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1、2020 级高三下学期开学考试数学试卷级高三下学期开学考试数学试卷（时间：（时间：120 分钟，分值：分钟，分值：150 分）一单选题（共分）一单选题（共 8 题，每题题，每题 5 分，共分，共 40 分分.）1.已知集合2,1,Ax yyxBx yyx，则AB中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.02.已知32i（i是虚数单位）是关于x的方程20,xmxnm nR的一个根，则mn（）A.7B.11C.19D.134i3.已知|3,|5,aba b的夹角为120，则b在a上的投影向量为（）A.56aB.5 36aC.56aD.5 36a4.已知函数 f x的局部图象如图所示，则 f x的解析
2、式可能为（）A.1sin2xf xexB.1cos2xf xexC.lnsin2f xxxD.lncos2f xxx5.已知正四面体ABCD的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体ABCD，则所得截面的面积为（）A.27 2B.54 2C.27 3D.54 36.已知袋子中有除颜色外完全相同的 4 个红球和 8 个白球，现从中有放回地摸球 8 次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计 3 分，摸出白球计 0 分，记随机变量 X 表示摸球 8 次后的总分值，则()D X（）A.16B.169C.163D.87.已知3tan1.04,log,2,s
3、inaxax bcb，则,a b c的大小关系为（）A.abcB.acb2023河北省石家庄市第二中学学科网（北京）股份有限公司C.cabD.cba8.已知椭圆22221(0),0,2,0,2xyabPQab，过点P的直线1l与椭圆交于,A B，过点Q的直线2l与椭圆交于,C D，且满足12ll，设AB和CD的中点分别为,M N，若四边形PMQN为矩形，且面积为4 3，则该椭圆的离心率为（）A.13B.23C.33D.63二多选题（共二多选题（共 4 题，全部选对得题，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，共分，共 20 分分.）9.投掷一枚质
4、地均匀的骰子，事件 A=“朝上一面点数为奇数”，事件 B=“朝上一面点数不超过 2，则下列结论正确的为（）A.事件,A B互斥B.事件,A B相互独立C.56P ABD.13P B A 10.已知数列 na为等比数列，首项10a，公比1,0q，则下列结论正确的为（）A.na的最大项为1aB.na的最小项为2aC.1nna a为递增数列D.212nnaa为递增数列11.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于,A C的动点，1,3SOOC，则下列结论正确的为（）A.圆锥SO的侧面积为2 3B.SAB的取值范围为,6 3 C.若,ABBC E为线段AB上的动点，则m
5、in()102 15SECED.过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为312.已知 fx是 f x的导函数，sincos0f xaxbx ab，则下列结论正确的为（）A.f x与 fx的图象关于直线34x对称B.f xfx与 f xfx有相同的最大值C.将 fx图象上所有的点向右平移2个单位长度可得 f x的图象D.当ab时，f xfx与 f xfx都在区间0,2上单调递增三、填空题（共三、填空题（共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分分.）13.52xxy的展开式中，52x y的系数为_.（用数字作答）14.某省示范性高中安排 5 名教师去,A B C三所乡村中学支
6、教，每所中学至少去 1 人，因工作需要，其中的教师甲不能去A中学，则分配方案的种数为_.15.已知双曲线C的左顶点为A，右焦点为F，离心率为e，动点B在双曲线C的右支上且不与右顶点重合，若BFAeBAF恒成立，则双曲线C的渐近线方程为_.16.已知 33f xxx，若过点3,0P 的动直线l与 f x有三个不同交点，自左向右分别为,P E F，则线段EF的中点纵坐标的取值范围为_.四解答题（共四解答题（共 6 题，题，17 题题 10 分，其余各题分，其余各题 12 分，共分，共 70 分分.）17.（10 分）在ABC中，ab，c 分别是角 ABC 的对边，且sinsinsinabABcbC
7、.（1）求角 A 的大小；（2）若sinB是方程29920100 xx的一个根，求cosC的值.18.（12 分）某中药企业计划种植A B两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300 公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20182019201020212022年份编号x12345单价y（元/公斤）1820232529药材B的收购价格始终为 20 元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若药材A的单价y（单位：元/公斤）与年份编号x间具有线性相关关系；请求出y关于x的回归直线方程，并估计 2024 年药材 A 的单价；学科网（北京）股份有限公司（
8、2）利用上述频率分布直方图估计药材 B 的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；（3）若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断 2024 年该药企应当种植药材 A 还是药材 B？并说明理由.参考公式：回归直线方程ybxa，其中1221,niiiniix ynxybaybxxnx.19.（12 分）已知数列 na的前n项和nS满足24(1),nSnnN.（1）求数列 na的通项公式；（2）记数列11nna a的前n项和为nT，若对任意的nN，不等式25nTaa恒成立，求实数a的取值范围.20.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PC 底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，,222,ABA
9、D ABCD ABADCDE是PB上的点.（1）若PD平面ACE，求:PE PB的值：（2）若E是PB的中点，且二面角PACE的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.21.（12 分）设抛物线2:20C xpy p的焦点为F，过点1,0T的直线l与抛物线C交于 A，B两点，点 A 在第二象限，当F在l上时，A 与B的横坐标和为4.（1）求抛物线C的方程；（2）过A作斜率为12的直线与x轴交于点M，与直线OB交于点N（O为坐标原点），求ANAM.22.（12 分）已知函数 ln20f xa xx a.（1）讨论 f x的单调性；（2）当0 x 时，不等式 22coseaxxf xf
10、 x恒成立，求a的取值范围.数学参考答案数学参考答案一单选题一单选题1.C2.A3.C4.D5.B6.A7.B8.D二多选题二多选题9.BD10.ABC11.AC12.BC三填空题三填空题13.3014.10015.3yx 16.9 3,9 38四解答题四解答题17.（1）sinsinsinabABcbC，ababcb c，即222bcabc，2221cos22bcaAbc，又三角形内角0,A，3A；（2）29920100 xx等价于109 10110 xx，解得910 x 或1110 x；1sin0B，9sin10B，219cos1 sin10BB ，coscoscossinsincosco
11、sCABABABAB 391199 31921021020.18.（1）3,23xy12222222211 182 203 234 255 295 3 232.7123455 3niiiniix ynxybxnx 14.9aybx，故回归直线方程为2.714 9.yx，当7x 时，33.8y，从而 2024 年药材 A 的单价预计为33.8元/公斤.（2）解：组距为 20，自左向右各组的频率依次为0.1,0.2,0.35,0.25,0.1从而 B 药材的平均亩产量为360 0.1 380 0.2400 0.35420 0.25440 0.1401公斤（3）解：预计 2024 年药材 A 每亩产
12、值为300 33.810140元，药材 B 每亩产值为20 4018020元10140元，所以药材 A 的每亩产值更高，应该种植药材 A.19.（1）当1n 时，214(1 1)a，即11a 当2n时，由1nnnaSS，故224(1)21nannn，得214nna.易见11a 不符合该式，故 1 121,24nnann=+=，（2）由0na，易知nT递增；112145Ta a当2n时，()()111611821 232123nna annnn+骣=-桫+.从而41111111281285577921235235nTnnn骣=+-+-+-=-桫+L.又由25nTaa，故212aa，解得3a 或4
13、a 即实数a的取值范围为3a 或4a 20.（1）连接BD交AC于点G，连接EG由PD平面ACE，平面PDB平面EACEG，所以PDEG.由题可知12DGDCGBAB，故13PEPB.（2）令M为AB中点，易知,CM CD CP两两垂直，以C为原点，建立空间直角坐标系令CPa，则111,1,0,1,1,0,0,0,22 2aABPaE易知面PAC的法向量为1,1,0CB 由111,1,0,22 2aCACE ，令面EAC的法向量为,nx y z，则0,0n CAn CE 即00 xyxyaz，令xa，故,2ya z ，则,2naa依题意26cos,32aCB na，解得2a.于是2,2,2,1
14、,1,2nPA，设直线PA与平面EAC所成角为，则|2sin|cos,|3|PA nPA nPAn 21.解：（1）设11,A x y，22,B xy，由题2112xpy，2222xpy，由124xx，则直线l斜率为2212121212122222xxyyxxppkxxxxpp，又0,2pF，1,0T，则2pk ，从而有22pp，所以2p，从而抛物线C的方程为24xy.（2）由题意直线l斜率存在，设:1l yk x，由214yk xxy得2440 xkxk，则216160kk，解得0k 或1k，又点A在第二象限，所以0k，124xxk，124x xk.设33,N x y，由题111:2AMyy
15、xx，22:yOB yxx.联立解得2121232248x xx xyx，2121213212221112124821124x xx xANyyxx xxxAMyx xx ，将124xxk，124x xk代入上式得1222121211212421112242x xxkxxxx xxkxxx ，即2ANAM.22.（1）解：函数 ln20f xa xx a的定义域为0,，且 22aaxfxxx.当a可得02ax.此时，函数 f x的单调递增区间为0,2a，单调递减区间为,2a.综上所述，当a0时，函数 f x的单调递减区间为0,；当0a 时，函数 f x的单调递增区间为0,2a，单调递减区间为,
16、2a.（2）解：ln222cose2cos0e2cos0eaf xaxxxxf xf xf xf xf xf x，设 e2costg ttt，其中 tf x，则 e2sintg tt，设 esin2th tt，则 ecosth tt，当0t 时，e1t，sin1t，且等号不同时成立，则 0g t恒成立，当0t 时，e1t，cos1t ，则 0h t恒成立，则 g t在0,上单调递增，又因为 01g，1e2sin10g ，所以，存在00,1t 使得 00g t，当00tt 时，0g t；当0tt时，0g t.所以，函数 g t在0,t上单调递减，在0,t 上单调递增，且 00g，作出函数 g t的图象如下图所示：由（1）中函数 f x的单调性可知，当a0时，f x在0,上单调递增，当0 x时，f x，当x时，f x，所以，tf xR，此时 00g t，不合乎题意；当0a 时，maxln22aaf xfaa，且当0 x时，f x，此时函数 f x的值域为,ln2aaa，即,ln2ataa.（i）当ln02aaa时，即当02ea时，0g t 恒成立，合乎题意；（ii）当ln02aaa时，即当2ea 时，取10minln,2ataa t，结合图象可知 10g t，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是0,2e.