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1、平行四边形性质和判定习题1如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，AEBD 于 E，CFBD 于 F（1）求证： BE=DF ；（2）若 M、N 分别为边 AD 、BC 上的点，且DM=BN ，试判断四边形MENF 的形状（不必说明理由） 2如图所示， ?AECF 的对角线相交于点O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF 交于 B，D求证：四边形ABCD 是平行四边形3如图，在四边形ABCD 中， AB=CD ，BF=DE ，AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F（1）求证： ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AO=CO 4已知：如图，在ABC 中，BAC=90 ，D
2、E、DF 是ABC 的中位线，连接 EF、AD 求证： EF=AD 5如图，已知D 是 ABC 的边 AB 上一点， CEAB，DE 交 AC 于点 O，且 OA=OC ，猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系，并加以证明6如图，已知，?ABCD 中， AE=CF ，M、N 分别是 DE、BF 的中点求证：四边形MFNE 是平行四边形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 7如图，平行四边形ABCD ，E、F 两点在对角线B
3、D 上，且 BE=DF ，连接 AE，EC，CF， FA求证：四边形AECF 是平行四边形8在 ?ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE 和等边 BCF ，连接 BE、DF求证：四边形BEDF 是平行四边形9如图所示， DBAC，且 DB=AC，E 是 AC 的中点，求证：BC=DE 10已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC，AD=24cm ，BC=30cm，点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动，到D 点即停止点Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形问当P，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边
4、形？11如图：已知D、E、F分别是 ABC 各边的中点，求证： AE 与 DF 互相平分12已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点 O，四边形AODE 是平行四边形求证：四边形ABOE 、四边形 DCOE 都是平行四边形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 13如图，已知四边形ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB、 CD、AC 、BD 的中点，并且点E、F、 G、H 有在同一条直线上求证： EF 和 GH
5、互相平分14如图： ?ABCD 中， MNAC，试说明 MQ=NP 15已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，EF 经过点 O 并且分别和AB，CD 相交于点 E，F，点 G，H 分别为 OA ，OC 的中点求证：四边形EHFG 是平行四边形16如图，已知在?ABCD 中， E、F 是对角线BD 上的两点， BE=DF ，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且AG=CH ，连接 GE、EH、HF、FG（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）若点 G、H 分别在线段BA 和 DC 上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17
6、如图，在 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线一点，过点A 作 BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点 F，连接 AE、CF（1）求证： AF=CE ；（2）如果 AC=EF ，且 ACB=135 ，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 18如图平行四边形ABCD 中， ABC=60 ，点 E、F 分别在 CD、BC 的延长线上， AEBD，EFBF，垂
7、足为点F，DF=2 （1）求证： D 是 EC 中点；（2）求 FC 的长19如图，已知 ABC 是等边三角形，点D、 F 分别在线段BC、AB 上， EFB=60 ，DC=EF （1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若 BF=EF，求证： AE=AD 20如图，四边形ABCD ，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点（1）请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？21如图， ACD 、ABE、 BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形（1）当 AB AC 时，证明：四边形ADFE 为平
8、行四边形；（2）当 AB=AC 时，顺次连接A、D、F、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 22如图，以 ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即ABD 、BCE、ACF ，那么，四边形AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由23在ABC 中，AB=AC ，点 P 为ABC 所在平面内一点，过点P 分别作 PEAC 交 AB 于
9、点 E，PFAB 交 BC于点 D，交 AC 于点 F若点 P 在 BC 边上（如图1） ，此时 PD=0，可得结论： PD+PE+PF=AB 请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 分别在 ABC 内（如图 2） ，ABC 外（如图 3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明24如图 1，P 为 RtABC 所在平面内任意一点（不在直线AC 上） ，ACB=90 ，M 为 AB 边中点操作：以PA、PC 为邻边作平行四边形PADC，连续 PM 并延长到点E，使 ME=PM ，连接 DE探究：（1）请猜
10、想与线段DE 有关的三个结论；（2）请你利用图2，图 3 选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（ 2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2 或图 3 加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将 “ RtABC ” 改为“ 任意 ABC ” ，其他条件不变，利用图4 操作，并写出与线段DE 有关的结论（直接写答案） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - -
11、25在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD，BCD=Rt ，AB=AD=10cm ，BC=8cm 点 P从点 A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 方向运动，点Q 从点 D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动已知动点P、Q 同时发，当点Q 运动到点 C 时，
12、P、Q 运动停止，设运动时间为t（1）求 CD 的长；（2）当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；（3）在点 P、点 Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ 的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由27已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0） 、 A（ 2，0） 、B（1，1） ，则第四个顶点C 的坐标是多少？28已知平行四边形ABCD 的周长为 36cm，过 D 作 AB ，BC 边上的高 DE、DF，且cm，求平行四边形ABCD 的面积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎
13、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 29如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形ABCD 为平行四边形，A、B、C 的坐标分别是A（ 3，） ，B（ 2，3） ，C（2，3） ，点 D 在第一象限（1）求 D 点的坐标；（2）将平行四边形ABCD 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形 A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABCD 与四边形 A1B1C1D1重叠部分的面积？30如图所示 ?ABCD 中， AF 平分 BAD 交 BC 于 F，DEAF 交 CB 于 E
14、求证： BE=CF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 答案与评分标准1如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，AEBD 于 E，CFBD 于 F（1）求证： BE=DF ；（2）若M、N 分别为边 AD 、BC 上的点，且DM=BN ，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由） 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。分析： （1）根据平行四边形的性质和已知条件证明ABE CDF 即可得到BE=DF ；（2）根据平行
15、四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF 的形状解答： （1）四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD ，ABCD，ABD= CDB，AEBD 于 E，CFBD 于 F，AEB= CFD=90 ，ABE CDF （AAS ） ，BE=DF ；（2）四边形 MENF 是平行四边形证明：有（ 1）可知： BE=DF ，四边形 ABCD 为平行四边行，AD BC，MDB=MBD ，DM=BN ，DNFBNE ，NE=MF ， MFD= NEB ，MFE= NEF，MFNE，四边形 MENF 是平行四边形点评： 本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等
16、三角形的判定以及全等三角形的性质2如图所示， ?AECF 的对角线相交于点O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF 交于 B，D求证：四边形ABCD 是平行四边形考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题 ：证明题。分析：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形解答： 证明： 四边形 AECF 是平行四边形OE=OF，OA=OC ，AECF，DFO= BEO，FDO= EBO ，FDOEBO ，OD=OB ，OA=OC ，四边形 ABCD 是平行四边形点评： 本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性质3如图，在四边形ABCD 中，
17、 AB=CD ，BF=DE ，AEBD，CFBD，垂足分别为E，F（1）求证： ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AO=CO 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题 ：证明题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 分析： （1）由 BF=DE ，可得 BE=CF，由 AEBD ，CF BD，可得 AEB= CFD=90 ，又由 AB=CD ，在直角三角形中利用 HL 即可证得： ABE
18、CDF；（2）由 ABECDF，即可得 ABE= CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB CD，又由 AB=CD ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD 是平行四边形，则可得AO=CO 解答： 证明： （1） BF=DE ，BFEF=DE EF，即 BE=DE ，AEBD ，CF BD，AEB= CFD=90 ，AB=CD ，RtABERtCDF（HL） ；（2）ABE CDF，ABE= CDF，ABCD，AB=CD ，四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是
19、要注意数形结合思想的应用4已知： 如图， 在ABC 中，BAC=90 ，DE、DF 是ABC 的中位线， 连接 EF、AD 求证： EF=AD 考点 ：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。专题 ：证明题。分析： 由 DE、DF 是 ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又BAC=90 ，则可证得平行四边形AEDF 是矩形，根据矩形的对角线相等即可得 EF=AD 解答： 证明： DE，DF 是ABC 的中位线，DEAB ，DF AC，四边形 AEDF 是平行四边形，又BAC=90 ，平行四边形AEDF 是矩形，EF=AD 点评： 此题考查了三角形中位
20、线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用5如图，已知D 是 ABC 的边 AB 上一点， CEAB，DE 交 AC 于点 O，且 OA=OC ，猜想线段CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系，并加以证明考点 ：平行四边形的判定与性质。专题 ：探究型。分析： 根据 CEAB ，DE 交 AC 于点 O，且 OA=OC ，求证 ADO ECO，然后求证四边形 ADCE 是平行四边形，即可得出结论解答： 解：猜想线段CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系是：平行且相等证明： CEAB，DAO= ECO，OA=OC ，ADO ECO
21、，AD=CE ，四边形 ADCE 是平行四边形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - CDAE点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证ADO ECO，然后可得证四边形ADCE 是平行四边形，即可得出结论6如图，已知，?ABCD 中， AE=CF ，M、N 分别是 DE、BF 的中点求证：四边形MFNE 是平行四边形考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题 ：证明题。分析
22、：平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为M、N 分别是 DE、BF 的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“ 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形” 来解决解答： 证明：由平行四边形可知，AD=CB ，DAE= FCB，又AE=CF ， DAE BCF，DE=BF ，AED= CFB 又M、N 分别是 DE、BF 的中点， ME=NF 又由 AB DC，得 AED= EDC EDC= BFC，MENF 四边形 MFNE 为平行四边形点评： 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活
23、地选择方法7如图，平行四边形ABCD ，E、F 两点在对角线BD 上，且 BE=DF ，连接 AE，EC，CF，FA求证：四边形AECF 是平行四边形考点 ：平行四边形的判定与性质。专题 ：证明题。分析： 根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF 是平行四边形解答： 证明：连接AC 交 BD 于点 O，四边形 ABCD 为平行四边形，OA=OC ，OB=OD BE=DF ，OE=OF四边形 AECF 为平行四边形点评： 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法8在 ?ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内
24、作等边ADE 和等边 BCF ，连接 BE、DF求证：四边形BEDF 是平行四边形考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题 ：证明题。分析：由题意先证 DAE= BCF=60 ，再由 SAS 证DCF BAE，继而题目得证解答： 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB ，AD=CB ， DAB= BCD又ADE 和 CBF 都是等边三角形，DE=BF ，AE=CF DAE= BCF=60 DCF= BCD BCF，BAE= DAB DAE ，DCF= BAE DCFBAE （SAS） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
25、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - DF=BE 四边形 BEDF 是平行四边形点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系9如图所示， DBAC，且 DB=AC，E 是 AC 的中点，求证：BC=DE 考点 ：平行四边形的判定与性质。专题 ：证明题。分析：可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE 是平行四边形，即可证明BC=DE
26、 解答： 证明： E 是 AC 的中点，EC=AC，又DB=AC，DB=EC 又DBEC，四边形 DBCE 是平行四边形BC=DE 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系10已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC，AD=24cm ，BC=30cm ，点 P自点 A 向 D以 1cm/s 的速度运动，到D 点即停止点Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形问当P，Q 同时出发，几秒后其中一个四
27、边形为平行四边形？考点 ：平行四边形的判定与性质；梯形。专题 ：动点型。分析： 若四边形 PDCQ 或四边形 APQB 是平行四边形，那么QD=CQ 或 AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间解答： 解：设 P，Q 同时出发t 秒后四边形PDCQ 或四边形 APQB 是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24t，CQ=2t ，BQ=302t（1）若四边形PDCQ 是平行四边形，则PD=CQ，24t=2tt=88 秒后四边形PDCQ 是平行四边形；（2）若四边形APQB 是平行四边形，则AP=BQ ，t=302tt=10 10 秒后四边形APQB 是平行四边形点评： 此题主要考查了平
28、行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应11如图：已知D、E、F分别是 ABC 各边的中点，求证： AE 与 DF 互相平分考点 ：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。专题 ：证明题。分析： 要证 AE 与 DF 互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形ADEF 为平行四边形解答： 证明： D、E、F 分别是 ABC 各边的中点，根据中位线定理知：DEAC ，DE=AF ，EFAB ，EF=AD ，四边形 ADEF 为平行四边形故 AE 与 DF 互相平分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -
29、 - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据12已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点 O，四边形AODE 是平行四边形求证：四边形ABOE 、四边形 DCOE 都是平行四边形考点 ：平行四边形的判定与性质。专题 ：证明题。分析： 因为 ?ABCD ，OB=OD ，又 AODE 是平行四边形，AE=OD ，所以 AE=OB ，又 AE OD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE
30、 是平行四边形同理，也可推出四边形DCOE 是平行四边形解答： 证明： ?ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点 O，OB=OD ，又四边形 AODE 是平行四边形，AEOD 且 AE=OD ，AEOB 且 AE=OB ，四边形 ABOE 是平行四边形，同理可证，四边形DCOE 也是平行四边形点评： 此题要求掌握平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形13如图，已知四边形ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB 、CD、AC、BD 的中点，并且点 E、F、G、H 有在同一条直线上求证： EF 和 GH 互相平分考点 ：平行四边形的判定与性质。专题 ：证明题。分析：
31、要证明 EF 和 GH 互相平分， 只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明解答： 证明：连接EG、GF、FH、HE，点 E、F、G、H 分别是AB、CD、AC、BD 的中点在ABC 中， EG=BC；在 DBC 中， HF=BC，EG=HF同理 EH=GF 四边形 EGFH 为平行四边形EF 与 GH 互相平分点评： 本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系14如图： ?ABCD 中， MNAC，试说明
32、MQ=NP 考点 ：平行四边形的判定与性质。专题 ：证明题。分析： 先证 AMQC 为平行四边形，得AC=MQ ，再证 APNC 为平行四边形，得AC=NP ，进而求解解答： 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，AM QC，APNC又MN AC，四边形 AMQC 为平行四边形，四边形APNC 为平行四边形AC=MQ AC=NP MQ=NP 点评： 本题考查的知识点为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - -
33、- - - 15已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，EF 经过点 O 并且分别和AB，CD 相交于点 E，F，点 G，H 分别为 OA ，OC 的中点求证：四边形EHFG 是平行四边形考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题 ：证明题。分析： 要证四边形EHFG 是平行四边形，需证OG=OH ，OE=OF，可分别由四边形ABCD 是平行四边形和OEBOFD 得出解答： 证明：如答图所示，点 O 为平行四边形ABCD 对角线 AC ，BD 的交点，OA=OC ，OB=OD G，H 分别为 OA ，OC 的中点，OG=OA，OH=OC，OG=O
34、H 又ABCD，1=2在OEB 和 OFD 中，1=2，OB=OD ，3=4，OEBOFD ，OE=OF四边形 EHFG 为平行四边形点评： 此题主要考查平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形16如图，已知在?ABCD 中， E、F 是对角线BD 上的两点， BE=DF ，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且AG=CH ，连接 GE、EH、HF、FG（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）若点 G、H 分别在线段BA 和 DC 上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题 ：证明题；
35、探究型。分析： （1）先由平行四边形的性质，得 AB=CD ，AB CD，根据两直线平行内错角相等得 GBE= HDF 再由 SAS可证 GBEHDF ，利用全等的性质，证明GEF=HFE，从而得GEHF，又 GE=HF ，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证（2）仍成立可仿照（1）的证明方法进行证明解答： （1）证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD ，ABCD，GBE=HDF 又AG=CH ，BG=DH 又BE=DF ， GBEHDF GE=HF，GEB=HFD ，GEF=HFE，GEHF，四边形 GEHF 是平行四边形（2）解：仍成立 （证法同上）点评： 本题考查的
36、知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形17如图，在 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线一点，过点A 作 BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点 F，连接 AE、CF（1）求证： AF=CE ；（2）如果 AC=EF ，且 ACB=135 ，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论考点 ：平行四边形的判定与性质；正方形的判定。专题 ：证明题。分析： （1） 由 AFEC， 根据平行线的性质得到DFA= DEC， DAF= DCE ， 而 DA=DC ， 易证得 DAF DCE，得到结论；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
37、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （2）由 AFEC，AF=CE ，根据平行四边形的判定得到四边形AFCE 是平行四边形， 再根据对角线相等即AC=EF ，可判断平行四边形AFCE 是矩形，则 FCE=CFA=90 ，通过ACB=135 ，可得到 FCA=135 90 =45 ，则易判断矩形AFCE 是正方形解答： （1）证明： AFEC，DFA= DEC，DAF= DCE ，D 是 AC 的中点，DA=DC ，DAF DCE ，AF=CE ；（2）解：四边形AFCE 是正方形理由如
38、下：AFEC，AF=CE ，四边形 AFCE 是平行四边形，又AC=EF ，平行四边形AFCE 是矩形，FCE=CFA=90 ，而ACB=135 ，FCA=135 90 =45 ，FAC=45 ，FC=FA，矩形 AFCE 是正方形点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形也考查了矩形、正方形的判定方法18如图平行四边形ABCD 中， ABC=60 ，点 E、F 分别在 CD、BC 的延长线上， AEBD，EFBF，垂足为点F，DF=2 （1）求证： D 是 EC 中点；（2）求 FC 的长考点 ：平行四边形的判定与性质。分析： （1）根据平行四边形的对边
39、平行可以得到ABCD，又 AEBD ，可以证明四边形ABDE 是平行四边形，所以 AB=DE ，故 D 是 EC 的中点；（2）连接 EF，则EFC 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到CDF 是等腰三角形，再利用 ABC=60 推得 DCF=60 ，所以 CDF 是等边三角形，FC=DF，FC 的长度即可求出解答： （1）证明：在平行四边形ABCD 中，ABCD，且 AB=CD ，又AEBD ，四边形 ABDE 是平行四边形，AB=DE ，CD=DE ，即 D 是 EC 的中点；（2）解：连接EF， EFBF，EFC 是直角三角形，又D 是 EC 的中点，DF=CD
40、=DE=2 ，在平行四边形ABCD 中， AB CD，ABC=60 ，ECF=ABC=60 ，CDF 是等边三角形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - FC=DF=2 故答案为： 2点评：本题主要考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键，（2）中连接 EF 构造出直角三角形比较重要19如图，已知 ABC 是等边三角形，点D、 F 分别在线段BC、
41、AB 上， EFB=60 ，DC=EF （1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若 BF=EF，求证： AE=AD 考点 ：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题 ：证明题。分析： （1）由 ABC 是等边三角形得到B=60 ，而 EFB=60 ，由此可以证明EFDC，而 DC=EF ，然后即可证明四边形 EFCD 是平行四边形；（2）如图，连接BE，由 BF=EF ，EFB=60 可以推出 EFB 是等边三角形，然后得到EB=EF ，EBF=60 ，而DC=EF，由此得到EB=DC ，又ABC 是等边三角形，所以得到ACB=60 ， AB=AC ，然后即可证
42、明AEB ADC ，利用全等三角形的性质就证明 AE=AD 解答： 证明： （1） ABC 是等边三角形，ABC=60 ，EFB=60 ，ABC= EFB，EFDC（内错角相等，两直线平行），DC=EF，四边形 EFCD 是平行四边形；（2）连接 BE BF=EF，EFB=60 ，EFB 是等边三角形，EB=EF ，EBF=60 DC=EF，EB=DC ，ABC 是等边三角形，ACB=60 ，AB=AC ，EBF=ACB ，AEB ADC ，AE=AD 点评： 此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三
43、角形的性质解决问题20如图，四边形ABCD ，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点（1）请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？考点 ：平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的性质。专题 ：证明题。分析： （1）连接 AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH 是平行四边形；（2）由于四边形EFGH 为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD 的对角线应该互相垂直且相等解答： 解： （1）如图，四边形EFGH 是平行四边形连接AC ，E、F 分别是 AB、
44、BC 的中点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - EFAC ，EF=AC 同理 HGAC，EFHG，EF=HG EFGH 是平行四边形；（2）四边形 ABCD 的对角线垂直且相等假若四边形EFGH 为正方形，它的每一组邻边互相垂直且相等，根据中位线定理得到四边形ABCD 的对角线应该互相垂直且相等点评： 此题主要考查了三角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知识21如图， ACD 、ABE、 BCF 均为直线BC 同
45、侧的等边三角形（1）当 AB AC 时，证明：四边形ADFE 为平行四边形；（2）当 AB=AC 时，顺次连接A、D、F、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件考点 ：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题 ：证明题。分析： （1）要证明 ADEF 是平行四边形，可通过证明EF=AD ，DF=AE 来实现， AD=AC ， AE=AB ，那么只要证明ABC DFC 以及 FEBCAB 即可AD=DC ，CF=CB ，又因为 FCB=ACD=60 ，那么都减去一个ACE后可得出 BCA= FCD ， 那么就构成了SAS， ABC DFC，就能求
46、出 AE=DF ，同理可通过证明FEBCAB得出 EF=AD （2）可按 BAC 得度数的不同来分情况讨论，如果BAC=60 ， EAD+ BAC+ DAC=180 ，因此， A 与 F 重合 A、D、F、E 四点所构成的图形为一条线段当BAC 60 时，由（ 1）AE=AB=AC=AD，因此 A、D、F、E 四点所构成的图形是菱形解答： （1）证明： ABE 、BCF 为等边三角形，AB=BE=AE ，BC=CF=FB ， ABE= CBF=60 CBA= FBEABC EBFEF=AC 又ADC 为等边三角形，CD=AD=AC EF=AD 同理可得 AE=DF 四边形 AEFD 是平行四边
47、形（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段当图形为菱形时，BAC 60 （或 A 与 F 不重合、 ABC 不为正三角形）当图形为线段时，BAC=60 （或 A 与 F 重合、 ABC 为正三角形） 点评： 本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明三角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了22如图，以 ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即ABD 、BCE、ACF ，那么，四边形AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由考点 ：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的
48、性质。专题 ：探究型。分析： 由等边三角形的性质易得 BEDBCA ，CBA CEF，从而得到DE=FC=AF ，AD=BC=EF ，再由两组对边相等的四边形是平行四边形得到四边形AFED 是平行四边形解答： 解：四边形AFED 是平行四边形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 证明如下：在BED 与 BCA 中， BE=BC ，BD=BA （均为同一等边三角形的边）DBE= ABC=60 EBA BED BCA （SAS）DE=A
49、C 又AC=AF DE=AF 在CBA 与 CEF 中，CB=CE ，CA=CF ACB= FCE=60 +ACE CBA CEF（SAS）BA=EF 又BA=DA ，DA=EF 故四边形 AFED 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）点评： 本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法23在ABC 中，AB=AC ，点 P 为ABC 所在平面内一点，过点P 分别作 PEAC 交 AB 于点 E，PFAB 交 BC于点 D，交 AC 于点 F若点 P 在 BC 边上（如图1） ，此时
50、 PD=0，可得结论： PD+PE+PF=AB 请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 分别在 ABC 内（如图 2） ，ABC 外（如图 3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明考点 ：平行四边形的性质。专题 ：探究型。分析：在图 2 中， 因为四边形PEAF 为平行四边形， 所以 PE=AF ， 又三角形 FDC 为等腰三角形， 所以 FD=PF+PD=FC ，即 PE+PD+PF=AC=AB ， 在图 3中， PE=AF 可证， FD=PFPD=CF ， 即 PFPD+PE=AC=AB 解答：