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1、3.2.2双曲线的简单几何性质(1)一、单选题1. 双曲线C：的离心率是()A. 3B. C. 2D. 2. 双曲线的两条渐近线夹角是()A. B. C. D. 3. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是()A. 16B. C. D. 4. 已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为()A. B. C. D. 5. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则()A. B. C. 4D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为()A. B. C. D. 7. 若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A. B. C. D. 二、多选题8. 已知双曲线C
2、的方程为，则下列说法正确的是()A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的实轴长为8C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D. 双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为9. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是()A. E的渐近线方程为B. C. E的离心率等于D. 10. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是()A. 与共轭的双曲线是B. 互为共轭的双曲线渐近线相同C. 互为共轭的双曲线的离心率为、，则D. 互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上三、填空题11.
3、已知双曲线E的一条渐近线方程为，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为_写出一个即可12. 已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是_.13. 双曲线的渐近线与圆相切，则_.14. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_.15. 若方程所表示的曲线为C，则有以下几个命题：当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C表示双曲线；当时，曲线C表示圆；存在，使得曲线C为等轴双曲线.以上命题中正确的命题的序号是_.四、解答题16. 已知双曲线的方程为，求此双曲线的焦点坐标，渐近线方程，顶点坐标，离心率17. 已知双曲线方程是若离心率，求双曲线的渐
4、近线方程；求双曲线焦点到渐近线的距离18. 已知焦点在y轴上的椭圆的方程为，求k的取值范围：已知双曲线的离心率，求实数k的取值范围.19. 已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，求双曲线的渐近线方程；当时，的面积为，求此双曲线的方程20. 已知双曲线的实轴长为若C的一条渐近线方程为，求b的值；设、是C的两个焦点，P为C上一点，且，的面积为9，求C的标准方程答案和解析1.【答案】D解：双曲线C：化为标准方程是，其离心率是故答案选：2.【答案】B解：双曲线的两条渐近线的方程为：，所对应的直线的倾斜角分别为，双曲线的两条渐近线的夹角为，故选3.
5、【答案】C解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，实轴长为4，虚轴长为，可得，故选：4.【答案】B解：根据等轴双曲线知，又因为焦点到渐近线的距离为，所以，故该双曲线的方程为：故选5.【答案】A解：双曲线的标准方程为，则，由双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，可得，即，解得，故选：6.【答案】D解：由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得故选：7.【答案】C解：双曲线的一条渐近线为，直线可化为，由题意可得，即，又，又双曲线离心率，双曲线离心率故选8.【答案】ABC解：由双曲线 C的方程为，得，所以，其渐近线方程为，故A正确；双曲线C的实轴长为，故B正确；双曲线C的右焦点到渐近
6、线的距离为；故C正确；双曲线C的右焦点到双曲线的右顶点的距离为，故D错误；故选9.【答案】BCD解：如图，由，可得M为的中点，又O为的中点，可得，故B，D正确；设，则，则，可得，则双曲线的渐近线方程为即为故A错误，C正确；故选10.【答案】BCD解：对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错误；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，B正确；对于C选项，设，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，所以，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D正确.故选11.【答案】满足或即可解：双曲线E的一条渐近线
7、方程为，设双曲线E的标准方程为，当时，该双曲线的焦距为，即，解得；当时，该双曲线的焦距为，即，解得；双曲线的标准方程为或，令可得双曲线的标准方程为故答案为：满足或即可12.【答案】解：，曲线方程化为，曲线为双曲线，故答案为13.【答案】解：双曲线的渐近线方程为，即，圆心到直线的距离，故答案为14.【答案】2解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故答案为：15.【答案】解：方程所表示的曲线为C，当时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故错误；当时，曲线C表示双曲线，正确；当时，曲线C表示圆，正确；因为，不存在，使得曲线C为等轴双曲线，故错误.故答案为.16.
8、【答案】解：，则因此焦点坐标为，渐近线方程为顶点坐标为，离心率为17.【答案】解：离心率，则，即，则双曲线的渐近线方程为由得，即，因为，所以，取双曲线一个焦点为，取一渐近线为，即所以焦点到渐近线的距离为：18.【答案】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，解之得，故实数k的取值范围是解：若双曲线的离心率，则有，即，解得，故实数k的取值范围是19.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，坐标为，则点到渐近线距离为，所以又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是因为，由余弦定理得，即又由双曲线的定义得，平方得，相减得根据三角形的面积公式得，得再由中结论得，故所求双曲线方程是20.【答案】解：因为双曲线的实轴长为2，即，则，又双曲线一条渐近线方程为，即，所以双曲线定义可得：，又，的面积为9，所以：，且，所以，故，所以，因此，；故双曲线C的标准方程为：第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司