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1、找出数列的排列规律（一） 找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法,在解数学题时人们也常常使用它,下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题.（一）思路指导 例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数. 1,2,5,10,17,（ ）,（ ）,50 分析与解： 这个数列的排列规律是什么?我们逐项分析： 第一项是：1 第二项是：2, 第三项是：5, 第四项是：10, 可以看出,这个数列从第二项起,每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1,3,5,7,9,这样我们就可以由第五项算出括号内的数了,即： 第一个括号里应填;第2个括号里应填. 例2. 自1开始,每隔两个整数写出一个整数,
2、这样得到一个数列： 1,4,7,10 问：第100个数是多少? 分析与解： 这个题由于数太多,很难像例1那样递推,我们可以换一种思路： 数列中每相邻两个数的差都是3,我们把这样的数列叫做等差数列.我们把“3”叫做这个等差数列的公差. 观察下面的数列是等差数列吗?如果是,它们的公差是几? （1）2,3,4,5,6,7 （2）5,10,15,20,25,30 （3）1,2,4,8,16 （4）12,14,16,18,20 现在我们结合例2找一找每一项与第一项,公差有什么关系? 第1项是1,第二项比第一项多3,第三项比第一项多2个3,第四项比第一项多3个3,依次类推,第100项就比第一项多99个3,
3、所以第100个数是. 由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项（这项的项数1）公差 我们把这个公式叫做等差数列的通项公式.利用通项公式可以求出等差数列的任一项. 试试看：你能求出数列3,5,7,9中的第92个数是多少吗? 例3. 已知一列数：2,5,8,11,14,44,问：44是这列数中的第几个数? 分析与解：显然这是一个等差数列,首项（第一项）是2,公差是3.我们观察数列中每一个数的项数与首项2,公差3之间有什么关系? 以首项2为标准,第二项比2多1个3,第三项比首项多2个3,第四项比首项多3个3,44比首项2多42,多14个3,所以44应排在这个数列中的第15个数. 由
4、此可得,在等差数列中,每一项的项数都等于： （这一项首项）公差1 这个公式叫做等差数列的项数公式,利用它可以求出等差数列中任意一项的项数. 试试看：数列7,11,15,195,共有多少个数? 例4. 观察下面的序号和等式,填括号.序号1234（ ）等式( )+( )+7983=( ) 分析与解： 表中等式的第1个加数是1,3,5,7,9,是一个等差数列,公差是2,第二个加数也是一个等差数列,公差是3,第三个加数也是一个等差数列,公差是4,和同样是一个等差数列,公差是9.由于第三个加数的最后一项是7983,可以根据等差数列的项数公式求出7983是3,7,11,15这个等差数列的第几项,也就是序号
5、.这样我们就可以分别求出各个等差数列的第1996项是多少了,利用通项公式： 综上所述,括号里应填的数是： （1996） （3991）（5987）7983（17961） 例5. 已知数列1,4,3,8,5,12,7,16,问：这个数列中第1997个数是多少?第2000个数呢? 分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律,注意观察这个数列的单数项和双数项,它们各自的排列规律为： 单数项：1,3,5,7, 双数项：4,8,12,16, 显然,它们各自均成等差数列. 为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少,必须先求出它们各自在等差数列中的项数,其中： 第1997个数在等差数列1,3
6、,5,7,中是第个数; 第2000个数在等差数列4,8,12,16,中是第1000个数. 所以,第1997个数是. 第2000个数是答题时间：40分钟（二）尝试体验 1. 按规律填数. （1）1,2,4,（ ）,16; （2）1,4,9,16,（ ）,36,49; （3）0,3,7,12,（ ）,25,33; （4）1,1,2,3,5,8,（ ）,21,34; （5）2,7,22,64,193,（ ）. 2. 数列3,6,9,12,15,387共有多少个数?其中第50个数是多少? 3. 有数组（1,1,1）,（2,4,8）,（3,9,27）,求第100组的三个数之和. 4. 下面各列数中都有一
7、个“与众不同”的数,请将它们找出来： （1）6,12,3,27,21,10,15,30,; （2）2,3,5,8,12,16,23,30,.【试题答案】（二）尝试体验 1. 按规律填数. （1）1,2,4,（ ）,16; （2）1,4,9,16,（ ）,36,49; （3）0,3,7,12,（ ）,25,33; （4）1,1,2,3,5,8,（ ）,21,34; （5）2,7,22,64,193,（ ）. 答案： （1）后一个数是前一个数的2倍：1,2,4,（8）,16; （2）从1开始自然数的平方数：1,4,9,16,（25）,36,49; （3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0,3,7,12
8、,（18）,25,33; （4）前两个数之和等于后面的数：1,1,2,3,5,8,（13）,21,34; （5）后一个数总是前一个数的3倍多1：2,7,22,64,193,（580）. 2. 数列3,6,9,12,15,387共有多少个数?其中第50个数是多少? 答：共有129个数,其中第50个数是150. 3. 有数组（1,1,1）,（2,4,8）,（3,9,27）,求第100组的三个数之和. 每组第1个数是按自然数顺序排列的,公差是1的等差数列 每组第2个数是平方数 每组第3个数是立方数 第100组的三个数之和是 4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数,请将它们找出来： （1）6,12,3,27,21,10,15,30,; （2）2,3,5,8,12,16,23,30,. 答案： （1）这列数中每一个数都是3的倍数,只有10不是. （2）这列数中从第2项起,每一项都等于相邻的前一项分别加上1,2,3,4,5,这样第6个数应该是12+5=17,不是16.所以,16是“与众不同”的数.7