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1、解析几何-圆锥曲线的定义及标准方程专题综述圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点。高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题。在解析几何问题中，圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活如，已知圆锥曲线上的点以及焦点（焦点三角形），应考虑使用圆锥曲线的定义等。专题探究探究1：圆锥曲线的定义、方程椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c)距离之和为定值(2a)的点的轨迹
2、；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB,与另一个焦点F构造FAB，则FAB的周长等于4a。（3） 当2a2c时，表示椭圆；当2a=2c时，表示两定点确定的线段； 当2a2c时，表示无轨迹。双曲线（1）秒杀思路：双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a; 注意定义中两个加强条件:（I）绝对值; （II）2a2c；加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条); （2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB（交到同一支上），与另一个焦点F构造FAB，则FAB的周长等于4a+2|AB|。 （3） 当2a2c时，无轨迹； 当2a=0时表示两定点的中垂线。抛物线（1）秒杀思路：到定
3、点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。（2）秒杀公式一：焦点在轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为60或120的弦,两段焦半径分别为: 2p,2p3.(2021全国统考甲卷理科)已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_【审题视点】如何运用椭圆的定义求解四边形的面积？【思维引导】判断四边形PF1
4、QF2为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可。【规范解析】判断四边形PF1QF2形状因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，利用椭圆定义和勾股定理求矩形PF1QF2的面积且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=8，所以m2+2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2b2)=48，即m2+n2=48，所以mn=8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|PF2|=mn=8故答案为：8【探究总结】此类问题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，
5、另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线的各有不同的形式。 (2021天津市)设双曲线C的方程为x2a2y2b2=1(a0，b0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A. x24y24=1B. x2y24=1C. x24y2=1D. x2y2=1探究2：焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P与两焦点F1、F2构成的三角形: F1PF2。（1） 秒杀题型一：周长为定值： 2(a+c)。F1PF2=，当点P靠近短轴端点时增大，当点P靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大。（2）秒杀题型二：SF1
6、PF2=122cy=b2tan2, Smax=bc即P与短轴端点重合时面积最大。（3）秒杀题型三：当F1PF2底角为90，F1PF2个数：4个(P点为通径端点)；当=2时，F1PF2个数： bc0e22,0b=ce=22,2bc22eb0)的右焦点F2的坐标为(2,0)，F1为椭圆C的左焦点,P为椭圆上一点,若tanF1PF2=43,SPF1F2=6,则椭圆C方程为_【审题视点】如何处理焦点三角形问题？【思维引导】不妨设PF1=x,PF2=2ax，根据PF1F2的面积为6，结合余弦定理，解方程组可得a和x的值，再根据椭圆方程求出b，进而求出椭圆方程【规范解析】借助三角形面积公式得到a和x的关系
7、式由题意可知c=2，不妨设PF1=x,PF2=2ax， 由tanF1PF2=43，则sinF1PF2=45,cosF1PF2=35，SPF1F2=12PF1PF2sinF1PF2=25x2ax=6在F1PF2中，借助余弦定理得到a和x的关系式，联立解方程组利用余弦定理可得cosF1PF2=35=x2+2ax2162x2ax由联立解得a=4，x=5，所以b2=a2c2=164=12，所以椭圆方程为x216+y212=1故答案为：x216+y212=1【探究总结】求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问
8、题。 (2021全国联考)已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，F1、F2为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为PF1F2的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为13，若PQ=IQ，则的值为探究3：双曲线的渐近线题型一：由双曲线的方程求渐近线秒杀思路：已知双曲线方程求渐近线方程: mx2ny2=mx2ny2=0;若焦点在x轴上，渐近线为y=bax；若焦点在y轴上，渐近线为y=abx。题型二：有共同渐近线的双曲线方程的设法秒杀思路：x2a2y2b2=1x2a2y2b2=。题型三：已知渐近线方程设双曲线方程秒杀思路：axby=0ax2by2=。题型四：双曲线的焦点到渐
9、近线的距离：b秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。 (2021山东省淄博市期末)设F1，F2是双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点.若|PF1|+|PF2|=6a，且SPF1F2=3b2，则双曲线C的渐近线方程是()A. 2xy=0B. x2y=0C. 3x2y=0D. 2x3y=0【审题视点】如何利用焦点三角形的面积？【思维引导】结合双曲线的定义与三角形面积公式可推出sinF1PF2，再由余弦定理可得cosF1PF2，而sin2F1PF2+cos2F1PF2=1，联立即可求解。【规范解析】借助余弦定理表示cosF
10、1PF2借助三角形面积公式表示sinF1PF2由双曲线的定义知，|PF1|PF2|=2a，|PF1|+|PF2|=6a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，SPF1F2=12|PF1|PF2|sinF1PF2，124a2asinF1PF2=3b2，即sinF1PF2=3b24a2，在PF1F2中，由余弦定理知，cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|=16a2+4a24(a2+b2)24a2a=1b24a2，sin2F1PF2+cos2F1PF2=1，(3b24a2)2+(1b24a2)2=1，化简得，b2a2=2，双曲线C的渐近线方程为y=bax=2x，
11、即2xy=0故选：A【探究总结】求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值，也可以将双曲线中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解即可求解。(2021全国联考)设F1是双曲线C：y2a2x2b2=1(a0,b0)的一个焦点，A1，A2是C的两个顶点，C上存在一点P，使得PF1与以A1A2为直径的圆相切于Q，且Q是线段PF1的中点，则C的渐近线方程为( )A. y=33xB. y=3xC. y=12xD. y=2x专题升华 求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值 求圆锥曲线的标准方
12、程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置 抛物线的有关性质已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则(1)AB=x1+x2+p=2psin2(为直线l的倾斜角)(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(3) 1AF+1BF=2p.【答案详解】变式训练1【答案】D【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=b(x1)，双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的渐近
13、线方程为y=bax，C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，ba=b，ba(b)=1，a=1，b=1，双曲线C的方程为x2y2=1，故选：D变式训练2【答案】4【解析】如图，连接IF1、IF2，I是PF1F2的内心，可得IF1、IF2分别是PF1F2和PF2F1的角平分线， 由于经过点P与PF1F2的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，则PQ为F1PF2的角平分线，则Q到直线PF1、PF2的距离相等，所以SPF1QSPF2Q=|PF1|PF1|=|QF1|QF2|，同理可得|PI|IQ|=|PF1|F1Q|，|PI|IQ|=|PF2|F2Q|，由比例关系性质可知|PI|IQ|=|PF1|+|
14、PF2|F1Q|+|F2Q|=|PF1|+|PF2|F1F2|=2a2c=ac因为椭圆的离心率为13，所以ca=13，所以|PI|IQ|=3，则PI=3IQ，PQ=4IQ，又因为PQ=IQ，所以=4，故答案为4变式训练3【答案】C【解析】不妨记F1是双曲线C的下焦点，设F2是双曲线C的上焦点，记A1是双曲线C的下顶点，A2是双曲线C的上顶点，画出如图所示的图象，由于O为F1F2的中点，Q为线段PF1的中点，则由中位线定理可得OQ/PF2，|OQ|=12|PF2|，由PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点Q，则|OQ|=a，|PF2|=2a，由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|=2a，即有|PF1|=4a，则QF1=2a，由OQPF1，由勾股定理可得a2+(2a)2=c2，即5a2=a2+b2，则4a2=b2，即ab=12C的渐近线方程为y=abx=12x故选：C