《河北省石家庄市第二中学2023届高三下学期开学考试数学试题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省石家庄市第二中学2023届高三下学期开学考试数学试题（解析版）.docx（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020级高三下学期开学考试数学试卷（时间：120分钟，分值：150分）一单选题（共8题，每题5分，共40分.）1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立与，可得，整理得，即，当时，不满足题意；故方程组有唯一解.故.故选：C.2. 已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对，应用韦达定理，求得的值【详解】
2、因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.根据根与系数的关系可得即得,所以故选:A.3. 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出投影向量公式，即可计算求解.【详解】在上的投影向量故选：C4. 已知函数的局部图象如图所示，则的解析式可以是（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】利用排除法，根据奇偶性和在时的函数值正负可排除.【详解】由图可得的图象关于轴对称，即为偶函数，其中A选项，故为奇函数，与图象不符，故排除A；C选项，故为奇函数，与图象不符，故排除C；B选项，当时，则，与图象不符，故排除B.故选：D.5. 已知正四面体
3、的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为A. 27B. 27C. 54D. 54【答案】C【解析】【分析】先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可.【详解】解：由内切球的表面积，得内切球半径如图，过点作平面，则点为等边的中心连接并延长交于点，且点为中点，连接记内切球球心为，过作，设正四面体边长为则，又因为，所以由，得，即，解得因为过棱和球心，所以即为所求截面且故选C.【点睛】本题考查了空间几何体的内切球，找到球心求出半径是解题关键.6. 已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白
4、球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（ ）A. 8B. C. D. 16【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型概率计算公式求出从袋中随机取出一球，该球为红球的概率，然后利用二项分布的方差计算公式得到有放回地摸球8次摸到红球的个数的方差，因为，利用方差的性质即可得到答案【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则 故： 又因
5、为 根据方差的性质可得： 故选：D7. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，得出，再判断，得出结果.【详解】因为，且，则，即；所以，即，所以，即.所以.故选：B.8. 已知椭圆，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不妨设，两条直线的斜率大于零，连结，由题意知，求出，求出，的斜率，设，利用点差法，转化推出椭圆的离心率即可【详解】解：如图，不妨设，两条直线的斜率大于零，连结，由题意知，
6、解得，或，（舍），所以，在中，因为，所以，故此时，设，则，两式相减得，即，即，因此离心率，所以，故选：D二多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分.）9. 投掷一枚质地均匀的股子，事件“朝上一面点数为奇数”，事件“朝上一面点数不超过”，则下列叙述正确的是（ ）A. 事件互斥B. 事件相互独立C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件定义可知AB正误；根据可知C错误；由条件概率的公式可求得D正确.【详解】对于A，若朝上一面的点数为，则事件同时发生，事件不互斥，A错误；对于B，事件不影响事件的发生，事件相互独立，B正确；对于C，C错误；对于D，D
7、正确.故选：BD.10. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）A. 数列的最大项为B. 数列的最小项为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列【答案】ABC【解析】【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，数列为递增数列，C正确；对于D，；，又，数列为递减数列，D错误.故选：ABC.11. 已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为
8、圆上异于的动点，则下列结论正确的为（ ）A. 圆锥的侧面积为B. 的取值范围为C. 若为线段上动点，则D. 过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为【答案】AC【解析】【分析】依次判断每个选项，直接计算A正确；当时，B错误；当三点共线时最小，根据余弦定理计算得到C正确；计算截面，根据均值不等式计算得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：母线长，侧面积为，正确；对选项B：中，则当时，错误；对选项C：为等腰直角三角形，将放平得到，如图2所示，当三点共线时最小，为中点，连接，则，正确；对选项D：如图3，设截面为，为中点，连接，设，则，当，即时等号成立，D错误.故选：AC【点睛】关键点睛：本题
9、考查了立体几何中侧面积，截面积和线段和的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和空间想象能力，其中，将空间的线段和转化为平面的距离是解题的关键.12. 已知是的导函数，则下列结论正确的为（ ）A. 与的图像关于直线对称B. 与有相同的最大值C. 将图像上所有的点向右平移个单位长度可得的图像D. 当时，与都在区间上单调递增【答案】BC【解析】【分析】先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移,根据函数的对称性,根据求三角函数的值域，根据求解三角函数的单调性等分别验证ABCD选项的正误.【详解】已知的图像与的图像关于直线对称，故A选项错误；，其中，最大值为，其中，最大值为，故B选项正确；，.将的
10、图像向右平移个单位得的图像，故C选项正确；当时，当时，在上单调递增，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递减，综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.故选：BC三、填空题（共4题，每题5分，共20分.）13. 的展开式中，的系数为_.【答案】30【解析】【分析】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.【详解】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是 故答案为：30【点睛】本题考查的是利
11、用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.14. 某省示范性高中安排名教师去三所乡村中学支教，每所中学至少去人，因工作需要，其中的教师甲不能去中学，则分配方案的种数为_.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用部分平均分组的计算方法可求得三所学校分配人数分别为和时的安排方法数，在两种情况下分别求得甲去中学的安排方法数，利用间接法可求得结果.【详解】若三所学校分配人数分别为时，共有种安排方法；其中甲去中学的安排方法有种；则此时分配方案的种数为种；若三所学校分配人数分别为时，共有种安排方法；其中甲去中学的安排方法有种；则此时分配方案的种数为种；综上所述：满足题意的分配方案的种数为种.故答案为：
12、.15. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为，动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，若恒成立，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】取特殊位置轴，此时，将代入抛物线得，所以，可得，分别讨论，可得，进而可求得渐近线方程为.【详解】如图：因为恒成立，取特殊位置轴时，此时，所以，在中，双曲线中，将代入双曲线方程得，整理可得：，取点位于第一象限，所以，则，所以，当时，此时不符合题意，故不成立，当时，此时不符合题意，故不成立，当时，所以，即，可得，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：16. 已知，若过点的动直线与有三个不同交点，自左向右分别为，则线段的中点纵坐标的取值范围为
13、_.【答案】【解析】【分析】将直线与的方程联立，化简后得到关于的一元二次方程，利用韦达定理、中点坐标公式即可得线段的中点横坐标，再求出过点的两条切线，结合图像，即可求得线段的中点纵坐标的取值范围【详解】设，线段的中点，易得在上，由，得，故，为方程的两个根，所以，故点在直线上，解得或；，解得，和上单调递增，在上单调递减，过作的切线，设切点坐标为，则有，即，解得，此时切线斜率，切线方程为又，则点处的切线方程如图所示，两条切线与的交点纵坐标分别为，故故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，辨析清楚“在点”与“过点”的切线方程的求法是解题的关键.四解答题（共6题，17题10分，其余各题12
14、分，共70分.）17. 在中，a、b，c分别是角A、B、C的对边，且（1）求角A的大小；（2）若是方程的一个根，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边后，利用余弦定理得到，进而求得；（2）解方程求得方程的根，并作出取舍得到，利用同角三角函数的关系得到的值，然后利用诱导公式和两角和的余弦公式求得.【详解】（1），即，又三角形内角，；（2）等价于，解得或；，.18. 某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20182019201020212022年份编号12345单价
15、（元/公斤）1820232529药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2024年药材A的单价；（2）利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；（3）若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.参考公式：回归直线方程，其中.【答案】（1），元/公斤 （2）公斤 （3）应该种植药材A，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题中数据结合公式求得回归直线方程为，再令代入运算即可得结果；（2）根据频
16、率分布直方图中平均数公式计算可得；（3）比较A、B两种药材的均值，即可判断.【小问1详解】由题意可得：，则，故回归直线方程为，当时，即2024年药材A的单价预计为元/公斤.【小问2详解】由频率分布直方图可得：组距为20，自左向右各组的频率依次为，故B药材的平均亩产量为公斤.【小问3详解】预计2024年药材A每亩产值为元，药材B每亩产值为元元，所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.19. 已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）由与的关系： 即可得出通项公式；（2）先利用裂
17、项相消法求出 ，由恒成立，可得需求的最大值，根据的单调性构造不等关系即可求解【小问1详解】当时，即当时，由，故，得.易见不符合该式，故【小问2详解】由，易知递增；当时，.从而.又由，故，解得或即实数的取值范围为或20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点.（1）若平面，求的值；（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1） （2）【解析】分析】（1）连接，交于点，由线面平行性质可证得，又，由平行线分线段成比例可求得结果；（2）取中点，可证得四边形为矩形，则以坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定可证得平面，可知平面的一个法向量为；设，利
18、用二面角的向量求法可构造方程求得；利用线面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】连接，交于点，连接；平面，平面，平面平面，；，即的值为.【小问2详解】取中点，连接；，四边形为平行四边形，又，四边形为矩形，则，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，即；平面，平面，；平面，平面；设，则，设平面的法向量，则，令，则，；又平面的一个法向量为，解得：；，直线与平面所成角的正弦值为.21. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在第二象限，当在上时，与的横坐标和为（）求抛物线的方程；（）过作斜率为的直线与轴交于点，与直线交于点（为坐标原点），求【答案】（）（）【解析】【分析
19、】（）设，代入抛物线方程，利用可求得，得抛物线方程；（）由题意直线斜率存在，设，代入抛物线方程，整理后应用韦达定理得，设，由直线方程联立解得，而，此式用横坐标表示后代入上面的结论可得【详解】解：（）设，由题，由，则直线斜率为，又，则，从而有，所以，从而抛物线的方程为（）由题意直线斜率存在，设，由得，则，解得或，又点在第二象限，所以，设，由题，联立解得，将，代入上式得，即【点睛】本题考查求抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，把代入其他条件化简变形计算22. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，不
20、等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）令，利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，结合函数的图象可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】解：，设，其中，则，设，则，当时，且等号不同时成立，则恒成立，当时，则恒成立，则在上单调递增，又因为，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，当时，在上单调递增，当时，当时，所以，此时，不合乎题意；当时，且当时，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于换元，将问题转化为，通过求出的取值范围，结合函数的图象得出关于实数的不等式进行求解.