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1、第 1 讲 二次根式的性质知识导航1.二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2.二次根式的双重非负性；3.开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如石(。2 0)的式子叫做二次根式，“4”称为二次根号.开平方时，被开方数。的 取 值 范 围 是 二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数。的取值范围是。2 0,算术平方根的结果6 20.题型一判断式子是否为二次根式【例 1】下列式子中是二次根式的有()4 C；-1 +1 ；酶;小 _；)；(x l)；4+2 +3A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【分析】形 如&(。2
2、0)的式子叫做二次根式，被开方数。的取值范围是。三0;不符合被开方数。的取 值 范 围 是 是 开 3 次方，为二次根式，故选C.【解答】C题 型 二 二次根式有意义的字母的取值范围【例 2在下列式子：一；(X-2)。；/中，不可以取2 的是()x 2A.只有 B.只有 C.和 D.和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数累的底数不为零，分 母 的 值 不 为 零.一2#0,x-2则 xW2；金一2),x2 W 0,则xW2；4-2 中,工一2 2 0,解得x N 2,故 x 不可以取2 的是和，故选C【解谷】C题 型 三 二次根式的双重非负性【例 3】若 x,y 为实数，丫=如 三 上
3、 亚 三 土 1,则 4y3x的平方根是_ _ _ _ _ _ _ _.x-2r2 4 0 1 1【分析】，故 只 有 4=0,即*=2,又.”一2=0,.x=-2,y=-l,4-X2.O x-2 44y3x=1(6)=5,故 4y3r 的平方根是土 石.【解答】士百.【例 4】已知|79/w|+(n-3)一=9?一 7一yfin4,求例的值.【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0.【解答】.17 9,+(-3)2=9W7 y/m 4,|7 9w|+(n3)-+4=9,“一720,7+(-3)+4=9，”-
4、7,(3)+jin-4=0,.,./i3=0,/n-4=0,.3,m=4,(/I-/M)20,9=(-1)20W=-1.题 型 四 二次根式中的隐含条件的运用【例 5】若实数 x,y,胆适合关系式3x+5 y-2-j+/20-x-y,求 m 的值.【分析】由(x+y)2020,20(x+y)2 0,所以x+y=2 0.再利用两个二次根式的和等于0,即每一个被开方数等于0.【解答】V x+y-20 0,20(x+y)2 0,：.x+y20.；.j3x+5 y-2-+J3x+3y-m =0,J3x+5y 2-：0,3x+3 y-？2 0,3jc+3ynz=0,.*.w=3(jc+y)=3X 20=
5、60.针对练习11.x 取何值时，下列各式有意义再三；忘；Q；正 H i.x-6（4）x25 且 xW6.2x 1 凶-5【解答】（l）x；（2）xW4 且 x W-5；（3）lWxW2；22.代 数 式 五+/万+/的 最 小 值 是（）A.0 B.l+x/2 C.1D.不存在【解答】B.3.方程 J x+y|-5 +Jy +18=0 的解是.【解答】，或 1y=-18 y=-184.己知 x,y 为实数，且满足 4 7 一（3丁-1）4 7=0,贝 ij（xy）刈 9=【解答】-15.如果 x,y,z 为实数，且满足|4x-4y+l|+，2y+z+z*z+；=0,求(y+z)x的值.【解答
6、】|4x4 y+l|+J2y+z+(z g)2=0,XV|4x-4y+l|0,1 2 y +z M,(z-)20,/4 x-4 y+l=0,2y+z=0,z-；=0,”=-3,y=-,z=)A(y+z)x2=(+)()J=.4 2 2 166.若用适合关系式：，2x+3y+18-/w Jx+y-116=y j6-x-y J3x+2y-加,求相 的值.【解答】由条件得 x+y11620,116(x+y)2 0,，116Wx+)W116,/.x+y=116,J2x+3y+18-=-y3x+2 y-m,*J2x+3y+18-?2 0,-，3x+2y-z WO,.j2 +3.v+1 8-，=0 2,+
7、得 5(尤+丫)+18=2机，2m=5X 116+18,w=299.3x+2y-m=0【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质(石)2=。(。，0)和=同，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简.题 型 五，/=问的运用【例1】已知0 a a.1x a【解答】2 G.【例2】若化简|l-x|一 一一+1 6的结果为2 1一5,则x的取值范围是.分析根据X的取值化简绝对值和二次根式的性质分析.-M VX2-8X+1 6 =|1-X|-7(X-4)2=2 x-5,则=X-1+L4,即 1-XW O,X-4 W 0,解得 1 WXW 4.【解答】1 WXW 4.题 型 六
8、(C=a(a,0)的运用 例 3 已知A B C 的三边 a,b,c 满足关系式 a+b+c 2 /二？一4 5/=5 6+4=0,试求AB C的周长.【分析】根据式子的结构特点，运用a=(右尸配方，然后利用非负性解题.【解答】.a+c-2l a 5 A-J h 4-6&-1 +4=0,(4 7 5)2y/a 5+1 +(b4)一4 J b-4+4+(c 1)6 y/c l +9=0,.(y/a-5-1)2+(-4 -2)2+(y/i -3)2=0,.*.0-5=1,4=4,c-l=9.：.a=6,b=8,c=10,AB C 的周长为 6+8+10=24.题型七二次根式的规律探究【例4】观察分
9、析，探求出规律，然后填空：血，2,瓜，2应，M，,，_ _ _ _ _(第”个数).【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解万，2=A/2 2,娓=叵 石,2 4 2=V 2x 4,710=72x 5,，第6个数是-厄=2百，第个数是【解答】2百，后.【例51观察下列各式：Fl=28 口 =3%后=心,请你猜想:-；(2)计算(请写出推导过程):(3)请你将猜想到的规律用含有自然数”(2 1)的代数式表达出来.【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化筒.【解答】;题 型 八 求 值【例 6】已知：x=2 J i d,求代数式x-4x6 的值.【分析】由x=2由 得 x2
10、=一 碗，两边平方可得二次式.【解答】V x=2-Vio,：.x-2=-y/h),：.(x-2)2=(-V lO)2,/.x-4 x+4=1 0,-x:4x=&,.,.x-4x6=0.【例 7】已知x=2 石，那么x-8 f+1 6 x 2-x+l的值是.【分析】由x=2 一行 得 出 x一4x1=0,用 x”一4x1 除 x8x+16x一x+1,得出商和余数，利用：被除数=除数X 商十余数，将多项式化简，再代值计算.【解答】由x=2 一 后 得 x2=一石，两边平方，得4x+4=5,4x1=0,/.x _ 8 x+16A x+1 (x24x 1)(%4%+1)+(x+2)2 x V5.题 型
11、 九 复 合 二 次根式的化简【例 8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如+的化简,只要我们找到两个非负数a,/?,使 a+%=m,abn,这样(右尸十(扬 尸=如4a-/b=n,那么便有 土 2 a =J(右 立)=&折(4方).例如：化 简 +4百.首先把47+4旧 化 为 g+2 5 ,这里m=7,”=12；由于4+3=7,4 X 3=2,即(“尸+(白 尸=7,口 乖 =历,：.小+4 6=g +2/=J(a+可=2+6由上述例题的方法化简：V13-2V42；(2)小-屈;J 2-石.【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数.【解答】(1)J l3-2 屈=研=出_巫:(
12、2)V?-V40=1-2 M =J(逐-可=石 一&；也=J；(4 2x/5)=当(6 1)=乎 一 日【例 9】阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号.例如：j3+2x/I=/3+2xlxV I=J/+2 x i x 及+(及)-=J(l+夜)，=1+a.解决问题：在括号内填上适当的数：/14+65 )+2 x 3 x y/5+()=+2 x 3 x y/5+(=J(3+A/5 j；根据上述思路，试将J 2 8-1 0 6 予以化简.【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，
13、化去里面的层根号.【解答】J14+6石=j9 +2 x 3 x石+5=,+2 x 3 x遥+(括丫=“3+扃=3+行；(2)728-1073=J 2 5-2X5X6+3=J52-2 x5x 73+(/3)2=招-百 尸=5 6 .针对训练21.已知实数。，b 在数轴上的对应点如图所示，化简盼 +Ja?+2ab+b+|近 一 a|一卜一及).【解答】由 a,b 在数轴上的位置可得a 0,a+b 0,b-亚 1+3 1+1，试化简代数式：lx-H-&T)2【解答】V 1-X O,X-0,A-X=O,x=1,y 0+0+l,即 y L A y-l 0,2 2 2 2原式二|x-l|一|x-l I _
14、 I “=_ 2_zl=-1y y 14.当 1 o,A J(-a)2=-a.5 a V a a8.化简：J 8-2 厉；(2)历 近.【解答】原式=的-2 x布x g +(可=J(石百 =7 5-7 3;原式=/(6+2石)=，(府+2石+12=孝(石+1)=理+*.9.已知 a+b+c=2 Ja +1 +41/?+1 +6 J c-2 1 4,求 a(b+c)+b(c+o)+c(a+b)的值.【解答】依题意得(。+1)2 7工？+l+(b+l)-4x/ftH d+4+(c-2)-6 x/2 +9=0,-1)2+(7 -2)2+(VC2 -3)2=0,；x/a+1=1,Jb+1 =2,Jc-
15、2=3,A a=0,b=3,c=ll.a(b+c)+b(c+a)+c(o+b)=0+33+33=66.10.利 用“&0”解答下列问题:若/万+/二？=0,求。，b,c 的值；(2)若 a+b+c=4,4+6 Jc-9+2&-1 ,求 a,b,c 的值.【解答】(i)：2o,7 4 0,x/c9 o.又,：而+5 N +向 卫=0,*J a 1 0,Jb-4 0 Jc-9 0,*o 1,b=4,c 9；(2)依题意得 a 2 7 1 +b-4x/4+c-6/c9=0,(y/al)2-2y/al+!+(x/4)2-4/4+4+(Vc9)2-6 Vc9+9=0,即(y/al l)2+(y/b4-2
16、产+(4 9 -3)2=0,又：(7 1)2 2 0,(7 2产 20,(/-3)220.*J a 1 1 0 J b 4 2=0,Y c 9 3 0 o 2,b=8,c 1 8.11.若 J(2017-a)2+Ja-2018=a,则 a-2 0 1 7 2=2018.【解答】依题意，得。一201820,即。2018,则原方程可化为|2017 a|+Ja-2018=。,/.O-2017+V-2018=a,；.&-2018=2017,.a-2018=20172,a-20172=2018.故答案是：2018.第 2 讲 二次根式的乘除知识导航1 .最简二次根式的概念与将二次根式化为最简二次根式；二
17、次根式的分母有理化；2 .二次根式的乘法公式的正反互逆应用；二次根式的除法公式的正反互逆应用.【板块一】最简二次根式方法技巧满足以下两点的二次根式，就叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.逆用乘法公式：疯=石 孤（。0,b 0）.题型一最简二次根式【例 1】下列二次根式中，为最简二次根式的是（B ）A.伤 B.4+y c.D.71 7【分析】回=收 忑 含 平 方 因 数 9,A不是最简二次根式；C的被开方数是分式；。的被开方数是分数，只有B符合最简二次根式条件，故迭B.【解答】8题 型 二 在实数范围内分解因式【例 2】分解因式：（1）/-9
18、；（2）4x 2 3 2；（3*2 也 x+2,（4）x2-6 x+7.【解答】X49=伍-3）（/+3）=（x+6 心一 G ）仔+3）；（2）4/32=4（X2-8）=4（X+2 夜）（x-2 及）；（3）/2 72 x+2=x2 2&x+（&产=%一啦）2；（4）X2-6X+7=X2-6X+9-2=（X-3）2-（V2）2=（X-3+夜）（x 3 五）,题型三二次根式根号外与根号内的因式互移【例 3】已知a b,化 简 二 次 根 式 的 正 确 结 果 是（A ）A.a 4-ab B.ay/ab C.a 4cib D.a 4-ab【分析】依题意，得一。3 b 2 0,cr 9 b W
19、O,又.a 0W b 或 a W 0 x +0 2,；00,ab0.a b 0,，a /4 3,第 10 个 数 为 回 3 =3G.4.已知x y 0,则J 不化简后为(B)A.xy B.C.Xy/yD.x-J-y5.阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答.已知。为实数，化 简 口 一心匚.解：原式a a=(a-1)J .a【解答】不正确，由题知。0,.原式=|a|W 7。，孑=-aWW+WW=（1。）/分.6.若 0/2 1 ；回答下列问题:利用你观察到的规律，化简：厂厂；2V3+V11(2)计算：一，+广 厂+H-F =.1 +拒 V2+V3 V3+2 3+V
20、10【例 3】若实数 x,y 满足(x-3-2 0 1 9 )(y-7/-2019)=2019.求 x,y 之间的数量关系：求 3x2-2 y2+3x-3y-2018 的值.题型五分子有理化【例4】已知：x=JH Ji工,y=1-+V12+1求证：x y；求上的整数部分.y针对练习21.已知 0=-r=-,b=-7=-,V 5-2 V5+2A.3 B.4 C.5 D.6则，7+从+7的值为（2.（-7=+厂1 厂+-H-卜 j=-）X H.1 +V2 V2+V3 V3+2 V99+103.如 果 一 的 整 数 部 分 是 内3-V7小数部分是b,则 =b4.已知 a=,2 012（2 011
21、,b=y/2 013-x/2 0112,c=2 014，2 013,比较 a,b,c 大小.5.已知 J2 017-x+yj2 016-x=3,求y/2 017-x 一 12 016-x 的值.6.已知a=01,b=一近,c/6 2,那么a,b,c的大小关系是（）A.afac B.acb C.bac D.bc0）和=石.G （a20,b 20）进行计算和化简；利用=0,b0）和甘=*（40,b0）进行计算和化简.题 型 六 二 次 根式乘除计算【例1】（7 5夜 产 叫 一7 _ 5夜 产”=例2计算：（3夜+2 V （3夜 一2 6）；(2)(V5-V3+V 2 )(7 5-7 3-7 2)
22、；(3)(3 75 +2 夜)(2 7 3-37 2)；(4)(3 +2 72 )1 2(2 72 -3)u+(3垂，一屈辛;（尹7。叫3 2 8 8+1 5刈 872,s+3 52(,!i题型七化简求值【例 3】当一3 W x W 2 时，化简：|x-2|+J（X+3）2 +l x2-1 0 x +2 5 .【例4】已知x+2=近，求：（1W+1；（2）X-LX X X 例5 已知x=g 石,y=,贝U x 2 x y+y 2的值是.【例6】若G 0,b 0,且&（而+扬）=3扬（&+5后），求2 a+3 A土 出的值a-b+l ab针对练习3.y/3+/21.已知X j=-产,6-0V3-
23、V2求上+日的值.x y2.若 x=-y j ,则 x 2 2 x+3 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.V 3-1时1-3y=1-2求（4-6）二4而的值.4.比较逐十夜 与6+2的大小关系，并写出解答的过程.5.若 x+y+6=2（Jx-1 +2 Jy+2 ）,求 x,y 的值.6.已知a,b为实数，且。0,b 0.求证：a+b 2 ab；A(2)若 =。+，且o 0,求y的最小值；a已知x 0,则y=的最大值为X2-2X+97.阅读材料:用配方法求最值：已知x,y为非负实数，x+y 2而=(石 一4)2,x+y 2 2历，当且仅当x=y时，等号成立.示例：当x 0时，求y
24、=x+4的最小值.xy=(x+-)+4 2 k*+4,当*=l，即x=l时，y的最小值为6.x V x x尝试：当x 0时、求y=:+3-1 6的最小值.X第 3 讲 二次根式的加减知识导航1 .通过合并被开方数相同的二次根式，进行二次根式的加法与减法运算，实质是合并同类二次根式。2 .进行二次根式加减乘除乘方混合运算.应注意计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.【板块一】二次根式的加减运算方法技巧化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以进行加减运算,运算依据是乘法分配律的逆运用.进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，仅被开方数相同的二次根式才可合并；
25、在进行二次根式加减混合运算时能用乘法公式的，运用公式会使计算简便；计算结果中的二次根式必须是最简二次根式。题 型 一 同类二次根式【例 口 若 最 简 二 次 根 式/花 与 嗝 W 是同类二次根式，则 a+8 的值为()A.2 B.2 C.1 D.1【例 2】二次根式一 3 国 与 质 的 和 是 一 个 二 次 根 式，则正整数a 的 最 小 值 为 ，其和为.题 型 二 二 次 根 式的混合运算【例 3】计算：&(G+6)；(2)(7 8 0+7 4 0)4-7 5；(6 +3)(6 +2)；(&+而(5)(4+)(4 /1)；(的 +也)(#夜)；(7)(6+2)2；石 一 也题型三整
26、数部分和小数部分【例 4】已知实数的整数部分为x,小数部分为y,求 +的值.2-y/3 x-2 y-4【例 5】若(夜 6)2=1 4 6，则 a+6 的值为()A.6 0 B.8 0 C.1 0 8 D.2 1 6针对练习11 .若最简二次根式皿和2 b-a+2是同类二次根式，则.2 .若 闹+2 =1 0,则 x的 值 等 于()A.4 B.2 C.2 D.43 .已知整数”,y满足6+26=屈,那么整数对(x,力 的 个 数 是()A.O B.1 C.2 D.34 .x,y分别为8-而的整数部分和小数部分，则 2 盯 一/=.5 .若最简二次根式3 T 2x+y _ 5和J x-3 y
27、+l l能合并，求x,y的值.6.计算：（1）6+近 一 加;(3+右 一(3-6 +石);小 5 _ 4 2V 7 T 7H77 3 7 W:(4)(-)-+(1+/3 )(1 /3 )V1 2 ；5 7 T 7 7 十(6)(6 n)返淖+(1 严-V5(&+箝绡)+(yja+yjh+b a+b)4ab+b ab-a ab7.设 正 叵 的 整 数 部 分 为a小数部分为4求巴吆的值.2a-h【板块二】二次根式运算与求值技巧方法技巧在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用；部分计算题的简便方法是先进行分母有理化或化成最简二次根式，再代入求值.题型四二 次 根 式 运算技巧【例1
28、】先观察规律:V2 +1 r=-=6 -/2，6 +夜1+=石 一试求:V7+V6的值；（2）jn+1+4n（为正整数）;/4 一6,1仆+n，再利用这一规律计算下列式子的值:(3)(7 V2 +1)(?-=+=-=+-厂 1一厂 H-F I -1=).1 +V2 V2 +V3 V3 +V4 V9 7 +V9 8题 型 五 二 次 根 式求值技巧【例2】化简求值：已 知x=+l,求x+1一 上 的 值；已 知x是 夜 的 小 数 部 分，求k+-2的值.x-1V x【例 3】设 ab=2+g,b c=2一+,则 必一己。儿=.【例4】已知实数a,b,。满足=4 夜，/ab=4+y c,则a+8
29、+c=.针对练习21 .已知=6+2,b=/5-2,求：（1）a6 和 a+6 的值；（2）2十 3 的值。a h2 .已知x =3 Z,求代数式4 的 值.3 x4+x2+3 .已知 a-/=石+G,b-c=#）-坦,求/+/-，必一 c-ac的值。4 .已知x、y都是正整数，且 己+7 7 =,1 9 9 8 ,求 x+y 的值。5 .观察下列各式：庐 力=2,亚 行=3,x/?二7 =4,，请你根据以上各式的规律，写出第1 0 个等式，=1 1,写出第n个等式：第17章勾股定理第4讲 勾股定理与线段长知识导航1.勾股定理及证明，勾股定理的逆定理及其应用；2 .灵活运用勾股定理，勾股定理的
30、逆定理解决几何问题。【板块一】勾股定理求边长方法技巧直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,则 有/+从=。2.在直角三角形中，已知任意两边的长,可求第三边的长.【题型一】勾股定理求边长【例 题1】在直角ABC中，若斜边AB=2,则的值是.【例题2】如图，在四边形4 8 a中，CDA.AD,AD=CD=3,ZBAD=35,AB=6,求B C的长.题 型 二 利用勾股定理列方程【例题3如图，在 ABC中，ZC=90,AD,B E是 ABC的两条中线，BE=2 ,AO=5,求A B的长.【例题4】如图，在等腰A A B C中，ABAC,8 c边上的高AD=6,腰A B上的高CE=8,求A A
31、 B C的周长.BDC针对练习11 .如图，在 Rt Z XAB C 中，NAC B=9 0。，C D _LA8 于点。，AC=6,AB=1 0.(1)求C D的 长；(2)若A E平分乙B 4 C交B C于点E,求C E的长.2.如图，在 Rt Z AB C 中，NC=9 0。，C _LAB 于点 D(1)已知 AC=3,BC=4,求 4。、B O 的长.o io(2)已知 A =3，BD=,求 8 C、B O 的长.5 5q 16(3)已知 AD=3,BD=,求 AC、B C 的长.5 5o(4)已知 A =3,B C M,求 AC、B Q 的长.53.如图，在四边形AB C。中，AB/C
32、D,NAB C=9 0。，AB=9,8 c=8,C D=7,点M是A。的垂线交B C于点N,求B N的长.4.如图，在 Rt AB C 中，Z AC B=9 0,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P 从点B出发沿射线B C 以 lcm/s 的速度运动,设运动的时间为t 秒.(1)当A A B P 为直角三角形时，借助图1 求 t的值；(2)当a A B P 为等腰三角形时，借助图2求 t的值.【板块二】探究线段间的平方关系方法技巧线段之间的平方和或平方差的关系，通常是将它们转换到一个直角三角形中求解，或是转换到底共边的直角三角形中求解.题型三探求线段平方关系【例题 1】在AB C 中，AB
33、AC,Z BAC=9 0.(1)如 图 1,若点P 是 B C 边上一点，则3尸+PC?与/IP?的数量关系是；(2)如图2,若点尸是BC延长线上一点，则8尸+尸0与的数量关系是；从(1)(2)中任选一个结论证明.PBCBC P【例题2 如图，Z V IB C 是等边三角形，点。在 AB C 的外部，且乙4 OC=3 0。，求证：B D2 A D2+C D2题型四特殊角与勾股定理【例题 3】如图，在AAB C 中，B C=2 /2 ,Z AB C=4 5=2 Z E C B,B D 1 C D,则的值是.【例题4】如图，在等腰直角AB C 中,NAC B=9 0,点 D、E 在 AB 上,且例
34、D C E=4 5,B E=2,AD=3,将4 B C E绕点C逆时针旋转9 0。，在图中画出旋转后的图象，并求D E 的长.【例题5】如图，在等腰直角a A BC中,AU 1 5,AB=1 3,B C 边上的高A =1 2,则边B C的长是题型六数形结合构造直角三角形【例题6】在平面直角坐标系中，已知点A(O,a),B(b,0)(0,6 0),且 满 足Ja c+b1-2bc+c2=0 .(1)判断 AOB的形状，并证明你的结论；(2)点P为第一象限内一点，若0 P=4,PB=2,AP=2后,求。的值.针对练习21 .如图，在AB C 中，/C=9 0 o,AM=C M,MP_LAB 于点
35、P.求证：BP-=B C +A P22.如图，是AB C 的中线，求证：AB1+A C2=2(ADr+C D1)BDC3.如图，在等腰R tZ U C B中，NAC8=90。，点力为A B的中点，点E、F分别在AC、8 c上，DEVDF.(1)求证：DE=DF；(2)AC=4,A E=3,求。E 的长.4.如图，四边形 ABC。中，/ABC=90。，AB=3,BC=4,CD=5,D 4=5&,则 B。的长为.5.如图，在 ABC中，AB=BC=8,AO=BO,点M是射线C O上的一个动点，ZA=GC.(1)求N A G C的度数；(2)如图2,延长C。到点8,若/ABC=45。，求 丝 的值.
36、CGDCB DC7.在4CO 值，A0=4,C D=3,在4BC 中，AB=AC.(1)如图 1,若NCAB=60。,NADC=30。.在4C D 外作等边/，求证：BD=CD求B D长(2)如图 2,若NC4B=90,NADU45。,求 8。的长.第5讲 勾股定理与全等知识导航全等三角形的对应边、对应角相等，因此可利用或构造全等三角形转换边或角的关系，将相关的线段或角转换到直角三角形中，再结合勾股定理解决问题.【板块一】倍长中线法构造全等三角形和直角三角形题 型 一 找 全 等 三 角 形【例 题 1】如图，在 Rt AAB C 中，Z C=9 0,C D L A B,垂足为。，B E 平分
37、乙4 B C,交 C D 于点、F,E H LC D于点H.(1)求证：A C2+B D2=BC2+A D2(2)求证C D?=(3)求-的值；BC(4)若点尸为BE的中点，求证：AD=3BD.【例题2 如图，AB=2,AB _L2 C 于 B,A8 _LAQ于点A,AD=5,BC=10,点 E是 C 的中点，求 A E的长.针对练习1如图，在A A 8 C 中，B A=5,AC=1 3,8 c 边上的中线4 0=6.(1)求 BC的长；(2)作4c 于点,求 BE的长.【板块二】角平分线翻折法构造全等和直角三角形题型三角平分线翻折法【例 1】如图，在 R/A4BC中，ZACB=90,CD_L
38、AB于点。，AE平分NBAC交 BC于点F,交 于 点E,过点E 作 EHAB交 8 c 于点H.(1)求证：C F=B H；(2)若 AC=6,A 3=1 0,求 FH 的长.【例 2】如图，AC平分NBA。，CE_LA2于点E,CF_L4)于点凡 且 BC=CD.(1)求证：4 B C E d D C F；(2)若 AB=21,AD=9,B C=C D=1 0.求 AC 的长.针对练习2如图，在边长为6 的正方形A8C。中，点 E 是边C。的中点，将AAOE沿 AE对折至A FE,延长EF交 BC于点G,连接AG.(1)求证：2A8G丝AFG；(2)求 BG的长.【板块三】旋转构造法构造全
39、等和直角三角形题 型 四 手 拉手旋转构造【例 1】如图，RlABCRtE DF,NACB=NF=90。，ZA=Z =3 0 ,将 绕 着 边 AB 的中点。旋转，DE,O F分别交线段AC于点M,K.(1)猜想：当 0。的度数.【例 3】如图，D,E 是等腰R0ABC斜边BC所在直线上的两点，满足ND4E=135。，求证：C D2+B F2=DEZ题型六特殊角手拉手构造【例 4】在 A8C中，A B A C,点。在AABC所在平面内，且/A 8 C=NAC=45。,(1)如 图 1,当。，B 在 A C同侧时;求证：B D+D C=6 D A；(2)如图2,当 Q,8 在 AC两侧时，探究B
40、O,DC,D 4之间的数量关系.图1图2针对练习31.如图，在等腰 RfZkACB 中，NACB=90。，点。，E 在 A3 上，NOCE=45。，AZ)=3,B E=4,求 AC 的长.2.如图，在四边形 AEC。中，N C=/=90。，A D=D C=6,A E=3石，F 为 C D 上 一 点,且/E 4 F=4 5 ,求 O F 的长.3.如图，在等边AABC中，P 为A A B C 内一 点,PA=5,PB=4,P C=3,求N 8PC 的度数.A4.如图,在AABC中、4B=3,BC=5,Z ABC=60,以4 c为边向AABC外作等边AC。，求BO的长5.如图,在等边48C 中，
41、NADC=30。，AO=3,BD=5,求 CO 的长.CB第 6 讲勾股定理与作图知识导航1.用勾股定理画长为G （为整数）的线段；画格点直角三角形；2.通过展开图、轴对称翻折或旋转作图，利用勾股定理求最值.【板块一】画长为 （为整数）的线段；画格点直角三角形方法技巧题型一勾股定理画线段 例 I 如图，在数轴上，点 4,8 表示的数分别为0,2,于点B,且 B C=1,连接4 C,在 AC上截取C D=B C,以A 为圆心，A D的长为半径画弧，交 线 段 于 点E,则点E 表示的实数是.题型二格点直角三角形【例 2】如图，在 4 X 4 方格中作以AB为一边的R/4A B C,要求点C 也在
42、格点上，这样的R/4ABC能作（）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.6 个针对练习I1,请 用 作 图 构 造 法 比 较 庖 与 布+J 万的大小关系，在下面的图中进行构图，解答上面的问题.2.如 图，公路MN和公路PQ在点P 处交汇，N Q P N=3 0：在点A 处有一所中学，AP=160m,假设拖拉机行驶时，周 围 100m以内会受到噪声的影响，那 么 拖 拉 机 在 公 路 上 沿 PN方向行驶，学校是否会受到影响？若不受影响，请说明理由，若受到影响，已知拖拉机的速度为5m/s,那么学校受影响的时间为多少秒？N【板块二】利用勾股定理求最值方法技巧题型三利用垂线段最短求最值【例
43、1】如图，点 E 为边长为4 的等边ABC的 BC边上一动点（点 E 不与点8,C 重合），以AE为边在AE右侧作等边A E F,求 面 积 的 最 小 值.题 型 四 利 用 轴 对 称 求 最 值（两定一动型）【例 2】如图，正方形A8C。的边长为8,点 M 在 0 C 上，且。M=2,点 N 是 AC上的一动点，求 DN+MN的最小值.题 型 五 利 用 轴 对 称 求 最 值（两动一定型）【例 3】如图，在 RA 8C 中，ZACB=90,AC=6,8 c=8,AO是N8A C的平分线，若点尸，。分别是 A。和 AC上的动点，求 PC+PQ 的最小值.cD题型六化曲为直求最值【例4】如
44、图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为1 2 cm,底面周长为1 0c m,在容器内壁离容器底部3 cm的点2处有饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm.5饭粒题 型 七 数 形 结 合 求 最 值【例5】(1)如图，点C为线段B。上一动点，AB1.BD,E DLB D,连接4 C,E C,若A B=5,D E=,BD=8,C D=x,用含x的代数式表示A C+C E的长；求A C+C E的最小值；(2)若 产&+9 +7(6 -X)2+1 ,求y的最小值；(3)若y=正+9 -V(6 -X)2+1 ,求 的最大值。【例6
45、】已知正数a,b,c满足a+b+c=-,y=43a2+4 +国 力+4 +J 3 c2 +4 ,求y的最小值；(2)对于正数，b,m,求证：-Z?)2 4-a2+a)2+b2 J/n?+针对练习21.如图，已知A B=1 0,点尸是线段A 8上任意一点，在A B的同侧分别以A P和P 8为边作等边 A P C和等边 B P D,则线段C。的长的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.5 （石 一 1）2 .如图，牧童在A处放牛，其家在2处，A,8到河岸的距离分别为A C=40 0 m,8 D=2 0 0 m,且C D=8 0 0 m,牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短?
46、最短路程是多少？cl-可河岸BA3 .如图，有一个圆柱，它的高等于1 2,底面半径等于3,在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的2点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（加取3）4.如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少？3 cm5.如图，观察图形解答下面的问题：(1)此图形的名称为.(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并 把 它 沿 A S 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个(3)如果点C 是 SA的中点，在 A 处有一只蜗牛，在 C 处
47、恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C 处，只能绕此立体图形的表面螺旋爬行.你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)若 SA的长为1 0,侧面展开图的圆心角为90,请你求出蜗牛爬行的最短路程.6.如图，设NMON=20,点 A 为。M 上一点，。4=4 百，点。为 ON上一点，O D=8 0 ,点 C 为4例上任意一点，点 8 是 0。上任意一点，则 AB+BC+CD的最小值是()A.10 B.11 C.12 D.137.在锐角ABC中，4B=4也，/54C=45,NBAC的平分线AO交 8 c 于点。，点 M,N 分别是A D和A B上的动点，则B M+M N的最小值是.
48、8.如图，在矩形ABC。中，AB=20,B C=10,点 M,N 分别为A8,AC上的动点，求 8N+M N的最小值.9.如图，已知点P是边长为2的正方形A8C。内的一点，求B4+P8+PC的最小值.1 0.求 代 数 式+25 J(x 4)2+4的最大值.第 7 讲 勾股定理综合探究知识导航1 .勾股定理用于几何综合探究题，常 与45 ,6 0 特殊角，特殊三角形，构造的全等三角形一起解答几何综合题；2 .勾股定理用于坐标几何综合探究题.【板块一】直角三角形斜边上的高与边的关系题型一直角三角形斜边上的高与边的关系探究【例 1】如图，在 R t Z A B C 中，N A C 8=90 ,C
49、D L AB T D,设 A 2=c,AC=b,BC=a,C D=h.求证：(2)a+b=90,AB=AD.WBMA.AB,D N 1 A D,若B M=D N,则线段M N与8M+W的 数 量 关 系 是；如 图1,BMX.AB,D N A D,若(1)中的数量关系是否仍成立?并说明理由；(3)如图2,若B,D,M在一条直线上，请探究：以线段2M,MN,LW的长度为三边长的三角形是何种三角形?并说明理由.B图1针 对 练 习11.如图，在四边形 A8CD 中，AD/BC(BCAD).ZD=90,8 c=CD=12,/A8E=45,若 A E=1 0,则C E的长为.2.如图，在 ABC中，A
50、ff=AC=5,B C=2,以4 c为边在 ABC外作等边 4 C D,连接B O,则8。的长为DA3.如图，在AOB 中，AO=BO=V13.OC=1,ZAOB=120,ZOCB=60,求 AC 的长.【板块二】巧用公共边或相等的边的桥梁作用(双勾模型)方法技巧用直角三角形中公共边或相等的边为桥梁，两次或多次运用勾股定理解决问题.题型三直角三角形中公共边、相等边的桥梁作用【例】如图，点 C 在线段AB上.CD A.AB,连接A。，BEA.AB.4 E 是ZD 4B 的平分线，与 DC相交于点F.EH LCD于点G,交 AO手点从求证(2)若 A B=C D,求证:AD=AC+BE；(3)若