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.\ 八年级数学讲义 第11章 三角形 一、 三角形的概念 1． 三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b． 顶点：A，B，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C．． 二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、 三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180 ※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 2.2性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角 四、 三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形 ②底与腰不等的等腰三角形 ③等边三角形 五 多边形及其内角 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 　　　　(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 　　 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n－2)180(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360 ※多边形外角和恒等于360，与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360；相邻的多边形有公共边。 【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。 9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。 10、若△ABC的三边为a、b、c（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC的形状。 二、三角形角有关计算 1.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠A= 50,∠C = 70求∠DAC,∠AOB 解∵AD是△ABC的高,∠C = 70 ∴ ∠DAC =180-90-70=20 ∵ ∠BAC =50 ∴ ∠ABC =180-50-70=60 ∵ AE 和BF是角平分线 ∴ ∠BAO =25, ∠ABO =30 ∴ ∠AOB =180-25-30=125 2.如图, △ABC中, D是BC边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63,求∠DAC的度数 3. 已知：P是△ABC内任意一点. 求证：∠BPC＞∠A 4.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠A= 100，求x的值 5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。求证：∠BOC=90+ ∠A (角平分线模型) 6.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。 求证：∠P=90- ∠A (角平分线模型) 7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：∠A=2∠D (角平分线模型) 8.△AOB中，∠AOB=90,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，求∠P的度数 9.如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC (飞镖模型) 第12章 全等三角形 一、全等三角形的概念与性质 1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作≌ 2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等 二 、全等三角形的判定 1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL) 边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角(ASA) 角角边AAS 直角边和斜边（HL） 三边对应相等的两三角形全等 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等. 有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL） 2．全等三角形证题的思路： 3全等三角形的隐含条件：①公共边（或公共角）相等 ②对顶角相等 ③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 ④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等 全等三角形（SAS） 【知识要点】 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示 A B C E D F 如图，在和中， ≌ 【典型例题】 A D B E C 【例1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD. 证明：在△ABE和△ACD中， AB=AC， ∠BAE=∠CAD AD=AE ∴△ABE≌△ACD（SAS） ∴BE=CD. A B D E C 1 2 【例2】 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明. 【例3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60，∠B=24，求∠BOE的度数. B E A F C O 【例4】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC。求证：BC∥EF。 D A B C E 【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。 全等三角形（SSS） 【知识要点】 三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”， 几何表示 【典型例题】 【例1】如图，在中，M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 求证：AM是的角平分线 证明:在△ABD和△ACD中， AB=AC DB=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD (SSS) ∴∠BAD=∠CAD 又∵AB=AC ∴MB=MC ∴AM是的角平分线(三线合一) 【例2】如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。 例3. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C。 例4. 如图，在中,，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE⊥AB。 .\ 全等三角形（AAS） 【知识要点】 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”， 【典型例题】 A D B E C F 【例1】已知如图，，求证：BC=EF A B D E C 【例2】如图，AB=AC，，求证：AD=AE 【例3】已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD． A C B D E F A B C D P 1 2 3 4 【例4】已知如图，，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之． 全等三角形（ASA） 【知识要点】 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”， 【典型例题】 【例1】如图，已知中，，、分别是及平分线．求证：． 【例2】如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM. 证明：∵MQ和NR是△MPN的高， ∴∠MQN＝∠MRN＝90， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2 在△MPQ和△NHQ中， ∴△MPQ≌△NHQ（ASA） ∴PM＝HN 【例3】已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF． 全等三角形（HL） 【知识要点】 直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL” 【典型例题】 1、如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．求证：． A D E C B F 例2、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：① △BEC≌△DAE；②DF⊥BC． B C D E F A 例3、如图：在△ABC中，∠C=90，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）求证：MN=AM+BN。 全等三角形常见辅助线的作法 一 倍长中线法 倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后__构造全等三角形_，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问题 【例题精讲】 例1、如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD． 分析：①因为AD为中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE； ②进而利用全等三角形的判定（SAS）△ABD≌△ECD；③由全等可得_AB=EC__； 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC ∵AD是中线 ∴DC=DB 在△CDE和△BDA中 DE=AD， ∠CDE=∠BDA， DC=DB ∴△CDE≌△BDA（SAS） ∴CE=AB 在△AEC中 CE+AC>AE，CE=AB ∴AB+AC>AE ∵DE=AD ∴AE=2AD ∵AB+AC>AE ∴AB+AC>2AD 例2如图CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD． 证明：延长CD至，使DF=CD，连接BF， 在⊿ADF和⊿BDC中 AD=BD ∠ADF=∠BDC CD=DF ∴⊿ADF≌⊿BDC ∴AF=BC， AF∥BC ∴∠CAF+∠ACB=180， ∵ ∠ACB=∠ABC，∠ABC+∠CBE=180 ∴∠CAF=∠CBE 又因为AC=BE， ∴⊿CAF≌⊿CBE∴CE=CF 例3、 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线． 证明：延长到点，使，连结． 在和中 ∴ ∴， ∴，而 ∴ 又∵ ∴， 例4、如图，在中，是边的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F．求证：AF＝EF 证明：延长AD到点G，使AD=DG，连结BG．∵是边的中线 ∴DC=DB 在△ADC和△GDB中 AD=DG ∠ADC=∠GDB DC=DB ∴△ADC≌△GDB （SSS） ∴∠CAD=∠BGD BG=AC 又∵BE=AC，∴BE=BG∴∠BED=∠G ∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD， 即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF． .\ 二 截长补短法 截长:1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短:1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 【例题精讲】 例1. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2 求证：AB＝AC＋CD 证法一：（补短法） 延长AC至点F，使得AF＝AB 在△ABD和△AFD中 ∴△ABD≌△AFD（SAS） ∴∠B＝∠F ∵∠ACB＝2∠B ∴∠ACB＝2∠F 而∠ACB＝∠F＋∠FDC ∴∠F＝∠FDC ∴CD＝CF 而AF＝AC＋CF ∴AF＝AC＋CD ∴AB＝AC＋CD 证法二：（截长法） 在AB上截取AE＝AC，连结DE 在△AED和△ACD中 ∴△AED≌△ACD（SAS） 例2、 如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠B=2∠C.求证：CD=AB+BD. 　证明：在DC上截取DE=DB，连接AE， 在△ADB和△ADE.中DE=DB，∠ADB=∠ADE,AD=AD∴△ADE≌△ADB（SAS） 　　∴ AE=AB，∠AEB=∠B， 　　∵ ∠AEB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，ED=BD， 　　∴ ∠AEB=2∠C. 　　∴ ∠C=∠CAE，故CE=AE=AB. 　　∴ CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD. 例3、如图，AD//BC，BE、AE分别是∠ABC、∠BAD的平分线，点E在CD上，求证：AB=AD+BC 证明：在AB上截取AF=AD，连接EF． ∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2． 在△FAE和△DAE中， AF=AD ∠1=∠2 AE=AE ∴△FAE≌△DAE． ∴ ∠AFE=∠D 又∵ AD//BC ∴∠C+∠D=180 而 ∠BFE+∠AFE= 180 ∴ ∠C=∠BFE 在ΔBFE 和 ΔBCE中 ∠C=∠BFE ∠3=∠4， BE=BE ∴ ΔBFE ≌ ΔBCE ∴ BF=BC ∴ AD+BC=AB 例4、如图，△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、D外的任意一点。求证：AB－AC＞PB－PC 证明：在AB是截取AE＝AC 在△ACP与△AEP中，有： AC＝AE （已知） ∠EAP＝∠CAP （已知AD是∠BAC角平分线） AP＝AP （公共边） ∴ △ACP≌△AEP （SAS） ∴ PC＝PE （全等三角形对应边相等） ∵ BE＞PB－PE （三角形两边差小于第三边） ∴ BE＞PB－PC （等量代换） ∵ BE＝AB－AE AC＝AE BE＞PB－PC ∴ AB－AC＞PB－PC 三 与角平分线有关的辅助线 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。 1 截取构造全等 例1 如图1，在中，平分，，求：的值． A CB B D F （图2） C A B D E （图1） 解法1：在上截取使，连结． ∵，， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 解法2：延长到，使，连结． ∵ ∠FAD=∠CAD，AD=AD ∴△CAD≌△FAD(SAS)∴AC=AF 又∵ AB+BF=AF ∴BD=BF ∠ABC=2∠F=2∠C 2、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形 例2 如图3，在四边形中，，，平分． 求证：． A B C D E F （图3） 证明：过点作，交延长线于点，作，交于点． ∵平分， ∴．又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． A B C D F E （图4 例3 如图4，已知等腰三角形中，，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．求证： ． 证明：延长交的延长线于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴是等腰三角形． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ． 角平分线的性质 1、角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边距离相等。 A B C D E O P 例1，如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE。 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义） 又∵OC平分∠AOB（已知） ∴∠AOC=∠BOC（角的平分线定义） 在Rt△DOP和Rt△EOP中 ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定） 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 例2已知：如图，点P在∠AOB内部的一条射线OC上，并且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PD=PE。求证：射线OC是∠AOB的平分线。 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义） 在Rt△DOP和Rt△EOP中， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL） ∴∠DOP=∠EOP（全等三角形的对应角相等） 即射线OC平分∠AOB 【典型例题】 O A B C D E 例3：如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB。求证：EA=EB 例4：如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。 A B C D E O 1 2 求证：∠1=∠2 A B D P O M N 例5：如图所示，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD。求证：PM=PN A B C D E F O 例6：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，那么EF与AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。 例7：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=1800。 A B C D 第13章 轴对称 知识网络结构图 轴对称 轴对称图形 (1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴 ①两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段 (对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等 ②对称轴垂直平分连接对应点的线段 (2)性质 (3)垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫 做这条线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等 判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上 作轴对称图形 用坐标表示轴对称 轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换 P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为P′(x，－y) P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为P″(－x，y) 性质 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形．叫做等腰三角形 (1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合(三线合一) 1、 轴对称及轴对称图形 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如下左图，△ABC是轴对称图形。 A B C l A A A’ B B’ C C’ l 规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。 等腰三角形和等边三角形 1、 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、 等腰三角形的性质： 等边对等角 三线合一 （1） 两腰相等 （2） 两底角相等 （3） “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、 等腰三角形的判定： （1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形 （2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 4、 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形 5、 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60 6、 等边三角形的判定： （1） 三条边都相等的三角形是等边三角形 （2） 三个角都相等的三角形是等边三角形 （3） 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 【典型例题】 例1：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A、200 B、1200 C、200或1200 D、360 A B D C 800 例2： 如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=800，AB=AD=DC，则∠C=________ 例2：若等腰三角形的底边长为8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A、21cm B、18cm C、18cm或21cm D、13cm或26cm A B C D 例3：如图，△ABC中，∠C=900，∠ABC=600，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_________ A B D E C 例4：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线。试判断AE与BC的位置关系。 例5：如图，△ABD和△ACE是等边三角形。求证：BE=CD D A C B E 例6．已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC B A D C E A B C D E 例7：如图，在△ABC中，∠C=900，∠BAC=600，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长 【例8】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①△ACD≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 分析：∵△DAC和△EBC均是等边三角形 ∴AC=DC,CE=CB, ∠ACD=∠BCE ∴∠ACE=∠DCB ∴△ACE≌△DCB ∴∠CAE=∠CDB 又∵∠ACM=∠DCN=60，AC=DC ∴△ACM≌△DCN ∴CM=CN.故①②正确