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1、论求解复变函数积分的方法摘要:复变函数中，很多时候都需要我们求解函数的积分。事实上，整本书的知识虽然是涉及到各个方面的，但是，这些方面的学习到最后也是为我们求复变函数的积分做准备的。在整本书的不同章节，我们都有学到求积分的方法，可见，求复变函数的积分的方法是多种的。在这里，我对复变函数的积分计算方法进行了探讨,结合我们课本上介绍的，和我自己在网上看到的一些知识，介绍我们比较常用的几种方法。关键词:复变函数复积分计算方法积分定理柯西公式正文：我们学习复变函数这本书，首先，我们要了解什么是复变函数，复变函数是以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中
2、一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数是复变数复值函数的简称。设 A 是一个复数集,如果对 A 中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为w=?(z)。这个记号表示,?(z)是 z 通过规则?而确定的复数。如果记 z=x+iy,w u+iv,那么复变函数w?(z)可分解为w=u(x,y)+i v(x,y);所以一个复变函数w=?(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A 中的每一z，有且仅有一个w 与之对应。在复变函数
3、的学习中，求解积分是不可避免的一部分。在复变函数中学习积分的时候，我第一反应就是：在高等数学中，我们也有学习过积分方面的相关知识。在高等数学中，我们有学过求解不定积分与定积分，而学习求解不定积分与定积分又关系到微分和求导，导数的学习与积分的学习密切相关。在高等数学中我们学习了一般的积分、二重积分、三重积分，由此引申出来的曲线积分、曲面积分等各方面的知识。在学习复变函数的时候，我发现有很多知识都与高等数学中积分的知识是相关连的，所以，关于求解复变函数积分的方法中，有部分的知识是有用到高等数学的知识点的。这是我对复变函数积分求解的一点点体会。下面，我就复变函数的两类曲线积分求解的几种方法进行讨论。
4、第一种，把复变函数积分化为实变量的实函数曲线积分，复变函数中有虚实两部分，把复变函数化成实变量的实函数曲线积分，就可以转化为高等数学的题目，就可以运用高等数学的知识解答。对于求解曲线积分，我们总结起来可以概括出一句话，就是两个方法加一个思想。我们先谈一下第一种方法就是：参数法。对于平面曲线和空间曲线而言，都可以直接化成一元积分。对于曲面好像没有参数法，其实投影法就是参数法，我们可以跟曲线的思想比较一下，曲线积分是一元的，所以可以直接化成一元积分，那曲面积分是二元的，必然也可以化成二重积分；从理论上讲，曲线积分我们可以把其中的一个参数选定，求其他参数关于它的导数，就可以换成关于这个参数一元积分，
5、曲线的参数法和投影法在思想上是一致的。再介绍一下第二种就是公式法，公式法肯定是要知道公式是什么。现在我们就了解一下这几条公式。第一，平面曲线，格林公式，二重积分；第二，曲面积分，高斯公式，三重积分；第三，空间曲线，斯托克斯公式，曲面积分。至于一个思想就是辅助线面的思想。其实我们不是缺少方法了，而是缺一个解决的思想，就是“辅助线面”的思想，其实我们在中学几何中就学过了，所以也就不会陌生了。第二，用牛顿莱布尼茨公式计算复积分;牛顿一莱布尼兹公式：如果f(z)在单连通域B内处处解析，G(z)为f(z)的一个原函数，那末j 盐f(z)dz=G(z。)一G(zo)，这里 z。，z1为域 B内的两点。利用
6、这种方法将复变函数积分转化成定积分来计算，方法很好，但是要求非常苛刻，函数必须在单连通域内解析，很多函数都不具备这一性质。第三，用柯西定理及其推论计算复积分；：柯西一古萨基本定理：利用参数方程法虽然具有直接明了的优点但是应用此方法必须是针对曲线的参数方程比较容易写出这一类问题，而我们复变函数中所遇到的大多数曲线都是不规则曲线，写出其参数方程往往比较困难，应用这种方法也就大大受到了限制，为此我们必须寻求更有效的求积分的方法，柯西一古萨基本定理为我们积分的求法指明了方向。柯西一古萨基本定理如果函数f(z)在单连通域 B内处处解析那么函数f(z)沿 B内的任何一条封闭曲线C的积分为零。第四，用柯西积
7、分公式计算复积分；如果f(z)在区域 D内处处解析。C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全古于D，应用柯西积分公式求积分非常简洁方便，但是我们必须注意两个问题：一，f(z)必须在区域 D内处处解析，二，zo必须在 C内。第五，用解析函数的高阶导数公式计算复积分;解析函数的导数依然是解析解析函数，解析函数的高阶导数公式并不在于利用积分求导数而是利用导数来求积分因为复变函数的导数简单易求，但求复变函数的积分相当复杂，这个公式给我们提供了一个求积分的很好的方法第六，利用积分变换来求积分，积分变换是复变函数中的第二个部分，积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换
8、有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:C
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15、其中的一部分，我们平常可以总结学习到的方法，这样就可以从多方面思考，解决问题。参考文献：常州工学院学报2008年 8月第 21 卷第 4 期，复变函数积分计算方法的探讨科学教育家2008 年 5 月第 5期，论复变函数积分的求法文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5E9V9G8 ZM5Q8L10Q5X9文档编码:CZ5Y4I1X5P6 HQ7F5
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