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1、习题一习题解答1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1)1-4-1-1183111(3)abca2b2c2x y x+y(4)y x+y xx+y x y解原式=2 x(-4)x 3 +0 x(-l)x(-l)+l x i x 8-l x(-4)x(-l)-2 x(-l)x 8-0 x i x 3=-4；(2)原式=acb+bac+cba-c3-a3-b3=3abc-a3-b3-c3;(3)原式1 b*c2+1*c*a1+1 a*b2-1*b a2-c b2-1 a c2=be2+ca1+ab2 ba2-cb2-ac2=c2(b-a)+ab(,b-a)-c(b2-a2)=(a-b)(b
2、 c)(c-a);(4)原式=工(工+)3 +央(.1：+)+(工+力.一(工+田3 一/一/=-2(j?+y 3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1；(4)2 4 1 3;(5)1 3 (2n-1)2 4 (2M)；(6)1 3 (2M-1)(2 n)(2 n -2)2.解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0;(2)此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1 的逆序数为1;第3 位元素 3的逆序数为1;末位元索2的逆序数为2,故它的逆序数为0 +1 +1 +2 =4；(3)此排列的前两位元索的逆序数均为0;
3、第 3位元素2的逆序数为2；末位元素1 的逆序数为3,故它的逆序数为0 +0+2 +3 =5；(4)类似于上面，此排列的从首位元素到末位元索的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为0 +0 +2+1 =3；(5)注意到这2 n个数的排列中，前 n位元素之间没有逆序对.第”+1 位元素2 与它前面的n-1 个数构成逆序对，故它的逆序数为n -1;同理，第”+2倍元索4的逆序数为”-2;；末位元素2”的逆序数为0.故此排列的逆序数为(”-1)+(”-2)+0=*-”(-1);(6)与(5)相仿，此 排 列 的 前n+1位元素没有逆序对；第”+2位元素(2 -2)的逆序数为2；第”+3位 元 素
4、2n-4与它前面的2n-3,2”-1,2”，2 -2构成逆序对,故它的逆序为4；末位元素2的逆序数为2(n-1),故此排列的逆序数为2+4+2(”-1)=-1).3.写出四阶行列式中含有因子。“牝3的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行 和 第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即和。“或和0,2注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2,故 此 行 列 式 中 含 有 的 项 为 一。“卬3。32。“与 a 2 3 a 3 4 a 42.4.计算下列各行列式:412412021052001172 1 4 13-1 2 1(2)1 2 3 25 0 6 2ah,破
5、(3)b d -c d d e ;bf c f -e fI 解 a 1 0 0-1 6 1 0(4)0-1 c l0 0-1 dD1 2 0 21 2 0 24 1 2 4ri-4 r|0-7 2-410 5 2 0r3-IOf)0-15 2-200 1 1 70 1 1 7=0(因第3、4行成比例);1 2 0 21 2 0 20 1 1 7+15，z0 1170-15 2-20r,+7。0 0 17 850-72-40 0 9 452r2+rt 5一I 4 1 6 2=0(因有两行相同);2 3 20 6 2ri v a(3)D=adfrj-bbbc白+rabcdef:e(4)D=0-10
6、0-1001 +a6b-10o2a11+ab-10a-1ad-e12.0001dCiT b=7=abcdef口 T Ccx,r e=Aabcdef c-11 +cd0111-1按 C 展开/、，、3按n 展 开(-1.)(-I)51一 11+ab-101+ab-1a 0c 1-1 dad1+cd=(l+a6)(l+cd)ad.5.求解下列方程：x+1221111(1)-11=0；b2b3x+1=0,其中 a,b,c-11a2ac互不相等.110解（D左 式 二XZ+3)ri r(r+3)21-1X+100C|,一(1 r +3)12X-121=(z+3)-1j-112 x+1=(*+3)(工？
7、-3).于是方程的解为:工产-3,七=6,工 3=-方;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，由例1 2的结果得(x-a)(x-6)(x-c)(a 6)(a-c)(6-c)=0.因a,6,c互不相等，故方程的解为：斗=%叫=。，叼=，.6.证明：a2 ab(1)2a a+b1 1b22b=(a -Z )3；1ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxaz+bxax+byay+bzx=(a3+63)yzy zZ X工 ya2(a+1(a+2(a +3)2b2(6 +1)2(6 +2)2(6 +3)2c2(c+l)2(c +2)2(C+3)2d2(d +h(d+2)1(d +3)21(
8、4)abb2b*1 1c dc2 d：=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);a2-h2证(1)左式 2(a-)Q一口0ab-b2 b2a-b 2b0 1C-2c2(a -h)200ab-b2 h2a-b 2b0 1=(a -b)3=右式;(2)将左式按第1 列拆开得ax ay+bz az+bxby ay+bz az+bx左式=ay az+bx ax+by+bz az+bx ajc+byaz aj：+by ay+bzbx ax+by ay+bz=a D I +bD2,其中D.yay+bzaz+bxa x byaz+bxa x +byay+bzC 3一姐
9、yay+bzaz+hxa xbyzyD2于是(3)左 式 C L 加3 2一 二 aC 2 ；ay zyyzay+az+a x +D =aD,+b12d22 abr4-a2 r i(4)左式=r -sr2-S1000按o展开各列提取公因子bxbyyx yaz+bxa x +ay+z yy%ybybz=byi yzyaz+bxa x byay+bzyy必=(/+)2 a+126+12 d+12 A +12 c+12d+1y zy右式.+1+122222a+32a+526+326+52c+32c+52 d+32 d+522221b-ab(b-a)b2(b2 a2)=0(因有两列相同);c(c 一
10、a )2/2 2 x c -a)d -ad(d -a)d2(dz-a1(6 -a)(c -a)(d -a)r j-6(f r +a)r 21b62(6 +a )c2(1 12)1c +a)/(d+)1(b-a)(c a)(d -a)0 c-b d -b(b a)(c -a)(d-a)0c-b d -byz y其中:z =c 2(c +)-(6 c)(b +a)=c(J+a c -*-而)=c(a +6 +c)(c-6);3=/(壮 +0)-6 d(b +a)=d(a +6 +d)(d -。).j c-b d b,、/、1 1故=(c-b)(d-b)x y c(a+6+c)d(a+6+d)=(c
11、-6)(d-6)d(a +6+d)-c(a +b+c)=(c-d)(t/-6)(J-c)(a +6)+2-c2=(c-6)(d-6)(d-c)(a +b+c+d),因此，左式=(6-a)(c-a)(d-a)(c-)(d-6)(d-c)(a +6+c+d)=右式.(5)证一 递推法.按第1 列展开，以建立递推公式，-1x-1 0D.产工D.+(-l).*x-1=xDn+(-l)2*2a0=xDn+aQ.又，归纳基础为：口=。.(注意不是z),于是D1=HDR+曲=X(XDH-I+即)+a。=X2D.|+O|x+a0=xD|+a 工 +%n +=a0+a,x +azjc2+,+aMx.证二 按最后
12、一行展开得一 J7 .设 阶行列式。=U与），把 D上下翻转、或逆时针旋转9 0,、或依副对角线翻转,依次得%a at.Dt=:,D2=:flu fli.a）i证明 D 1 =D =（-1 ），2 D,D j=D.证（1）先计算D i,为此通过交换行将D,变 换 成 D,从而找出5与 D的关系.D,的最后一行是D的 第 1 行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行,共进行-1次交换;这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共 进 行”-2次交换；，直至最后一行是D的第-1行,再通过一次交换将它换到第-1行，这样就把D,变换成D,共进行1次交换，故=注1,上述交换行列
13、式的行（列）的方法，在解题时，经常用到.它的特点是在把最后一行换到某一行的同时，保持其余”-1个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）.2,同理把D左右翻转所得行列式为（-1）$（2）计算D?.注意到D2的第1,2,，”行恰好依次是。的 第 ，-1，,1 列,故若把D2上下翻转得方?，则 D2的 第 1,2,，”行依次是。的 第 1,2,，n列，即方2 =E T于是由（I）D2=（-1）I*D.（3）计 算 D,.注意到若把D,逆时针旋转9 0 得万3,则 D,的 第 1,2,，”列恰好是D的第”，”-1,，1 列，于是再把D,左右翻转就得到。.由（1）之注及 ，有D j=D.注本例的结论
14、值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转1 80 所得行列式不变;作上下翻转、左右翻转、逆（顺）时针旋转 孙所得行列式为8.计算下列各行列式（D4为A阶行列式）:D=1，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0；aD.=aa aax(a-1)(a-D-(a-n)M -Ia-n)(3)D,(1=a 11a1a-n1提示：利用范德蒙德行列式的结果.a“b.D2,=为 b，其中未写出的元素都是0;。*=det(a；,),其中 4 =I i-j I;1+a,1 1,1 1+a2 1 _ .D“=.，其中即。2a”。0.1 1 1+%(1)解一 把 D.按第一行展开得0 aD.=屋+(-1严
15、,J a10+(-1)a =a 面-1).按第一列展开(2)本题中D.是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列式,在以后各章中有不少应用.解 利 用 各 列 的 元 素 之 和 相 同，提取公因式.x +(n-l)a 1 十(九一 l)a x+(n-l)a11-1=(x -a)*1 x +(n-1 )a .(3)解 把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻转(相当于转1 80 ,参看题7)其值不变.于是按范德蒙德行列式的结果，可得1 1 1a-n a-n+1 a _.(a -)(a -n+1)a(
16、4)解 本题与例1 1相仿，解法也大致相同，用递推法.由例 1/,.、c即有递推公式o2,=(f l A -V)D2(W.O.a.bi另一方面，归纳基础为D2=j dC利用这些结果，递推得6 diD?.=-打)(44 一 d)=口(4&-bkck).解(6)解 将原行列式化为上三角形行列式.为此，从第 2 行起，各行均减去第 1行，得与例1.3相仿的行列式其中b=1 +Q 十a。D=a3 1 -1工-5 1 39.设 D 二2 0 11 -5 3A jj+3A3 2 -2A3 3 +2A3 4 .解 与 例 13相仿，A31+343 行对应元素所得行列式，即G +冬也)于是(多办2一:，口的(
17、八/)元的代数余子式记作A,求-32 -2 A*+2A”等于用1,3,-2,2 替换D的第31-1231-11Ay,+3A32 2 A 33+2 A u =-513-4c=9-513-12一 一13-213-201-53-31-53031-11-1-1 小-2220-2)13-213-2 0按C 4展 开一 乙1-531-53 0=2 4.1 0.用克拉默法则解下列方程组：x(+x2+X,+x4=5;X|+2X2-叫+4 z 4 =-2;2 x i -3X2 一%一5X4=-2,3 x,+必+2 n +1 LT4=0;=1.+6r,=0,+5X3+6x4=0,x3+5X4=1.1解O 5-2-
18、20按CJ展开-272312-3100012-311-1-121100-1331032-2214-511-2-13-514-5113-2-13814-49=_ 142;100011-5-253310-2723-101-2-3-13-2-100-181413-78=-142;15-4932-2291232510000151115115=i-2-14r i-r i0-7-232-2-1-5r-2rl0-12-3-730211T-3，i015-183-12-3-7-15-18230-13330-31-15-18按 a 展开2333-13-31=一 284;D3=11231215 1115 1-2 4
19、0 1-73-2 -5r，-2rl0-5-12-70 11-3j0-2 -15 81511-71-478-4701-29143810D4=000=一 426;-29141201 1 511152-1-2?1 n0 1 -2-7-3-1-2n -2ri0-5-3-121 2 03|0-2-1-151 1 1 533+5,201-2-7-13-47=142,+2r200-13-47-5-290 0-5-29由克拉默法则，得斗 士 得=1，与=您=2,4 =等=3,14=等=-1;5D=:0651006500655按门展开5 106 05 6-1 5610051065而于是 D=325-114=21
20、1；0016 05 61 50 1(*)6 0 01 5 6=114,0 1 500 按C|展开6 55106510 66-50 06 05 6D2=6 5-2 1 6=-1 51;5 1 0 O l 1 0 6 0 按q展开ii-=00 0 5 600 1 1 5|=-1 9+1 80=1 61；6050 056+1 6 01 505 6D3=5 61 50 10 010000 按C 3展开5100 56-15 060501 6=5 -1 1 4 =-1 0 9;6 0 15 6 0 按j展开51-00由(-1 +65=64.由克拉默法则，得5656 015十15 60101 50(_ 1
21、51 _ D2 _ 1 61 _D3_ 1 0 9 _D,_6 4 D 2 n X2=D=2U X i=D=2 n =-D=2H-1 1.问;取 何 值 时，齐次线性方程组A x|+a：j +=0,|+以2 +工3 =0,I +2/12+工3 =0有非零解？解 由定理5,此时方程组的系数行列式必须为0.故只有当“=0或;1 =1时，方程组才可能有非零解.,当“=0,原方程组成为J Ax|+x2+与=0,+3 二0，显然X,=1,2=1-A,Xj=-1是它的一个非零解;当义=1,原方程组成为N|+叫+=0，Xj+pJC2+Z3=0，X|+2fJL X2+x3=0,显然，工I =-1,工2=0,工
22、3 =1是它的一个非零解.因此，当=0或4=1时，方程组有非零解.注 定理5（或定理5）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列式必为零.至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非零解.下题也是同样情形.12.问人取何值时，齐次线性方程组(1-A)Xj 2X2+4X3=0,a=0或4=2或4=3,并且不难验证：当a=0 时，了1=-2,巧=1，工3 =1；当入=2时，11=-2,工2 =3,13=1；当4=3时，叫=-1,工2 =5,壬=2均是该方程组的非零解.所以当a=0,2,3时方程组有非零解.习题二习 题 解 答1.计算下列乘积:3(2)(1,2,3),2=(1O)
23、1XI=10;.1Jaxla x+a 12 x2+al3x3=(J j ,X2)|x 3 a lx+a22x2+a23x3 13*1+a23x2+a33x3 jx|=a1 1x?+a1 2X|X2+d u X j X j +al 2x2X|+aux +aux2x3+anxyxX+a2jx3x2+a3 3x=0 工；+22工；+0 3 3工；+2a 2 工 1 12+2auXlX3+2a 23 H 2 1 3 .1 12,设 A=1 11-1求 3A B-2A 及A B.1 1 2-1 ,B=-1 -21J 0 53410 15 241 2 20-15 18-2 26 27 oj t2-25 8
24、-5 6.9 0,-l lill13-1 7292220;-2.因AT=A,B P A为对称阵，故AT B=AB=0025-598603.已知两个线性变换叫=2%+山，F=_ 2必 +3y2+2y3,工=4”+%+5皿，yi=-3|+z2,山=2与+%，%=_ 之2 +3zj,求 从Z1,z2,z3到X|9x2 X3的线性变换.解 依 次 将 两 个 线 性 变 换 写 成 矩 阵 形 式：X=AY.Y=5 Z,B=这里矩阵-32010-1013分别为对应的系数矩阵；*=在这些记号下，从 盯，之2,叼 到 为，巧，4的线性变换的矩C=AB=X=AY=A(BZ)=(AB)Z=CZ,即有X|=-6
25、%|十 之2 +3力x2=Liz,-4Z2+9叼工3 =-10Z|-Z?+1623 231 01 24.设 A=,B=，问：1(1)AB=BA 吗？(2)(A+B)2=A2+2AB+52吗？(A+5)(A-J3)=A 2-S 2吗？解(1)因 AB=广 21 31 01 23 44 60211,BA1 21 33，故 ABHBA;(2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,但由(1),A B N B A,故 AB+BAW2AB,从而(A+B)2 A2+2AB+B2;(3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-B：但由(1),A BK BA,故 BA-ABW O,从而(A
26、+B)(A-B)A2-B1.5.举反例说明下列命题是错误的：(1)若 A?=O,则 A=O;(2)若 A?=A,则 A=O 或 A=E r(3)若 AX=A Y,且 A户O,则 X=Y.解(1)取 A=(：),有 T =O,但 AHO;取 A=(：),有 A?=A，但 A#O 且 A R E;取 A=(：R，X=(：0),Y=A=(：R,有 AX=A Y,且 A K O,0 0/0 1/0 0/但X手Y.6.设 A=(；),求 T ,A，A.解 直 接 计 算 得 y：）（：XL0.）.=（：制：一般可得(2.3)事实上，当 6=1 时，（2.3）式显然成立;设 当 A=力时，（2.3）式成立
27、，那么当万二+1 时,/1 0/1 0 7 1 0nA 1/U 1/(n+l)A 1由归纳法，知（2.3）式成立.A 1 07,设 A=0 A 1 ,求 A 0 0 A.解 把A写成两个矩阵之和0A00 (00+0A)(01 00 1 =AE+B,0 00其中三阶矩阵B=0001 01 满 足 32=0oj lo1000 10 0 H=o (4 3).0 0于是 A,=(A E+B)=CAE+C*t B+C：B=CAE+CLA_1 B+C j 7 BlA CLA1 O 2A2 HAn(n-1)2=0 A C!,A,=厂|0 A2nX(42)10 0 A.0 0A2.8.设A,B为”阶矩阵，且A
28、为对称阵，证明A B也是对称阵.证根据矩阵乘积的转置规则,有(BT4B)T=BTAT(BT)T=BTAB(因 A 为对称阵),故由定义，知BTA B为对称阵.9.设A,B都是 阶对称阵，证 明A B是对称阵的充要条件是AB=EA.证 因 AT=A,B T=B，故A B为对称阵Q(AB)T=ABBTAT=ABBA=AB.1 0.求下列矩阵的逆阵：z./I 2,、/cos 0-sin 6(1)L J；C J；2 5/sm 0 cos 0/1 2-1(3)3 4-2 ；5-4 1,A,0(4)2.(|2 a”#0).0 明解(1)由二阶方阵的求逆公式(教材例10)得C 丁=*(二(-)2 5cos
29、0sin 0-sin q t _ 1(c o s 6 sin 0cos 0 I cos2 0+sin2 0 sin 0 cos 0cos 0 sin 6-sin 0 cos 61 因 IA|=352 -14 -2 =2#0,故 A可逆，并且-4 1M”=监2 =4-43 4M|3=-3 2,5 -4于是M21=124-1=-2,=241-11M 22=51=6,M”=3Mu=152-4=-14,M”=13A=T I TA,=T-4 2=y-1 3 61-3 2 1 4M”-M”Mn Mn M23-21 32,一1 6M”M”M”.1 O,32 -1T,7-1.(4)因 a i a?W 0，故
30、4 W 0,f =1,2,，.于是矩阵 B=崛（，丹是有意义的,并且因AB=d i a g（a|必，“必）d i a g（W）=d i a g(1,1 ,1)=,由定理1 的推论，知 A可逆，且 4-5=啊出/卜注 本题结论值得记取，可当作公式用.1 1.解下列矩阵方程:2 1 -1 1(2)X 2 1 0=(1：)解(1)因矩阵(：左乘方程两边得.221;)的行列式=1,不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵(2)记矩阵方程为XAdet A故 A 可逆，用A-1右乘方程的两边得X=BA又，A-T7T-TT|-M12Mu于是X=BA 1=-MziM；.M223233 记A=_ 1 _1-2-30
31、13-23 0-1 33 211-21-3-28一103321-2012-J0则矩阵方程可写为一 M:M144(：51 41 2，230AXB=C.因|4|=6搔0,1川=2工0,故A,B均可逆.依次用A”和 左 乘 和 右 乘方程两边得n(i-41121231201-14T/32 0-1 1(4)本题与(3)相 仿.因 矩 阵11-1的 行 列 式 都 是-1,故X=A C Bl2030010010110200和10000100Oj均是可逆阵，并且01000010101,010000L10000100100000112.利用逆矩阵解下列线性方程组:01011 一43100-1故 得X =10
32、02 0-1001、001,1-20.010f010-43|00=100207（010011-2oj 1(10.013-42一0=1002-10=3-4,001J110-210-2.(x(+2X2+3X3=1,(1)-s2x|+2X2+5%=2,13xi+5X2+%=3;解将方程组写作矩阵形式Xj-X2-=2,(2),，工 2 =3%+y2+53,工,=3i+2%+3ys.求从变量为，j，工 3 到变量V，”的线性变换.解 记 x=(j,q，工 3)1 y=(y，力，口尸，则线性变换的矩阵形式为x=2 2 1Ay,其中A 为它的系数矩阵.因det A=3 1 5=1K 0,故 A 是可逆阵，于
33、.3 2 3是从变量耳，与，叫到变量“，的，必的线性变换的矩阵形式为-7=A 4=6,3又击AJ=Ax-4 93-72-4于是即yi第2%yj=3x,+2X2-4X3.14.设 A 为三阶矩阵，Al，求 l(2 A)-5 A，|.解 因|A|=*K 0,故 A 可逆.于是由A，=4；及(2A)-得(2 4)-5A*=y A =-2 A-.两端取行列式得|(2 4 尸-5A I =I-2 A-”=(-2 l A|T=-16.注先化简矩阵，再取行列式，往往使计算变得简单.0 3 315.设 A=1 1 0,AB=A+2B,求 B.-1 2 3解 由 AB=A+2B=(A-2E)B=A.-2 3 3
34、因A-2E=1 -1 0,它的行列式det(A-2E)=2W0,故它是可逆阵.-1 2 1用(A-2 E)-左乘上式两边得0-226 64 62 0120 3 3-1 2 31 1 01 0 116.设 A=0 2 01 0 1，且 AB+E=A?+B,求 B.解 由方程48+=42+8,合并含有未知矩阵8的项,得(A-E)B=A2-E=(A-E)(A+E).0 0又，A-E=0 1,1 010，其 行 列 式det(A-E)=-1K 0,故A-E可逆，用0.(A-E)T左乘上式两边，即得2 0 1B=A+E=0 3 0.,1 0 2.17.设 A=diag(l,-2,1),A，BA=2BA-
35、8 E,求 B.解 由于所给矩阵方程中含有A及 其 伴 随 阵，因此仍从公式AA*=|A|E着手.为此，用A左乘所给方程两边，得：AA BA=2ABA-8A,又，|A|=-2声0,故A是可逆矩阵，用A-右乘上式两边，得AB=2AB-8E=(2A+2E)B=8E=(A+E)B=4E.注意到 A+E=diag(l,-2,l)+diag(l,l,l)=diag(2,-l,2)是可逆矩阵，且(A+E),=d ia g(y,-l,y j,于是 B=4(A+E)1=diag(2,-4,2).18.已知矩阵 A 的伴随阵 A，=d iag(l,l,l,8),且 ABAT=B A T+3E HB.解 先 由A
36、 来 确 定|A|.由 题 意 知4-存 在，有A，=|A|A，得|A*l=|A门k =|A-，而|A*|=8,故|A|=2.再化简所给矩阵方程ABA*=BA+3E=(A-E)BAl=3En(A -E)B =3A=(E-A-)B=3E.由 I A I =2,知 A 1=-ydiag(1,1,1,8)=di ag,4 卜.i /I 1 1 -E-A=d i a g l y.y.y,-3 I-得(E-A-，=d i a g(2,2,2,-g).于是 B=3(E-A )-=3 d i a g(2,2,2,-y j =d iag(6,6,6,-l).1 9 .设 P-A P =A,其中 P=(-；),
37、求 A”.解本题与教材例1 3 相仿.因714=4,故 A =P 4 P-.于是 A =P A P 1OU：4(-：2：)(-；-：)_ 1 /1+2”4 +2_/2 7 3 1 2 7 3 2=-1 -2 -4-2 J=I -6 8 3 -6 8 4 卜1 1 1 1 -12 0.设 A P =P 4,其中 P=1 0-2 ,A=1,1 -1 1 J 5求夕(A)=A 7 5 E-6 A +.1 1 1解因|P|=I 0-2 =-6 0,故 P是可逆阵.于是，由 A P =P 41 -1 1得4 =。4?-,，并且记多项式(aDn/G-G z+HZ),有夕(A)=P p(A)P，因 A是三阶
38、对角阵，故*(A)=d i a g(p(-1),(1),*(5)=d i a g(1 2,0,0),1 1 1=4 1 1 1 .111.注，由于9(A)除(1,1)元外均是0,故在求P时，只需计算P 的(1,1)元、(2,1)元、(3/)元的代数余子式A u.A”和 A”.21.设 A*=O(左为正整数)，证 明 E-A 可逆，并且其逆矩阵(E-A)T=E+A+A2+,+A*1.证 由(E-A)(E+A+A?+；+A1)=E+A+十 A T-A-A2-AL=E-O=E,由定理2 之推论知E-A 可逆，且其逆矩阵(E-A)7 =E+A+A1.注 判断矩阵5 是否为A 的逆矩阵，最直接、破简单的
39、方法就是验证AB(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3 是否为寺的逆只需验证右X 3是否等于 1 一样.下一题及例2.1都是这一思想的应用.22.设方阵4 满足A2-A-2 E =O,(2.4)证明A 及A+2 E 都可逆，并求A，及(A+2 E)-.解 先证A 可逆.由(2.4)式得A(A -E)=2E,.也就是A(*(A-E)=E.由定理2 之推论知A 是可逆的，且 A-=1(A-E);再证A+2 E 可逆.用例2.1的解法，由(A+2E)(A-3E)=Ai-A-6 E =2E-6E =-4 E,即(A+2 E)；(3 E-A)=E,同理，知 A+2E 可逆，且(A+2 E)-=：(3
40、E-A).23.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A 也可逆，且(A )-=(4-).证 因 A=|A lE 及|A|K O,由定理2 的推论知A可逆，且.尸击 儿另一方面，因 A-YA )=|A-|E.用 A 左乘此式两边得(A 1)=I A 1|A=.A,I A I比较上面两个式子，即知结论成立.2 4.设”阶矩阵A的伴随阵为A ，证明:(1)若|A|=0,则|=0;(2)IA-|=|4|-.证(1)因当|A|=0时，上式成为A A=0.要证|A.I =0,用 反 证 法:设IWO,由矩阵可逆的充要条件知，A,是可逆矩阵，用(A，)左乘上式等号两边，得A=O.于是推得A的所有n-1阶子式，亦 即
41、A 的所有元素均为零.这导致A*=O.此 与A 为可逆矩阵矛盾.这一矛盾说明，当|4|=0时JA*|=0.(2)分两种情形：情 形1：|A|=0.由(1),1 1=0=I A|一，结论成立；情 形2：|AIWO.在(2.5)式的两边取行列式，得|A-llA|=|A*A|=|A|E J =|A|.于是|A|=|A|一.注本题(2)的结果值得记取.解 与 教 材 例15相同，本题练习分块矩阵乘法.记“C 崂;卜”（;则原式:4又“+%=（；）（；:卜叱：）+f o -3故1 2 5 .0 1 2原式=0 0-40 0 03 4 0 04-3 0 026设 4=0 0 2 0 求I 及 A0 0 2
42、 2.解 若 记A=（t力 其 中“C力”卜it A1 1 Bq+B22。22 22/2 30-3/仁-：）2一43.-9，4二）G北，则A成为一个分块对角矩阵,于是|A,|=|Ap=（|Al|AI|）,=|A1|8|A1|,=10,6J-（o力因屈弋2；）=25E,故=5 尔&=2（；:卜故A；=2，（：；）（可参看习题6）.代人即得540000540000240002624.27.设n阶矩阵A 与s 阶矩阵8 都可逆，求（1）因 A 和8 均可逆，作分块阵oA-B 卜由分块矩阵乘法规则,oBA OC B解(O A l O OKB OIA-ol o EF.)=E 于是（：M 闻:求仁；）的逆
43、阵，就是求+S阶方阵X,使A OC BX=E.,t.(2.6)为此，根据原矩阵的分块情况，对X作一样的分块,其 中 X“，X12，X2i，X22是未知矩阵(为明确起见，它们依次是n xn,xs,sxn,s x s 矩阵).把上式代入(2.6)式得到IE.O /A O /.XII AX”AX)2 O EJ _ C B lX2l x J C Xn+BXlt CXn+BX2J 比较上式两端两个矩阵，有AX“=Ek X”=4、AX?=O=Xl2=o；CXI2+BX22=E 户 BX22=E,=X22=B iCX+BX21=O=BXU=-CX”=-CAx=Xlx=-B CA.于是得c B)B C A1
44、B-l2 8.求下列矩阵的逆阵:5 2 0 01 0 0 02 1 0 01 2 0 0(1);(2)0 0 8 32 1 3 00 0 5 2.1 2 1 4解(1)将 A 分块为A=(：:卜 其 中 心=(；：)4 2 =32，因IA J =1,1 4 1=1,故它们均可逆.于是由分块对角矩阵的性质，有-2 0 05 0 00 2-30-5 8 记A弋N其中8=(；.S I B I=2,1 CI=12,故 B,C 均是可逆阵.由27题(2)的结论，得由 B-，=y-1112/_ 1%=24-34 01-1 3/,ClDB 1=240 0 0-1212 0 0-12-4 8 03一 5-2
45、6.，得20,45习题三习 题 解 答1.用初等行变换把下列矩阵化为行城简形矩阵:1 0 2-10 2-3 1(1)2 0 3 1;(2)0 3-4 33 0 4 3.0 4-7 -L323-1 3-3 5-2 3-3 4-4-2-2-4(2323 12 0-2 8-3 7-3 -7-2 -43 04 31 0 2解2 0 33 0 4(2r2X(r十0 2-3 1r i-ri(2)0 3-4 3 -0 4-7-ljrj_ 2rH-2rj-1)(11。2 r2 1。0 20 10 00 10 00 0 50 1-3;0 0 0.-3 1 0 1-1 2-1 2 r *f ,0 2-3 1-1-
46、3 0 0-1-3,-1 2 r x(-1)(0 1 o 5-1 -3 0013；1 -1 3-4 313-3 5-4 1：2-2 3-2 0 r3-3 4-2-lJrr0 02-412r|I-3 r2-1-3,r3+r2 0 0 0 0.1-1 3-4 3001-2 20 0 3 6 60 0-5 10-101-1 0 2-30 0 1 -2 20 0 0 0 0；ooooo.b +3,2+5rz(4)1323 12 0-2 8-3 7-3-2341 0n-2 r20 1n+8r20 0n+7 r20 02,设 A=2，求一个可逆阵P,使P A为行最简形.5234解(A,E)=2534323
47、44523434521000 0】1 2 3 4 1 01 0*0-1-2-3-2 10 ljn-5r|,0 6 12 18 5 000L000-1-2-321232-10007一 6001-3故P=2,72-1一 6001，并且A的行最简形为PA=1 0-10 1 20 0 0-2303设 A=(一;:M,(l)求 一 个 可 逆 阵P,使PA-1 1/为行最简形;(2)求一个可逆阵。，使为行最简形.解(1)(A,E)=-5 32-111100口 +3。1 02-14031于是P=1 32 5仁-2r,X(-D，且1001471235(2)(AT,E)=于是Q=3-4-5310,020012
48、-110-11;)0为A的行最简形;000-3-100 11.2-5-20015 0，并且 QA，=-71001 03-1112 X(-1)00100010200013-425-700101为 的 行 最 简 形.04.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆阵:3332 11 52 3.3010-2-2102-32-2解记所给的矩阵为33322153100010001。-3002-1042-1-10100012 0n-r(-2)3 0 0%7 29-1 0ri-9。0 1 0 -1-1 20 Lr?+4,30 0 1 号 o 100760 102T73220 01202）因由定理1之推论，知A可
49、逆，且762TA-20（4,E）=30-22-2002-3201-211030，4-2n0001000-21-22-2140-3202-329-20：00-2r2+。一,40001000010002-2000100001000-1110000-21570 01 0000010001000001000032212 i0000000-221000112000o0000-3010-3046-3-6-203一 60-2.21-4一2.69-4-10,-4一 16,-10因A二E,由定理1之推论，知A可逆，并且1 10 1-1 -1.2 141-215.设A=221,B=2、31-1.3-2 -40-1
50、3 6-6 -10.-32，求 X 使 AX=B；-10 2(2)设4=2-1.-3 3113，B=一:；)，求 X 使XA=5.解(1)与教材例3相仿，若A是可逆矩怦，则可求得矩阵方程的解为X=A T.B,而判断A是否可逆和求解可通过(4,B)的行最简形一起解决：即若A 则A可逆，并且初等行变换把A变为E的同时，把B变为A-B.10 2-15-312 4 0-1一 0 2 3r i-3 r(0 1 24 1-2 1(A,B)=2 2 1 2.3 1-1 3-1-2 -21 2 2-1 3-1J1 0 -1 -2-20 1 29 50 0-1 -12-4.10 2于是A可逆，且X=-15-31