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1、不定积分求解方法-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1 探讨不定积分的解题方法 班级 学号 姓名 51 杨洁珊 摘要 在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教 学的难点和重点.具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养 学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到 举一反三、触类旁通的教学效果。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念 和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进 行同类迁移。研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的
2、 过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求 解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积 分法。关键词 不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。前言 正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它 的逆运算一一积分法。我们已经知道微分法的基本问题是研究如何 从己知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰 好是某一己知函数。提出这是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学
3、效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多3.+c（个逆问题，首先是因为它出现在许多实 际问题之中，女口：己知速度求路程；己知加速度求速度；已知曲线 上每一点处的，求曲线方程等等
4、这些都是积分在生活中的应用，特 别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以 及引力问题。所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研 究工作中显得尤为重要。标题一、直接积分法 我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基 本的积分公式求解积分。要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得 灵活运用。下面的基本积分表就必须掌握 l.J Odx=c adx ax-c a+xa dx 6/+1 4 j-dx=In 丨 x 丨+c（x H 0）5.J ex=ex+c a*6.axdx -F c（a 0,么幻）lnx 是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培
5、养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多丄 sinodx arcsin x+c 1-x2=-ar
6、ccos dx x2 a2=lnl 2a x-a x+a 8f sin axdx cosax+ca 主 0）J a 9jsec2x/x=tanx+c（6/HO）10.J csc2xdx=tan x+c 11.sec xtan xdx=sec x+c=cscx+c dx-dx arctan x+c=-arc cot x+c 1+x2 16.J secxdx=In I secx+tanxl+c 在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式,如下几种情况(1)假分式化为真分式 方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。例:cos axdCSC%是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵
7、活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多r+x4 x4 4 x dx-x
8、2+l dx x+2dx 2+2x _1 5 1 一 x X 5 3(2).复朵的三角函数利用积化和差公式转化为熟悉的积分公式 l.sin(a+0)=sinQcos0+cosasin0 2.sin(a-0)=sin a cos/3 一 cos a sin 0 3cos(a+0)=cos a cos j3-sina sin/3 4.cos(a-0)=cos a cos 0+sin a sin 0 5 sin(a+0)sin(a 0)=2cosasin0 6.sin(a+0)+sin(a 0)=2sinacos/7 7.cos(a-0)cos(a+0)=2sinasin0 8.cos(a 0)+c
9、os(a+0)=2COSQCOS0 是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己
10、知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多9.sina+sin/?=2 sin lO.sina-sin/7=2sin 11COSQ+COS0=2 cos 12.COS6鼻_0、OL+卩、2 0、2 卩、cos(a-p cos cos sin-cos 4x+sin 2 JC+c 21 4 2 丿 例i：求 w：=J-_CS Xdx=j cos 2xdx=x-sin 2x+c(利用到公式7)例 2：求 cos 3*sin xdx 解:Jcos3x sinxtZx=J(sin4x-sin2)cZY （利用公式5）标题二、换元积分法 所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分不能转化 为积分公
11、式时，则通过换元转化。定义：设函数几刃在区间/上有定义，0在在区间丿上可导，且 0(丿)匸/。是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知
12、函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多(2)、第一换元法：如果不定积分j/(X)T/A-=F(A)dx+c在/上存在，则不定积分7(/)対(/)力在丿上也存在，且 7(0“加(M=F(0“)+c。该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化 成积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所 以，也称为“凑微分法”。基本步骤是凑微分 T换元 T积分 T回 代。(2)、第二换元法：如果x=(/)在丿上存在反函数/=-I(x),xe/,且不定积分在/上存在，则当不定积分 J/(XZV=G(-I(A-)+C O 基本步
13、骤：换元 T积分 T回代。f f Zx换心令5小70力 回代 qj(x)幵0-l(x)+c 要掌握换元法关键在于能够判断是用哪一种，或许两种还换元都 可以，学会判断，总结才是真正能够运用着一方法的精髓。下面将 对经常遇到的情况进行总结。第一换元法的应用(1)“凑”：将被积函数中的某个函数直接与心凑成微分形式;例：求 是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学
14、生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多2xexdx.Y 分析：其中2兀与e凑成微分形式。将u=x2回代，则幺=幺，所以j 2xeA dx=e+C 变形后再“凑”，有些积分通过恰当的变形(加、减、乘、除某 些因子)后，可以使用凑微分法。例：r dx 是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学
15、生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多 r dx x1 A/A：2 1 =Jl 呪2+0（回彳弋）
16、=X 1-4-C X 第二换元积分法的应用 一般地采用第二换元积分法的情形：被积函数中含有根式，目 的是去掉根号。解：为去掉被积函数中的根式，取根的次数2与3的最小公倍数 6,并令U=%6,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分。解：是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直
17、接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多6x5 x3 dx a sec t tan t atant dt=sec tdt =6 j x+1-lx x+1 丁 G3 x2)=6-x-In I%+11+C U 2 丿=2亦-3咖+6航-61n I y/u+11+C r dx 例2:求J而二T 解：令x=asect.Ut -（同理可考虑t0)令?2 V cr+疋 Ja2-x2dx(dx(r dx x
18、Jx2-a2 厂 一=In I-+-1+C 3 u a=In I x+yjx2-a2 I+C 常见的换元有：a 0)令 x=(/sin r,l 110)x=asint,t ly 是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运
19、算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多例：求 x 7(兀)尢分解dx凑微分 分部积分公式 仙-J皿 求微分 皿-J曲dx 基本积分公式 uv F(x)+cJ udv(x)基本类型：(1)降幕类型：求Z sin x,0cosx,等无，类型函数的不定积分时，可 用分部积分法使T逐渐降幕，即令无=弘。2 解：令 u=x,v1=cox,则有 u=2x,v=sin x,求得 J x2 cos xdx=x2 sin x 2j xsin xdx 再令u=x,2=s
20、inx,则有w,=l,v=cosx,解得 =对 sinx 一 Ixcox+2sinx(2)升幕类型:不定积分时，一般使用升幕法，令v=Zo 是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分
21、法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多x lnx （3）超越函数超越函数型 X x 一般有0 Sln e cox等，使用循环法（4）幕函数型 如A=Jcos加，一般使用递推法，求出递推公式。例:导岀不定积分rdx（n为正整数）的递推公式。心(-Jl)yj x1+(刃-1)J x2/1 x1 dx ”a、川_2 _、丿=Ynl-/l Y-4-f F?1 1 f /r 由此得到递推公式 解：令u=lnx,v,=X则有(4=_A?，1 Vl-X2+(/?-l)/n_2-(-l)/z,是高等数学
22、教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多si
23、nx dx 2sinx+3cosx cosx,X.=-3(7|+2C 13-标题四：分解积分法 如果不定积分X=7（寸仪按一般方法求较复杂，而把X作分解，分解 成的辅助积分x.,x2,x3x有r个线性组合易积分,那么复杂的求 不定积分问题就转变成简单的积分和解线性方程组的问题，这时分解 积分法就起到了化繁为简的作用。r sinx+2cosx 例：J 2sinx+3cosx,A“r sinx+2cosx,解：令丿2心+3込严 f 2sinx+3cosx.小/八 那么|2 訂 2sinx+3cosx I -3Xi+2/訂囂:囂 A=lnl2sin+3cosxl+G 由3(1)2(2)得,13X2=
24、3%+21n I 2sin%+3cosxl+C2 X H-In I 2sinx+3cos兀 I+13 13 再由 2（l）-3（2）得,13X=2x-21n I 2sinx+3cosxl+3C,+2C2 n n 是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积
25、分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多v 2 2 _ 小 o i 3Ci+2C nil X.=x-In I 2sinx+3cosxl+!-1 1 13 13 13 即可得 X=X.+2X,=x4-丄In I 2sinx+3cosx I+C,（C=哲 J 1 13 13 I 13 丿 总结：从上述例题可以看出，实际上分解积分法的求解思路,可用于 任何求解题中，只要把其中的X看作所求量X.,X2,X3/看作分X 解出的相
26、应量即可。结束语 对于一些简单的基本的不定积分，我们可以通过基本的积分公式直 接进行求解。对于难以直接用基本积分公式的积分，我们有第一类 换元积分法和第二类换元积分法，分部积分法以及分解积分法。对 于某些特殊类型的不定积分，如一些有理函数的和可以化为有理函 数的不定积分，无论不定积分有多么复杂，我们都可以按照一定的 步骤求解。对于有理函数的不定积分，我们可以用待定系数法把它 拆成一些分式的和，再按照基本积分公式求解；对于高阶的积分，我们可以运用多次分部积分法递推公式，也可以通过一些公式代换 将它化为有理函数的不定积分，但在具体计算时，应根据被积函数 的特点而采用简单灵活的代换；一些无理根式的不
27、定积分，可以运 用换元法将其化为有理函数的不定积分，再按照有理函数的不定积 分方法进行求解。相信只要我们能够各种方法积分的特点，那么不 定积分的求解问题就迎刃而解了。还有就是要注意一题多解的情 况，这样我们能够更好的解答不定积分问题。是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接
28、利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多参考文献：（1）华东师范大学数学系编，数学分析上册，高等教育出版社，第185而。(2)华东师范大学数学系编，数学分析上册，高等教育出版社，第186而。(3)唐晓英.分部积分法的解题技巧J长春理工大学学报.200589-90.(4)华东师范大学数学系编，数学分析上册，高等教育岀版社，第188面。(5)刘玉琏、傅沛仁编:数学分析讲义，高等教育出版社,1985年。
29、是高等数学教学的难点和重点具有很高的灵活性可以开拓学生的思路培养学生灵活的思维能力同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三触类旁通的教学效果为了正确使用各种积分方法求解不定积分我们必须掌握它的概念维能力科学分析能力运用数学语言能力联想运算能力以及应用能力求解不定积分的过程对学生的科学思维和化素质的培养所起的作用极为明显求解不定积分的方法主要有直接积分法即直接利用积分公式求解换元积分法第一换元积分算减法乘法有其逆运算除法一样微分法也有它的逆运算一一积分法我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从己知函数求出它的导函数相反求一个未知函数使其导函数恰好是某一己知函数提出这个逆问题首先是因为它出现在许多