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1、数学实验课后习题解答配套教材：王向东戎海武文翰编著数学实验王汝军编写实验一曲线绘图【练习与思考】画出下列常见曲线的图形。以直角坐标方程表示的曲线:1.立方曲线=/clear;x=-2:0.1:2;y=x.A3;plot(x,y)2.立方抛物线丁=1clear;y=-2:0.1:2;x=y.A3;plot(x,y)grid on3.高斯曲线k eclear;x=-3:0.1:3;y=exp(-x.A2);plot(x,y);grid on%axis equal以参数方程表示的曲线24.奈尔抛物线x=，y=产曰=/)clear;t=-3:0.05:3;x=t.A3;y=t.A2;plot(x,y)
2、axis equalgrid on5.半立方抛物线X=*,y =f 3(y 2=x 3)clear;t=-3:0.05:3;x=t.A2;y=t.A3;plot(x,y)%axis equalgrid on6.迪卡尔曲线x=3at 3at21 +产1 +r(尤 3 +y3 axy-0)clear;a=3;t=-6:0.1:6;x=3*a*t./(l+t.A2);y=3*a*t.A2./(l+t.A2);plot(x,y)2 3 37.蔓叶线%=%(y2=-)1 +，1 +E Cl Xclear;a=3;t=-6:0,1:6;x=3*a*t.A2./(l+t.A2);y=3*a*t.A3./(l
3、+t.A2);plot(x,y)60厂 -40200-20-40-6001234567898.摆线 x=a(t-s i n t),y=b(l-co s/1)clear;clc;a=l;b=l;t=0:pi/50:6*pi;x=a*(t-sin(t);y=b*(l-cos(t);plot(x,y);axis equalgrid on9.内摆线(星形 线)x=6/cos3 tyy=a sin11(x+=a)clear;a=l;t=0:pi/50:2*pi;x=a*cos(t).A3;y=a*sin(t).A3;plot(x,y)1r-J0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1
4、-1-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 110.圆的渐 伸 线(渐开 线)x=a(cos Z +rsin t),y=a(sin t-tcos t)clear;a=l;t=0:pi/50:6*pi;x=a*(cos(t)+t.*sin(t);y=a*(sin(t)+t.*cos(t);plot(x,y)grid on11.空间螺线 x=acost.y=bsin t,z=ctcleara=3;b=2;c=l;t=0:pi/50:6*pi;x=a*cos(t);y=b*sin(t);z=c*t;plot3(x,y,z)grid on以极坐标方程表示的曲线：12.
5、阿基米德线r a(p,r 0clear;a=l;phy=0:pi/50:6*pi;rho=a*phy;polar(phy,rho/r-*r)13.对数螺线r=e。clear;a=0.1;phy=0:pi/50:6*pi;rho=exp(a*phy);polar(phy,rho)14.双纽线 r2=a2 cos2(p(x2+y2)2=a2(x2-y2)clear;a=l;phy=-pi/4:pi/50:pi/4;rho=a*sqrt(cos(2*phy);polar(phy,rho)hold onpolar(phyrho)15.双纽线 r=a sin 2(p(x2+y2)2=2a2xy)clea
6、r;a=l;phy=0:pi/50:pi/2;rho=a*sqrt(sin(2*phy);polar(phy,rho)hold onpolar(phy 0clear;closea=l;phy=0:pi/50:2*pi;rho=a*sin(2*phy);polar(phy,rho)17二叶玫瑰线 r a sin 3(p,r 0clear;closea=l;phy=0:pi/50:2*pi;rho=a*sin(3*phy);polar(phy,rho)18.三叶玫瑰线 r-tzcos3,r 0clear;closea=l;phy=0:pi/50:2*pi;rho=a*cos(3*phy);pola
7、r(phy,rho)实 验 二 极限与导数【练习与思考】1.求下列各极限(1)lim(l-)n(2)limVn3+3(3)+2-2771+4)M00 几 一8 一 8clear;syms nyl=limit(l-l/n)An,n,inf)y2=limit(nA3+3An)A(l/n),n,inf)y3=limit(sqrt(n+2)-2*sqrt(n+l)+sqrt(n),n,inf)yl=l/exp(1)y2=3y3=0(4)lim(-)(5)limxcot2x(6)lim(Jx2+3x-x)Xi X 1 X-l XTO XT8clear;syms x;y4=limit(2/(xA2-l)-
8、l/(x-l),x；l)y5=limit(x*cot(2*x),x,0)y6=limit(sqrt(xA2+3*x)-x,x,inf)y4=-1/2y5=1/2y6=3/2(7)lim(cos)J(8)lim(-)(9)lim 1+1XT8 X X Tl X eX-1 I。Xclear;syms x my7=limit(cos(m/x),x,inf)y8=limit(l/x-l/(exp(x)-l),x,l)y9=limit(l+x)A(l/3).l)/x,x,0)y7=1y8=(exp(1)-2)/(exp(1)-1)y9=1/32.考虑函数/(x)=3x2 sin(x3),-2 x 2作出
9、图形，并说出大致单调区间；使用diff求广(x),并求/(x)确切的单调区间。clear;close;syms x;f=3*xA2*sin(xA3);ezplot(邙2,2)grid on大致的单调增区间：21刃,1.3,1.2,1.7,2;大致的单点减区间：-1.7,-L3,L2,L7;fl=diff(f,xj)ezplot(fl9-2,2)line(-5,5,0,0)grid onaxis(-2.1,2.l,60,120)fl=6*x*sin(xA3)+9*xA4*cos(xA3)用 fzero函数找fx)的零点,即原函数/(x)的驻点xl=fzero(,6*xH：sin(xA3)+9*x
10、A4*cos(xA3)-2,-1.7)x2=fzero(/6*x*sin(xA3)+9*xA4*cos(xA3)-1.7,-1.5)x3=fzero(*6*x*sin(xA3)+9*xA4*cos(xA3)-1.5epsla=a+fn;n=n+l;fn=fn/n;ep=fn;endfnvpa(a,100)n8.3482e-101ans=2.71828182845904553488480814849026501178741455078125n=70精确到小数点后100位，这时应计算到这个无穷级数的前7 1项，理由是误差小于1()的 负10()次方，需要最后一项小于10的 负1()0次方，由上述循
11、环知n=7()时最后一项小于10的 负100次方，故应计算到这个无穷级数的前7 1项.4.用练习3中所用观测法判断下列级数的敛散性clear;clc;epsl=0.000001;N=50000;p=1000;syms nUn=l/(nA2+nA3);sl=symsum(Un,l,N);s2=symsum(Un,l,N+p);sa=vpa(s2-sl);sa=setstr(sa);sa=str2num(sa);fprintfC 级数，)disp(Un)if saepsldispC 收敛，)elsedispC发散)end级数1/(nA3+n人2)收敛clear;closesyms ns=；for
12、k=l:l()0s(k)=symsum(l/(nA3+nA2),l,k);endplot(s/.*)0.660.640.620.60.580.560.540.520.50 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100clear;clc;epsl=O.OOOOOl;N=50000;p=1000;syms nUn=l/(n*2An);sl=symsum(UnJ,N);s2=symsum(Un,l,N+p);sa=vpa(s2-sl);sa=setstr(sa);sa=str2num(sa);fprintfC 级数？disp(Un)if saepsldispC 收敛，)elsedis
13、pC 发散，)end级数1/(2人n*n)收敛clear;closesyms ns=；for k=l:l()()s(k)=symsum(l/(2An*n),l,k);endplot(s；J)0.70.680.660.640.620.60.580.560.540.520 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1008 I(3)y sin-=nclear;clc;epsl=O.OOOOOOOOOOOOOl;N=50000;p=100;syms nUn=l/sin(n);sl=symsum(Un,l,N);s2=symsum(Un,l?N+p);sa=vpa(s2-sl);sa=se
14、tstr(sa);sa=str2num(sa);fprintfC 级数，disp(Un)if abs(sa)epsldispC 收敛，)elsed is p(W)end级数l/s in(n)发散clear;closesyms ns=；for k=l:l()0s(k)=symsum(l/sin(n)J,k);endplot(s，)发散 落n=l nclear;clc;epsl=0.0()00001;N=50000;p=1000;syms nUn=log(n)/(nA3);sl=symsum(Un,l,N);s2=symsum(Un,l?N+p);sa=vpa(s2-sl);sa=setstr(s
15、a);sa=str2num(sa);fprintfC 级数，disp(Un)if saepsldispC 收敛，)elsed isp(W)end级 数log(n)/nA3收敛clear;closesyms ns=；for k=l:l()0s(k)=symsum(log(n)/nA3,l,k);endplot(s，)*n=nclear;closesyms ns=;he=0;for k=l:100he=he+factorial(k)/kAk;s(k)=he;endplot(s/J)1.91.81.71.61.5 1.41.31.21.10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10
16、01(6)y-clear;clc;epsI=0.0000001;N=50000;p=1000;syms nUn=l/log(n)An;sl=symsum(Un,35N);s2=symsum(Un,3N+p);sa=vpa(s2-sl);sa=setstr(sa);sa=str2num(sa);fprintfC 级数，)disp(Un)if saepsldispC收敛)elsedispC发散)end级数l/log(n)An 收敛clear;closesyms ns=；for k=3:100s(k)=symsum(l/log(n)An,3?k);endplot(s,.)1.41.21n=In nc
17、lear;clc;epsl=O.OOOOOOl;N=50000;p=100;syms nUn=l/(log(n)*n);10.80.60.40.20.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100sl=symsum(Un,3?N);s2=symsum(Un,3?N+p);sa=vpa(s2-sl);sa=setstr(sa);sa=str2num(sa);fprintf。级数，disp(Un)if(sa)epsldispC收敛)elsedispC发散)end级数1/(n*log(n)发散clear;closesyms ns=；for k=3:300s(k)=symsum(l/
18、(n*log(n),2,k);end 6 署w=l n 十 Iclear;clc;epsl=0.00000()l;N=50000;p=100;syms nUn=(-l)An*n/(nA2+l);sl=symsum(Un,3?N);s2=symsum(Un,3,N+p);sa=vpa(s2-sl);sa=setstr(sa);sa=str2num(sa);fprintfC 级数，disp(Un)if(sa)/9sin2/+4cos2 tdt=/5sin2 t+4dtMatlab代码为s=vpa(int(,sqrt(5*sin(t)A2+4)*/t0,2*pi),5)s=15.8654.(二重积
19、分)计 算 数 值 积 分(+x+y)dxdyx2+y2,2 y解：fxy=(x,y)l+x+y;ylow=(x)l-sqrt(l-x.A2);yup=(x)l+sqrt(l-x.A2);s=quad2d(fxyl,l,ylow,yup)s=6.2832或符号积分法：syms x yxi=int(l+x+y,y,l-sqrt(l-xA2),l+sqrt(l-xA2);s=int(xi,x,-l,l)s=2*pi5.(假奇异积分)用trapz,quad8计算积分1,co sx c Z r,会出现什么问题?分析原因，并求出正确的解。解：Matlab代码为clearx=-l:0.05:l;y=x.A
20、(l/3).*cos(x);sl=trapz(x,y)fun5=(x)x.A(l/3).*cos(x);s2=quad(fun5,-l,l)int(,xA(l/3)*cos(x),/x-l,l)si=0.9036+0.5217is2=0.9114+0.5262iWarning:Explicit integral could not be found.ans=int(xA(1/3)*cos(x),x=-1.1)，原函数不存在，不能用int函数运算。用梯形法和辛普森法计算数值积分时，由于对负数的开三次方运算结果为复数，所以导致结果错误且为复数；显然被积函数为奇函数，在对称区间上的积分等于0,此时可
21、以这样处理：(1)重新定义被积函数%fun5.mfunction y=fun5(x)m,n=size(x);for k=l:mfor l=l:ny(k,l)=nthroot(x(k,l),3)*cos(x(kj);endendend用辛普森法：s=quad(,fun5-l,l)s=0用梯形法clear;x=-l:0.01:l;y=fun5(x);s=trapz(x,y)s=-1.3878e-0176.(假收敛现象)考虑积分/(Z)=(：sinx团，(1)用解析法求/伙)；clear;syms x k;Ik=int(abs(sin(x)909k*pi)Warning:Explicit integ
22、ral could not be found.Ik=int(abs(sin(x)r x=0.,pi*k)(2)分别用trapz,quad和 quad8求/(4),/(6)和/(8),发现什么问题？clear;for k=4:2:8;x=0:pi/1000:k*pi;y=abs(sin(x);trapz(x,y)endans8.0000ans=12.0000ans=16.0000for k=4:2:8fun6=(x)abs(sin(x);quad(fun6,0,k*pi)endans=8.0000ans=12.0000ans=16.00007.(S impson积分法)编制一个定步长S imps
23、on法数值积分程序.计算公式为h/=s”=(力 +4力+2力+4力+2/,+4/+fn+i)其中为偶数，力=-yfi=f(a+(z-l)A),z=1,2,+1.n解：Matlab代码为%fun7.mfunction y=fun7(Lname,a,b,n)%f_name为被积函数%a,b为积分区间%n为偶数，用来确定步长h=(b-a)/nif mod(n,2)=0disp(rn 必须为偶数)return;endif nargin4n=100;endif nargin3dispC请输入积分区间)endif nargin=0dispCrror1)endh=(b-a)/n;x=a:h:b;s=0;fo
24、r k=l:n+lifk=l|k=(n+l)xishu=l;elseif mod(k,2)=0 xishu=4;elsexishu=2;ends=s+feval(fLname,x(k)*xishu;endy=s*h/3;end8.(广义积分)计算广义积分exp(-x2).ri tan(x)-；dx,dx,L 1 +x4 J。6 I sin x,ax-x2并验证公式x2exp(-)J-8 J2万解：Matlab代码为clear;sinxxdx=-2syms xsl=vpa(int(exp(-xA2)/(l+xA4)inf,inf),5)s2=quad(x)tan(x)./sqrt(x),0,l)
25、s3=quad(x)sin(x)./sqrt(l-x.A2),0,l)s4=vpa(int(exp(-xA2/2)/sqrt(2*pi),-inf,inf),5)s5=int(sin(x)./x,0+eps,inf)si=1.4348s2=0.7968s3=0.8933s4=1.0s5=pi/2-sinint(1/4503599627370496)实 验 五 二元函数的图形【练 习 与 思 考】1.画出空间曲线+在 _30 In fmincon at 445Local minimum possible.Constraints satisfied.fmincon stopped because
26、the predicted change in the objectivefunctionis less than the default value of the function tolerance andconstraintswere satisfied to within the default value of the constrainttolerance.No active inequalities.x=161.9676 182.0320fval=-715.4403400350300250200150.7 0 0I6 5 0600550500U 4 5 0Ho100100 150
27、 200 250 300 350 400heigh和 height两个函数分别定义如下：(应写在m 文件中)%heigh.mfunction f=heigh(beta,xdata)xxl=xdata(:,1);xx2=xdata(:,2);f=beta(1)+beta(2)*xxl+beta(3)*xx2+beta(4)*xxl.八2+beta(5)*xx2.*xxl+beta(6)*xx2.人2;end%height.mfunction y=height(x)y=-(434.0000+1.9079*x(l)+1.0366*x(2)-0.0017*x(1).A2-0.0046*x(2).*x(
28、l)-0.0017*x(2).A2);end实验六多元函数的极值【练习与思考】1.求z =/+y 4-4 q+1的极值，并对图形进行观测。解：M a l t a b代码为syms x y;z=xA4+yA4-4*x*y+l;dzx=diff(z,x);dzy=diff(z,y);x,y=solve(dzx,dzy,x,y)X =01-1(-1)人(3/4)一(一1)人(3/4)-(-1)A(3/4)*i(-1)人(3/4)*iy =01-1(-l)A(l/4)-(-l)A(l/4)i-i(-1)A(1/4)*i-(-1)A(1/4)*i经计算可知，函数的驻点为(0,0)、(1,1)、(-1,-
29、1)ezmeshc(z,-2,2)=/+2/在(1,0)、(-1,0)取得极小值，在(0,1)、(0,-1)取得极大值。3.在球面V+y2+z 2=l求 出与 点(3,1,4)距 离 最 近 和 最 远 点。解：设 球 面 上 的 点 为(x,y,z),则 此 点 与 点(3,1,-1)的 距 离 为d(x,y,z)=(x -3)2+(y-1)2+(z+l)2 且(x,y,z)满 x2+y2+z2=；构造Lagrange 函数L(x,y,z,A)=(x 3)2+(y-I)2+(z+1)+4(r +y+z2 1)求 Lagrange函数的自由极值.先求L 关于x,y,z,/l的一阶偏导数，再解正
30、规方程可得所求的极值点，Matlab代码为clearclear;syms x y z kL=(x-3)A2+(y-l)A2+(z+l)A2+k*(xA2+yA2+zA2-l);dlx=difT(L,x);dly=diff(L,y);dlz=diff(L,z);dlk=diff(L,k);s=solve(dlx,dly,dlz,dlk,x,y,z,k);x=s.x*y=s.y*z=s.z*k=s.k*x(3*1 1人(1/2)/1 1,-(3*1 1A(1/2)/l l y=11A(1/2)/l lf-l lA(l/2)/l l z=-l lA(l/2)/l l,l lA(l/2)/l l k=
31、11A(1/2)-1,-11A(1/2)-1vpa(eval(L),5)ans=5.36 6 8,18.633得到条件极值点为（主 叵，包,-姮）、（-士 叵,-包,姮），经判断，球面1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1/+2+2 2=1上与点（3,一 1）距离最近的点为（耳,空,一 坐），最远的点/3 而 vn vn、（一 二 一 亍 丁）。4.求 函 数/(x,y,z)=x+2 y +3 z 在 平 面 工-y +z =1 与 柱 面 上+2=的 交 线 上的 最 大 值。解：构造L a g r a n g e 函数L(x,y,z,4)=x +2 y +3 z +4(x-y +z
32、-l)+4(x 2 +y2-1)求 L a g r a n g e 函数的自由极值.先求L关于x,y,z,4,4的一阶偏导数，再解正规方程可得所求的极值点，M a t l a b 代码为clear;syms x y z kl k2L=x+2*y+3*z+kl*(x-y+z-l)+k2*(xA2+yA2-l);dlx=diff(L,x);dly=diff(L,y);dlz=diff(L,z);dlkl=diff(L,kl);dIk2=difT(L,k2);s=solve(dlx,dly,dlz,dlkl,dlk2,x,y,z,kl,k2);x=s.x*y=syz=s.z*kl=s.klk2=s.
33、k2fX=(2*2 9八(1/2)/2 9,-(2*29A(1/2)/29y=-(5*29人(1/2)/2 9,(5*29A(1/2)/291(7*29A(1/2)/2 9,(7*29人(1/2)/29+1k l=-3,-3k2=29人(l/2)/2,-2 9A(1/2)/2eval(L)ans=3 -29A(1/2),29人(1/2)+3经 判 断 可 知，函 数/Cx,y,z)=x +2 y +3 z 在 平 面 冗-y +z =1与 柱 面/+2=1 的 交 线 上 的 最 大 值 为 3 +炳。5.求函 数 Z=/+y2在 三 条 直 线 x =i,y =i,x+y=i 所 围 区 域
34、 上 的 最 大 值 和最 小 值。解：显然此函数的驻点为(0,0)不在此区域内，因此该函数的最大值和最小值点应在三条边界上，下面分别求此函数在这三条边界上的最大值和最小值，M a t l a b 代码如下(1)求函数在直线边界x=l,O K y K l 上的最大值和最小值将x=l 代入原函数，则二元函数变为一元函数z=l+y2,0 y l最大值点为y=l,最大值为2,最小值点为y=0,最小值为1；(2)求函数在宣线边界y=l,O W x W l 上的最大宿和最小值将x=l 代入原函数，则二元函数变为一元函数z=l+x2,0 x l最大值点为x=l,最大值为2,最小值点为x=0,最小值为1；(
35、3)求函数在直线边界x+y=l,O W x W l 上的最大值和最小值将y=l-x 代入原函数，则二元函数变为一元函数z=(1-x)2+x2,0 x l用M a t l a b 命令求此函数的最大和最小值点先求驻点clear;syms xz=(l-x)A2+xA2;dzx=diff(z,x);x=solve(dzx,x)x=1/2zl=eval(z)计算在驻点处的函数值z l=1/2计算在区间端点处的函数值z2=subs(z,0)z3=subs(z,l)z2=1z3=1比较函数在各点处的函数值可知函数的最大值点为(1,1),对应的最大值为2,最小值点为(1/2/2),最小值为1/2 o实验七常
36、微分方程【练习与思考】1 .求下列微分方程的解析解a)一阶线性方程y-x 3 y =2dsolve(,Dy-xA3*y=2*x,)ans=C2*exp(x人4/4)+exp(x人4/4)*int(2/exp(x人4/4),x)b)贝努利方程y-xy2-y =0dsolve(Dy-x*y 八 2-y=0,x)ans=0exp(x)/(C4-exp(x)*(x-1)c)高阶线性齐次方程：T-y-3 y+2 y =0dsolve(,D3y-D2y-3*Dy+2*y=0,)ans=C8*exp(2*t)+C6*exp(t*(5A(1/2)/2-1/2)+C7/exp(t*(5A(1/2)/2+1/2)
37、d)高阶线性非齐次方程y”-3 y+2 y =3 s i n xdsolve(,D2y-3*Dy+2*y=3*sin(x),x,)ans=(9*cos(x)/10+(3*sin(x)/IO+Cll*exp(x)+C10*exp(2*x)e)欧拉方程/了”+/),，_3孙，=4/dsolve(,xA3*D3y+xA2*D2y-3*x*Dy=4*xA2,x,)ans=C13+C15*xA(3(1/2)+1)+C14*x/()=3的解析解和数值解，并进行比较解：解析解为y=dsolve(,(l+xA2)*D2y=2*x*Dyyy(0)=r/Dy(0)=3,/x,)y=x*(x人2+3)+1数值解：设
38、 y=y,%=V 则原方程化为微分方程组I7 1+X2定义函数m 文件fun7_2.m如下function f=fun7_2(x,y)f=y(2);2*x.*y(2)./(l+x.A2);再用ode45求解x,y=ode45(ffun7.2;0,5,13)；plot(x,y(:,l)/ro*)hold onezplot(*x*(xA2+3)+l0,5)3.分别用ode45和 odel5s求解Van-del-Pol方程-1 0 0 0(l-x2)-x =0,dt dt尤(0)=0,x(0)=l)的数值解,并进行比较.解：设%=x，z=x 则原方程化为微分方程组产=x2=1000(1定义函数m 文
39、件fun7_3.m如下function f=fun7_3(t,x)f=x(2);1000*(l-x(l).A2).*x(2)+x(l);再用ode45和 odel5s分别求解此方程，并绘图比较clear;clftl,xl=ode45(,fun7_3;0,0.1,0,l);t2,x2=odel5s(Tun7_30,0.1J0,l);plot(tl,xl(:,l)/ro,t2,x2(:,l)4.(单摆运动的近似解析解)当单摆初始角度较小时,e)也较小，从sin e N 6,单摆运动微分方程可近似写为mlff,=mgO,6(0)=%,夕()=0求此方程的解析解，并与练习3 中的数值解进行比较.解：用
40、 Matlab命令求此方程的解析解，按练习3 中的取值/=l,g=9.8招(0)=15clear;close;s=dsolve(,D2y=9.8*y,y(0)=l*pi/180,/Dy(0)=0Vt，)s=pi/(360*exp(7*5A(1/2)*t)/5)+(pi*exp(7*5A(1/2)*t)/5)/360练习3 的中数值解%M文件fun7_4.mfunction f=fun7_4(tz y)f=y(2)z 9.8*sin(y(l)%f 向量必须为一列向量运行MATLAB代码t,y=ode45(,fun7_40,10,l*pi/180,0);s=eval(s);plot(t,y(:,l
41、),ro);xlabel(t),ylabel(yr)hold onplot(t,s)xlabel(,t*),ylabel(*y2,)显然，在这个区间内，二者差别较大，下面改为较小区间clear;close;s=dsolve(D2y=9.8*y,y(0)=l*pi/180,Dy(0)=0,t,)t,y=ode45(fun7_4,0,2,Ppi/180,0);s=eval(s);plot(t,y(:,l),ro);hold onplot(t,s)s=p i/(3 6 0*ex p(7*5A(1/2)*t)/5)+(pi*exp(7*5A(1/2)*t)/5)/360由图象可知，区间改为 0,2 上
42、时能观察出大概在区间 0,1.5 内二者能够较好吻xS.口。实验八平面图形的几何变换【练习与思考】1.将函数)，j”的图形向右平移3个单位且向上平移3个单位.解：Matlab代码为clear;close;x=-2:0.1:2;y=exp(-x.A2);xl=x+3;%图形向右平移3个单位；yl=y+3;%图形向上平移3个单位；plot(x,y,xl,y,:,xl,yl,:,linewidth,3);axis(-3,6,-l,5)xlabel(x);ylabel(y);grid on2.将函数y=e*的图形在水平方向收缩一倍，在垂直方向放大一1 口。clear;close;x=-2:0.1:2;
43、y=exp(-x.A 2);xl=x/2;%囱形在水平方向收缩一倍；yl=y*2;%图形在垂直方向放大一倍plot(x,y,xl,y,-.,xl,yl,:,linewidth,3);axis(3,3,l,3)xlabel(M);ylabeK/y*);grid on3.将函数 =/的图形以原点为中心，顺时针旋转30度角.clear;close;x=-2:0.1:2;y=x.A2；xl=x*cos(-pi/6)-y*sin(-pi/6);yl=x*sin(-pi/6)+y*cos(-pi/6);plot(x,y,xl,yl,T:,linewidth,3);legend。原卤；顺时针旋转30度角后的
44、图，)xlabd(x);ylabel(y);grid on4.已知函数y=2 x-/,0K xW 2,试扩展函数的定义域，使之成为以2周期的偶函数，并画出函数在-8,8 上的图形。若要把函数延拓成以4为周期的奇函数呢？解：延拓成以2周期的偶函数，画出函数在-8,8 上的图形的Matlab代码为：clear;close;x=0:0.1:2;y=2*x-x.A2;xl=x;yl=-2*xl-xl.A2;x2=x+2;y2=y;x3=x-2;y3=yl;x4=x2+2;y4=y2;x5=x3-2;y5=y3;x6=x4+2;y6=y4;x7=x5-2;y7=y5;Plot(x,y,xl,yl,x2,
45、y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7);xlabel(x);ylabel(y);0.9把函数延拓成以4为周期的奇函数，画出函数在-8,8 上的图形的Matlab代码为：clear;close;x=0:0,1:2;y=2*x-x.A2;xl=x;yl=2*xl+xl.A2;x2=x-4;y2=y;x3=xl+4;y3=yl;x4=xl-4;y4=yl;x5=x2+8;y5=y2;x6=x2-4;y6=y2;x7=x3+4;y7=y3;Plot(x,y,xl,yl,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7);%legend(,x-y,xl-
46、yl,；x2-y2,；x3-y3,x4-y4,x5-y5,；x6-y6,；x7-y7,)xlabel(,x,);ylabel(y);grid on5.做怎样的变换才能使函数图形绕给定的点(a,。)转动?这个变换可以分解成3个基本变换:平移量为(-a,-)的平移变换7；,旋转角度为a的旋转变换。,7；的 逆 变 换 求 出 变 换 矩 阵，写出与变换相应的方程,并对具体的函数图形进行变换.a)y =s i n x,x e (0,2乃)(2)x=asint,y=hcost.te(0,2 )解：a)clear;close;a=pi;b=0;alpha=60*pi/l 80;Tl=l 0-a;0 l-
47、b;0 0 1;T2=cos(alpha)-sin(alpha)0;sin(alpha)cos(alpha)0;0 0 1;T=inv(Tl)*T2*Tl;%inv 求矩阵的逆x=0:0.1*pi:2*pi;y=sin(x);xl=T(l,l)*x+T(l,2)*y+T(l,3)；yl=T(2,l)*x+T(2,2)*y+T(2,3)；plot(x,y,xl,y 1,a,b.markersize 135);xlabel(x);ylabel(y);text(a,b/leftarrow(a,b)y fontsize 30)grid onb)clear;close;a=l;b=2;alpha=60*
48、pi/180;Tl=l 0-a;0 1-b;0 0 X;T2=cos(alpha)-sin(alpha)0;sin(alpha)cos(alpha)0;0 0 1;T=inv(Tl)*T2*Tl;%inv 求矩阵的逆t=0:0.1*pi:2*pi;x=a*sln(t);y=b*cos(t);xl=T(l,l)*x+T(l,2)*y+T(l,3)；yl=T(2,l)*x+T(2,2)*y+T(2,3)；plot(a,b；ox,y,xl,yl);xlabel(,x,);ylabelCy1);grid on实验九万的近似计算【练习与思考】1.利用勾股定理推导在割圆术中给出的公式%2+=-2-4-T：
49、6 2 6-24!=-2 X&2,S2n 0.00001s=s+l/(2*k+l)A2;pai=sqrt(s*8);k=k+l;flag=pi-pai;endk-1vpa(pai,5)toeans=ans=3.141631831Elapsed time is 0.097453 seconds.4.使用高斯公式 二48 arctan-4-3 2 arctan 20 arctan-18 57 239和斯托梅公式 1 o 1 )17T =24 arctan-+8 arctan-F 4 arctan-8 57 239计算出万的前6 0 位小数。5 .用改进后的公式I 1 2 y(-l)(6 n)!1
50、3 5 9 1 4 0 9 +5 4 5 1 4 0 1 3 4 7 一|M(!)3(3 )!6 4 0 3 2 0 6 4 0 3 2 02 7的前=1,2,3,1 5 项计算乃的值，并列出计算误差。6 .使 用 B a i l e y 的迭代算法X)=5(石-2),cn=(2-)2,dn-1,e,=4,Q(7 +c.)2-3 d,：+7 +g),2 5=yn-an-i _ 5 Tp5+J y“T(y 3 -2 y,I +5).迭代计算4次，计算乃的近似值，观测近似效果。并用迭代误差估计公式 一 J _ 1 6 5 e-田 计算出迭代次数和迭代误差界的数据表(2 0)。实验十周期函数【练 习