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1、 一轮难题复习 数列典型解答题1牢记概念与公式等差数列、等比数列(其中nN*)等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n项和Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12.活用定理与结论(1)等差、等比数列an的常用性质等差数列等比数列性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0)(2)判断等差数列的常用方法定义法an1and(常数)(nN*)an是等差数列；通项
2、公式法anpnq(p，q为常数，nN*)an是等差数列；中项公式法2an1anan2(nN*)an是等差数列；前n项和公式法SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列(3)判断等比数列的常用方法定义法q(q是不为0的常数，nN*)an是等比数列；通项公式法ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列；中项公式法aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列3数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和(2)通项公式形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和(3)通项公式形如an(其中a，b1，b2，c为常
3、数)用裂项相消法求和(4)通项公式形如an(1)nn或ana(1)n(其中a为常数，nN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.4数学归纳法用数学归纳法证明分以下两个步骤：(1)证明当n1时，命题成立；(2)假设nm时，命题成立，那么可以推导出在nm1时命题也成立(m代表任意自然数)例题1几位大学生响应国家的创业号召，开发了三款软件，为激发大家学习数学的兴趣，他
4、们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，试根据下列条件求出三款软件的激活码（1）A款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方（2）B款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和（3）C款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数：；该数列的前项和为2的整数幂【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897【解析】【分析】（1）讲数列按照规律重新书写成行列形式，依次观察三位数出现的顺序；（2）根据第一问重新书写的形式找到第一个四位数1024所在位置即可求
5、和；（3）先确定第1000项出现在哪一行，再计算前m行所有项之和，要变成2的整数幂形式需要再加多少，即可求解.【详解】（1）由题可以将数列排成如下形式：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，4，8，16，32，由2的整数幂可知：第一个三位数是，下一行产生第二个和第三个三位数，依次是，下一行产生第四个三位数，观察数列规律：每行的行数即该行的项数，第行的最后一项，第三个三位数出现在第9行最后一项，第四个三位数出现在第10行第8项，其项数为，所以A款应用软件的激活码是2809.（2）由2的整数幂可知第一个四位数是，第11行第11项，根据规律：设上面数列第行数列之和为，
6、可得，所以第一个四位数及其以前所有项之和为（3）由题：前行一共项，由条件，设，可得，满足条件的最小整数至少在第45行或大于第45行中的某个项数，根据条件：前行所有项之和，要满足这个数是2的整数幂，必须第行前项之和为，且前项之和即，即，要使取值最小，只有当时满足题意，此时，所以满足条件的最小整数.【点睛】此题考查对数列的综合应用，对理解辨析能力要求较高，对已知数列进行重新排成一个方便思考观察规律的形式进行解题，能够事半功倍.例题2已知数列，满足；（1）若，求的通项公式；（2）若，求的前项和为；（3）若，满足恒成立，求的取值范围；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）若，利用等差数列
7、求通项公式；（2）若，构造新的等比数列，再求通项公式和前项和为；（3）若，满足恒成立，通过得出，再证明其充分性即可.【详解】（1）若，所以是以3为首相，1为公差的等差数列，即；（2）若，所以，是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，前项和；（3）若，满足恒成立，满足恒成立，即恒成立，必有即即，解得；下面证明其充分性：当时，先用数学归纳法证明：由题：，当时，命题成立；假设当时，命题成立，即，则则，所以对于，都有所以，当时，所以，当时，恒成立，综上所述：的取值范围.【点睛】此题考查根据数列递推关系求数列通项公式的常用解法，第三问根据含参递推关系证明不等式，用到一种思路：通过题目已知条件推出一个必要
8、条件，再探究其充分性得解，在涉及探索性的问题中应用较广，与正整数有关的命题可以考虑数学归纳法证明.例题3已知数列满足，.（1）若，写出所有可能的值；（2）若数列是递增数列，且、成等差数列，求p的值；（3）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.【答案】（1）、；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，分别取、即可得出的所有可能取值；（2）由数列是递增数列，得出，且有，得出、关于的表达式，然后利用、成等差数列得出关于的方程，解出即可；（3）由数列是递增数列得出，可得，但，可得出，可得出，由数列为递减数列，同理可得，进而得到，再利用累加法可求出数列的通项公式.【详解】（1）当时，则，或.
9、当时，或；当时，或；当时，或.因此，的所有可能取值有、；（2）数列是递增数列，则，则，同理得，由于、成等差数列，则，即，整理得，解得；（3）数列是递增数列，所以，即，但，所以，由知，所以.数列是递减数列，同理可得，所以，由知，.由累加法得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式、数列的递推关系、绝对值的性质、不等式的性质，同时也考查了利用累加法求数列通项，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.例题4无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、中等于的项的个数.（1）若，求和的值；（2）已知命题 存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.【答
10、案】（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意直接写出、的值，可得出结果；（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命题；（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出，然后利用定义得出，由此可得出的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、中等于的项的个数，因此，；（2）真命题，证明如下：当时，则，此时，当时，；当时，设，则，此时，当时，.综上所述，命题为真命题；（3）先证明：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.假设存在，使得“存在，当时，恒有成立”.则数列的前项为，后面的项顺次为，故对任意的，对任意的
11、，取，其中表示不超过的最大整数，则，令，则，此时，有，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有；从而得证.另外：当时，数列为，故，则.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.例题5本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列（1）若，成等比数列，求其公比（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为
12、的无穷等比子数列，请说明理由（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由【答案】略【解析】【详解】（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比（4分）（2）设等比数列为，其公比，（6分）由题设假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，（8分）当时，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列（10分）（3）设的无穷等比子数列为，其公比（），得，由题设，在等差数列中，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得，由于上式对任意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，可知必
13、为正整数，又，故是大于1的正整数（14分）再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项在等比数列中，在等差数列中，若为数列中的第项，则由，得，整理得，由，均为正整数，得也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证综上，当且仅当是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列（18分）例题6将边长分别为、的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，（1）求的表达式；（2）写出，的值，并求数列的通项公式；（3）定义，记，且恒成立，求
14、的取值范围.【答案】（1）；（2）， ，；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围【详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；（2）由（1）知，所以， 当时， 当时，综上，数列的通项公式为，（3）由（2）知，由题意可得，恒成立，当时，即，所以，当时，即，所以，当时，即，所以，综上
15、，【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力例题7（理）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.（1）试用表示，其中、均为正整数；（2）利用（1）的结论求解：“已知，求”；（3）若数列前项的和分别为，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前项和，前项和，求数列的前2010项的和.”【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】（1）解：不妨设，则有，
16、.（2）（文科）解法一：由条件，可得得：，由（1）中结论得：解法二：，则（理）由条件，可得得：，则.（3）（理科）推广的结论为：若公差为的等差数列的前项和为，则该数列的前项和为：+ （）对正整数，可用数学归纳法证明如下：1当时，由问题（1）知，等式（）成立；2假设当时结论成立，即，当时，这表明对等式（）也成立；根据1、2知，对一切正整数，（）式都成立.利用以上结论，问题解法如下：由，则利用探究结论可得：.不利用以上结论，解法如下：由得：；代入可得.所以，.例题8对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周
17、期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.（1）设数列满足，（、不同时为），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；（2）设数列的前项和为，且若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；（3）设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在、，使对任意的都有成立，若存在，求出、的取值范围；不存在， 说明理由.【答案】（1）；（2）不是；是，且最小正周期为；（3）存在，且，.【解析】【分析】（1）直接利用数列是周期为的周期数列以及可以推出即可求出实数的值；（2）先利用求得或.由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列；由得出，求出数列的通项
18、公式即可判断出数列是否为周期数列；（3）先由数列满足，推出数列以及数列是周期为的周期数列，求出数列的前项，即可求出数列的前项和以及数列的前项和的取值范围，即可求出对应的、的取值范围.【详解】（1）由数列是周期为的周期数列，且，即；（2）当时，又，得；当时，.即或.由有，则为等差数列，即，由于对任意的都有，所以不是周期数列；由有，数列为等比数列，即，即对任意都成立，即当时，是周期为的周期数列；（3）假设存在、，满足题设.于是，又，则.所以是周期为的周期数列，所以的前项分别为、. 则，；当时，；当时，；当时，.综上所述：，为使恒成立，只要，即可，综上，假设存在、，满足题设，.【点睛】本题是在新定义
19、下对数列知识的综合考查，考查数列的周期性、等差数列通项以及求和，解题时要充分理解数列周期性的定义，考查分类讨论数学思想方法、推理能力与计算能力，属于难题.例题9已知点、是双曲线：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3.（1）求双曲线的方程；（2）过的直线与相交于、两点，直线的法向量为，且，求的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线在第四象限的部分存在一点满足，求的值及的面积.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）由渐近线为，可知，由右顶点到左焦点的距离为3，可知，再根据，求解，即可.（2）由题意可知，直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，得，根据韦达定理，确定，再
20、由，得，求解的值，即可.（3）有（2）可知，从而确定，设，由得，代入双曲线的方程，解得值以及点坐标，利用点到直线距离公式，求解点到直线的距离.再求解的面积即可.【详解】解：（1）由题意得解得，所以双曲线的方程为：.（2）直线的方程为，由，得（*）所以由得即代入化简，并解得（舍去负值）（3）把代入（*）并化简得，此时，所以设，由得代入双曲线的方程解得（舍），所以，点到直线的距离为，所以.【点睛】本题考查了求双曲线方程，直线与双曲线位置关系以及弦长问题.同时也考查运算能力，属于难题.例题10定义的“倒平均数”为已知数列前项的“倒平均数”为，记（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否
21、存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由（3）设数列满足，且，且，且是周期为3的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求【答案】（1）；（2）1；（3）【解析】【分析】（1）根据求出，得到，进而求出，作出比较大小即可；（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，由(1)的结果，即可求出实数；（3）由得，分类讨论和，根据是周期为3的周期数列，即可求出数列的前项和，进而得到，即可求出结果.【详解】（1）设数列前项和为，由题意得，所以，当时，当时，而也满足此式.所以，因此，所以，故；(2) 假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，由（1）
22、知数列是递增数列，所以只要，即，解得或，所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立；(3)由得；若，则，因为是周期为3的周期数列，所以，即，解得，此时，为符合题意；若，则，因为是周期为3的周期数列，所以，即，解得或，不符合题意，设数列的前项和为，则对，有，即，又为前项的“倒平均数”因此，故.【点睛】本题主要考查数列与函数的综合以及数列的极限，熟记数列的性质等即可，属于常考题型.例题11对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；
23、（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）.求证：（k=1,2,m）；（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.【答案】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.（2）见解析；（3）.【解析】【详解】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.4分（2）因为，所以. 6分因为，所以，即. 8分因此，. 10分（3）对，；.比较大小，可得. 12分因为，所
24、以，即；，即.又，从而，. 15分因此 = = =. 18分例题12给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.【答案】见解析【解析】【详解】（1）因为，故，（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明若，显然有成立；若，则显然成立综上，恒成立，即对任意的，（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有此时，即故，即，当时，等式成立，且时，此时为等差数列，满足题意；若，则，此时，也满足题意；综上，满足题意的的取值范围是【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题例题13已知数列的前项和，满足.（1）若，求数列的通项公式；（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知求，利用即可求出；（2）根据数列通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出【详解】（1）因为，所以，当时，所以；当时， ，即，因为，所以，即，当时，也符合公式综上，数列的通项公式为（2）因为，所以 （ ）由得，两式作差得， ，即 ，故【点睛】本题主要考查求数列通项的方法公式法和构造法的应用， 以及数列的求和方法分组求和法和错位相减法的应用