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1、经济数学期末考试试卷(A卷)一、填 空 题(满 分15分，每 小 题3分)1.设/(x)=1 +J1*2的定义域为1+lnx2.当x-0时，若Inq-ar?)与xsinx是等价无穷小量，则常数a=.3.设/(x0)=A,则 lim/(.)-2)=_ _ _ _ _ _T O h4.设/(x)在(-oo,+oo)上的一个原函数为sin2x,则/(幻=.5.设/(x)为连续函数，且/(尤)=尤+2，)/(。力，则F(x)=二、选择题：(满 分15分，每 小 题3分)sinx 八-r-n 工6.设/(x)=,凶，则在x=O处，f(x)(1 x=O)(A).连续(C).极限存在但不连续(B).左、右极
2、限存在但不相等(D).左、右极限不存在Y X7.设/(*)=之 一 则 函 数 人 幻(sinar(A)有无穷多个第一类间断点；(0)有2个跳跃间断点：(B)只 有1个可去间断点;(D)有3个可去间断点.8 .若点(1,4)是曲线y=ax2+历尸的拐点，则()(A)a=6,b=2；(B)a=2,b=6；9.下列各式中正确的是()(A).(Jj(x)友)=/0)(C).d(J7(x)公)=/(x)(C)a=b=；(D)a=b=-2.(B).df(x)=ff(x)cbc(D).(J(W)10.某种产品的市场需求规律为Q =8 00-5 p,则价格p=120时的需求弹性为=()(A).4(B).3(
3、C).4%(D).3%三、计 算 题(每小题5分，共20分)：Y j11.求极限：lim(-+-)lx nx12.设lim(f二 尸=8,求常数。的值.x-*8 x-a13.设y=/n x,求力|1 4.设 Vx=2cosry=3sin，求 今dx四、计 算 题(10分)sin x,x 0(1)确 定 常 数 的 值，使/(x)在x=O处可导;(2)求了();(3)问/(X)在x=0处是否连续.五、计 算 题(满 分10分)16.求不定积分：!dxJ 1 +1,、r+lnx,17.求广义积分：|dxJi X2六、应 用 题(满 分20分)18.过原点作曲线y=ln x的切线，求该切线与曲线y=
4、ln x及x轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所成立体的体积。19.设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x吨时的边际收入函数为R(x)=10 x+32,边际成本为。)=-4 0-2 0无+3/。求(1)总利泗函数；(2)产量为多少时，总利润最大？七、(满 分10分，每 小 题5分)证 明 题：.1 1 八,人上、上 上 j-ax lXX X22 _2（5分）Y*/7 c/.n-x-a l a x r 4axlim-_1 2 .【解】因为 l i m(土 上 尸=l i m(l+2 =e-=e2 a.(3 分)x a x-8 x-a、3故=8,因此Q=l n 2.(5 分)2
5、1 3.【解】因3=d(/n)x)=e s i n x l n z(s i n%l n%).(2 分)=es i n v l n A(c o s x l n x +)d 5 c.(4 分)X所以力|x=n=叱L9 0 s I n +时)dx=-l n 7idx.(5 分)TC1 4 .i【解.】dy=yr(t=)3c o s r 3.x.;-=一一c o t r.(2 分)dx x(t)-2 s i n t 2,3、,(-c o t r)V 3-e s c212 -2 s i n r-34(5分)2 2 4 c【另解】函数的隐函数方程为 F=1,两边对X求导，得-二.4 9 dx 4 y（2分
6、）丫 dy y )d2y_d,dy、9 yX _ 9)(4 _ 8 1-(I -dx2 dx dx 4 y2-4 y2 4 y3四、1 5.【解】（1）由/（x）在x =0处可导，知/（幻 在x =0处 连 续 且/（0）存在，因此/(0)=U m/(x),咒(。)=一(0)x-0因 l i m f(x)-l i m f(x)-l i m(ax+b)=b,/(0)=s i n 0 =0 ,故。=0 x-0 Xf()+x-0+1 /，。、.ax/,/八、.f(x)-/(0).s i n x 1又 力(0)=h m 八 八=l i m =a,(0)=h m =l i m-=1x 0+X x-0+X
7、 x 0 X.r-0 X故 a =l,尸(0)=力(0)=(0)=1,且f(x)=s i n x,x 0（4分）(2)当 x 0 时，f(x)=(s i n x)(=c o s x：当 x 0 时，/(x)=(x)=l因此，f x）=c o s x,1,x 0+所以，l i m r（x）=7（0）,即尸（x）在x =0处是否连续.x-0（1 0 分）1X|五、1 6.【解】f-dx=dx=f-d(l +e )=l n(l +/)+C.(5 分)J1 +&7 J 1 +e*J +exr+8 1 n x ,+8 ,/1、I n l y r+8/1、1 ,八、1 7.dx=l n x J()=-11
8、-(dx.(3 分)J I*/yV*。J 1 Y Y*1 Y Y=l i m-l i m （工）（l i m -1）=1.（5 分）X4+CC|X-KO X六、1 8.【解】设切点为（玉）!/）,则由y=,得切线的斜率为左二-,切线方程为x /y-l n x0=(x-x0)(1)因切线过原点，将x =0,y=0代 入（1）式，解得x 0=e,故切点为（仇1）,切线方程为y-l n e =（x-e）即 y=-x.（4 分）ee该切线与曲线y=l n x及x轴所围成的平面图形的面积为A =x e x l-l n x t Z x =-x（l n x-l）=一1.（7 分）所求旋转体的体积为I r P
9、 e r T C C c eV-7rxl2xe-j 万 l r r x i x =7 乃x（l n x 21 n x+2）|；=2 万（I-）.（1 0 分）1 9.【解】由题设。有C(x)=C(0)+J；C 力=1 0+J；(T O -20.+3*)力=1 0-4 0 x -1 O f +%R(x)=H(0)+/R(M =0+J；(10f+32)dt=5x2+32x(1)总利泗函数为L(x)=R(x)C(x)=(5/+32X)-(10-40 x-10 x2+?)=-10+72X+15%2-X3(2)Z/(x)=R(x)-C(x)=(1 Ox+32)-(-40-20 x+3 f)=-3x2+30 x+72Z/(x)=6x+30令 L(x)=0,得 x=12(x=-2 不合题意，舍去)，r(12)=-6xl2+30=-4 2 a+x-+X。x a+1故方(%)在 a,句上连续。.(2分)当a x 0因此F(x)在区间a,b上也单调递增.(5分)7T TT【证明】令 如)5。字，3在。字 上 连 续，且7TF(x)=coSx./(x)+Sin x./(x),x e(0.-).(2 分)又尸(0)=sin0(0)=0 呜)=si喙吗)=0,故 由Rolle定理知，存 在 气。使得FC)=cos /()+sin 夕/)=0两边同除以cos4，得/+tan (4)=0.(5 分)