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1、第十一章三角形第1讲 与三角形三边关系知识导航1 .三角形三边关系定理的应用；2 .三角形的三种重要线段：高、中线和角平分线.【板块一】三角形三边关系方法技巧依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这个三边关系定理，可以判断三条线段能否组成三角形，已知两边长求第三边的成长或取值范围，证明线段不等关系，化简去绝对值，求解等腰三角形的边长及周长等问题.题型一判断三条线能否组成三角形【例一】用4根长度分别为5 cm,7 cm,9 cm,1 3 cm的木棒，可以摆出都少个不同的三角形？题型二已知三角形两边求第三边的长或取值范围【例2】已知三角形的三边长分别为2,a-1 ,5,求a的取值范围.题
2、型三解答等腰三角形相关问题【例3】用一条长为3 0的细绳围成一个等腰三角形.（1）如果一边长为8,求其余两边长；（2）如果腰长为底边的2倍，求底边的长；（3）能围成一边长为1 5的等腰三角形吗？为什么？（4）直接写出能够围成的等腰三角形腰长”的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；（5）直接写出能够围成的等腰三角形底长人的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.题型四利用三边关系化简去绝对值【例4】己 知c为三角形三边的长，化简：a-b-c +b-c-a +c-a-t.题型五利用三角形三边关系求线段最值【例5】如图，线段A B =1 0 cm,
3、3 c=1 8 cm,将线段4 5绕着点3旋转，连接A C,在旋转过程中线段A C的最大值是,最小值是,AC的 取 值 范 围 是.题型六利用三角形三边关系证明线段的不等关系【例6】（1）如 图1,P为N A内一点，证明：A B+A O P B+P C;(2)如图 2,P,Q 为N A 内两点，证明：A B+A O P B+P Q+Q C.图1图2针对练习11 .已知三角形的三边长分别为2,a 1,4,则化简的结果为.2 .若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的 取 值 范 围 是；若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长6的取值范围是.3 .若 三 条 线 段 中a=3,=5,c为 奇 数，那
4、 么 由a,为 边 组 成 的 三 角()A.1个B.3个 C.无数个 D.无法确定4 .已知三角形的三条边长均为整数，其中一条边长为4,但不是最短边，这样的三角形共有 个.5 .一个等腰三角形的一边长为4 cm,周长为2 0 cm,求这个三角形的腰长.6 .如图，4 8 =5,。=3,3。=1 1,用钉子把木棒4 3和808 c和C Z)分别在端点2,C处连接起来，用橡皮筋把A。连接起来.(1)设橡皮筋40的长是无，求 方的最大值和最小值：(2)若围成一个四边形，请直接写出来橡皮筋的长x的取值范围.【板块二】三角形的高、中和角平分线方法技巧掌握好三种线段的定义、性质和它们的位置，才能在解围中
5、熟练运用.题型一依据定义画图【例7】如图，已知A B C.(1)画出 A B C的中线A O和角平分线C E；(2)画出A B C 的高 A M,CN.题型二利用三种线段的性质解题一、三角形的高运用()高-面积法【例 8】在例7的条件下，若C N=3,A B=1 0,求 的 长.【例 9】如图，在 A 8 C中，A B =A C,A C边上的高，B D =4,P为B D上一点,/石_ L A C于点瓦/石,钻 于 点 尸，求M +依的值.(二)高一分类讨论【例 1 0 已知A O是 A B C的高，Z B A D=7 0,ZCAD=20,求N R 4 C的度数.二、三角形的中线的运用【例 1
6、1 如图，A B O中，AB AC,AD为B C边上的中线.(1)若 A 8 O的周长比 A C D的周长大4.A 5 =1 0,则 A C=；若 A B +A C =1 4,则 A C =；(2)若 A B C的周长为2 7,钻=9,8。边上中线4)=9,3。边上中线4)=6,2 4 7。周长为1 9,求AC的长.针对练习21.如图所示，每个小正方形都是边长为1的正方形，点A,8是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这 个4 x 4的 方 格 纸 中，找 出 格 点C,使A/R C的 面 积 为1平 方 单 位 的 三 角 形 的 个 数 是()A.8B.9C.10D.llAB2.已知等腰
7、三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和 15cm的两个部分，求这个三角形的底边的长.3.如图，在 AABC中，已知点。，瓦 产 分别为8C,AD,B E 的中点，且 A A B C 的面积为8,一,求 ACE尸的面积.4.如图，AA5C 中，是 A45C 的两条高，AB=4,CD=2.(1)请画出AE,CD；(2)求 A4BC的面积；(3)若 A=3,求 8 c 的长.4BC第 2 讲 与三角形有关的角知识导航1.三角形内角和定理及应用；2.三角形的外角性质应用；3.三角形的折叠与求角.【模块一】三角形内角和定理及应用方法技巧任意一个三角形的三个内角的和都等于180。，当已知三角形两
8、角和时，可求第三个角.题 型 一 三角形内角和定理 例1(2018长春)如图，在aABC中，CD平分NACB交AB于点D作BC交AC于点E,若NA=54,N 8=4 8 ,求NCDE的度数.题型二 三角形内角和定理的应用【例 2】如图，在 A4BC 中，ZABC=NACB,点 P为 A4BC 内的一点，且 NPBC=NPC4,=110,求N Z的度数.题 型 三 利用互余互补导角(1)已知是AA5C的两条高，直线8D,C E相交于点H.如图，在图中找出与NDB4相等的角，并说明理由；若ZBAC=100,求NDHE的度数；(2)在A43C中，ZA=50,直接写出ND”E的度数是针对练习11.在下
9、列条件中Z4+NB=NC；Z4:N 5:N C=l:2:3NA=gN6=；NC；NA=N5=2NC：NA=N5=gN C中能确定AABC为直角三角形的条件有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.已 知：如 图，在 AABC 中，Z A B C =Z C,B D 是Z A B C的 角 平 分 线，且Z B D E =A B E D,ZA=100,求 Z D E C 的度数.3.如图，在A48c中，4）平分N 84C,尸为线段AO上一点，正J_ A交BC的延长线于点,若4 8 =35,NACB=85,求NE的度数.【板块二】三角形外角性质及应用方法技巧任意一个三角形的外角都等于和它不相邻
10、的两个内角的和，利用这个性质可以更快捷地建立角与角之间的关系或计算角的角度.【例4】如图，AABC为直角三角形，ZC=90,若沿图中虚线剪去N C,求N1+N2的度数.【例5】如图，已知Z4=20,ZB=27,AC垂足为p,求Nl,ND的度数.A针对练习21.如图，已知AD是AA3C的角平分线，CF是AA5C的高，N84C=60,N8CE=45,求NAQC的度数.2.如图，在A4BC中，NB4C的角平分线交8C于点D(1)如图 1,若ZB=68,NC=32,A E,3 c交于石，NE4D的度数为；(2)如 图2,若点F是4D延长线上一点，Z B A F ,N8。歹的平分线交于点G,N B =,
11、Z C =y0(x y),求/G的度数.【模块三】三角形的折叠与求角方法技巧1.充分利用折叠问题中的已知条件和隐含条件是解题关键；2.一副直角三角板各内角度数如图.题 型 一 三 角 板的叠放求角【例6生活中到处都存放着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是同一副三角板拼凑而得到的：如 图1,(1)求N4BC的度数；(2)如图 2,若 A E/B C,则4 4FD=,E【例7】（1）如 图1,把AA6C纸片沿D E折叠，使点A落在四边形5cD E内部点4 的位置.试写出NA与N1+N2之间的关系，并说明理由；（2）如果把A4BC纸片沿DE折叠，使
12、点A落在四边形8CDE内部点A的位置.如图所示，试写出NA与N1+N 2之间的关系？直接写出_ _ _ _ _ _ _ _ _ _（3）如果把A4BC纸 片 沿 叮 折 叠，使 点 落 在 四 边 形BCEF内部点4,的的位置.如图所示，试写出乙4,N。与N1+N2之间的 关系.针对练习31.将直角三角形（NACB为直角）沿线段CD折叠使点8落在点B处，若NAC3=50。，求Z4CO的度数.2.如图，纸片A4BC中，ZC=45,ZB=115,将 纸 片 的 一 角 沿 着 折 叠，使 得A落在A4BC外点A,求N1 N2的度数.第 3 讲三角形与角平分线知识导航1 .三角形内外角平分线夹角模型
13、；2 .其它常见角平分线夹角模型.【板块一】三角形内外角平分线的夹角的三个基本模型方法技巧角平分线性质+三角形内角和定理+三角形外角性质+整体思想、化归思想+设参数计算模型模型一三角形两内角平分线夹角【例 1】如图，点 P是 A B C 两条内角平分线的交点，求证:/P=9(T+1 N A.2【例 2】已知在 A B C 中，4=6 0.如 图 1,ZA B C,N A C B 的角平分线交于点。，求/8 O C 的度数；(2)如图2,ZA B C,/A C B 的三等分线交于点。1，02,则/8。4=_,B O2C=(3)如图3,ZA B C,N A C B 的 n等分线交于点。”02,.O
14、-b则N8 OC=_ _ _ _ _ _ _,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(用含n的代数式)模型二三角形两外角平分线夹角【例 3】如图，点 P是阳C两条外角平分线的交点，求证:4=9。一5 Z A.P模型三三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角【例4】如图，点。是BC延长线上一点，PB平分NA8C,PC平分/ACD.求证:N P=!NA.2针对练习11.如图，在8 c中，ZA=60,BP,BE把NABC三等分，线段CP,CE把NACB三等分，求N8PE的度数.2.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分NBAx,BC平分ZABy,求/C的度数.3.
15、如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点8为y轴上的一点，AD平分/B A x,BP平分NOBA,8P与D 4的延长线交于点P,求N P的度数.【板块二】与三角形有关的其它角平分线模型 方法技巧角平分长性质+三 角形内角和定理十三角形外角性质+整体思想，化归思想+设参数计算模型四 角平分线+高线夹角模型（设参计算+整体思想）【例 5】已知 A 8 C 中，Z B Z C,A O _ L B C 于 0,A E 平分N B A C,如 图 1,设N8=x,ZC=y,试用x,y 表示N D A E,并说明理由；在图2中，其他条件不变，若 把“A D,8 c 于。”改 为“F 是 A E 上
16、一点，F D J _ 8 c 于 D ,试用x,y 表示N DFE=；（3）在图3中，若把中的“点 F 在 A E 上”改 为“点 F 是 A E 延长线上一点”，其余条件不变，试用x,y 表示 N DFE=；（4）在图3中，分别作出/B A E 和N E D F 的角平分线，交于点P,如图4,试用x,y 表示NP=.图1模型五燕尾形双角平分（设参计算+整体思想）【例 6】如图，B P,C P 分别平分/A B D,Z A C D,它们交于点P.求证:/P=；（/A+/D）.模型六蝶形（8 字形）双角平分（设参计算+整体思想）【例 7】（1）模型:如图1,A D,8 c 交于。点.求证:N D
17、+/C=N A+/B.（2）模型应用:如图2,N 8 A D 和/B C D 的平分线交于点E.若ND=3 0 ,NB=4 0 ,则N E的度数是；直接写出/E与ND,N B之 间 的 数 量 关 系 是:；类比应用:如图3,N B A D的平分线A E 与N B C D的平分线C E交于点E.若ND=m。,N B=n。，（m 180。，求/P的度数（用含a,6 的代数式表示）；（2）如图2,若 a+6 P（1）如 图1,当点M与A点重合，a=7 0。，夕=40。时，求/。MN的度数.（2）如图2,当点M 在线段AO上（不于4、。两点重合）时，求证：N D M N=；（a-夕）（3）如图3.当
18、点M在线段AO延长线上时，（2）中的结论成立吗？为什么？（4）如图4,在（2）的条件下，过点M作 AO的垂线交CB的延长线于点N,直接写出NMN。的度数（用含a,4 的式子表示）针对练习51 如图，四边形A8CD中，4 E平分/B A O,DE平分N 4O C.（1）如果N 8+N C=1 2 0。，则/AEO的度数为 度（直接写出结果）；（2）根 据（1）的启发，猜想/B+/C与NAEQ之间的关系，并说明理由.板 块 六 设 参 计 算 代数思想方法技巧当图形中涉及到的角较多，关系复杂，但某些角之间存在确定数量关系时，为方便起见，可用参数表示相关联的角，设而不求，使运算和表达变得简单明了.（
19、例 6）如图，Z ABD的邻补角N D B E 的平分线与/A C D 的邻补角N A C F 的平分线交于点I,探索/与/A,NO之间的数量关系（1）如 图 1,写出/与 之 间 的 数 量 关 系 式 并 证 明；（2）如图2,直接写出/与乙4,/之间的数量关系式为-（3）如图3,直接写出/与N A,/之间的数量关系式为；AA针对练习61、如图，在ABC中，ZB=ZC=45,点。在BC边上，点E在AC边上，且NAZ)E=NAED(1)当/8 4。=60。时，求/CDE的度数.(2)当点。在BC边 上(当B,C除外)运动时，试写出ZBAO与NCOE的数量关系，并说明理由.第十二章 全等三角形
20、第6讲全等三角形的性质与判断知识导航1、全等三角形性质与判断的应用;2、全等的简单构造.3、全等三角形常见基本构图类型板块一全等三角形的性质与判断的应用方法技巧依据三角形全等的条件证明三角形全等从而得到边等角等题型一 一次全等这类问题题目条件和结论一般都指向同一对三角形，属于全等条件比较直接的类型，一次全等便可解决问题.（例1）如图，B,E,C,F 四点在同一直线上，BE=CF,A B D E,且 A8D E判断线段AC,O F 的关系并证明.（例2）如图，AB=AC,BEAC,C）_LAB 于。，求证 BO=CE题型二 二次全等这类问题题目条件和待求问题一般都不是指向于同一对三角形，即条件较
21、容易得出的全等三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于是两次全等便可解决问题.（例 3）如图，AO 是ABC 的中线，于 E,DFA.AC T F,BE=C F求证：A E=A F例 4如图，AD,8 c 交于点。，且 04=。过。点的直线MN交 A 8 于 M,交 CQ于 N,求证:ON.0 M针对练习11、如图，已知 BE_LAC 于 E,C)_LA8 于。，BE,C。交于点 0,A D=A E,求证：0D=0E.2、如图,已知 CE_LA3 于 E,CF AD F,CB=CD,B E=D F,求证：A E=A FAEB板块二全等的简单构
22、造方法技巧题目条件或结论所指向的三角形不存在，或部分残缺，如果只需要连接某些线段或作适当添补便可得到全等三角形并且可以有效解决问题，这时便可运用辅助线构造全等.题 型 一 简 单 连 线 构 造（例5）如图四边形A8C。中，AB=CD,A D=B C,求证：=（例 6）如图，AB,交于点 O,AB=CD,4 C=8 2求证：乙4=/题型二 已知一角和角的一边相等（SA）截取边等构造（SAS）全等（例 7）如图，ZBAC=ZBDC=90,A B=A C,求证：ZADB=4 5BC题型三 已知一角和角的一边相等（SA）作垂直，构 造（A4S或 ASA）全等例 8 如图，/B AC=N B/）C=9
23、0o,A8=AC,求：NAOB 的度数.题型四 作平行构造全等（例 9）如图，在ABC中，NABC=NACB,点。为 A 8上一点，点 E 为AC延长线上一点，D E 交BC 于 一 M,M D=M E,求证：B D=C E题型五 补形构造全等（例 10）如图，A8C 中，ZABC=90,AB=BC,AE 平分N B AC,交 BC 于点 E,CD，AE 于 D,求证：A E=2 C D针对练习21.如图，在四边形 ABCQ 中，NB=ND=90o,BC=CD,求证：AB=AD2.如图，五边形ABCDE中，点、F为CD上一点、,连接AE(1)若 AB=AE,NB=NE,BC=ED,AFLC D
24、,求证：尸为 CD 中点；(2)若 AB=4E,NB=NE,A尸平分N84E,AFC D,求证：产为 CO 中点.第7讲 角平分线问题的处理方法知识导航1.角的平分线的性质与判定的应用；2.角平分线问题常用处理方法.【板块一】角的平分线的性质与判定的应用方法技巧角平分线有定义用法也有性质用法，常见用法则应是性质用法，即由角等得距离等；证明角等，可用定义证明角等，但大多数几何题目中证明角平分线则较多考虑用角平分线的判定定理,即由距离等得角等.总之，涉及角平分线的问题尽可能优先考虑角平分线性质与判定的应用。题型一角平分线性质应用【例 1】如图，已知AZ）是ABC的角平分线，D E 1 A B E,
25、DF_LAC于 F,B D=C D,求证:BE=CF.题 型 二 角平分线判定应用（-）直接用角平分线判定【例 2】如图，中，D,E 分别是边AB,AC延长线上的点，用 平 分 NBAC,P B平分N C B D.求证:PC 平分/2CE.（二）隐藏角平分线【例 3】如图，在ABC中，AC=BC,NACB=90,点、D为B C上一点,E 为 AO延长线上一点，且/C B E=Z C A E.求/AEC 的度数针对练习11.如图，在四边形ABC。中，N 8=/C=9 0 ,点 E 为 8 c 中点，且 AE平分N8AD(1)求证：OE平分NAOC；(2)求证：A E L D E；(3)求证：A
26、D=A B+C D.2.如图，A B=A C,A D=A E,N B A C=N D A E,B D,C E 交于点、P,求证：AP 平分NBPE.【板块二】角平分线问题常用处理方法方法技巧做垂直 作对称(截长补短)作平行 延长方 法 一 作 垂 直原理：作角平分线上的点到角两边的距离，得距离相等.其原理是角平分线的基本性质.【例 4】如图，四边形ABCD中，AC平分ND4B,Z AD C+Z B=1 80 ,求证：B C=C D.【例 5】如图，AQ是aABC的角平分线，求证：=CD ACA方 法 二 作 对 称(截 长 补 短)以角平分线为轴进行翻折，其原理是轴对称性质，实际操作中可以通过
27、截取实现.【例 6】如图，四边形ABC。中，AC平分/D 4 8,BC=CD,求证：NAOC+NB=180.备用图方 法 三 作 平 行原理：角平分线十平行一等腰三角形.【例 7】如图，ZVI BC中，Z B A C 2 Z A B C,/为ABC的三条角平分线的交点.求证：B C=A I+A C.方 法 四 延 长原理：补全图形，构造等腰三角形三线合一定理基本图形，从而运用定理解题.【例 8】如图，ZiABC 中，A B=A C,ZBAC=90.(1)如 图 1,CF平分NACB交 A 8于 F,B E 上CF 于 E,探究CF,2E之间的数量关系：(2)如图2,若。为线段BC上一点，NED
28、 B=L N A C B,B E L D E,垂足为E,DE交 AB于凡 线段。凡2BE的数量关系是否发生变化？请说明理由.图1针对练习21.如图，在四边形 ABC。中，Z B A C=Z B D C=3 6a,N A DB=7 2 求证：A B=A C.2.在用ZVI BC 中，NACB=90，ZB=60,A D,CE 分别是NB4C,NBCA 的平分线，A D,CE 相交于点F.(1)请写出FE与尸。之间的数量关系并证明；(2)如果/A C B 不是直角，其他条件不变，中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.3.如图，AOB为等腰直角三角形，点 A,点 2 分别在x
29、轴，)，轴的正半轴上，点 尸为动点，PA 1 PB.(1)如 图 1,当 P 点在第一象限时，求/。以 的度数；(2)如图2,当 P 点在第四象限时，求/。力 的度数，4.如图，已知8。为A8C的外角NA8E的平分线.(1)求证：A D+C D A B+B C t(2)若 AD=C),求证：Z A D C=Z A B C；(3)若 AO=C。，作 H_LCE 于 H,若 A8=6,8c=4,求 8H 的长.A第8讲线段和差问题的处理方法知识导航1.等量代换法;2.截长补短法.【板块一】等量代换方法技巧通过用图中相等的线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题，通过全等得到线
30、段等，直接代换，将分散的线段转化到同一直线上解决问题.【例 1】如图，点。为 8 c 上一点，AB=AC,AD=AE,Z B A C=Z D A E.求证：B C C D+C E.D C【例 2】如图，在ABC中，ZBAC=90 ,A B=A C,直线。E 过点A,于。,C E L D E E.(1)如图 1,求证：D E=C E+B D；(2)如图 2,求证：D E=C E BD.针对练习11.如图，在ABC 中，A 8=B C,点。为 AB 中点，Z A B C=Z B A E=9 0c，,BE1.C。交 AC 于尸.求证:C D=B F+D F.CB【板块二】截长补短方法技巧和宜并之差宜
31、贴，短则补之长则截.截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段。无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过两对全等实现。模型一角平分线与线段和差类【例3】如图，在 ABC中，A B=A C,BQ是 ABC的角平分线.(1)若/8AC=90,求证：B C=A B+A D-.(2)若NBAC=108,求证：B C=A B+C D.备用图(3)若N8AC=100,求证：B C=B D+A D.【例4】如图，在 ABC中，N
32、A=60,N ABC与N ACB的平分线B。，C E交于点/.求证：B C=B E+C D.A模型二倍半角与线段和差类【例 5】如图，在AABC中，N C A B=2 N B.C Q 平分N A C B.求证；B C=A C+A O.（请尝试用两种方法证明）备用图模型三垂直与线段和差类【例 6】如图，在ABC中，NBAC=120,AOJ_BC于。，且 A B+B O=O C,求/C 的度数.模型四等边三角形与线段和差类【例 7】如图，4BC为等边三角形，Z AD C=6 0 .求证：AD=BD+CD.（请用两种方法证明）备用图针对练习21.如图，在四边形ABCD中，力 OB C,点 E 为 A
33、B上一点，C E平分N B C D,OE平分Z AD C.求证：C D=A D+B C.2.如图，在ABC 中，AB=AC,ZBAC=90,点。为 4c 中点，于 E,交.BC于凡连接。F.求证：BDAF=DF.3.如图，在ABC 中，A B A C,点。是ABC 外的一点，且NABD=NAC=60.求证：BD+DC=AB.BD第9讲中点问题的处理方法知识导航1 .已知中点类问题处理方法;2 .求证中点类问题处理方法.中线倍长 作平行方法技巧1 .已知中点，中线倍长或作平行或作垂直；2 .求证中点，作平行或垂直.【板块一】已知中点类问题的处理方法方法一中线(或类中线)倍长方法技巧中线倍长，即是
34、通过将中线(或类似于中线)的线段向中点方向延长，使延长的部分线段与中线相等,俗 称“中线倍长”.遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长；思维模式是全等变换中的“中心对称”或“旋转”，作用：一是可将2 倍线段化1 倍；二是可转移元素或将分散的条件聚集拢来.【例 1】如图，是 A B C 的中线.(1)求证：AB+AO2AQ；(2)若 A 5=6,A C=4,求 AO的取值范围.【例 2】如图，已知AO是 A B C 的中线，且AE是A 3。的中线，求证：A C=2 A E.ABEDC【例 3】如图，在ABC中，AD平分N B A C,点 E,尸分别在BD,A D ,且。E=CD,EF=AC
35、.求证:EF/AB.（请尝试用两种方法证明）方法二作平行方法技巧由于有中点存在，则有一组边相等和中点位置的一对对顶角相等，作平行，则可得另一对角相等，出现 ASA或 4 4 s 全等，为解决问题打开思路并提供必备条件.【例 4】如图，在ABC中，AC交 于 点。，点 E 是 2 c 中点，EFA。交 CA的延长线于点F,交 AB于点G,若B G=C F,求证：A。为AABC的角平分线.方法三作垂直方法技巧有一组边相等和中点位置的一对对顶角相等，作垂直，也可以出现AAS全等.【例 5】如图，在4BC中，AO平分N 8A C,点 E、尸分别在8。、A D 1.,S.DE=CD,EF/AB,求证:E
36、F=AC.针 对 练 习11.如图，已知 A8=A。，AC=AE,ZBAD=ZCAE=90,尸为。E 中点，连 A F.求证：BC=2AF.【板块二】求证中点类问题的处理方法方法技巧中点未知I,并且是需要证明的，这个时候果继续中线倍长，会发现之前SAS全等的三角形全等有障碍,差条件，所以这个时候不能采取中线倍长，可作平行或垂直，先通过其它三角形的全等来得到待证中点线段所在的三角形全等.方 法 一 作 平 行【例6】如图，在AABC中，Z A B C=Z A C B,D 为 A B 上一点、,为AC延长线上一点，且8=C E,连D E 交 BC 于 F,求证：DF=EF.E【例7】如图，已知 A
37、8=A。，AC=AE,Z B A D=ZCAE=90 ,AH_LBC 于 H,延 长 交。E 于 F.求证：(1)F 为 D E 中点;(2)BC=2AF.AD/BFE方法二 作垂直【例8】如图，在ABC中，点。为BC上一点，E为AC上一点，AD,B E交于F,若8尸=4C,Z B F D=N D A C.求证：是ABC的中线.方 法 三 延 长【例9】如图，在四边形A8CO中，A D B C,点、E为A B上一点,CE平分/8 C。，C E平分NADC 求证：点E为A B的中点.针对练习21.如图，已知AO是ABC的中线，点E为A C上一点，AD,B E交于F,N B F D=N D A C
38、,求证：B F=AC.2.如图，在ABC中，AD平分N 8 A C,点E,尸分别在B),AD上，EF=AC,EF/AB.求证：D E=CD.AB EDC3.如图，A B=A C,。为 A8 上一点，C D=C E,NBAC=NOCE=90,BE 交 AC于尸.求证：点尸为BE的中点.第10讲一线三等角模型及应用【知识导航】“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形.这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧,也可以是在直线的异侧.一、“一线三等角”的基本构图：二、“一线三等角”的基本性质：1.如果N
39、1=N2=N 3,那么N D=N C B E,Z A B D=Z E.2.如果图中AABD与ZkCEB中有一组对应边相等，则有B Z运ZSCEB.三、“一线三等角”的基本应用：本讲主要学习“一线三等角”与全等.对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等,最常见的是直角型“一线三等角“，其次是60。角和45。角及一般的角.【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角.板块一】直角型“一线三等角”“三垂直”【知识导航】直角型“一线三等角”又 称 三 垂 直 或 形 图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种.认识 三垂直”模型：直线绕
40、直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊.【例1】如图，AABC中，A B=A C,ZBAC=90,过点A作直线/,过3,C分别作于。，CE_L/于E.(1)如 图1,当直线/在AABC的外部时，求证：D E=B D+C E；(2)当直线/在AABC的内部如图2所示时，求证：D E=B D-C E；(3)当直线/在AABC的内部如图3所示时，直接写出DE,BD,CE三 者 之 间 的 数 量 关 系 式 为.A图1图2图3【例2】如图，在R t A A B C中，ZACB=90,AC=BC,E为BC上一点、,连接 4E,jAFLAE LAF=AE,BF交AC于D.(1)(2)如图1,如图1,求证：
41、点。为BF中点;求证：BE=2CD；针对练习11.(1)(2)(3)如图I,如图2,如图3,A B C为等腰直角三角形,48C为等腰直角三角形,A 8C为等腰直角三角形,AC=BC,AC=BC,AC=BC,AC.LBC,ACA.BC,ACLBC,AAB(0,3),C(1,0),求点8的坐标.(-1,0),C(1,3),求点 B 的坐标.(2,2),C (4,-2),求点 A 的坐标.图1图2图3【板块二】等边三角形中的“一线三等角”【例3】如图，AABC为等边三角形，D,E,F分别AB,BC,AC上的点，ZDF=60,BD=CE,求证:BE=CF针对练习21.如图，AAB。为等边三角形，D,E
42、分别是J3C,AC上的点BE,A。交于F,ZAFE=60.求证：AD=BEDCB【板块三】等腰直角三角形中的“一线三等角”【例 4】如图，在等腰R/B C 中，ZACB=90,点 Q,E 分别为AB,BC上的点，K CD=DE,ZCDF=45,求证：BD=BC针对练习31.如图，在四边形 ABCQ 中，ZADC=ZC=90,BC=1,A Z)=4,过点 A 作 AE_LA8,垂足为 A,且 AE=A B,连接O E,求AAOE的面积。2.如图，在四边形ABC。中，AD/BC,ABAD,/4 B C=2/C=2 a,点 E 在 4。上，点 F 在 C上,(1)如 图 1,若=45。，N8OC的度
43、数为;(2)如图 2,当 a=45。，NBEF=90。时，求证：EB=EF;(3)如图3,若“=3 0,则当 时，使得EB=EF成立?(请直接写出结果)3.已知，等腰直角A A B C在平面直角案标系中的位置如图，点4(0,2),点8(6,0),点C在第四象限.(1)如 图1,求 点C的坐标；(2)如图2,若A C交x轴于M,B C交y轴手D,E是A C上一点，且C E=A M,连 D E,求证：AD+DE=BM;(3)如图3,在y轴上取点产(0,6),点”是y轴上产下方任一点，作H G L 8”交射线C尸于G,在点H位置变化的过程中，也是否为定值？若是，求其值；若不是，设明理由G H第11讲
44、 手拉手模型及应用知识导航1.手拉手模型的特点：两个等腰三角形顶角顶点公共，且顶角相等.得到一对能够旋转重合的全等三角形.2.手拉手模型的基本构图：等膜A8C和D4E中，A B=A C,A D=A E,Z B A C=Z D A E.3.手拉手模型的性质：三角形全等；(八旬。丝ACE)(2)第三边或所在直线的夹角与等腰三角形的顶角相等或互补；(NBPC=NBAC或/B P C+/B 4C=180。)(3)第三边或所在直线的交点与顶角顶点的连线平分第三边的夹角或其邻补角.(AP平分N8PE或NBPE的邻补角)【板块一】双等边三角形构成的手拉手模型【例1】如图，分别以A8C的边AB,AC向外作等边
45、A8Z)和等边A C E,连BE,CD交于P,连接AP.(1)求证：B E=C D；(2)求NBP力的度数；(3)求证：PA平分NQPE.针对练习11.在例1的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，例1中的三个结论还成立吗？请说明理由.【板块二】双等腰直角三角形构成的手拉手模型【例2】如图，ZVI BC和ADE均为等腰直角三角形，NBAC=ND4E=90。，连接8),CE交于点P.(1)求证：A3。丝ACE；(2)判断8C,CE的关系并证明；连接P A,求/4P B 的度数.【例3】如图，等腰用AABC中，ZBAC=90,尸为ABC外一点，ZA PB=4 5 ，连P C,求NAPC的度数.A针对
46、练习21.在例2的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，80与CE的关系还成立吗？请说明理由.2.在例3的条件下，将尸点移至BC的下方，/A P B=4 5 不变，求NAPC的度数.【板块三】一般双等腰三角形构成的手拉手模型【例4】如图 1,A B=A C,A D=A E,Z B A C=Z D A E=a ,连BO,C E 交于P,连接AP.(1)求证：B D=C E；(2)求NAPB的度数(用a表示)；(3)将图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，在图2中画出点P,直接写出(用a表示).图1图2针对练习31.如图，ZVIOB和AC。都是等边三角形，其中ABLx轴于E点，点C在x轴上.(1
47、)若O C=5,求3。的长度；(2)设8。交x轴于点尸，求证：ZO FA ZD FA；(3)若正AOB的边长为4,点C为x轴上一动点，以4 c为边在直线AC下方作正AC。，连接E O,求E。的最小值.2.已知 A 8 C,分别以A8,AC为边作等腰ABD和等腰 A C E,且AQ=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC,G,尸分别为。C与BE的中点.(1)如图 1,若ND4B=60。,则/GAF=,NAGF=；如图2,若ND4B=45。,期/A G F=(2)如图3,若NDAB=a,N4GF与a的 数 量 关 系 是.(请说明理由)3.在ABC中，A B=A C,。是直线B C h一点，以AQ为
48、一边在AD的右侧作AQE,$.AE=AD,ZDAE=A B A C,连接C E,设 N 3A C=a,ZDCE/3.(1)如图，点O在线段BC上移动时，角a与 之 间 的 数 量 关 系 是,证明你的结论；(2)如图，点。在线段BC的延长线上移动时，角a与 夕 之 间 的 数 量 关 系 是，请说明理由；(3)当点。在线段BC的反向延长线上移动时，请在图中画出完整图形并猜想a与6之间的数量关系是.第12讲 夹 半 角 模 型 及 应 用知识导航一、认识夹半角夹半角：指的是一个大角夹着一个大小只有它的一半的角.如图所示:这类题目规律性较强，当a取不同值时，可找到通性通法.二、常见类型有(1)90
49、。夹 45。；(2)120 夹 60；(3)2a 夹a.【板块一】90。角夹45。角【例1】正方形ABCZ)中，E,F分别是BC,CD上的点，N EA尸=45.求证：E F=B E+D F：(2)4E平分 ZBEF,4尸平分 NDFE.针对练习11.在例1的条件下，若E在 的 延 长 线 上，F在8的延长线上，其余条件不变.(1)问：E FA B E,OF三条线段之间有何数量关系？写出关系式井证明；(2)问：NA尸。与NAFE之间有何数量关系？写出关系式并证明.C E2.如图，四边形A8CZ)中，AB=AD,ZBADZC=90,E,尸分别为BC,CD上的点，NE4F=45问：EF,BE,OF之
50、间有何数量关系？写出关系式并证明.【板块二】120。角夹60。角【例2】如图，四边形4BCD中，BC=CD,ZBCD=20,E,尸分别为A8,AD上的点，Z E C F=ZA=60.(1)求证：E F=B E+D F；(2)求证；点C在/8 A C 的平分线上.针对练习21.(1)如图1,将例2中点E移至BA延长线上，点下移至AZ)延长线上，其余条件不变，写出EF和BE,D F 之间的数量关系并证明；(2)如图2,将例2中点E移至AB延长线上，点F移至D4延长线上，其余条件不变，写出EF和BE,QF之间的数量关系并证明.【板块三】2a度角夹a度角从特珠到一般，揭示夹半角横型本质：条件：如图1,