D，则 CD6米。（1）当 AB 为底边时，ACBC61米；（2）当 AB 为腰且三角形为锐角三角形时，ABAC10 米，BC2 10米；（3）当 AB 为腰且三角形为钝角三角形时，ABBC10 米，AC6 10米；3、提示：延长 AD 交 BC 于点 M。4、ADE 为等边三角形。（3 3）全等三角形）全等三角形参考答案一、填空题：1、32；2、3；3、15；4、AHBC 或 EAEC 或 EHEB 等；5、DCDE 或 BCBE 或 OAO
20、E 等；6、二、选择题：BBDA三、解答题：1、略；2、（1）略；（2）AFBE，AF 平分 BE 等；3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明；4、（1）不一定全等，因ABP 与PCD 中，只有ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（2）面积相等，因为 OP 为MON 平分线上一点，故 P 到边 AB、CD 上的距离相等，即ABP 中 AB 边上的高与PCD中 CD 边上的高相等，又根据 ABCD（即底边也相等）从而ABP 与PCD的面积相等。5、（1）ACE 和BDF 的对应角相等；（2）略（4 4）四边形答案）四边形答案一、相等；45；A120o，D60o；22
21、.5，12.5；5；28；1；16；15；4；略；3。二、D；C；B；B；B；B1119、解：BAD2DAE225o50o（2 分）又ABCDCBAD50o（4 分）ADBCB180oBAD（6 分）180o50o130o（8 分）20、解：ADBC12又2313ADDC（2 分）又 ABDC得 ABADDCx180o120o 30o在ADC 中D120132o又BCD2360oB=BCD=60o（4 分）BAD180oB290o230o则 BC2AB2x（6 分）x x x2x 20 x 4AB1D32CAB4BC8在 RtABC 中 AC8242412 4 3（8 分）21、BCEDCF理
22、由：因为四边形 ABCD 是正方形BCCD，BCD90oBCEDCF又 CECFBCEDCF（4 分）1CECFCEFCFEFCE90oCFE(180o90o)45o2o又BCEDCFCFDBEC60（6 分）EFDCFDCFE60o45o15o（8 分）22、证明：D、E 分别是 AC、AB 的中点DEBC（1 分）ACB90oCE=1ABAE（3 分）AECACDFA（4 分）2CDFECADFCE四边形 DECF 是平行四边形23、答条件 AEAF（或 AD 平分角 BAC，等）证明：DEACDFAB 四边形 AEDF 是平行四边形（6 分）又 AEAF四边形 AEDF 是菱形（8 分）
23、24、如图所示设等腰梯形ABCD 为渠道横断面，分别作DEAB，CFAB（2 分）垂足为 E、F 则 CD1.2 米，DECF0.8 米ADCBCD135o（4 分）EFABCDA+ADC180oA45oBAB又 DEABCFABEDAABCFBAEDECFBF0.8 米C又四边形 CDEF 是矩形EFCD1.2 米（6 分）D11S梯形 ABCD(ABCD)DE(1.20.821.2)0.8 1.622所挖土方为 1.615002400（立方米）（8 分）（解析：解决本题的关键是数学建模，求梯形面积时，注意作辅助线，把梯形问题向三角形和矩形转化）25、4，49，913，13在直角三角形中两直
24、角边的平方和等于斜边的平方12圆章节知识点复习圆章节知识点复习一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条
25、平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点C在圆内；2、点在圆上d r点B在圆上；3、点在圆外d r点A在圆外；三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；ArBdCdO13rdd=rrd四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点d Rr；外切（图 2）有一个交点d Rr；相交（图 3）有两个交点Rr d Rr；内切（图 4）有一个交点d Rr；内含（图 5）无交点d Rr；dR图1
26、rRdr图2dR图3rd五、垂径定理五、垂径定理图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即14可推出其它 3 个结论，即：AB是直径AB CDCE DE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。CCAOEDBDOAB即：在O
27、中，ABCD弧AC弧BD例题例题 1 1、基本概念基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧例题例题 2 2、垂径定理、垂径定理1 1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB 是_cm.2 2、在直径为 52cm 的圆
28、柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3 3、如图，已知在O中，弦AB CD，且AB CD，垂足为H，OE AB于E，OF CD于F.（1）求证：四边形OEHF是正方形.（2）若CH 3，DH 9，求圆心O到弦AB和CD的距离.4、已知：ABC 内接于O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求AB 的长5 5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，ADBC 于 D，15求证：AD=BF.例题例题 3 3、度数问题、度数问题AEBDO OCF121、已知：在O中，弦AB 12cm，O点到AB
29、的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径.2、已知：O 的半径OA 1，弦 AB、AC 的长分别是2、3.求BAC的度数。例题例题 4 4、相交问题、相交问题如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求CD的长.CA例题例题 5 5、平行问题、平行问题在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离.例题例题 6 6、同心圆问题、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于 C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b.求证：ADBD a b.例题例题 7
30、7、平行与相似、平行与相似已知：如图，AB是O的直径，CD是弦，AE CD于E，BF CD于F.求证：22OEBDEC FD.16六、圆心角定理六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，E只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOB DOE；AB DE；OC OF；弧BA 弧BD七、圆周角定理七、圆周角定理CAOFDCB1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB 2ACB2、圆周角定理的推论：DBOA推论
31、1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角C D推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或C 90C 90AB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OC OAOBBOCACBOACBOA17ABC是直角三角形或C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形 3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一
32、个肯定是半圆环形？【例 2】如图，已知O 中，AB 为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC、AD 和 BD 的长【例 3】如图所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC，交 AC 于 D，BC=4cm（1）求证：ACOD；（2）求 OD 的长；（3）若 2sinA1=0，求O 的直径【例 4】四边形 ABCD 中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求 BD 的长【例 5】如图1，AB 是半O 的直径，过A、B 两点作半O 的弦，当两弦交点恰好落在半O 上 C 点时，则有 ACACBCBC=AB（1）如图 2，若两弦交于点 P 在
33、半O 内，则 APACBPBD=AB 是否成立？请说明理由（2）如图 3，若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点，则 AB=结论，并证明你填写结论的正确性222参照（1）填写相应18八、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形C BAD 180BD 180DAE C例 1、如图7-107，O 中，两弦ABCD，M 是 AB 的中点，过M 点作弦 DE求证：E，M，O，C 四点共圆BAEDC九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件
34、：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN OA且MN过半径OA外端MN是O的切线OMAN19（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PBOPA PBPO平分BPA利用切线性质计算线段的长度利用切线性质计算线段的长度A例例 1 1：如图，已知：AB 是
35、O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切O 于 C，CDAB 于D，又 PC=4，O 的半径为 3求：OD 的长利用切线性质计算角的度数利用切线性质计算角的度数例例 2 2：如图，已知：AB 是O 的直径，CD 切O 于 C，AECD 于 E，BC 的延长线与 AE的延长线交于 F，且 AF=BF求：A 的度数20利用切线性质证明角相等利用切线性质证明角相等例例 3 3：如图，已知：AB 为O 的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N求证：MCN=MDN利用切线性质证线段相等利用切线性质证线段相等例例 4 4：如图，已知：AB 是O 直径，COAB，CD 切O 于
36、 D，AD 交 CO 于 E求证：CD=CE利用切线性质证两直线垂直利用切线性质证两直线垂直例例 5 5：如图，已知：ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于 D，DE 切O 于 D，交 AC 于 E求证：DEAC21十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PAPB PCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径AB CD，CE AEBE（3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两
37、条线段长的比例中项。PDOCBAE2BOPCADCBOEDA即：在O中，PA是切线，PB是割线PA PCPB2（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PCPB PDPE例1.如图1，正方形 ABCD 的边长为1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。例2.O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。22图2例3.如图3，P 是O 外一点，PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交O
38、 于 A、B 两点，如果 PA：PB1：4，PC12cm，O 的半径为10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是_cm。图3例4.如图4，AB 为O 的直径，过B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC于点 D，（1）求证：；（2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD 的长。图4例5.如图5，PA、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证：ADBCCDAB图5例6.如图6，在直角三角形 ABC 中，A90，以 AB 边为直径作O，交斜边 BC 于点 D，过 D 点作O 的切线交 AC 于 E。图6求证：BC2OE。十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理
39、：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。O123AO2B如图：O1O2垂直平分AB。即：O1、O2相交于A、B两点O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：CACO2BO1OBADOD:BD:OB 1:3:2；BCOAD（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：（3）正六边形同理，六边
40、形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA 1:3:2.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：l EOBAAnR；180OSlnR21lR（2）扇形面积公式：S 3602n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积24B2、圆柱：ADD1母线长（1）圆柱侧面展开图2S表 S侧 2S底=2rh2rB底面圆周长CC1（2）圆柱的体积：V r hB123.圆锥侧面展开图2（1）S表 S侧 S底=Rr rO（2）圆锥的体积：V 12r h3ACrRB圆圆 复复 习习 测测 试试班级_学号_姓名_一、填空(每题 2 分,共
41、30 分)1、在O 中，AB 是直径，CD 是弦，若 ABCD 于 E，且 AE=2，BE=8，则 CD=_.2、在圆内接四边形ABCD 中，若 AB=BC=CD，AC 是对角线，ACD=30，则CAD=_.3、如图 1,APC=30，弧 BD 等于 30，则弧 AC 等于_,AEB=_.4、过O 内一点 P，的最长弦是 10，最短的弦是 6，那么 OP 的长为_.5、圆内相交的两弦中，一弦长是20，且被交点平分，另一弦被交点分成两线段之比是1：4，另一弦长是_.6、在圆内接四边形 ABCD 中，A：B：C=5：2：1，则D=_.7、若 PA、PB 分别切O 于 A、B，APB=60，OP=1
42、2，则 OA=_,PB=_.8、O的内接正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点,AE的延长线交O于F，则EF=_9、ABC 中,A=80,若 O1是内心,则BO1C=_；若 O2是外心,则BO2C=_.10、如图 2，AB=BC=CD，过点 D 作 B 的切线 DE，E 为切点，过 C 点作 AD 的垂线交 DE于 F，则 EF：FD=_(填比值).2511、如图 3，O 中弦 AD、CE 相交于点 F，过点 A 作O 的切线与 EC 延长线相交于点 B，若 AB=BF=FD，BC=1，CE=8，则 AF=_.12、如图 4，PAB、PCD 是O 的两条割线。且 PA=AB，CD=3PC，则
43、 PC：PA=_.二、选择题（每题 3 分，共 27 分）1、下列命题中假命题是（）A相等的圆心角所对的弧相等B圆内接四边形对角互补C一条弧的对的圆心角等于它所对的圆周角的2 倍D直径所对的圆周角是直角2、圆的外切平行四边形为（）A矩形B菱形C等腰梯形D平行四边形3、已知O 的半径为 6cm,O 的一条弦 AB 的长为6 3cm,则弦 AB 所对的圆周角是（）A30B60C30或 150D60或 1204、若两半径分别是 R 和 r,圆心距是 d,且d r22 R2 2dr,则两圆位置关系是（）A外切或内切B外离C相交D内含5、已知两圆的半径分别是方程x11x 2 0的两根，圆心距为12，那么
44、两圆公切线的条数是（）A1B2C3D46、半径为为 25cm 的O 中，弦 AB=40cm，则此弦和所的对弧的中点的距离是（）A10cmB15cmC40cmD10cm 和 40cm7、圆心在x轴上的两圆相交于 A、B 两点,A 点的坐标为(3,2)，则 B 点的坐标是（）A3,2)B(3,2)C(3,2)D(2,3)8、如图 5，ABCD 为O 的内接四边形,AC 平分BAD,并与 BD 交于 E 点，CF 切O 于 C 点并与 AD 的延长线交于 F，图中的四个三角形：CAF；ABC；ABD；BEC，其中与CDF 一定相似的是（）A B C D9、以长为 a 的线段 AB 为斜边的 RtAB
45、C 的直角顶点 C 的轨迹是（）2a的一条直线；2aB与 AB 平行且到 AB 距离为的二条直线；2aC以 AB 的中点为圆心，为半径的一个圆；2A与 AB 平行且到 AB 距离为D以 AB 为直径的一个圆（A、B 两点除外）。三、计算题（18 分）1、已知：O 的外切等腰梯形的中位线长为10，两底长的差为 12，求O 的半径。262、如图，AB 是O 的直径，PCM 与O 相切于点 C，且ACM=57,求 P 的度数。3、如图，ABC 中，C=90，点 O 在 BC 边上，半圆 O 过点 C，切 AB 于点 D，交 BC于 E，又 BE=1，BD=2，求 AD 的长。三、证明题（25 分）1
46、、如图，已知：AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC弦 AD。求证：DC 是O 的切线。2、如图：PA切O 于点 A，PBC 交O 于点 B、C，M 是弧 BC 的中点，AM 交 BC 于点 D。求证：PD PBPC2273、如图，已知：ADB、AEC 是O 的两条割线，PAED 交 CB 的延长线于点 P，PE 切O于点 F。求证：PA=PF。附加题已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作圆分别交 BC、AC 于 D、G，作 DEAC 于 E，连结 BE 交O 于 F。求证：（1）DE 为O 的切线；（2）DG=DC；（3）AEEC=BEEF一、选择题（每题
47、一、选择题（每题 7 7 分，共分，共 2828 分）分）1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三28角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧 其中正确的有（）（A）4 个（B）3 个（C）2 个（D）1 个2 圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数比是 236，则D的度数是（）（A）67.5（B）135（C）112.5（D）1103ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则ABC的面积为（）（A）11（abc）r（B）2（abc）（C）（abc）r（D）（abc）r234 已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（）
48、（A）0d3r（B）rd3r（C）rd3r（D）rd3r二、填空题（每题二、填空题（每题 7 7 分，共分，共 2828 分）分）5某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为_6已知两圆的圆心距为3，半径分别为 2 和 1，则这两圆有_条公切线7边长为 2 a 的正六边形的面积为_8用一张面积为 900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为_三、判断题（每题三、判断题（每题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）10 相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段（）11 各角都相等的圆内接多边形是正多边形（）12 正五边形既是轴
49、对称图形，又是中心对称图形（）13 三角形一定有内切圆（）14 平分弦的直径垂直于弦（）四、解答题：四、解答题：（第一题（第一题 1111分，第二题分，第二题 1818 分，共分，共 2929 分分）15（11 分）如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，且 AE1 cm，EB5 cm，DEB60，求 CD 的长2916.（18 分）如图，O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，点 D 是劣弧结 AD 并延长，与过 C 点的切线交于 P，OD 与 BC 相交于点 E（1）求证 OE的中点，连1AC；2；DPBD2（2）求证：APAC2（3）当 AC6，AB10 时，求切线 PC 的长30