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1、一轮难题复习 函数与导数典型解答题1函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；若已知f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域为不等式ag(x)b的解集；反之，已知f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为函数yg(x)(xa，b)的值域(2)常见函数的值域一次函数ykxb(k0)的值域为R；二次函数yax2bxc(a0)：当a0时，值域为，当a00f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)00，且a1)恒过(0,1)点；ylogax(a0，且a1)恒过(1,0)点(2)单调性：当a
2、1时，yax在R上单调递增；ylogax在(0，)上单调递增；当0a1时，yax在R上单调递减；ylogax在(0，)上单调递减7函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点f(x0)0(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点(2)确定函数零点的三种常用方法解方程判定法：解方程f(x)0；零点存在性定理法：根据连续函数yf(x)满足f(a)f(b)0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集；若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集13利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一
3、般步骤确定函数的定义域；解方程f(x)0；判断f(x)在方程f(x)0的根x0附近两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点(2)求函数f(x)在区间a，b上的最值的一般步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；比较函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值14.利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围(2)数形结合法求解零
4、点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围(3)构造函数法研究函数零点根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法15.与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数
5、，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理：16.利用导数证明不等式f(x)g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)ming(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)0.17.含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法的图象和图象特点考考虑；构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.例题1已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴（1）求函数的解析式；（2）在中，角、所对的边分
6、别为、，且，若角满足，求的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，且函数在内恰有个零点，求常数与的值【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，
7、计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，所以，得，由于，则，因此，；（2），由三角形的内角和定理得，.，且，.，由，得，由锐角三角函数的定义得，由正弦定理得，且，.，因此，的取值范围是；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，令，可得，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；（ii）当，则，当时，只有一根，有两根
8、，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，得.综上所述：，.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的
9、个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.例题2如图 所示，一条直角走廊宽为，（1）若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且，试求铁棒的长；（2）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；（3）现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽为如图2.平板车若想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？【答案】（1），.（2）（3）【解析】【分析】（1）在图1中，过点作，的垂线，垂直分别为，则，在，中，分别求解，再相加，即可.（2）由（1）可知，令，则，判断单调性，再求最小值，即可.（3）延长分别交，于，设，则.由（1）可知，在，中分别计算，则，即，令，则，判断单调
10、性，再求最小值，即可【详解】（1）在图1中，过点作，的垂线，垂直分别为，则，.在中在中则即，.（2）由（1）可知，.令，则即当时，单调递增，单调递减.则即时若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，则需此铁棒的最大长度为（3）延长分别交，于，设，则.由（1）可知，在中，在中，则令，则即，.当时单调递减.则即时.平板车若想顺利通过直角走廊，其长度不能超过【点睛】本题考查三角函数的实际应用，以及判断函数的单调性求最值.属于难题.例题3若定义在上，且不恒为零的函数满足：对于任意实数和，总有恒成立，则称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；（2）证明：函数为偶函数；（3）若为“类余弦
11、型”函数，且对于任意非零实数，总有，设有理数、满足，判断和大小关系，并证明你的结论.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3），理由见解析.【解析】【分析】（1）令，可求出的值，令可求出的值；（2）令，代入题中等式得出，可证明出函数为偶函数；（3）令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可得出和的大小关系.【详解】（1）令，则有，.令，则有，所以，；（2）令，可得，由于函数的定义域为，因此，函数为偶函数；（3）时，所以，令，即对任意的正整数有，则，所以，对于任意正整数，成立，对任意的、且，则有成立，、为有理数，所以可设，其中、为非负整数，
12、、为正整数，则，令，则、为正整数，所以，即，函数为偶函数，.【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查抽象函数的奇偶性，考查解决抽象函数的常用方法赋值法，考查不等式的证明方法递推法，属于难题.例题4已知函数，其中.（1）当时，设，求的解析式及定义域；（2）当，时，求的最小值；（3）设，当时，对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1），其定义域为；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题意可得，而，于是可得的解析式及定义域；（2）当时，利用函数在上单调递增，即可求得；（3）由题意可求得设，则，此时，由函数在上单调递增，可求及，又对任意恒成立，即可求得的取值范围【详解】（1）设，则，当且仅当时取等号，此时，即，其定义域为；（2）由（1）知，当时， 函数在上单调递增，；（3）设，则，当且仅当时取等号，显然且当和时，都有此时，其中 函数在上单调递增，又对任意恒成立，即，注意到，即为所求.【点睛】本题考查基本不等式，考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查综合分析与运算能力，难度大，属于难题