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1、大 招18主元法大招总结在一个多元的数学问题中，可以将任意一个元作为主元，如果能选择合适的主元切入问题,有时候可以大大降低题目难度.主元法的用途也是非常广泛的，在初中的分解因式章节中，估计有些同学就已经对主元法有所了解.在这一讲，说一下主元法在导数问题中的应用.题型及处理方法：题 型1 ：含参函数的恒成立证明例如，对于含有参数。的函数/(x)=/z(x,a),x e D,现要证明V a e E,X ED,/(x)0.假若此时/(x)的单调性与值域难以分析，可考虑将/?(x,a)看作为关于“的函数r(a)=/z(x,a),此时只需证Va e E,%。，/(可2 0即可，若f(a)的单调性或值域容
2、易分析，那么将 做为主元来研究MX,。)将会是一个不错的选择，如本节中的例1.题型2;同范围双独立变量的不等式证明像“对数平均值不等式”“指数平均值不等式”“二元形式的琴生不等式”，可以说是这类题目的代表了，类似于这样的不等式都可以考虑用主元法来证明.例如，已知/(无)是定义。上的函数，尸(可 为“X)的导函数，且/(x)在。上单调递增，证 明：+等.对于等)而言，可 以 任 选a或b为 主 元，来 研 究/(4)+/伍)一2/皇)的 值 域，比如设/a)=a)+/e)此时的6为参变量，则F(a)=/(a)-r(等.由于/(X)单调递增，容易得出：a b时，a 半，即尸(a)b时，a?,(/,
3、下B，即 尸 0,F(a)单调递增；即尸(a)之尸(。)=/伍)+/他)所以，/()+/(3一2/1+J zO .当然，解决数学题目的方法绝对不是一成不变且套路化的，遇到多元的数学问题，也不要刻意使用主元法，先分析式子结构和变量之间的关系，权衡各种方法的利弊，选择合适的角度切入.比如，下面这个不等式的两种证明方法中，方法2反倒更胜一筹？2(m m2)证 明：V/i m 0,Inn-nm-一 .n+nr方 法1 ：主元法2mn-m2)2mn m2)In n -In m -J 等筝价于 In H-In m-J 0.rr 4-m n 4-m2(mn ni2j设/(九)=l n-l n 2-,n m
4、0 ,n+m1 2/77(则/()=-Lnn2+加2)一 nmn-m2(rr+m2V 2 一 叫(2 _m2+2 川)n(rr+m2 V当 机 0时，,/(冷0,/()单调递增,/、,、2(m m-m2)即/()f(tn)=nm-nm-=m +mlimn-m2)所以，Vn m0,Inn-nm -.n+方法2：换元法(整体代换)9/2 2 仕 一 1 2 仕 一 1l n n-l n m 一等价于l n-.,即 In仪 0n +m m+1 m+1m)则只需证In x -0,x =1.令/(x)=l n尢-,xl.x +1 m x +1 Or2+4x +2-1 +2x)当x l时，r(x)=-L=
5、八一一 0,/(X)单调递增,X(x2+l)x(x2+l)/、/、2(mn-m2)/(x)/(l)=().所以，加 0时，l n-l n/-U.n+m典型例题例1 (2021.马鞍山二 模)已 知函数/(无)=二a e R .X(1)若/(X)在定义域内无极值点，求实数。的取值范 围；(2)求证：当尤 0时，/(x)l恒成立.解 方 法1:(1)由题意 知/(月=,令g(x)=e*(x-l)+a,(X HO),则g(x)=e，x,当了 0时，g(x)0时,g(x)0,g(x)在(0,+8)上单调递增,又g(O)=a -l,./(力在定义域内无极值点，,41,又当a =l时，/(x)在(e,0)
6、和(0,+8)上都单调递增也满足题意，所以a Nl ；(2)证 明：=W(，),令g(x)=e*(x-l)+a,由 可知g(x)在(0,+8)上单调递增,又)、，所以r(x)存在唯一的零点不a。)，g(l)=a 0故/(x)在(0,不)上单调递减，在1,+8)上单调递增，./(6 2/(不)，由e*小-l)+a =0知/(Xo)=e 1,即当0a l恒成立.e*-a方法 2:/(%)=-,Q ER,0 a 0如果直接求导，可能出现隐零点，稍显复杂此时我们看成关于的函数，g(a)-a +,是一个递减的一次函数(x 0,，0X X X所以 g(l)g(a)l得证XXX例2(2021届武汉三调)已知
7、函数/(x)=(x-l)e”-l n x .(1)当a =l时，求“X)的最小值；(2)证 明：当0 0时，s(x)=-x e*0,s(x)单调递减，5(x)s(0)=l .当a w(),l ,，=(a?e 0,f(a)单调递减，/(a)Z/(l)=e .所以，月0,1时，(1-x)e*l e =.即”(a)/?(l)=(x-l)ex-In x .由(1)知，(x-l)ex-1-lnx 0,故 Q(O,1 时，/z(7)/2(l)=(x-l)ex-1-l n x 0 .所以，0 0 时,r(x)=-xexa 0,r(x)单调递减，r(x)r(0)=-4-.e a当Q G(0,1 时尚 1 3
8、即 =r(x)九(1)=(x l)ex-1 In%.由Q)知,(x -l)e*T-In x 0,故a G(0,1 时,/i(a)h(l)=(x l)ex-1-In x 0.所以,0 a In a 恒成立.当然,此题也有另外的解法，比 如“隐零点”“放缩”或“凹凸反转”都可以破解此题.但从思维和运算两方面综和来看的话,主元法是更为亲切且靠谱的做法.例 3.已知函数f(x)=/+klnx(k G R)J(x)为/(x)的导函数.当k =2时,求曲线y =/(x)在点(1)(1)处的切线方程；(2)当k 一 3时，证明V%x2 0 r2Xt-X2解Q)y =5x -4.方法1:主元法证明%x2 1时
9、,3 2 筲*等 价 于 /(%)+/，(&)2X1-X20 1 -%2)-2/0 1)+2/(X 2)0.(可考虑将不等式左边看为关于X 的函数，即 主 元 为 参 数 为 X2)令。0 1)=令(%1)+X2)-2/(%1)+2/(X2),则 g(Xi)=r，(x1)(x1-x2)-f(右)+/。2)，。“(与)=f(x1)(x1-x2).而f(x)=3x2+：,尸(乃=6x-当时 广(乃=6 +黄 6 一/=号 立 0.所以,久1 小 1时,g(x i)0,g Qi)单调递增,g Qi)g E)=。，双)单 调递增，即g(x j g(%2)=o所以,k 一3时,VX1 X2 1,如2卢2
10、 3二 3N%1一%2方法2:换元法证明:由题知 尸 =3x2+与由于匕 x2 1,所以t =2 1.X%2X 小 1时/3)等 等 等 价 于 (%)+/(右)一犯)N Xj%2-2/(与)+2/(%2)0.所以,(田 一 切)(广(勺)+/&)-2(%)-/(x2)=(%i -%2)(3淄+1 +3好+一 2 卜；-%2+0 n?)=婢2 一 以2 一3%我0 2+3%!%2o +攵(-x-21 2f c l n Xi%2 x j x?%2(t3 3t 2+3t 1)+/c (t :21n t).令九()=t 21n ,t 1.当t 1时M(t)=i+-|=(i-1)2 o,即九单调递增,
11、所以当t 1时,九 九,即t-21n t 0.t另一方面工 1时，户-3户+3t -1=(-I)3 0.所以，当 2 1,k 3时，球(t3 3t2+3t 1)+f c 2 In (户3t2+3t 1)3，21n t)=/3t 2+6 1n t 4-1.令m()=t3 3t 2+6 1n t +1,当 t 时 加 =3 d -6 t +y=3(人工+2 1)=3吐中1)2 0即m(t)单调递增,m(t)m(l)=0.即/3t2 6 1n t 4-1 1 0.练上,k 一3时,x2 it-.Z%一 2例 4.已知函数 f(x)=(m +l)l n x,g(x)=m x2+x,m ER.(1)当m
12、=0时，曲线(x)=/(x)+急 一 l(a e R)在x =2处的切线与直线x +2y -1=0平行,求函数y =(x)在 e,e 2上的最大值(e为自然对数的底数)；当m=1时，已知0 a .-g(a)+g(b)-a-b解F+1.方法1:换元法当t n =1 时/(%)=21n%,g(x)=%2+%由于0 V a V b,故要证明?如 q(a)+g(b)。一匕以乂.只 需 证 明 电 产 一为成立即证明In匕 一 In a 笔?成 立，ba a+bA a+b即只需证明In色 嘉D成立.+】令x =*因为0 a 1,即只需证明In x 半 皆0 1)成立.即只需证明(%2 4-l)l n x
13、 -2%+2 0(%1)即可.设F(x)=(%2+l)l n x 2x +2(%1),求得/1,所认x +-2 x-=2,所以当x 1.时方(x)2xnx+2-2=2xlnx 0,因此函数y =F(x)是(1,+8)上的增函数，故尸(x)F(l)=0,所以当x 1时,(/+l)l n x-2x+2 0,故原命题成立.方法2:主元法当 m=1 时,/(x)=21n x,g(x)=x2+x.所以，丝铲4a g(a)+g(b)-Q-bn nlnb-na-2a即/即只需证Vb a OJn b In a 之。：)0.令/(b)=In/?In a ：),b a 0,则尸”)=2a(b2+a2)-4d(ad
14、-a2)_ (b2-a2)(b2-a2+2ab)(d2+a2)2=b(b2+a2)2 当b Q。时/(b)0,/e)单调递增,即f 3)a)In a -In a 2(a 2 q 2)a2+a20.所以 a OJn h -In a -之。,：；)0.即Vb a o/(a)w4agW+g(b)-a-b例 5.已知函数f (%)=%2+In x -ax.求函数/(%)的单调区间；(2)当 a =1 时，设 g(x)=x 1.若 正 实 数 满 足 乙+%=1，4血 6(o,+8)(x i *上),证明:。(乙/+%应)41g o 1)+痴(%2).略.方法1：换元法由题知 g(x)=x e-f(x)
15、x l=ex-x 1.所以 g Qi%i +2)-E g O i)+&9(%2)=e /i+a/z 久送*1 冬眇?ex1(eA1x1-x1+A2x2 _ 乙 _ 咏，2-)=ex e-A2x1+A2X2 一；I 1一 A2ex-x卜心上)一，i -2 T i 故只需证e Xi /2(x 2Ti)-A2ex2-Xi.l JIJt =x2-x1 0.令h(t)=e%t -A1-A2ec,t 0,则九(t)=A2e -A2ef=%(e%，-ef).由=1 4 0且&0,可得%e (0,1)所以t 0时,e%，e，,(t)0,/i单调递减.所以九(t)(九(0)=1 一 为一；12=0即 1上的(*
16、2-打)_%_ A2ex2-xi 0.所以g(a 6 i +A2%2)Ui g Oi)+42g(*2)L方法2:主元法即证;9(46 1+-&g(x i)+A2g(x2)Xi 0,令h(%)=gUj,Xi+A2X2)-A Cx i)-42g。2)，则=A1ig U1x1+22x2)-40(X1),G(0,x2).由题知,g(x)-xef M-x -1=ex-x -1,则g(x)=ex-1 在(0,+o o)上单调递增.由于-1,-2。，且+42=1,所以，当*1 e (0,幻时+，2尤2 iXi+A2X1=Xi.g Xi+A2x2)。(/),即九(小)0,九(%)单调递增;所以,h(%i)0,
17、a2-2ba+2b2-In b的最小值为解：设f (a)=a2-2ba+2b2-In b,则f (a)f(b)=b2-n b,设g(b)=人2 _ nb,则g，(b)=2b-1当。b 4 时4(b)4 时0(b)O,g(b)单调递增;所以 g(b)g 俘)=|-l n y =|+|ln2,BPa2-2ba+2/-In b 的最小值为+,n 2.2.(2021秋-普陀区期末)设b、c均为实数,若函数f(x)=x +5+c在区间 1,+8)上有零点，则/+c2的 取 值 范 围 是.方法1：,；/(X)=X+g+C在区间口,+8)上有零点，x+：+c=0在区间 1,+8)上有解，,2+ex+b=0
18、在区间 1,+00)上有解，令 g(x)=%2+CX +b,/一；(1 2 1/.0”即1或(1)当仁J i 时，画出关于4 C的约束条件，如图所示则/+C2表示到可行域内点的距离，当cP=a=批时为最小值，即及+C2 i当时，画出关于仇C的约束条件，如图所示,IC 3 4-0此时炉4-c2 4,综上所述肝+C 2：故答案为:原+8).方法2：1|x|x H b+c=0,d -X菱+1 y 2 丫4 1d2=b2+c2=r =-J-,x G 1,+8）所以d 2-1+m X T 1 Z3.已知函数/(x)=c z l n x 4-i,c z G R.(1)当a =1时,求曲线/(x)在 点 处
19、 的 切 线 方 程；当a =1时，设g(x)=/(%)-3 当0 /1时“(X)9(1)=0,即打nx 宗,所 可 喧 骷成立,所 以 安3x2+x1即 g(%2)-g(%i)x2-x1X2+l方法2:主元法当a=1 时,g(x)=/(%)一 =In%.设1(%2)=9(必)一。(七)2x2-x1 _ Inxz-lnxtx2+x1 2M F当X2%1 0时,t(X2)=2 一 7777=23%)2 0,即t(2)单调递增,t(X2)人七)=0.乙x?1%2 十Z X2X2X1)所以网匕。时，幽野 三翼N*2十 刀 4.设函数/(x)=ex alnx,a e R.当a=e时，求函数/Xx)的单
20、调区间；(2)当a 0时,证明:f(x)a(2-Ina).4.略.方法1：隐零点f(x)=e%*当Q 0时/(a)=ea-1 0,fr(彘)=e)-ea=ea(e ea 1J 0.所以存在通 e (0,+8),使/(a)=ex =0,即沏=l n a-l n x0.XO当%e (0,殉)时r(%)o,g(%)单调递增:所以f(x)/(x0)=e -a l n x0=巴+a x0 a l n a a(2 In a).XO方法2:主元法即证a 0时,e*a l n x 2a+2a l na。，即 In x -2+21n a 0.令g(a)=y-In x -2+21na,g(d)=+当0 a 时,g
21、(a)9时4(a)0,g(a)单调递增；z ex exg(a)9()=2-In x -2 4-21n =-In x 4-2%-21n 2.令/i(x)=-l n x +2x-21n 2,则(%)=-；+2=乎.当0 cx 附(x)：时(x)0/(x)单调递增；所以h(x)九 =1-In 2 0.所以,a 0,g(a)0.即Q 0时,/(x)a(2-In a).5.已知函数/(%)=aex+s i n x +x,x e O,TT.证明:当Q=-1 时，函数/(%)有唯一的极大值点；(2)当一2 a 0时，证明(%)乃.6.已知函数f(%)=l n(l +x)一 居g(x)=x l n x.5.略
22、方法1：隐零点当一 2 V a V 0 时，令 h(x)=aex+s i n x +%TT,贝 l j(%)=aex+c o s%+11 h ()=aex s i n x 0,九(y r)=aen 0,所以，存在t G 使得九)=0,即a e*+c o s t +1=0,且当0 x 0;当 x 冗 时,(%)0t所以，函数R(t)在区间(0,兀)上是增函数。中 =0,即/(%)n.方法2:主元法即证:-2 a 0,0%九 时,a e*4-s i n x +%TT.当一 2 a V 0时,a e +s i n x +%s i n x +%.令=sinx+x,x E 0,叫则 t(x)=c o s
23、%+1)0,t(%)单调递增.所以%G 0,兀 时 工(%)t(7 T)=7 1.所以,一2 a 0 时/(%)n.6 .已知函数/(%)=l n(l +%)%,g(%)=x l n x.(1)求函数/(%)的最大值；(2)设 0 a 仇证明 0 9(a)+g(b)-2 g (岁)a 0时,0 l,当 1时,;n(x)=+ln/+=小 苗 0,即m(x)m(l)=0.2b所以力 a 0时Jn刍+0,1+-a 1+-即b a。时,g(a)+g(b)2g(等)0.再证:b a 0 时,g(a)+g(b)-2g(等)(b-a)ln 2.(a+bg(a)+g(b)_ 2g(万一)(b a)ln 2=a
24、ln a+bln b (a+b)lnm(&-a)ln 2/Q+b a In a In-2/a+b+In 2)+Z?(in b In-In 2J 04ab=aln-+bn-0a+b a+bb4 I)一=In-r+-ln-T 1,则当x 1时(x)=ln-0,n(x)单调递减.所以n(x)a 0时m工+勺!-2 a 0 时,g(a)+g(b)-2g(?)a 0时,0 g(a)+g(b)-2g(等)a 0 时,0 a 0,则nf(b)=(b)“(等)由题知,g(x)=1+In x在(0,+8)上单调递增.所以，当b a时力 等，即W(b)=g(b)-9(?)。，巾(b)单调递增，即m(b)m(a)=
25、g(a)+g(a)-2g 段)=0.所以力 a。时,g(a)+g(b)-2g()0.再证出 a 0 时,g(a)+g(b)-2g(等)(b-a)ln 2./a+b/a+bg(a)+g(b)-2g(-y-)(b-a)ln 2 g(a)+g(b)-2g)-(b-a)ln 2 a 0,贝Ij b a 0 时，n(b)=gb g-In 2=In fa-In 2=In 1=0,n(b)单调递减.所以,n(b)a。时,g(a)+g(b)2g (等)a 0时,0 g(a)+g(b)-2g(等)(b a)l n 2.7.设函数/(%)=In x -%+1.讨论f (%)的单调性;(2)证明当x e (1,+8
26、)时,i 公 1,证明当 6 (0,1)时,1+(c 1)%cx.7.解:(1)函数/(X)=l n x x +l 的导数为r(x)=：1.由r(x)0,可得0 x 1;由/(%)1.即有/(x)的增区间为(0,1);减区间为(1,+8)；(2)证明:当x e (1,+8)时,1 E%,即为In x x -1 x l n x.由(1)可得/(x)=l n x-x +1在(1,+8)递减，可得f (x)7(1)=0,即有 In x l,Fz(x)=1+In x -1=In x,当x 1 时，尸(x)0,可得F(x)递增，即有F(x)F(l)=0,即有x l n x x-1,则原不等式成立；(3)
27、证明:设G(x)=1+(c -l)x -cx,则需要证明:当久e (0,需时,G(x)0(c 1);Gz(x)=c 1 cxl nc,G(x)=(Inc)2cx 0,G(x)在(0,1)单调递减，而G 0,由(2)可得0(1)=c-l-c l n c =c(l-In c)1 0,x e (t,1)时,G，(x)0成立,不等式得证；即 c 1,当X e (0,1)时,1+(c-l)x cx.方法2:主元法设c 1,当x 6 (0,1)时,有1+(c -l)x -cx 0此时看成关于C的函数，变更主元h(c)=xc-cx+1 x,h(c)=x x cz-1=x(l cx-1)由于c l,x e (
28、0,1),所以(c)O./i(c)是增函数所以h(c)/i(l)=x 1+1-x =0故 x c -cx+l -x 0所以 1+(c -l)x cx8.(2012秋-湖北理科乂1)已知函数/(x)=r x-xr+(1-r)(x 0),其中r为有理数，且0 r 0,a2 0,瓦,用为正有理数，若瓦+b2=1,则a a 并 内瓦+a2b2；8.(1)解:求导函数可得/(无)=r(l 一 -1),令/。)=0 解得 =1;当0 x 1时r(x)1时/。)0,所以f(x)在(1,+8)上是增函数所以f(x)在x =1处取得最小值-1)=0;(I I)解:方法由(I)知,x G(0,+8)时,有/(%)/(I)=0,即 0,a2 0,瓦,坛为正有理数，若瓦+b2=1,则3 1 磅2 4%瓦+a 2b 2方法2:此时变量较多。我们选取其中也作为主元，可以无需用第一问的结论要 证 货 喈%瓦+a2b2,构 造 g4）=端，谭-%瓦 一 a2 b2 g=碎 瓦 a”】一&=（磅 充】_1）瓦=（2 T瓦因为 o 刈 1,%=。2 时,g 3i）=o,%0,g（a J 递增,%a?时,丁）。，9（%）递减所以先增后减 g（a Jm a x =。（。2）=a2-a2=o用1谴2 4 的瓦+a 2 b 2得证