3.5积分方法.pdf-淘文阁

资源描述

《3.5积分方法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.5积分方法.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学1第第 5 5 讲：积分方法讲：积分方法不定积分背景的命题主要有两方面：第不定积分背景的命题主要有两方面：第 1 1：包装作用，比如函数：包装作用，比如函数)(xfy 的变号零点经过的变号零点经过不定积分包装后就是原函数不定积分包装后就是原函数)(xFy 的极值点的极值点，而变号零点的研究相对于极值点是容易的而变号零点的研究相对于极值点是容易的，同时，积分包装可使得函数形式变得复杂，这也达到了让导数作为压轴题的基本要求同时，积分包装可使得函数形式变得复杂，这也达到了让导数作为压轴题的基本要求.第第 2.2.解含有导数的不等式或者方程，这个我们通过例子来分析解

3、nxbxbaaaaxaaa；（8 8）322d|(0)3bbaax xxba.2.2.常见的抽象函数积分公式：常见的抽象函数积分公式：2.12.1：2)()()()()()(xxfxxfxxfxxfxfxxf；2.22.2：)()()(xxexfexfxf2.32.3：)2,0(x，)(coscos)()(tanxfxxxfxfx.还有一些抽象函数积分不等式可见本讲相关例题还有一些抽象函数积分不等式可见本讲相关例题，这类题目的实质便是不定积分求原函数这类题目的实质便是不定积分求原函数.2.2.定积分的定义定积分的定义：（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）一般地，设函数一般地，设函数()

4、f x在区间在区间,a b上连续，用分点上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间将区间,a b分成分成n个小区间，每个小区间长度为个小区间，每个小区间长度为x（1iixxx），在每个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点上任取一点1,2,iin，作和式：，作和式：111()()().nnniiiiiiSfxfxx 公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学2如果如果x无限接近于无限接近于0（亦即（亦即n ）时，上述和式）时，上述和式nS无限趋近于常数无限趋近于常数S，那么称该常，那么称该常数数S为函数为函数()f x在区间在区间,a b上的定积分上的定积分.记为：记为：()baSfx

5、dx.3 3.定积分的几何意义定积分的几何意义：当当0)(xf时时，由前述可知由前述可知，定积分定积分badxxf)(在几何上表示由曲在几何上表示由曲线线)(xfy，两直线，两直线bxax,与与x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.二典例分析二典例分析第第 1 1 类：抽象函数不定积类：抽象函数不定积分分例例 1 1（20152015 新课标新课标）设函数设函数()fx是奇函数是奇函数()()f x xR的导函数的导函数，(1)0f，当当0 x 时，时，()()xfxf x0，则使得，则使得f f(x x)0 0 成立的成立的x的取值范围是的取值范围是A A,10,1 B B1,

6、01,C C,11,0 D D0,11,解析：由于解析：由于当当0 x时，时，2()()0f xxfxf xxx，则则()f xx为减函数；又为减函数；又01 f xf为奇函数，则为奇函数，则 01 f，当，当1x时，时，0 xf，当，当10 x时，时，0 xf,根据奇函数的图像可得根据奇函数的图像可得 0 xf成立的成立的x的取值范围是的取值范围是)1,0()0,(，选选A.A.例例 2 2.已知已知()fx是函数是函数()f x的导函数，对任意的导函数，对任意xR，都有，都有 21xfxf xxe，且且 01f，则不等式，则不等式 3xf xe的解集为（的解集为（）（公众号：凌晨讲数学）（

7、公众号：凌晨讲数学）A A2,1B B2,1C C1,1D D1,2解析：解析：设设()()xf xg xe，()()(21)()21xxxfxf xexg xxee，公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学32()xxxcg，0(0)(0)1fge，1c，2()1g xxx，()3xf xe，()3xf xe，213xx，即，即220 xx，解得，解得12x，所以不等式解集为所以不等式解集为1,2，故选，故选 D D例例 3 3函数函数 fx定义在定义在(0,)2上，上，fx是它的导函数，且是它的导函数，且 tan x f xfx在定义在定义域内恒成立，则（域内恒成立，则（）A A2()()43

8、ffB B3()6(3ffC C 3cos11()26ffD D2()3()46ff解析：解析：因为因为(0,)2x，所以，所以sin0 x，cos0 x，由由 tan x f xfx可得可得()cos()sinfxxf xx，即，即()cos()sin0fxxf xx，令令()cos()g xx f x，(0,)2x，则，则()()cos()sin0g xfxxf xx，所以函数所以函数 g x在在(0,)2上为减函数，则上为减函数，则()()(1)()643gggg，则则cos()()cos()()cos(1)(1)cos()()664433ffff，所以所以3()2()2cos(1)(1

9、)()643ffff，故选，故选 D D例例 4 4已知定义在已知定义在0,上的函数上的函数 fx的导函数为的导函数为 fx，若对于任意，若对于任意0 x 都有都有 3fxfxx，且，且 44f，则不等式，则不等式 31016fxx的解集为的解集为_解析：解析：3fxfxx，即为，即为 30 xfxf x，设函数设函数 3f xg xx，则，则 3264330fxxfxxxfxfxgxxx，公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学4所以所以 g x在在0,上单调递减，又因为上单调递减，又因为 44f，所以，所以 3414416fg，不等式不等式 31016fxx可化为可化为 3116f xx，即，

10、即 4g xg，所以，所以4x，故解集为故解集为4,，故答案为，故答案为4,注：抽象函数的不定积分应用主要和单调性或者不等式结合，重在构造出原函数，读者需注：抽象函数的不定积分应用主要和单调性或者不等式结合，重在构造出原函数，读者需熟记本节常见的几个构造形式熟记本节常见的几个构造形式.练习练习.若定义在若定义在R上的函数上的函数()f x满足满足()()1f xfx，(0)4f，则不等式则不等式3()1(xf xee为为自然对数的底数）的解集为自然对数的底数）的解集为()A A(0,)B B(，0)(3，)C C(，0)(0，)D D(3,)解：不等式解：不等式3()1xf xe可化为可化为(

11、)30 xxe f xe；令；令()()3xxF xe f xe，则则()()()xxxF xe f xe fxe()()1)xef xfx；()()1f xfx，()()1)0 xef xfx；故；故()()3xxF xe f xe在在R上是增函数，上是增函数，又又(0)1 4130F ；故当；故当0 x 时，时，()(0)0F xF；故；故()30 xxe f xe的解集为的解集为(0,)；即不等式；即不等式3()1(xf xee为自然对数的底数）的解集为为自然对数的底数）的解集为(0,)；故选：；故选：A第二类：定积分及应用第二类：定积分及应用例例 5.5.（第（第 1616 届女子奥林

12、匹克届女子奥林匹克）（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）求最大实数求最大实数C，使得对任意正整数，使得对任意正整数n和满足和满足10210 nxxxx的数列的数列kx，均，均有有Cxxxkknkk)(112.分析：由积分定义可知，对函数分析：由积分定义可知，对函数2)(xxf，.31)(102112dxxxxxkknkk解：解：1)()()(33131211121121kxxxxxxxxxxxnkkkkknkkkkkknkk，故，故31)(112kknkkxxx，则，则31maxC.公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学5当当31C时，设时，设NnnC,131，取，取nknkxk ,2,

13、1,0,，则，则2112612131)(nnxxxkknkk显然，此时显然，此时2112612131)(nnxxxkknkkn131，综上，综上，31maxC.注注.可以看到，做积分背景的序列不等式其放缩的关键就是构造裂项相消的条件可以看到，做积分背景的序列不等式其放缩的关键就是构造裂项相消的条件.例例 6 6（20142014 陕西陕西）设函数设函数()ln(1),()(),0f xx g xxfx x，其中其中()fx是是()f x的的导函数导函数.（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）（1 1）11()(),()(),nng xg x gxg gxnN，求，求()ngx的表达式；的表达式；（2 2）若）若()()f xag x恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围；的取值范围；（3 3）设）设nN，比较，比较(1)(2)()ggg n与与()nf n的大小，并加以证明的大小，并加以证明.解解：（1 1）由题设得，由题设得，()(0)1xg xxx（3 3）：如图，：如图，01nxdxx是由曲线是由曲线,1xyxnx及及x轴所围成的曲边梯形的面积，而轴所围成的曲边梯形的面积，而12.231nn是图中所示各矩形的面积和是图中所示各矩形的面积和.所以所以00121.(1)ln(1)23111nnnxdxdxnnnxx，结论得证，结论得证.

展开阅读全文