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1、三角形的线与角一、知识点睛1 .三角形的定义：由 首尾顺次相连组成的平面图形叫做三角形.2 .三角形三边关系：:.3 .三角形相关的线：三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的 叫做三角形的角平分线.三角形的中线：在三角形中，连 接 一 个 顶 点 与 它 对 边 中 点 的，叫做这个三角形的中线.三角形的三条中线 交于一点，这 点 称 为 三 角 形 的.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线（简称三角形的高）.4 .三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性.5 .三角形相关的角：（1）三 角 形 的
2、 内 角 和 等 于.（2）直角三角形两锐角.有两个角 的三角形是直角三角形.（3）组成的角，叫做三角形的外角.（4）三角形外角定理：三角形的一个外角等于二、精讲精练1.作出下图三角形的三条高线.AB2.如图，在48C中，4 E 是中线，A。是角平分线，4 F 是高.填空：(1)BE=；-2-(2)ZBAD=-；-2-(3)ZAFB=90；E D F3.如图，在A8C中，AB=2,8c=4.ABC的高入。与 CE的比是.4.下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是()A.三角形的房架B.自行车的三角形车架C.长方形门框的斜拉条 D.由四边形组成的伸缩门5.如图，为估计池塘岸边4 8 两点的距离，
3、小方在池塘的一侧选取一点O,测得0A=15米，。8=10米，A,8 间的距离不可能是()A.5 米 B.10 米 C.15 米 D.20 米6.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.1 cm,2 cm,C.5 cm,8 cm,4 cm,6 cm,5 cm,8 cm,9 cm9 cm7.一个等腰三角形的一边长为6 c m,周长为20 c m,则底边长为.8.一个等腰三角形的两边长分别为2 和 5,则 它 的 周 长 为.9.若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m 满足10m=60,AB=BC=AC,点。，E分别为BC,A C边上一点且A E=C D,连接AO,BE相交于点尸.求证：
4、XABD妾XBCE.3.已知：如图，AB=CD,AC=BD.求证：Z1=Z2.AD12CB【参考答案】1.证明：如图，,:DF=CE：.DF-EF=CE-EF即 J DE=CF在4和8FC 中（已知）ND=NC（已知）=（已证）:A AE D出 ABFC（SAS）2.证明：如图，：AC=BCAE=CD：.AC-AE=BC-CD即 CE=BD在AB。和BCE中AB=BC（已知）NABO=NC（已知）=（已证）:./ABD咨 ABCE（SAS）3.证明：如图，在A3C和OCB中=（已知）-AC=DB（已知）8C=CB（公共边）/./ABC/DCB（SSS）/.ZABC=ZDCB,NACB=NDBC
5、：/=/ABC/DBCZ2=ZDCB-ZACB/.Z 1=Z2全等三角形性质及判定（讲义）一、知识点睛1.由_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的三条线段 所组成的图形叫做三角形.三角形可用符号”表示.2.三角形有关定理：三角形两边之和 第三边，两边之差_ _ _ _ _第三边.3.的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“”表示，全等三角形的 相等，相等.4.全等三角形的判定定理：.二、精讲精练1.作出下图三角形的高线.第1题图 第2题图2.如图，A A B C A D E F,对应边 AB=DE,对应角 NB=NDEF,.3.如图，ACO丝 8 C 0,对
6、应边 AC=BC,对应角 N1=N2,.第3题图 第4题图4.如图，对应边,.对应角,5 .如图，AB Cg Z CD 4,对应边对应角_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，第5 题图 第6 题图6 .如 图，若 AD=CB,AB=CD,则 且,理由是；若N 8=N D,Z B C A=Z D A C,则之，理由是.7 .如图，AD,8 c 相交于点。，若AO=D。，BO=CO,则四,理由是.第 7 题图 第 8 题图8 .如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3 块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A.带 去 B.带 去 C.带 去 D.都带去9 .如图，AO=
7、BO,若加上一个条件,则第 9 题图 第 1 0 题图1 0 .如图，Z 1=Z 2,若加上一个条件_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,则理由是1 1 .如图，A D,8 c相交于点。，Z A=Z C,若加上一个条件,则 A0 8/C。，理由是.1 2 .如图,48=4。，N 1=N 2,要使AB C且Z X/WE,还需添加的条件是或 或1 3 .如图，点 8,E,C,F 在同一直线上，在A8 C 与中，A B=DE,A C=DF,若 N=Z,则A BC DE F,所 以BC=,因此BE=.第1 3题图 第1 4题图1 4.如图，A E=B F,A D/B C,
8、A D=B C,则AD F/,理由是,因此DF=.1 5 .已知：如图，点。在A B上，点E在4 7上，A B A C,Z B=Z C.求证：Z X/WC乌4E8.1 6 .已知：如图，A B=C D,A8 CD.试猜想A D和8 c相等吗？并说明理由.1 7.已知：如图，在 RtZA8C 中，ZC=90,A。平分N8AC 交 8c 于 D,DEAB于E.求证：CD=DE.三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1.由不在同一直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形 可 用 符 号 表 示.2.三角形有关定理：三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.3.能够完全重合的两个
9、三角形叫做全等三角形,全等用符号“互”表示.全等三角形的对应边相等,对应角相等.4.全等三角形的判定定理：SSS,SAS,ASA,AAS.二、精讲精练1.如 图所示，2.AC=DF,BC=EF,Z A=Z D,ZACB=ZF.3.AO=BO,CO=CO,Z A=Z B,ZACO=ZBCO.4.AB=DE,AC=DC,BC=EC,Z A=Z D,ZB=ZE,ZACB=ZDCE.5.AB=CD,AC=CA,BC=DA,Z B=Z D,ZBAC=ZDCA,ZBCA=ZDAC.6./A B C/C D A,SSS；/A B C/C D A,SAS.7.A08,DOC,SAS.8.C9.AC=BC,SS
10、S（其它答案合理也可以）.10.BE=CE,SAS（其它答案合理也可以）.11.AB=CD,AAS（其它答案合理也可以）.12.AC=AE,NB=ND,NC=NE.13.A,D,EF,CF.14.BCE,SAS,CE.1 5.证明：在49C和A A E B中2A=NA（公共角）AC=AB（已知）NC=NB（已知）；.A A D C g/A E B（ASA）1 6.解：AD=BC,理由如下：如图，：AB/DCA Z 1=Z 2在A8D和CDB中AB=CD（已知）N1=N2（已证）B D=D B（公共边）A/A B D/C D B （SAS）：.AD=CB（全等三角形对应边相等）1 7.证明：./
11、W 平分N8AC：.ZCAD=ZEAD：DELAB：.ZDEA=90V Z C=90：.ZC=ZDEA在CAD和EAD中.NC=NDEA（已证）ZCAD=ZEAD（已证）AD=AD（公共边）.ACAD/XEAD（AAS）：.CD=ED（全等三角形对应边相等）全等三角形性质及判定（随堂测试）1 .已知：如图，A B%A D E F,对应边，对应角 N 4 5 C=N。，,2 .如图，Z B A D=Z C A E,A B=A D,若加上一个条件,则 A3 C之 A D E,理由是.3 .已 知：如 图，A,F,C,D在 同 一 直 线 上，A F=D C,A B/D E,且A B=D E.求证：
12、BF=EC.【参考答案】1.BC=EF,AC=DF,N C=N F,Z A=Z D.2.AC=AE,SAS（其它答案合理也可以）.3.证 明：如图，：AB/DE：.ZA=ZD在 AB F和 D EC中A F =DC（已知）N A =N。（已证）AB=DE（已知）：.4 A B F咨 ADEC（SAS）：.BF=EC（全等三角形对应边相等）全等三角形性质及判定（作业）1.如 图，ABg XAED、有 以 下 结 论：八C=4E；Z D A B=Z E A B；ED=8C；Z E A B=Z D A C.其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第1题图 第2题图2.如图，B,C,
13、F,E在同一直线上，Z 1=Z 2,B F=E C,若加上一个条件，则A B C g/D E F,理由是.3.如图，D是线段4 8的中点，NC=NE,N 8=N 4,找出图中的一对全等三角形是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,理由是.A D E,理由是.5.如图，将两根钢条A 4 L 89的中点。连在一起，使可以绕着点。自由旋转，就做成了一个测量工件，则4 9的长等于内槽宽 八&那么判定OAB且Q 4 5 的理由是（）A.SASB.ASAC.SSS6.己知：如图，M是A 8的中点，Z 1=Z 2,ZC=ZD,MC和M。相等吗？请说明理由.7,已知：如图，B,F,C,E在同一条直线
14、上，BF=CE,AB/DE,A C/D F.求证:AC=DF.8.已知：如图，在 RtZVICB 中，ZACB=90,CD LAB T D,E为AC上一点，G为8 c上一点，G F1AB F,ZDC+ZCGF=1 8 0.求证：DE1AC.BGC【参考答案】1.B2.AC=DF,SAS（其它答案合理也可以）.3.BOC也ADE,AAS（其它答案合理也可以）.4.Z B=Z D,ASA（其它答案合理也可以）.5.A6.解：M C=M D,理由如下：如图，:M是八8的中点：.AM=BM在ACM和中NC=ND（已知）N1=N2（已知）AM=BM（已证）A/XACM/SBDM（AAS）：.MC=MD（
15、全等三角形对应边相等）7.证 明：如图，.AB/DE：./B=N E：AC/DF：.ZACB=ZDFE：BF=CE：.BF+FC=CE+FC即 BC=EF在ABC和中NB=NE（已证）BC=EF（已证）NACB=NDFE（已证）.A B g A D E F （ASA）.JC=DF（全等三角形对应边相等）8.证明，如图，：CDAB,GF1AB：.ZCDB=ZGFB=90：.GF/CD：.ZCGF+ZDCG=180：ZEDC+ZCGF=180：.ZDCG=ZEDCDE/BC：.ZAED=ZACB：ZACB=90，ZAED=90：.DE1AC全等三角形每日一练(二)1 .已知：如图，在 AB C中，
16、ZACB=90,AC=BC,A E 是 边 上 的 中 线,过 C 作 C T L A E,垂足为兄 过 B作交的延长线于).(1)求证：AE=CD；(2)若 AC=1 2 c m,求 3。的长.2 .已知：如图，在 A 3 C 中，AB=AC,E F 是 过 点 A的直线，BELEF 于 E,CFLEF 于 F,Jz L AE=CF.求证：AB1AC.【参考答案】1.(1)证明：如图，,/CFA.AE：.ZAFC=90：.ZACF+ZFAC=90ZACB=ZACF+ZBCD=90：.ZFAC=ZBCDYBD tBC：.ZCBD=90，ZACE=ZCBD在和DBC中NE4C=NBCZX 已证）
17、ZACE=NCKD（已证）AC=CB（已知）.,.C4ADBC（AAS）：.AE=CD（2）,/C4ADBC:.CE=BD是AC边上的中线:.CE=-BC2：.BD=-BC2：AC=BC：.BD=-AC2VAC=12BD=6即BD的长为6cm.2.证明：如图，:BELEF,CFLEF，ZBEA=ZAFC=90在 RtZBE4 和 RtAAFC 中AB=C4（已知）14E=CF（已知）.,.BEAAAFC（HL）：.ZEAB=ZFCA：ZAFC=90：.ZMC+ZFCA=90，ZMC+ZEAB=90/.ZBAC=90即 ABA.AC.全等三角形证明过程训练（讲义）一、知识点睛直角三角形全等的判定
18、定理：二、精讲精练2.如图，DE A B E,DF A C F,A E=A F,则之,从而DE=.3.如图,AD_L8E于C,A8=DE,4C=0C,贝U B C 与CE的数量关系是4.已知：如图，ZB=ZD=90,如果要使ABC乌/W C,那么还需要一个条件,这个条件可以是，理由是;这个条件也可以是,理由是;这 个 条 件 也 可 以 是，理由是；这 个 条 件 还 可 以 是,理由是5 .如图，在48 C 中，Z C=9 0,AD 平分N CA8 交 8 c 于 D,DE L A B E,若A C=3,则 AE=.6 .如图，直线/过正方形A B C D的顶点3,点A,C到直线I的距离分别
19、是1和2,则E E的长为.7 .如图，A B=A E,Z B A C=Z D A E,要使AB f且 还 需 添 加 的 条 件 是或或.请选择你添加的一个条件给出一组证明.8.已知：如图，点8,E,C,F在同一直线上，AC D F且4：=D F,B E=C F.求证:A B 0A DE F.9.己知：如图，ZA C B=9 0,A C=B C,D 为A B 上一点,连接CD,A E L C D于E,B F 1C D交C D的延长线于F.求证：L B C F 出4 C A E.DCB1 0 .如图，在 4 8C中，Z e=Z C=6 0,D,E,F分别为边B C,A B,A C上的点,且 B
20、E=C D,N E DF=6 0.求证：E D=DF.1 1 .已知：如图，A B=C D,A B/C D,DE A C E,8F L AC 于 F.1 2.已知：如图，B D,CE是 AB C的高，点P在8。的延长线上，B P=4 C,点Q在CE上，C Q=A B.判断线段4 P和A 2的位置和数量关系，并证明.1 3.已知：如图，在 Rt Z X ACD 中，N A DC=9 0。,8J _ AC 于 E,交 CD 于点 F.若A F平分N C A D,线段8F和CF相等吗？请说明理由.DAB三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛直角三角形全等的判定定理:二、精讲精练1.Rt AC/B,R
21、 t A D A B,=.2.Rt A4 ED,Rg AF D,DF.3.B C=C E.4.A B=A D,H L；B C=DC,H L；ZB A C=ZDA C,AAS；ZB C A=ZDC A,AAS.5.36.37.N B=N E,N A F B=/A H E,8.证明：如图，：A C/DF：.Z 1=Z 2B E=C F：.B E+E C=C F+E C即 B C=E F在A A B C和中A C =D F（已知）N 1 =N 2（已证）B C =E F（已证）A A B C/X DE F（SAS）9.证明：如图，:N ACB=90 A Z l+Z 2=90 A E 1C D,B F
22、 1C D：.ZF=ZA E C=9 0/.Z 3+Z 2=90 H L,SSS,SAS,ASA,AAS.A F=A H,证明过程略.第9题图A Z 1=Z 3在BCF和CAE中N F=NAEC（已证）N1=N3（已证）B C C A （已知）:.BCFQACAE（AAS）10.证明：如图,ZB=60Zl+Z2=120VZEDF=60.*.Z2+Z3=180-ZEDF=Z1800-60=120.*.Z1=Z3在BDE和CFD中Z1=N3（已证）,BE=CD（已知）NB=NC（已知）.ABDE/XCFD（ASA）.ED=DF（全等三角形对应边相等）11.证明：如图，：DEAC,BF1AC：.ZD
23、EC=ZBFA=90：AB/CD：.Z C=Z A在）（:和4 8%中NDEC=2BFA（已证）ZC=ZA （已证）CD=AB（已知）（AAS）：.AF=CE（全等三角形对应边相等）：.AF-EF=CE-EF即 AE=CF12.解：AP=AQSLAP1.AQ,理由如下：如图，：BDAC,CEAB：.ZBEQ=ZBDC=ZADP=90A第10题图:.Zl+Z3=90Z2+Z4=90Z3=Z4A Z1=Z2在48P和QCA中AB=QC（已知）N1=N2（已证）BP=CA（已知）A A B P/Q C A（SAS）：.AP=AQ（全等三角形对应边相等）ZP=Z5（全等三角形对应角相等）,/NADP=
24、90。：.ZP+ZPAD=90，/5+NPAD=90即 NQAP=90：.AP=AQ S.A P IA Q1 3.解：FC=FB,理由如下：如图，:A F平分NCAD/.Z1=Z2*.BEAC：.NAEF=90：.Zl+ZAFE=90,：ZADC=90：.Z2+ZAFD=90：.ZAFE=ZAFD ：NEFC=NDFB第13题图ZAFE+ZEFC=ZAFD+ZDFB即 N4FC=/4F8在和AAFS中，Z1=Z2（已证）A F A F （公共边）NAFC=NAFB（已证），丝AF8（ASA）：.FC=FB（全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（随堂测试）1.已知：如图，在a A B C
25、中，AD_L8c于D,E为4 D上一点，且8E=AC,如果要使 BD EgZVUJC,那么还需要一个条件，这个条件可以是，理由是;这个条件也可以是,理由是;这个条件也可以是,理由是:这个条件还可以是，理由是.2.已知：如图，在 A8C中，D为8 c边的中点，过点C作C F L/W于F,过点8作8 E L A。，交4。的延长线于点E.求证：C F=B E.【参 考 答 案】1.DE=DC,HL；BD=AD,HL；ZEBD=ZCAD,A AS；ZBED=ZC,AAS.2.证明：如图，C F A D,BEAD：.ZCFD=ZBED=90为8 c边的中点/.CD=BD在CDF和8DE中NCFD=NBE
26、D（已证）N1=N 2（对顶角相等）CD=BD（已证）.,.CFDABFD（AAS）：.CF=BE（全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（作业）14.如图，PDAB,P E L A C,垂足分别为D,E,旦PO=PE,将上述条件标注在图中，则 g,从而AD=.第1题图 第2题图15.已知：如图，A B L 8 D于B,C D L 8 D于D,如果要使4 8。之C D 8,那么还需要一个条件，这个条件可以是,理由是;这个条件也可以是，理由是:这个条件也可以是，理由是;这个条件还可以是,理由是1 6.已知：如图，点C为8 D上一点，ACA.CE,AC=CE,1 8.D E=2,则8 0的长
27、为.1 7.ZABC=ZCDE=90.若 A8=4,F,BC=AD,AE=BF.已知:如图，A,B,ABE 名 ADCF.垂足分别为E,请问 C E B丝Z X。吗？并说明理由.C,。在同一直线上，AC=BD,BE/CF,A E/D F.求证:1 9.已知：如图，在 A B C中，AD1BC,C E A B,垂足分别为D,E,4?与CE交于点H,AE=CE,求证：AH=CB.20.己知：如图，在正方形八8 C D中，AD=AB,N O 4 8=N 8=9 0。，点E,F分别在AB,8 c上，且4 E=8F,4F与OE交于点G.求证：DE1AF.BC【参考答案】1.Rt/XADP,M AEP,A
28、E.2.AD=CB,HL；AB=CD,SAS；ZA=ZC,A AS；ZADB=ZCBD,ASA.3.64.解：CE8四）外,理由如下:如图，V C fl/A B,DF1AB：.ZCEB=ZDFA=90：AE=BF：.AE+EF=BF+EF即 AF=BE在 RtACEB 和 RtADEA 中BC=AD（已知）BE=AF（已证）/.RtACFBRtADEA（HL）5.证明：如图，：AC=BD：.AC-BC=BD-BC即 AB=DC：BE/CF/.Z 1=Z 2VZ1+Z3=18OZ2+Z4=180Z 3=Z 4.AE/DF：.NA=ND在ABE和OCF中N3=N4（已证）AB=DC（已证）Z A-
29、Z D（已证），ABE之 OCF（ASA）第5题图6.证明：如图,VAD lfiC，ZADC=90，Zl+Z2=90CELAB：.NAEH=NCEB=90Z3+Z4=90V Z2=Z4A Z1=Z3在“EH和aCEB中ZAEH=Z CEB（已证）AECE（已知）Z3=Z1（已证）:.AAEH且ACEB（ASA）：.AH=CB（全等三角形对应边相等）7.证明：如图，在DAE和中ADBA（已知）ZDAE=ZB（已知）AE=BF（已知）：.4DAEQ/ABF（SAS）.*.Z1=Z2（全等三角形对应角相等）ZDAB=90：.Z2+Z3=90A Zl+Z3=90，ZAGD=90：.DE1AF第7题图二
30、次全等（讲义）1 .已知：如图，点 C 为线段A B上一点，/AC M,ACB/V是等边三角形,AM=AC=CM,BC=CN=BN,ZAC M=ZBC N=60,连接 AN 交 CM 于点 E,连接 BM 交 CN 于点F.求证：/XCAN咨L C M B；ACEN咨ACFB.2.已知：如图，在正方形八8 8 中，AD=AB,ZD=ZABC=90,E,F 分别为CD,8 c 边上的点，且N E4 F=4 5。，延 长 C 8 到 点 G,使 8G=0 E,连 接 EF,AG.求证：/WEg AB G；EF=DE+BF.3.已知：如图，ZA=ZD=90,BE=CE.求证：A B G A D C
31、B.4 .已知：如图，点 4 E,F,C 在同一直线上，A E=C F,过 点 E,F 分别作O E,AC 于 E,8F L AC 于 F,连接 AB,CD,BD,8。交 AC 于点 G,A B=C D.求证:DEG 出 ABFG.D5.已知：如图，A B,CD相交于点。，A O=B O,C O=DO,过点。作E F交A C于点、E,交8。于点F.求证：OE=OF.6.已知：如图，A B=A C,B D=C D,A D 与 B C 交于点。.求证：A D1B C.7.已知：如图，在 48C中，八。是NBAC的平分线，点D是BC的中点，DF A B 于 F,O ELA C于E.试猜想八8和A C
32、的数量关系，并证明你的猜想.DBC8.如图，在 RtZAE8 和 RtAFC 中，N E=/F=90,AE=AF.BE 与 AC 相交于点M,与CF相交于点D,A 8与CF相交于点N,NEAC=NFAB.求证：CM=BN.回顾与思考【参考答案】1.证明：如图，ZACM=ZBCN=60；.NMCN=60，ZACN=ZMCB=120在和C M 8中，AC=MC（已知）NACN=NMCB（已证）CN=CB（已知）:A C A N迫ACMB（SAS）：/CAN会M M B：.ZANC=ZMBC（全等三角形对应角相等）V ZECN=60,ZFCB=60：.ZECN=ZFCB在4C E N和CFB中，NE
33、CN=NFCB（已证）CN=CB（已知）4ENC=NFBC（已证）.CE/V四CFB（ASA）2.证明：如图，ZD=ZABC=90：.NA8G=90：.ZD=ZABG在4 0 E和ABG中，AD=AB（已知）Z D =ZABG（已证）D E=B G （已知）/./A D E/A B G （SAS）.AOE之A8G（已证）：.AE=AG（全等三角形对应边相等）ZEAD=ZGAB（全等三角形对应角相等）：ZEAF=45,ZBAD=90：.ZBAF+ZEAD=5：.ZBAF+ZGAB=45即 NGAF=N45：.ZG AF=ZEAF在4FE和a A F G中，AE=AG（已证）N E A/n/G A
34、 F （已证）A F =A F （公共边）:.X AFE Q X AFG （SAS）.EF=GF（全等三角形对应边相等）,?GF=BG+BF：.EF=DE+BF3.证明：如图，在 AAEB 和中，NA=N O（已知）4BFRtACDE（HL）：.DE=B F（全等三角形对应边相等）在aO EG和ABEG中，N DE G =N B F G （己证）/：6。=/打力（对顶角相等）D E=B/（已证）.A DE G A B F G（AAS）5.证明：如图，在DOB和COA中，。0 =。（已知）N D 08=NC0A（对顶角相等）8 0=A O（已知）：.A DOB A C OA（SAS）：.ZB=Z
35、A（全等三角形对应角相等）在8F。和AE。中，NB=N A（已证）8 0 =A 0（已知）N F OB =ZE OA（对顶角相等）:.B F O咨A A E O（ASA）：.OE=OF（全等三角形对应边相等）6.证明：如图，在ABD和ACD中，A3=AC1（已知）8。=。（已知）AO=A。（公共边）.,.ABD之AC。（SSS）：.ZB A D=ZC A D（全等三角形对应角相等）在班。和CAO中，AB=A C（已知）NBAO=NCAO（已证）A 0=A 0（公共边）.B A O C A O（SAS）/.ZAOB=ZAOC（全等三角形对应角相等）ZAOB+ZAOC=180：.ZAOB=90：.
36、AD1BC7.AB=AC,理由如下：证明：如图，V DF1AB,DEA.AC：.ZAFD=ZAED=90VZID 平分 N8AC：.ZFAD=ZEAD在 4FD和 AED中，/4/。=/人 后。（：己证）ZE4O=NEAO（已证）AD=A。（公共边）:.AAFDm AAED（AAS）：.DF=DE,AF=AE（全等三角形对应边相等）点D是8 c的中点BD=CD在 RtABFD 和 RtACED 中，力尸=OE（己证）BO=C D（已证）/.RtABFDRtACED（HL）：.BF=CE（全等三角形对应边相等）：.AF+BF=AE+CE即 AB=AC8.证明：如图，在A A E M和 4 可中，
37、NE=Z F（已知）A E=A F（已知）NAC=N bAB（已知）AA A E M A A FN（ASA）：.AM=AN（全等三角形对应边相等）：ZEAC=ZFAB：.ZEAC+ZBAC=ZFAB+ZBAC即 NBAE=N 6F在 A8E和 ACF中/：=/（已知）-AE=A F（已知）NBAE=N C 4 F（已证）/./A B E A C F(ASA)：.AC=AB(全等三角形对应边相等)/.CM=BN二次全等（随堂测试）1.已知：如图，A D平分N8AC,DELAB于E,DF_LAC于F,且8。=8.求证:BE=CF.【参考答案】1.证明：如图，./W 平分N8AC/.ZEAD=ZFA
38、D：DE LAB,DFAC：.ZAED=ZAFD=Z CFD=90在ZED和AFD中，=（已证）NE4D=N必0（已证）AO=A。（公共边）:.E D出 F D （AAS）.DE=DF（全等三角形对应边相等）在 RtABDF 和 RtaCDF 中，8D =CZX 已知）OE=OF（已证）/.RtABDERtACDF（HL）：.BE=CF（全等三角形对应边相等）二次全等（作业）1 .已知：如图，4 8C是等边三角形，八B=8C=AC,ZACB=60,ZEDF=60,BD=CD,ZDBC=ZDCB=30,ZBD C=120,延长 AC 到点 G,使 CG=B E.求证：E8D g Z G CD；A
39、EFDm AGFD.2.己知：如图，AB=AC,DB=DC,E是线段A D延长线上的一点.求证：“BE也 Z X ACE.3.已知：如图，ZACB=ZADB=90,AD=BC,CEAB,D F A B,垂足分另U为 E,F.求证：CE=DF.EBA4.已知：如图，点C,D在线段8E上，且8D=EC,于4 DFLEF于F,且 48=E F.求证：CF=DA.5.已知：如图，在四边形八8 8中，AB=CD,AB/CD,E,F分别是DA,8 c延长线上的点，且AE=CF,连接EF交8。于点0,分别交AB,8于点G,H.求证：EG=FH.【参考答案】1.证明：如图，?ZABC=ZACB=60,Z DB
40、C=Z DCB=3O：.Z DBE=ZABC+Z DBC=90ZDCG=1800-ZACB-ZDCB=90：.ZDBE=ZDCG在E8D和GCD中，力（已知）CG（已证）BE=CG（已知）:.AEBD咨ADCG（SAS）：AD BE/AG C D（已证）：.DE=DG（全等三角形对应边相等）ZEDB=ZGDC（全等三角形对应角相等）V ZBDC=120,ZDF=60：.ZEDB+ZCDF=60：.ZGDC+ZCDF=60即 NGOF=60。：.ZEDF=ZGDF在A E FD和a G F。中，E=G（已证）=（已证）D F=D F（公共边）：.4EFD Q 4G FD（SAS）2.证明：如图，
41、在 A8D和 ACD中，AB=A C（已知）OB=OC（已知）AO=AO（公共边）/.ABD/XACD（SSS）：.ZBAD=ZCAD（全等三角形对应角相等）在 A8E和中，AB=A C（已知）4CBRtABDA（HL）：.AC=BD（全等三角形对应边相等）ZCAB=ZDBA（全等三角形对应角相等）：CEAB,DFAB：.ZCEA=ZDFB=90在ACE和a B O F中，N C EA n/O FB C 已证）NC4E=NO3E（已证）AC=8。（已证）:.A A C EgA B D F（AAS）：.CE=DF（全等三角形对应边相等）4.证明：如图，：CAAB,DF1EF：.ZCAB=ZDFE
42、=90BD=EC：.BD+DC=EC+DC即 BC=ED在 RtABC 和 RtAFED 中，力C=E D（已证）A 6=b E （已知）/.RtA/IBCRtAFED（HL）.,.Z B=Z E （全等三角形对应角相等）在48。和（：中，-8 =尸 （已知）（已知）8（已证）BD=DB（公共逸）.A8。四COB（SAS）A ZADB=ZCBD（全等三角形对应角相等）：.AD/BC：.Z E=Z F,NADC=NFCH：.ZEAG=ZFCH在AAEG和AC FH中，ZEAG=NFC（已证）,AE=C/（已知）NE=/F（己证）:.AEGQ4CFH（ASA）：.EG=FH（全等三角形对应边相等）
43、全等三角形每日一练(三)1.已知：如图，点 E 在ABC的外部，点。在 边 上，OE交AC于 R若N1=N2=N3,AC=AE.求证：ABCAADE.2.如图，在正方形 ABC。，DEFG 中,AD=CD,DE=DG,ZEDG=ZADC=90,连接CG交AD于N,连接AE交 CG于 M.(1)求证：AE=CG；(2)观察图形，猜想AE与 CG之间的位置关系，并证明你的猜想.【参 考答案】1.证明：如图，VZ1=Z2，Z1+ZDAC=Z2+ZDAC即/B-O A E又.N2=NB+NCZ3=ZB+ZE且 N2=N3.N O N E在ABC和AOE中N8AC=NZME（已证）和CDG中AD=C。（
44、已知）NA0E=NC0G（已证）DE=DG（已知）.AOE丝COG（SAS）：.AE=CG（2）AECG证明：如图，,/ZADC=90：.ZGCD+ZCND=90：ZXAOE 丝COG，ZEAD=ZGCDNANG=NCND，ZEAD+ZANG=90，ZAMC=9Q即 AE1CG全等三角形每日一练(四)1 .已知：如图，在四边形AB C。中，AD=BC,AB=CD,E,E 分别为AO,CB延长线上一点，且 DE=BF,试说明N E=N F.2.已知：如图，A3C中，AB=AC,ZBAC=90,分别过3,。向过A 的直线作垂线，垂足分别为E,F.(1)如图1,过 A 的直线与斜边不相交时，求证：E
45、F=BE+CF-,(2)如图2,过A 的 直 线 与 斜 边 相 交 时，其他条件不变，若 B E=1 0,CF=3,试求Eb的长.B图2CC【参考答案】3.证明：如图，连接。3.在AO3和C3Q中，AO=C6（已知）,A8=CO（已知）ABD=DB（公共边）；./ADB名ACBD（SSS）:.NADB=/CBD：.ZEDB=ZFBD在AEDB和AFBD中，DE=BE（已知）,NE08=NFBO（已证）BD=DB（公共边）：./ED B/FBD（SAS）：.ZE=ZF4.（1）证明：如图，由题意得：ZBEA=ZAFC=90：.ZEAB+ZEBA=90,/ZBAC=90：.ZEAB+ZFAC=9
46、Q:./EBA=NFAC在EB4和 C 中，/8 4 =/4 尸。（已证）NEB4=NFAC（已证）A8=C4（已知）：.EBA/FAC（AAS）：.BE=AF,AE=CFEF=AF+AE：.EF=BE+CF（2）由题意得：ZBEA=ZAFC=90，ZEAB+ZEBA90,?ZBAC=90：.ZEAB+ZFAC=9G：.ZEBA=ZFAC在儿!和E4C中，NBEAn/AFC（已证）NE3A=NE4c（已证）AB=CA（已知）：.E B A A F A C （AAS）：.AE=CF,BE=AF：EF=AF-AE：.EF=BE-CFBE=IQ,CF=3:.EF=7即E F的长为7.全等三角形之辅助
47、线（讲义）1.已知：如图，AB=CD,4C与8。交于点0,且4t=8。.求证：ZB=ZC.2.已知：如图，在四边形48CD中求证：八8=C。且A0=8C.3.已知：如图，AB=AE,BC=ED,z是CD的中点.求证：AFCD.Ac,AB/CD,AD/BC.A DB CCB=ZE,FAC F D4.已知：在ABC 中，Z B=Z C.求证：AB=AC.5.己知：如图，点D,E在AC上,求证:BD=BE.ZABD=ZCBE,ZA=ZC.6.已知：如图，点8,E,F,C在同一直线上，AB=DC,BE=CF,N B=/C.求证:7.已知：如图，在A8C 中，A D -Z B A C B C T-D,B
48、D=CD.求证：AB=AC.BDC回顾与思考【参考答案】1.证明：如图，连接49.在ABD和 OCA中，A 8=O。（已知）=CA（已知）AO=D 4（公共边）A ABD/DCA（SSS）.,.ZB=ZC（全等三角形对应角相等）2.证明：如图，连接八C.：AB/CD：.ZCAB=ZACDAD/BC：.ZDAC=ZBCA在 A8C和 CDA中，NC48=NACO（已证）,AC=C 4（公共边）NBCA=ND4C（已证）/.AABCACDA（ASA）：.AB=CD,BC=DA（全等三角形对应边相等）3.证明：如图，连接AC,AD.在 48 c和AE。中，A8=AE（已知）NB=NE（已知）=（已知
49、）/./ABCAED（SAS）：.AC=AD（全等三角形对应边相等）.上是CD的中点：.CF=DF在小：下 和 ADF中,AC=（已证）AF=AF（公共边）。尸=。尸（已证）A/A C F/A D F(SSS)：.ZCFA=ZDFA(全等三角形对应角相等)VZCE4+ZDEA=180A ZCE4=90：.AFCD4.证明：如图，过点A作4。JL8 c于D.,：ADA.BC：.ZADB=ZADC=90在AOB和AOC中，N8=N C（已知）NAOB=NADC（已知）A。=A。（公共边）AA D B A AD C （AAS）B：.AB=AC（全等三角形对应边相等）5.证明：如图，过点8作8F_LA
50、C与F.；BFAC：.Z B FA=Z B FC=90在A8F和CBF中，NA=NC（已知）NBFA=NBEC（已证）BF=BF（公共边）A AABFACBF（AAS）：.AB=CB（全等三角形对应边相等）在4 8D和扇中，NA=N C（已知）A8=C 8（已证）NABD=NC8E（已知）A A B D/C B E （ASA）：.BD=BE（全等三角形对应边相等）6.证明：如图，过O作OGJ_F于G.BE=CF：.BE+EF=CF+EF即 BF=CE.A B F DC E 中,A3=0。（已知）NB=N C（已知）BF=C E（已证）/.A A B F A DC E（SAS）；.N A F B