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1、2 02 3年高考数学模拟试卷考生须知：1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x 1.已知实数X,满足 龙一yVO,则 Z=/+y2的最大值等于()x+2 y-6 0A.2 B.2A/2 C.4 D.82.已知(x+a)5 展开式的二项式系数和与
2、展开式中常数项相等，则/项系数为()A.10 B.32 C.40 D.803.已知复数z 满足z(l+i)=l i G 为虚数单位)，则 z 的虚部为()A.-i B.i C.1 I).-14.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是()与去年同期相比增长率京6420宁A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3 的是山东省B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2 个D.去年同期浙江省的GDP总量超过了 4500亿元5.已知直线y=A(x-1)与抛物线C：)2=4%交于A,8 两点，直线y=2A(
3、x-2)与抛物线O：炉=8丫交于时，N两点，设 2=|A 3|-2|M N|,贝！J ()A.2 -16 B.2=-16 C.-122 s i n/B.s i n e c o s/?D.c o s a 0）与圆+y2=1的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切9.为 计 算S =1 -2 x 2 +3 x 2 2 4 x 2 3+.+10 0 x（2）9工 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）C.z 10 010 .一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面
4、的最大高度为（）A.1 B.0 C.百 D.2夜11.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长 为（）.k.WB w u nA.y/2 B.G C.1 D.V612 .为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.64二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。13 .已知平面向量a =(m,2),力=(1,3),且坂乂 一5),则向量。与 坂
5、 的 夹 角 的 大 小 为.14 .若函数 x)=s i n 2 x+c o s 2 x 在 0,和 3 如加上均单调递增，则 实 数 加 的 取 值 范 围 为.215 .古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火 克 金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种.(用数字作答)16 .平面向量值与5的夹角为3 同=1，|同=1，贝!1恒 一 2 司=.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12 分)已 知/(%)=卜+1|+,+3|.(1)解不等式/
6、(x)0)的 焦 点 为/，准线为/,AB为过焦点尸且垂直于轴的抛物线C的弦，已知以A B为直径的圆经过点(-1,0).(1)求，的值及该圆的方程；(2)设/为/上任意一点，过点M作C的切线，切点为N,证明：M F F N.1X=t222.(10分)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已知直线/：厂 a为参数)，以坐标原点。为极点，X轴的非负半y=+gI 2轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=2cosO.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设点M的极坐标为(1,直线/与曲线。的交点为A,6,求的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
7、有一项是符合题目要求的。1.D【解析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，其中人，3,C（2,2）,由于|Q4|g,Q q =2 0,所以|0C|Q4,所以原点到可行域上的点的最大距离为2加.本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.2.D【解析】根据二项式定理通项公式7；+I=C/%”T可得常数项，然后二项式系数和，可得。，最 后 依 据=,可得结果.【详解】由题可知：Tr+i=q xra5r当r=0时，常 数 项 为 工=/又（x+。了展开式的二项式系数和为25由 Q5=25=Q =
8、2所以 J=C；2 5-当 r=2时，T3=C1X223=8 0 x2所以V项系数为8()故选：D【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.3.D【解析】根据复数z满足z(l +i)=l-i,利用复数的除法求得二，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数Z满足z(l +i)=l-i,所以 Z =?=(：)=7,l +i (l +/)(l-z)所以z的虚部为 1.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.D【解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度G Q P总量和增速由
9、高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；463 2.1(1+3.3%)448 4 0,y=-0 ,排除 C、D1 +x、“/c 、，.c x+s i n x,、当xe(%,2)时，s i n x0,排除A。1 +x故选B。【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。7.D【解析】构造函数(x)=s i n x x,/(x)=s i n x-2 x,利用导数分析出这两个函数在区间(一5上均为减函数，由rr IT5出。一5抽 =。一2月得出5皿。-。=5由 -2月，分c=0、a Q 0。一三种情况讨论，利用放缩法结合函数)，=
10、h(x)的单调性推导出-彳。尸0或0 尸 a ,再利用余弦函数的单调性可得出结论.【详解】构造函数(x)=sinx-x,/(x)=sinx-2x,则 (x)=cosx-l(),/(%)=cosx-20,所以，函数y=/(x)、丁 =人(%)在 区 间 上 均 为 减 函 数，当 x (0)=0,/(%)./-(0)=0；当0 x 时，/i(x)0,f(x)0.由 sin a sin 尸=a 2/得 sin a a=sin 2/?.若a=0,贝心山 一2月=0,即,4 4)=0=4=0,不合乎题意；若一 c a c O,则 一 sin万一/=(/?),1T此时，a/?0,2由于函数y=cosx在
11、区间1上单调递增，函数y=sin x在 区 间 上 单 调 递 增，则sina sin4，cos a cos 0；若0 a ,则0 v,则(a)=sin a-a =sin/-2/7sin一/?=M/?),TT此时0 p a sin?，cos a 2 2ab 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.9.A【解析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容.【详解】由程序框图的运行，可得：S=0,i=0满足判断框内的条件，执行循环体，a=l,S=l,i=l满足判断框内的条件，执行循环体，a=2x(-2),S=l+2x(-2),i=2满足判断框内的条件，执行循环体，
12、a=3x(-2)2,S=l+2x(-2)+3x(-2)2,i=3观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a=99x(-2),S=l+2x(-2)+3x(-2)2+.+lx(-2)99i=L 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是iV l.故选：A.【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题.10.B【解析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论.【详解】正方体的面对角线长为2行，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转
13、,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为正，故 选 B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题.11.B【解析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长.【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为/=，+，+产=石.故选：B.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题.12.B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1,二是2:2:1,然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有C；A；=18种不同的方案；当按照2：2:1进行分配，则 有=18种不同的
14、方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。【解析】由 办 仅 向，解得2 =4,进而求出c o s,用=，即可得出结果.【详解】解：因为B J_（-杨，所以（1，3）（加T,T）=-3 =0,解得加=4,所以 c o s R=/乂，（,）=（，V 42+22-A/12+32 2IT所以向量与B的夹角的大小为一.47 T都答案为：4【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题.14.竺刍24 4【解析】化
15、简函数，求出“X）在 0,可上的单调递增区间，然后根据“X）在0,y和 3?,可上均单调递增，列出不等式求解即可.【详解】由 f（x）=sin 2x+cos2x=0 s in（2x+工）知，4当x 0,司 时,/（%）在 0,卜 和 野，万上单调递增，8 L X _.（X）在0,y和 3九句上均单调递增，m 8的取值范围为:5兀7T2 4 5 7 .故答案为:5万712 4 5 7【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于，的方程组，属中档题.1 5.1.【解析】试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只
16、能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5 x2 xl xl xl=l.考点：排列、组合及简单计数问题.点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详.1 6.V 1 3【解析】由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】7T因为平面向量”与方的夹角为,，所以 人=0，所 以 用 _2 5卜,9同 之+被-1 2 =V 1 3 ；故 答 案 为 旧【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量
17、的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)(-5,1)；【解析】(1)利用零点分段讨论法可求不等式的解.(2)利用柯西不等式可求片+6 2+0 2的最小值.【详解】2x+4,x-1(1)/(x)=2,-3 x-l,-2x-4,x-3/、x 1 3 v 尤 -1 x K 3由/(X 6 得 c，(或./或 c，N，2x+46 2 6-2x-4(2a+2+c)2所以 9(/+/+/(2。+2 +。)2=4,44即(当 且 仅 当a=b=2c=时取.9 94所 以。2+，的最小值为二.【点 睛】本题考查绝对值不等式的解法以
18、及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方 法 等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画.利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.18.(I)a(是奇数)3彳是偶数)(I I)证明见解析【解 析】(I)由即+2=(-1)(an-1)+2a+l,对分奇偶讨论，即 可 得a.；2/7 1 +(U)由(I)得a=下一，用 错 位 相 减 法 求 出S“=l-丁，运用分析法证明即可.【详 解】(I)=+2=(T)(a -1)+1,EN*,二当为奇数时
19、，4任2=。+2,又 由4=1,得q=，当”为偶数时，。“+2=3。“，又 由“2=3,得(是奇数)3“是偶数)2 一 1(I I)由(1)得则S.5 2n-3H T+H-F33 3T2n-l31 c 1 3 55 s L孕+于+下+”+2ri-3 2n-l-1-73 3*|-可得:1 12。1 2 2 2S“=-1-z-H-r-T3 n 3 32 33 342 2-1+H-3 3,+)=9 3m 2-1 _ 2 2+25“=1一3”若证明S“匕 巳，则需要证明1巴士1T-n32+1又 2-”n =1一2；7 三+1，即证明1一2+12+132+1,即证 3 2 21，n+1T +1 +1-.
20、1-2-n又3-2 21显然成立，故 得证.2+1【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，错位相减法求前项和，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.19.(1)极小值为1,无极大值.实数M的值为1.(2)2,0)【解析】(1)将=1代入/(x)可得/(x)=d-21nx,求导讨论函数单调性，即得极值；设.%是函数/(X)的一个“尸点”(天 0),即 是:(x)的零点，那么由导数r(x)=2(d)可知女 0,且/(无。)=0,可得x0=J 1,根xV据 不)=占 可 得+=设0(x)=x+2 In x-l,由e(x)的单调性可得%,即得k.方法一：先求g
21、(x)的导数，8(%)存在两个不相等的“F点”占，x2,可以由g(x)=0和韦达定理表示出%，%的关系，再由g（xJ -g（）=X -w,可得。力,c的关系式，根据已知解|g（x j-g（x 2）|=|x 一司之1即得方法二：由函数g（x）3ax2+2hx+c=0存在不相等的两个“尸点”再和马，可知王，马是关于*的方程组 3 ，的两个相异实数根，由ax+bx+ex=xG?+法2+cx =%得=0,分两种情况：x =0是函数g（x）一个/点”，x =0不是函数g（x）一个“尸点”，进行讨论即得.【详解】解：（1）当=1 时，/（x）=/-2 1 n x （Z e R）,则有r（x）=_i）a+i
22、）（xo）,令r（x）=o得x=i,列表如下：X（0）10，+8）/（X）0+小）极小值/故函数/（X）在x =l处取得极小值，极小值为1,无极大值.设厮是函数/（X）的一个“尸点”（尤0 0）.尸（力=2（七1）（x（）,.不 是函数尸（力的零点.：.k 0,由/（%）=0,得 叱=1，%=，由/（毛）=/，得七:一2 1 n x（）=%,即/+2 1 1 1/-1 =0.2设0（x）=x+2 1 n x-1,则。（x）=l +0,X所以函数0（x）=x+2 1 n x-l在（0,+8）上单调增，注意到研1）=0,所以方程X o +2 1 n x -l =O存在唯一实根1,所以%=工=1,得
23、=1,根据知，=1时，x =l是函数“X）的极小值点,所 以1是函数/(X)的“尸点”.综上，得实数%的值为1.(2)由 g(x)=o?+加+cx (a,b,c e R,a#0),可 得/(耳=3 4+2 Ar+c(a/0).又函数g(无)存在不相等的两个“尸点”X和 ，马是关于x的方程3分2+x+c =0(a。0)的两个相异实数根.A=4/?2-1 2 ac 02b玉 +x2=一1c王/=丁3。又g (玉+匕 片+西 二 玉，g(%2)=町+属 +=9，二 8()一且(9)=玉 一 工2，即(渥 +X；+5 )一(屈+Z?%2 +CX2=Xl-X2从而(X 2)a(x：+xx2+元;)+人(
24、玉+%2)+c=玉 x2,.X W 彳2，,-4(芯+)2 _ XX2+0(%4-x2)4-c=1,即。2h3a2h3a+b+c=1.=2(3 a c-=9a.|g(x J-g(W)|N l,二|g (%)-g (*2 )1 =归 一 司=1(%+%2)2-4不 工24仅2-3QC)9a23 1,a解得2。().所以，实数a的取值范围为 2,0).(2)(解法 2)g(x)=ax +hx1+ex(a,b,c e R,w O)所以g (x)=3办2+2/ZX+C(W0).又因为函数g(x)存在不相等的两个“尸点”用和，所以王，马是关于”的方程组3ax2+2Z?x+c=0,A?的两个相异实数根.a
25、x+bx+cx=x由 ox3+bx2+cx=xWx=0,ax2+/zx+c-l=0(2.1)当x=0是函数g(%)一个“尸点”时，。=0且 不=-3。所以a(号)+人(一 号)一1 =0,即9a=2斤.又|g(x j-8()|=|百-|=-。21,所以4户 2 9a2,所以9/W2(-9a).又aw O,所以-2W a0.(2.2)当x=0不是函数g(x)一个“尸点”时，30r2 +2bx+c=0则 士,是 关 于X的方程 2 的两个相异实数根.ax+bx+c 1 =0又所以竺“3得=c-133所以=一；，得玉,2=2一b=Q所以卜(%)一()|=|%-工2|=2 五 之1，得 2Wa().综
26、 合(2.1)(2.2),实数a的取值范围为-2,0).【点睛】本题考查利用导数求函数极值，以及由函数的极值求参数值等，是一道关于函数导数的综合性题目，考查学生的分析和数学运算能力，有一定难度.无220.(1)+/=1；(2)见解析.4【解析】(1)由已知条件得出。、c的值，进而可得出。的值，由此可求得椭圆。的方程；(2)设点M(x“z),可得N(-X”7),且 玉。0,求出直线BM的斜率，进而可求得直线BO与AN的方程，将直线直线BO与AN的方程联立，求出点。的坐标，即可证得结论.【详解】(1)由题设，得彳cb=l所 以 片=b2+c2=4 即Q =2.故 椭 圆C的 方 程 为 工+y 2
27、=i；4 -(2)设 则(一石,?)，玉=0,-1 W 1.加一(1)根+1所 以 直 线B M的斜率为一二2=，玉-()玉1X,因 为 直 线 犯 驷 的 斜 率 的 积 为-“所 以 直 线 皿 的 斜 率 为 一 心 而.直 线 河 的方程为k2 直 线 皿 的 方 程 为，=一而询1联 立 y1-m .1x+1-L；*+i,解 得 点。的纵坐标为为-广 一rx-%2+n r4（m+1）42因 为 点M在 椭 圆C上，所以土+m 2=1,则%,=(),所 以 点。在x轴上.4【点 睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.2 1.(1)
28、p =2,圆的方程为：(X-1)2 +V=4.(2)答案见解析【解 析】(1)根据 题 意，可 知A点的坐标为 p ,即 可 求 出 的值，即可求出该圆的方程;(2)由题易知，直 线M的 斜 率 存 在 且 不 为0,设的方程为卜=仪犬+1)+%,与 抛 物 线C联立方程组,21根 据 =(),求 得%+4=|，化 简 解 得y=，进 而 求 得N点的坐标为 4 J ,分 别 求 出 闲，而，利用向量的k k kk kJ数 量 积 为0,即 可 证 出MbLfTV.【详 解】解：(1)易 知A点的坐标为2,d,所 以。=5-(-1)，解得=2.又圆的圆心为尸(1,0),所以圆的方程为(尤-1)
29、2+：/=4.(2)证明易知，直线M的斜率存在且不为0,设 的方程为 y=Z(x+l)+y0,代入C的方程，得 江-4y+4(%+)=0.令 =1 6-1 6左（+%）=0 ,得%+%=1,k所以打2-4），+4（%+A）=0,解得 y=.k k将y=2代入C的方程，得x=，即N点的坐标为-k k2 k）所 以 而=（-2,%）,而=i-），-2 2 2 门、2FM-FN=2-+yn-=2 +k-=0.本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.22.(1)(x-l)2+/=l (2)7 3+1【解析】X-
30、OCOS0(1)由公式,八可化极坐标方程为直角坐标方程；y-QSin，(2)把M点极坐标化为直角坐标，直线/的参数方程是过定点M的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线。的方程，利用参数/的几何意义求解.【详解】解：（1）C:p=2cos。，则夕2=2/?COS6,/.x2+y2=2x,所以曲线C 的直角坐标方程为x2+y2-2 x =Q,即（X 1）2+9 =1(2)点的直角坐标为M（0,1）,易知M e/.设 A B 对应参数分别为。,t21x=t2将/：1 r与 C：/+y22x=。联立得y=1H-1I2广 +（/+1），+1 =0,/.+力=A/S 1,t y,I2=1/./0,才 2。|4+附 网=用+,2|=卜|+胃=6 +1【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题.